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La latitude en fonction de la durée du jour le plus long
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La latitude en fonction de la durée du jour le plus long

Wensen HABLIK

À mes chers élèves

Introduction

Ptolémée a préféré à la méthode du gnomon la méthode de détermination de la latitude par la durée du jour le plus long c’est-à-dire au solstice d’été. J’ai tenu à formuler cette idée avec nos connaissances car la méthode de Ptolémée telle que nous la livre l’Almageste est difficile à suivre dans ses méandres.

Cependant, j’ai cru bon aussi de montrer en quoi consiste la méthode de détermination de la latitude par la méthode du gnomon.

“Des compléments figurent dans la version PDF concernant le nombre de jours pendant lesquels le soleil ne se couche pas en fonction de la latitude”.


0) Les coordonnées écliptiques et équatoriales

Les coordonnées écliptiques

Les éléments de référence sont :

- le plan de l’écliptique

- le point vernal $\gamma$

Le plan écliptique intersecte la sphère céleste selon un cercle : l’équateur céleste et l’écliptique se coupent en deux points dont l’un est le point \gamma franchi par le soleil le 20 ou 21 mars.

Le point $\gamma$ comme toutes les étoiles a un mouvement apparent de rotation autour de l’axe des pôles.

O désigne le centre de la terre.

(QQ’) est la droite passant par O perpendiculaire au plan de l’écliptique. Elle rencontre la sphère céleste en Q et Q’ appelés pôles de l’écliptique.

Le pôle nord écliptique est celui d’où l’on verrait le soleil progresser dans le sens direct (sens inverse de la marche des aiguilles d’une montre) le long de l’écliptique.

(PP’) est la droite passant par O et perpendiculaire au plan de l’équateur céleste.

Elle rencontre la sphère céleste en Pet P’. P est le pôle nord céleste, prolongement du pôle nord géographique.

Dans ce système de coordonnées, la direction d’un astre est définie par :

- sa longitude écliptique de 0° à 360°.

- sa latitude écliptique b variant de - 90° à 90° (positive dans l’hémisphère contenant le pôle nord écliptique.

La mesure de cette longitude écliptique dans l’Antiquité est l’objet de notre exposé.

L’obliquité de l’écliptique $\varepsilon$ vaut 23 ° 27 ‘ : c’est l’angle entre l’équateur céleste (prolongement sur la sphère céleste de l’équateur terrestre) et le plan de l’écliptique.

Tout se passe pour l’observateur terrestre comme si la sphère céleste représentée ci-dessus tournait autour de lui, la durée de cette rotation étant de 23 h 56 minutes 4 secondes.

Les étoiles comme le point vernal sont entrainés dans ce mouvement apparent de la sphère céleste.

Les coordonnées équatoriales

La direction d’un astre est caractérisée par :

Son ascension droite $\alpha$

et sa déclinaison $\delta$

La déclinaison se mesure en degrés entre - 90° et 90° positive au dessus de l’équateur, négative en dessous.

L’ascension se mesure en heures minutes et secondes.

1 heure d’ascension droite vaut 15°.

Le demi grand cercle contenant la direction de l’étoile semble faire un tour en 23 h 56 min 4 s.

L’ascension droite se mesure dans le sens direct.

La déclinaison et l’ascension droites sont invariables en première approximation.

1) La latitude en fonction de la durée du jour

Propriété liminaire en vue d’établir la symétrie des arcs parcourus par le soleil sur la sphère céleste par rapport au plan méridien.

Montrons avec les données de la figure que (TE) est la médiatrice de [AB].

Le cercle bleu de centre T est l’intersection d’une sphère de centre o avec le plan (R) parallèle à (P).

Appelons E le point d’intersection de (OZ) avec le plan (R).

(AB) est la droite d’intersection des plans (Q) et (R).

(D) étant perpendiculaire à (P) est perpendiculaire à (R) est perpendiculaire à (AB).

(OZ) est perpendiculaire à (Q) est donc perpendiculaire à (AB).

Appelons (U) le plan déterminé par les droites (D) et (OZ)

(AB) est perpendiculaire à 2 droites sécantes de (U) est perpendiculaire au plan (U). On a TA=TB donc t appartient au plan médiateur de [A B].

Comme le plan (U) est perpendiculaire à [A B], c’est le plan médiateur de [A B].

(AB) est donc perpendiculaire à toute droite du plan (U) et en particulier à la droite (TE).

La droite (TE) est la médiatrice de [A B] puisque que TA = TB.

A présent nous allons utiliser deux types de projection, l‘une sur le plan du méridien céleste, l’autre sur le plan équatorial.

Ces projections nous permettront de traiter notre sujet par la trigonométrie plane au lieu d’utiliser la trigonométrie sphérique.

Avant de rentrer dans le détail de ces deux projections montrons sur la sphère céleste les éléments importants comme l’écliptique, le cercle horizon, le zénith, le cercle équateur céleste, la trajectoire suivie par le soleil en 24 h et les cercles parallèles à l’équateur céleste lieu des points de la sphère céleste dont la déclinaison est 23,26° ou -23,26°, la déclinaison sur la sphère céleste a été vue dans le paragraphe 0 intitulé « coordonnées équatoriales et écliptiques ».

P est le pôle nord céleste.

Le plan de l’horizon terrestre passant par le centre O coupe la sphère céleste selon le cercle horizon en mauve.

Les cercle (C) et (C’)sont les cercles parallèles à l’équateur céleste respectivement lieu des points de latitude 23,26° pour (C) et -23,26° pour (C’).

Ces sont les déclinaisons maximales et minimales du soleil au cours de son périple sur l’écliptique.

Or la déclinaison du soleil étant à peu prés constante au cours de 24 h, sachant que la terre tourne en sens contraire des aiguilles d’une montre pour un observateur situé sur le pôle nord céleste et regardant l’équateur en 24 h. En réalité cette durée est de 23 h 56 min 4 s.

Le soleil décrira en apparence en 24 h un cercle parallèle à l’équateur céleste parcouru dans le sens des aiguilles d’une montre (sens rétrograde).

Il s’agit du cercle (C) en jaune, le cercle écliptique étant en bleu et correspondant à la trajectoire du soleil en un an.

La trajectoire du soleil en 1 jour appelée trajectoire diurne va couper l’horizon céleste en deux points A et B qui correspondent au lever et au coucher du soleil. Ces deux points pouvant être éventuellement confondus ou même ne pas exister.

Projection de la figure précédente sur le plan méridien

Le plan méridien passant par les pôles et le zénith Z est le plan en gris qui contient le cercle méridien de la sphère céleste.

La droite (KT) est la projection sur le plan méridien du cercle horizon de la sphère céleste.

Le cercle (C) est la trajectoire diurne du soleil contenue dans un plan parallèle à l’équateur. Comme nous avons choisi de nous intéresser au jour le plus long tous les points de ce cercle ont pour déclinaison 23, 26°.

Cette trajectoire apparente du soleil rencontre le cercle horizon céleste en deux points B et R dont le point B seul visible est projeté en B’ sur le plan méridien.

La trajectoire apparente du soleil rencontre le plan méridien en M.

I est le centre de ce cercle (C), la droite (MI) est la médiatrice de [BR] d’après la propriété liminaire vue en A.

F est la projection de M sur le plan de l’équateur.

Puisque le point M de la sphère céleste a pour déclinaison 23, 26° que l’on pose traditionnellement égal à $\varepsilon$ , on a en choisissant = à 1 le rayon de la sphère céleste et en tenant compte de ce que les triangles IMO et MOF sont rectangles :

$OF = \cos \varepsilon$

$IO = \sin \varepsilon$

On pose BI = x et $\widehat{BIO}=\varphi$ , latitude du lieu d’observation qui est aussi la hauteur du pôle nord céleste par rapport à l’horizon céleste.

On a $OI = \sin \varepsilon$ et $OF = \cos\varepsilon$ et $x = \tan\varphi\sin \varepsilon$ (1)

Projection de la figure précédente sur le plan de l’équateur céleste :

Le cercle (C’) est la projection sur l’équateur de la projection de la trajectoire apparente (C) du soleil. B et l’une des intersections de l’horizon avec cette trajectoire apparente mais comment distinguer le lever du coucher ?

Compte tenu du sens de la progression du soleil sur (C) c’est-à-dire dans le sens rétrograde, il nous faut dire ce qu’est être au dessus de l’horizon céleste ou en dessous de l’horizon céleste.

L’horizon céleste partage la sphère céleste en deux demi espaces, lorsqu’un astre est dans celui qui contient le zénith alors cet astre est au dessus de l’horizon et au dessous dans le cas contraire.

B’I = GO=x Dans le triangle rectangle GOB, on a :

$\cos (\pi -H) =\frac{x}{\cos\varepsilon}$

donc $x =\cos\varepsilon\cos (\pi -H)$ (2)

(1) et (2) impliquent $\cos H =-\tan\varphi\tan\varepsilon$ (3)

L’angle qui nous intéresse vaut 2 H.

Nous allons convertir ces degrés en heure : le soleil accomplit sa trajectoire apparente en 24 h approximativement. Or 24 h correspondent à 360°.

2H en degrés correspondent à un temps en heures $\frac{2H}{15}$

D’où la durée du jour le plus long en heures :

$\frac{2\arccos (-\tan\varphi\tan\varepsilon)}{15}$

Ptolémée parvenait à connaître la latitude d’un lieu en connaissant la durée en ce lieu du jour le plus long, c’est-à-dire dans l’hémisphère nord au solstice d’été.

Pour une déclinaison autre que celle qui correspond au solstice d’été dans l’hémisphère nord, nous ferions le même raisonnement en remplaçant \varepsilon
par \delta

La formule est dans ce cas : $\cos H=-\tan\varphi\tan\delta$ (4)

Inversement la relation (3) permet connaissant la durée d du jour le plus long en heures de déterminer la latitude :

$\varphi=\arctan (\frac{-\cos 7.5d}{\tan\varepsilon})$

Comme le montre le tableau suivant, la méthode n’est valable que pour des latitudes comprises entre certaines limites approximativement égales à -66,55° et 66, 55°. Soit entre -66° 33’ 13’’ et 66°33’ 13’’.
La latitude du cercle polaire arctique est 66° 33’ 46,510 " $\approx$ 66°34’

2) La latitude par le gnomon

Le gnomon est figuré par le segment [MT], M étant le lieu d’observation.

On attend que le soleil soit dans le plan méridien au moment de l’équinoxe où sa déclinaison vaut 0°.

La droite(OM’) est la droite d’intersection du plan équateur et du plan méridien. Le soleil est sur cette droite.

L’ombre de l’obélisque est figurée par le segment [MJ].

Le plan horizontal est figuré en rouge. La droite (OT) est perpendiculaire au plan horizontal donc à toute droite de ce plan et par conséquent (OT) est perpendiculaire à (JM).

La distance qui nous sépare du soleil est tellement grande comparée aux dimensions de la terre que l’on peut considérer les droites (S’T) et (S’O) comme parallèles.

Par J on a trace la parallèle à la droite( O S’).

La latitude est par définition $\widehat{SOM’}=\widehat{JSO}$ comme angles alternes internes.

$\widehat{JSO}=\widehat{JTM}$ angles correspondants puisque les droites (JS) et (JT) sont quasiment parallèles.

D’où en posant $\varphi$ la latitude de M, on a : $\tan\varphi=\frac{JM}{MT}$

Bien que cette méthode soit applicable, Ptolémée a préféré faire le lien entre la latitude et la durée du jour le plus long au solstice d’été. Pour une étude complète avec une déclinaison du soleil quelconque, on pourra se référer à mon article «  Thalès de Milet et Eratosthène revisités par l’astronomie ».

http://revue.sesamath.net/spip.php?article701 et choisir l’onglet Thalès de Milet.

FIN


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