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Droite des douze points. Détermination géométrique du centre du cercle d’Euler.
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Mis en ligne le 25 septembre 2009, par Michel Saad

Voici des propriétés géométriques mises récemment en évidence par Michel Saad. Leur démonstration (en fichier joint à l’article) utilise des notions géométriques un peu oubliées, dont l’élégance et la puissance n’échapperont pas aux lecteurs attentifs.

Données :

Soit ABC un triangle inscrit dans un cercle C de centre O.
On désigne par H son orthocentre,

Par Ω, milieu de [OH], le centre du cercle d’Euler C’ du triangle,
AA1, BB1, CC1 : les trois hauteurs,
A", B", C" : les milieux des segments [AH], [BH], [CH],

A2, B2, C2 : les intersections des trois hauteurs avec le cercle C,
P, Q, R : les intersections des droites (BC, B1C1), (CA, C1A1), (AB, A1B1),
Pʹ, Qʹ, Rʹ : les intersections de (B"C", B1C1), (C"A", C1A1), (A"B", A1B1),
P1, Q1, R1 : les intersections de (B"C1, C"B1), (A"C1, C"A1), (B"A1, A"B1),
P2, Q2, R2 : les intersections de (BC2, CB2), (CA2, AC2), (AB2, BA2),
Pʹ2, Qʹ2, Rʹ2 : les intersections de (BC, B2C2), (CA, C2A2), (AB, A2B2),
D, E, F : les intersections de (B"C", B2C2), (C"A", C2A2), (A"B", A2B2),
I, J, K : les intersections de (B1C", BC2), (C1A", CA2), (A1B", AB2),
Iʹ, Jʹ, Kʹ : les intersections de (C1B", CB2), (A1C", AC2), (B1A", BA2),

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1- Droite des douze points

  1. Les points P, Q, R appartiennent à une droite Δ, axe radical de deux cercles C et C’,
  2. Les 12 points : D, E, F, I, J, K, Iʹ, Jʹ, Kʹ, P, Q, R appartiennent à la même droite Δ appelée «  Droite des douze points  »,
  3. Les points : Pʹ, Qʹ, Rʹ, P1, Q1, R1 appartiennent à une droite D1
  4. Les points P2, Q2, R2, Pʹ2, Qʹ2, Rʹ2 appartiennent à une droite D2,
  5. Les droites D1, D2 et Δ sont parallèles, perpendiculaires à la droite d’Euler,
  6. La droite Δ est équidistante de D1 et de D2,
  7. D2 est l’image de D1 dans l’homothétie de centre H, de rapport 2.

2- Détermination géométrique du centre du cercle d’Euler

  1. Les droites (AP1), (BQ1), (CR1) sont concourantes en Ω, centre du cercle d’Euler C’ du triangle ABC.

Démonstration

Michel SAAD a fait la démonstration par une méthode analytique basée sur les équations des cercles et des droites. Il est possible d’en trouver une autre moins lourde utilisant les nombres complexes, le barycentre ou même une transformation dans le plan comme l’Inversion .

Les lecteurs trouveront en fichiers joints téléchargeables (Word et PDF) la présentation des notions géométriques un peu oubliées qui ont servi à une démonstration simple et élégante des propriétés décrites dans l’article

Figures

En 1990, date de ses trouvailles, l’auteur avait tracé les figures à la main. Actuellement, avec le logiciel Geogebra, il est possible de vérifier ces propriétés en quelques minutes.

Michel SAAD

Professeur retraité de sciences physiques


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  Figure Geogebra n°2   |   (geogebra - 3.6 ko) Figure simple ne faisant apparaître que deux points par droite.
  Figure geogebra n°3   |   (geogebra - 3.8 ko) Figure ne faisant apparaître que deux points par droite, pour un triangle avec un angle obtus.
  Présentation des notions géométriques et démonstration   |   (Word - 771 ko)
  Présentation des notions géométriques et démonstration.   |   (PDF - 563 ko)
  Figure Geogebra n°1   |   (geogebra - 13.8 ko) Figure complète
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