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Sommaire > N°50 - mai 2016 > La réfraction atmosphérique

La réfraction atmosphérique
L’horizon géométrique et l’horizon optique
Moteur de recherche
Mis en ligne le 7 avril 2016, par David Crespil

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À Maria-Flore

1) Introduction

Ce dossier est né de mon envie d’approfondir des notions abordées dans le Mathematice N° 48 consacré à la longitude
En effet dans le paragraphe sur le sextant (onglet /méthode des distances lunaires) se trouvaient les notions de réfraction d’un astre et aussi d’horizon optique ou sensible ou encore visuel lié à la réfraction. Il s’agit pour mesurer la hauteur d’un astre d’abaisser celui-ci sur l’horizon et de procéder ensuite à ce que l’on appelle les corrections de hauteur (collimation, excentricité etc).
Les deux types horizon, l’horizon géométrique et l’horizon optique permettent d’aborder des sujets comme : « Peut-on voir un point B d’un point A ? » et de montrer aussi que sous certaines conditions un arc de cercle et un segment peuvent être confondus.
Ce dossier fait référence à la notion de cône tangent à une sphère et en annexe sera proposée pas à pas une construction de ce cône avec Cabri 3D. On y trouvera aussi une bibliographie et Webographie extrêmement détaillés sur les sujets abordés dans ce dossier.
Le tableur permettra de comparer des formules exactes et approchées.
D’excellents sites seront proposés comme celui d’Alain Origné dont j’ai extrait quelques schémas.
La partie astronomie renvoie à des notions élémentaires de zénith, de hauteur d’un d’astre et de distance zénithale.
Les notions de physique seront aussi très légères avec la loi de Descartes sur la réfraction et la formule de Bouguer essentielles pour modéliser la trajectoire d’un rayon lumineux dans l’atmosphère en supposant la couche atmosphérique homogène d’indice constant.
Les plus courageux essaieront avec les développements limités d’établir la formule simplifiée de Jean-Marie Malherbe (observatoire de Paris ) sur la réfraction des astres et donnée à titre d’information.

Notions de mathématiques ou de compétences abordées :

Construire par un point donné les tangentes à un cercle
Construire le cône tangent à une sphère à partir d’un point donné
Angles alternes internes et correspondants
Théorème de Pythagore
Lignes trigonométriques et inverses
Développements limités
Savoir faire des approximations
Géométrie dans l’espace
Inégalités

Notions de physique abordées

Loi de Descartes
Formule de Bouguer

Notions d’astronomie abordées

Zénith ,hauteur d’un astre, distance zénithale
On pourra se référer à mon dossier Mathematice (bloc : Rappels sur les notions fondamentales d’astronomie).

Logiciel utilisés

Cabri 3D
Tableur

Note importante : pour faire fonctionner les fichiers sous Cabri 3D , télécharger le plugin sur le site : http://www.cabri.com/fr/telecharger...
Utiliser dans ce cas Firefox ou Internet explorer exclusivement.

2) La réfraction atmosphérique

«  La réfraction atmosphérique est un phénomène optique qui consiste en une trajectoire non rectiligne de la lumière à la traversée de l’atmosphère et qui est due à la variation de la densité de l’air avec l’altitude. Pour les objets immergés dans l’atmosphère, le phénomène prend le nom de réfraction terrestre et conduit aux mirages ainsi qu’à des effets de miroitement et d’ondulation pour les objets lointains. En astronomie d’observation la réfraction astronomique conduit à une erreur dans l’évaluation de la position angulaire réelle de l’astre observé [1] : il est vu plus haut dans le ciel qu’il ne l’est réellement. Il faut donc effectuer une correction de hauteur dite de réfraction atmosphérique. » (Wikipédia)

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schéma 1

Voici la trajectoire d’un rayon lumineux dans l’atmosphère :

image02

schéma2

source : http://canigou.allauch.free.fr/ Alain Origné

Une animation avec Cabri JAVA permet de modifier certains paramètres et de suivre la trajectoire d’un rayon lumineux dans l’atmosphère :

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schéma 3

source : http://web.cortial.net/bibliohtml/r... Yves Cortial

Il est utile pour faire fonctionner ce programme de disposer de Cabri 2 plus ou de sa version de démonstration :
http://www.cabri.com/fr/telecharger...
ou de télécharger sur ce même site un Plugin.
Utiliser dans ce cas Firefox ou Internet explorer.
Le plugin vous permet de visualiser et manipuler des figures Cabri II Plus publiées dans des pages web ou des documents Microsoft Office Word, PowerPoint, ...

a ) La loi de Descartes

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schéma 4

$n_{1} sin\theta _{1}=n_{2} sin\theta _{2}$

b) La formule de Bouguer

Si l’indice de réfraction n d’un rayon lumineux qui pénètre dans l’atmosphère terrestre ne dépend que de la distance r au centre, les rayons sont incurvés à la traversée de l’atmosphère selon la loi :
n r sin(i) = constante
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schéma 5

Démonstration :
La loi de Descartes permet d’écrire :

$n_{1} sini_{1} = n_{2}sin\beta$ d’où $sin\beta = \frac{n_{1}}{n_{2}} sini_{1}$
dans le triangle $O I_{1} I_{2}$, on a :

$\frac{r_{2}}{sin\beta } = \frac{r_{1}}{sin(\pi - i_{2})} = \frac {r_{1}}{sin i_{2}}$

D’où $sin\beta = \frac{r_{2}}{r_{1}} sini_{2}$

D’ou $r_{1} n_{1} sin i_{1} = r_{2} n_{2} sin i_{2}$

Voir l’animation consacrée à la formule de Bouguer :

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schéma 3 bis

source : Yves Cortial, http://web.cortial.net/bibliohtml/f...

3) La réfraction astronomique

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schéma 6

Calcul de la différence des distances zénithales entre l’astre réel et l’astre réfracté.

schéma dans le plan vertical de l’astre
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schéma 7

Les droites (eA) et (Te) sont parallèles du fait que la distance TA est très petite devant la distance qui nous sépare des astres.
Évidemment, il n’en est rien sur le schéma.

Le vertical de l’astre est le plan passant par l’astre et perpendiculaire au plan horizontal passant par A, en blanc sur le schéma.

Par suite de la réfraction atmosphérique, l’étoile e est vue en e’ dans le vertical de l’astre. Tout ce qui est en jaune , point ou dénomination se réfère au vertical de l’astre. Pour la suite , il faudra lire la démonstration en se référant toujours au plan vertical.

A est un point situé à la verticale du point M de la terre.

La normale en vert est la normale à la couche sphérique au point T, point de pénétration dans l’atmosphère. du rayon émanant de l’astre. Cette couche et supposée homogène donc d’indice invariable n.

Dans le schéma 6 la distance zénithale, c’est-à-dire le complément de la hauteur de l’astre est l’angle $\widehat{e’AZ}$ pour l’étoile e’ et $\widehat{eAZ}$ pour l’astre réel e. Posons $\widehat{e’AZ} = \alpha $

Le rayon lumineux (schéma 9) provenant de l’astre passe du vide ayant pour indice 1 au milieu atmosphérique que nous supposerons d’un indice homogène n. L’atmosphère est supposée représentée par la sphère 2 en pointillés vert. La normale en T en vert est la normale au plan tangent (en rouge) à cette sphère 2 , c’est-à-dire la droite (OT) ou O désigne le centre de la sphère terrestre 1 en marron.

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schéma 8

Soit T le point du plan vertical de l’astre délimitant la couche sphérique atmosphérique de centre O centre de la terre (schéma 6,7,8 ).
$\vartheta $ = angle d’incidence du rayon [eT) par rapport à la normale en vert.
$\phi = \widehat{OTA}$ l’angle du rayon réfléchi [TA).

Alors la différence des mesures zénithales entre l’astre e et l’astre réfracté e’ est donnée par :

$D = \vartheta - \varphi = arcsin\left [ n R\frac{sin\alpha }{\left ( R+h \right )} \right ]-arcsin\left [ R\frac{sin\alpha }{\left ( R+h \right )} \right ]$

Démonstration :
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schéma 9

Les droites (eA) et (Te) sont parallèles du fait que la distance TA est très petite devant la distance qui nous sépare des astres.

La différence des distances zénithales est l’angle $\widehat{TAe}$.
Les angles correspondants $\widehat{e’Ae}$ et $\widehat{e’Te}$ sont égaux.

$\widehat{GTA}$ et $\widehat{e’Te}$ sont égaux car opposés par le sommet.

La différence des distances zénithales est $D = \widehat{eAz} - \widehat{e’AZ} = \widehat{e’Ae}$

Donc $D = \widehat{e’Te} = \widehat{eTG } - \widehat{e’TG} = \vartheta - \varphi$

Donc la différence des mesures zénithales est $D = \vartheta - \varphi$
D’après la loi de Descartes : $sin\vartheta = n sin\varphi$

D’après la formule de Bouguer , en appelant h la distance du point T au centre de la terre et R le rayon terrestre, on a :
$(R+h) sin\vartheta = n R sin\alpha$

$D = \vartheta - \varphi = arcsin\left [ n R\frac{sin\alpha }{\left ( R+h \right )} \right ]-arcsin\left [ R\frac{sin\alpha }{\left ( R+h \right )} \right ]$

Cette formule est approximative.
Jean-Marie Malherbe (observatoire de Paris ) propose la formule simplifiée suivante grâce aux développements limités et compte tenu de ce que h est très petit devant R :

$D \approx \frac{(n-1)Rsin\alpha }{\left [ (R+h)^{2}-R^{2}sin^{2}\alpha \right ]^{\frac{1}{2}}}$

On peut constater que la formule approchée est plutôt bonne et que plus on s’approche de l’horizon plus la réfraction est importante.
h ≈ 10 km
R ≈ 6380 km
n ≈ 1,0003

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schéma 9 bis

« Le fait de voir le Soleil à l’horizon sous une forme oblongue, légèrement aplatie, est un autre effet de la réfraction atmosphérique, observable également pour la Lune [2].
La réfraction atmosphérique est beaucoup plus importante pour des objets proches de l’horizon que pour des objets plus près du zénith. Ainsi pour en limiter les effets, les astronomes programment autant que possible leurs observations d’objet au point culminant de leur trajectoire dans le ciel. De la même façon, pour se guider, les marins ne visent pas les étoiles proches de l’horizon, mais uniquement des étoiles au moins 20° au-dessus. La réfraction atmosphérique dépend également de la pression atmosphérique et de la température
 » (Wikipedia )

Voir le site remarquable d’Alain Origné : http://canigou.allauch.free.fr/Tabl...

4) L’horizon géométrique

Dans toute la suite , on confondra la longueur d’un arc avec l’arc ensemble de points, le contexte permettant de lever l’ambigüité.

a) distance maximale de vision pour un observateur

D’un point A, on peut observer tous les points de la calotte sphérique délimitée par le cercle horizon en bleu, intersection de la sphère et d’un cône.

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schéma 10

A est situé sur la verticale de M appartenant à la sphère terrestre.

Avec la réfraction atmosphérique, il va être possible de voir plus loin que ce qu’autorise le cercle horizon mais alors les objets vus seront des images d’objets réels. On abordera dans le paragraphe suivant la notion d’horizon optique, ou visuel ou encore sensible dû à la réfraction atmosphérique.

Calculons la distance D = AB à laquelle on peut voir :

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schéma 11 extrait du schéma spatial 10

Une propriété de cône tangent à la sphère est que toutes les génératrices sont perpendiculaires au rayon de la sphère au point de contact.
Posons AM =h, et R le rayon terrestre =6371 km
D’après le théorème de Pythagore $OA^{2} =AB^{2} +OB^{2}$
$(R+h)^{2} =D^{2} +R^{2}$
$R^{2} +2Rh +h^{2} = D^{2}+R^{2}$ donc $h(2R+h)=D^{2}$
Or h est très petit par rapport au diamètre de la terre.

Donc $2Rh ≈ D^{2}$ d’où $D ≈ \sqrt{2Rh}$

b) Voir un point B d’un point A

Nous ne tiendrons pas compte de la réfraction atmosphérique.
image14

schéma 12

Les cercles $C_{1}$ et $C_{2}$ sont les cercles horizons
N et M sont deux points de la terre et A et B deux points situés sur les droites (OM ) et (ON), O désignant le centre de la terre.

Le cercle en bleu est le grand cercle de la sphère passant par N et M.
D’un point A, on peut voir le point B si B est à une hauteur telle que la droite(AB) ne soit pas sécante à la sphère c’est à dire si elle est tangente à la sphère ou extérieure à la sphère.

Si (AB) est tangente à la sphère alors (AB) est confondue avec la tangente issue de A au cercle bleu et avec la tangente issue de B au cercle bleu.

Les deux cercles horizons sont alors tangents.

Faire la manipulation avec le fichier Cabri ci-dessous :

Cabri géomètre 3 - 53 ko
De A on peut voir B

image15

schéma13

Considérons alors le schéma 13 avec la sphère masquée :

image16

schéma 14 extrait de la figure spatiale 13

Les triangles BCO et COA sont rectangles en C car (BC) et(CA) sont des tangentes en C au cercle bleu , grand cercle de la sphère passant par A et B. On peut donc leur appliquer le théorème de Pythagore :
Posons BN =h et AM=t. On applique le résultat vu en a :
On alors $BC^{2} ≈ 2Rh$ et $AC^{2} ≈ 2Rt$

Exercice
Montrer que le relief d’une côte, d’une île, ou la mâture d’un bateau d’une hauteur H apparaîtra à l’horizon d’un observateur situé à une hauteur h, à la distance $\sqrt{2R} (\sqrt{h} + \sqrt{H} )$ qui est sensiblement la distance orthodromique entre les deux points d’après ce qui vient d’être dit.

Exemple (il n’est pas tenu compte de la réfraction atmosphérique).
Le Mont Cinto (altitude : t = 2 710 m) est situé à D= 205 km de Cagnes-sur-Mer.
À quelle altitude h doit être mon œil pour voir le sommet en vision directe ?
$BC^{2} = 2 x 6 378 x 2,71$
$BC= 185,926 km$
$AC = 205 km – 185,9 km = 19,1 km$
$t = \frac{19,1^{2}}{(2 \times 6 378)}$
$t=28,52 m$

Exercice

On donne la distance à vole d’oiseau D, la hauteur t et le rayon de la terre R. On ne tient pas compte de la réfraction.

Montrer alors que la distance minimum h pour être vu est :

$h = \frac{((D-√2Rt)^{2})}{2R} $

Le tableur permet d’obtenir rapidement cette distance :

Voir le fichier Excel :

Excel - 11.7 ko
Distance minimum 1

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c) Une mise au point sur les différents type de distance.

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schéma 15 bis source : IGN

La distance orthodromique est sensiblement égale à 5,8 km soit 5800 m. On pourra utiliser l’annexe b et c pour effectuer le calcul.
Dans un énoncé, il faut toujours savoir de quelle type de distance on parle.

d) Comparaison d’un arc de cercle à la tangente

Nous allons à présent comparer la longueur de l’arc de cercle $\overset{\frown}{GT}$ à la longueur du segment [BT] porté par la tangente en T au cercle de centre O.

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schéma 16

Posons $x=BT$ et $y= \overset{\frown}{GT}$ et $α = \widehat{GOT}$
nous savons d’après a que : $x^{2} =2Rh$
Par ailleurs dans le triangle rectangle BTO : $tan α = \frac{x}{R}$
Or $y = Rα$ avec $α$ en radians donc
$R^{2} tan^{2} α =2Rh$
$tan^{2} α = \frac{2h}{R}$
$tan α =\sqrt{\frac{2h}{R}}$
$α =Arctan( \sqrt{\frac{2h}{R}} )$
On a donc $y = R Arctan( \sqrt{\frac{2h}{R}})$ et $x ≈ \sqrt{2Rh}$

Cependant, nous pouvons approximer Arctan(x) par x au voisinage de 0 soit en utilisant les développements limités soit en recourant à l’argument suivant qui ne constitue pas bien sûr une démonstration :

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schéma 17

Nous avons représenté la fonction f définie par f(x) =Arctan(x) et la fonction g définie par g(x) = x

et l’ont peut alors écrire : f(x) ≈ x au voisinage de 0.
on a alors :
$y = R Arctan \left ( \sqrt{\frac{2h}{R}} \right )\approx R \sqrt{\frac{2h}{R}}$ car $\frac{h}{R} ≈ 0$
D’où $y ≈ \sqrt{2Rh}$

Il est donc légitime pour h suffisamment petit par rapport au rayon de la terre de considérer que l’arc a sensiblement la même longueur que la tangente.
Rappel : le développement limité de Arc tan est :

$Arctan(x) = x + \frac{x^{3}}{3} +⋯+⋯+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + O(x^{2n+3})$

Faisons à présent une étude comparative avec un tableur :
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A 1 km de hauteur, on commet une erreur de 12 m environ.
Donc pour des hauteurs « raisonnables », la distance AB du schéma 14 peut être confondue avec la route orthodromique de A à B , c’est à dire avec l’arc de cercle correspondant.

e) Condition de perception d’un point B par un point A

Il y aura plusieurs cas à distinguer :

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schéma 18

Ce qui correspond au schéma plan suivant tiré du fichier Géoplan :

Geoplan - 1.5 ko

image23

schéma 19

On suppose d’abord pour les 3 cas suivants que : $D \in \overset{\frown}{NM}$
Cas 1 : B ne peut être vu de A et $C \in \overset{\frown}{ND}$ (schéma 17)
De B est issue la tangente (BC) et de A la tangente (AD).
Nous allons monter dans ce cas que longueur $BC+ AD < \overset{\frown}{MN}$
Posons $a = \widehat{BOC}$ , $b = \widehat{COD}$ , $c = \widehat{DOA}$ valeurs exprimées en radians.
Alors longueur $\overset{\frown}{MN} = R(a+b+c)$ , $ BC= R sina$ et $AD = R sinc$
Or $sinx < x$ donc $sina < a$ et $sinc < c$
D’où $sinc +sina < a+c$ et donc $sinc +sina < a+c+b$
$R( sina +sinc) < R(a+c+b)$ donc $BC+AD < longueur \overset{\frown}{MN}$

C’est la situation du schéma 12 dans laquelle les cercles horizons n’ont aucun point de contact.
On a donc $BC+AD < longueur \overset{\frown}{MN}$
Pour $sinx < x$ et bien que ce ne soit pas une démonstration, le graphique en donne une approche.

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schéma 20

Démonstration
Soit f la fonction x → x − sin(x), définie sur $\mathbb{R}$. Elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ (somme de fonctions dérivables), de dérivée f (x) = 1 − cos(x). En particulier, f’(x) ≥ 0 donc la fonction f est croissante. Comme f(0) = 0, on en déduit f(x) ≥ f(0) = 0 pour tout x ≥ 0.

Cas 2  : B peut être vu de A et $C \in \overset{\frown}{DM}$

Ce qui correspond au schéma spatial

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schéma 21

Dans ce cas longueur $\overset{\frown}{MN} > BC+ AD$
En effet :
longueur $\overset{\frown}{MD} < AD$ d’après le sous paragraphe d du paragraphe 3.
$BC > \overset{\frown}{CN}$ , $AD > \overset{\frown}{DM}$
Donc $BC + AD > \overset{\frown}{CN} + \overset{\frown}{DM} > \overset{\frown}{MN}$

Cas 3  : $C \notin \overset{\frown}{MN}$
$AD > \overset{\frown}{DM}$ et $BC > \overset{\frown}{CN}$
d’où $AD+ BC > \overset{\frown}{DM} + \overset{\frown}{CN}$
Or $ \overset{\frown}{DM} + \overset{\frown}{CN} > \overset{\frown}{MN}$ donc $AD +BC > \overset{\frown}{MN}$

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schéma 22

Il faudrait continuer d’examiner tous les cas de figure avec le fichier Geoplan intitulé les cas :

$D \notin \overset{\frown}{MN}$ et $C \in \overset{\frown}{NM}$
$D \notin \overset{\frown}{MN}$ et $C \notin \overset{\frown}{NM}$

On en arrive alors à la conclusion :

Pas de visibilité si et seulement si $BC+AD < longueur \overset{\frown}{MN}$
Visibilité si et seulement si $BC+AD ≥ longueur \overset{\frown}{MN}$

5) L’horizon optique

a) formule de la dépression de l’horizon

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schéma 23

Le cercle en noir est le cercle qui correspond à la distance maximale de vision à partir de A, sous l’effet de la réfraction. Il ne s’agit pas du cercle horizon (C) en bleu que l’on obtiendrait sans la réfraction.

Considérons le point a et appelons r l’angle de réfraction. Soit la normale au vertical de a passant par A , c’est-à-dire le plan passant par a et A et perpendiculaire au plan horizontal passant par A. (en violet sur le schéma 23) Appelons (P) ce vertical.

La réfraction élève un astre comme un point sur terre toujours dans le vertical de l’astre ou du point autrement dit les azimuts de l’astre réfracté ou du point réfracté sont inchangés.

Soit (d) la droite perpendiculaire à(P), la rotation d’axe (D et d’angle r relève a en a’.

Recommençons avec b, on obtient b’ etc.

Les points a’, b’ etc appartiennent à un cercle que l’on appelle l’horizon optique qui est contenu dans un plan parallèle au plan horizontal passant par A.

schéma 24

Ce cercle maximal sera mis en évidence dans le paragraphe qui lui est consacré en annexe grâce au fichier Cabri 3d intitulé le maximal.

La dépression D de l’horizon est l’angle du plan horizontal passant par l’observateur avec une génératrice issue de A du cône vert par exemple (Ab’) ou bien encore si l’on appelle (Az) l’intersection du plan horizontal passant par A avec le plan méridien de M l’angle $\widehat{zAa’}$ , le point a du plan méridien étant vu dans la direction(Aa’).

Cette dépression est donnée par la formule : $\sqrt{\frac{1,68h}{R}}$
avec D en radians , h en km hauteur du point A et R= 6370 km
Nos donnerons au paragraphe suivant une démonstration d’une formule approchée de cette dépression.

En degrés : $\frac{180}{\pi } \sqrt{\frac{1,68 h}{R}}$

Remarque : nous avons vu ainsi la notion d’horizon géométrique, la notion d’horizon optique et le cercle que j’appellerai « le maximal » et correspondant à la distance maximale de vision sous l’effet de la réfraction (c’est le cercle en noir du schéma 17).

Sous certaines conditions et c’est l’objet du paragraphe qui suit, la réfraction permet de voir des objets ou plutôt leurs images.

La Corse vue du cap d’Antibes grâce à la réfraction atmosphérique, source : http://emmanuel.varoquaux.free.fr/corse/

Voir le calcul détaillé en annexe b et c.


b ) Calcul approximatif de la dépression.

Observons le schéma suivant :

image30

schéma 26

Nous savons que les rayons lumineux suivent une trajectoire courbe et que le point C du cercle horizon parviendra à notre œil suivant la tangente en B à cette trajectoire.

Plus on se rapproche de la mer et plus cette trajectoire devient rectiligne, de sorte que le point C nous paraîtra provenir d’un point situé sur la tangente issue de B à la sphère terre, c’est à dire la droite (BC).

Considérons alors le schéma suivant :
image31

schéma 26 bis

Légende du schéma 26

En rose, l’horizon géométrique.

A un point de la sphère terrestre , B un point à la verticale de A.

Le vertical de A est le plan méridien ou encore le plan passant par A et perpendiculaire au plan horizontal. C’est le plan à bord bleu.

Le plan à bord marron est le plan horizontal passant par B.

Le cercle en bleu est le méridien de A donc contenu dans le vertical de A.
(AD) est la tangente en A au cercle méridien.

La droite (BE) est l’une des tangentes issues de B au cercle méridien en bleu : le point de contact est C.

La droite (BP) est l’intersection du plan horizontal avec le plan vertical.
E un point sur cett tangente, direction dans laquelle est vue le point C.

La droite (AD) est la tangente en a au cercle méridien en vert.
m est le point d’intersection de (AD) avec (BE).

O le centre de la terre.

Propriété : dépression ≈ $\sqrt{\frac{2 h}{R}}$

Démonstration

Le plan horizontal passant par B et le plan horizontal passant par A intersectent le plan vertical selon deux droites parallèles (AD) et (BP).

Par définition la dépression est égale à $\widehat{PBC}$
Or $\widehat{PBC} = \widehat{DmC}$ (angles correspondants)
$\widehat{BmA} = \widehat{DmC}$ car ce sont des angles opposés par le sommet.

Considérons alors les triangles rectangles OAC1 et ABM.

$\widehat{BmA}$ a pour complémentaire $\widehat{ABm}$ et $\widehat{BOC}$ a aussi pour complémentaire $\widehat{ABm}$. Donc $\widehat{BmA} = \widehat{BOC}$
Il en résulte que la dépression est égale à $\widehat{BOC_{1}}$ . Posons $Dep = \widehat{BOC}$

On a cos $\widehat{BOC} = \frac{R}{R+h} = \frac{R}{1 + \frac{h}{R}}$

Utilisons les développements limités suivants :
$\frac{1}{1+x} ≈ 1 - x$ et $cos x ≈ 1 - \frac{x^{2}}{2}$
D’où $1 - \frac{Dep^{2}}{2} ≈ 1 - \frac{h}{R}$
D’où $Dep ≈ \sqrt{\frac{2 h}{R}}$

Cette formule est voisine de $D ≈ \sqrt{\frac{1,68 h}{R}}$ annoncée au paragraphe 5 intitulé l’horizon optique.

c) Voir un point B d’un point A en tenant compte de la réfraction

Nous allons reprendre le problème du b du paragraphe horizon géométrique mais en nous servant non plus de l’horizon géométrique mais du maximal.

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schéma 27

Nous allons raisonner sur le maximal de A (en rouge) et le maximal de B (en bleu) :

image34

schéma 28

Masquons la sphère, on obtient :

image35

schéma 29

Nous allons élever B pour que les deux tangentes coïncident comme dans le cas de l’horizon géométrique : les cercles horizons sont simplement remplacés par les cercles maximaux.

On obtient alors :

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schéma 30

Masquons la sphère, on obtient :

image37

schéma 31

On peut donc leur appliquer le théorème de Pythagore :

Posons BN =h et AM=t. On applique le résultat vu en a :

On alors BC² ≈ 2Rh AC² ≈ 2Rt

La seule différence avec les horizons géométriques est que l’on voit plus loin de A et de B.

Comme pour les horizons géométriques, on peut énoncer :

Pas de visibilité si seulement si $BC + AD < longueur \overset{\frown}{MN}$
Visibilité si et seulement si $BC + AD ≥ longueur \overset{\frown}{MN}$

Dans le cas ou l’on tient compte de la réfraction, BC désigne la distance maximale de vision à partir du point B et AD la distance maximale de vision à partir du point A.

Considérons les schémas suivants tirés du site d’Alain Origné :
http://canigou.allauch.free.fr/Expl...

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schéma 32 - source : http://canigou.allauch.free.fr/ Alain Origné

188,9km + 62,8km = 251,7km
Donc d’après le b du paragraphe horizon géométrique , il n’est pas possible d’Allauch de voir le Canigou mais …

image39

schéma 33 - source : http://canigou.allauch.free.fr/ Alain Origné

207,1km + 69,1km = 276,2km

distance supérieure ou égale à 263,1km qui est la distance à vol d’oiseau, c’est à dire la distance orthodromique.
Donc , ce qui n’était pas possible sans la réfraction atmosphérique le devient dans le cadre de l’horizon optique.

Exercice

Justifier à l’aide des formules et du schéma 25 les données du schéma 26.

d) Abaissement d’un astre avec le sextant

Nous avions vu dans le dossier longitude le schéma suivant concernant la mesure de la hauteur d’un astre avec le sextant :

image40

schéma 34

Par la réfraction l’astre A se trouve relevé en A’ et l’on doit abaisser l’astre avec le sextant sur l’horizon optique qui se trouve vu alors dans la direction de la demi-droite rouge.

Cette image peut aussi être comprise si l’on se réfère à la situation spatiale suivante :
image41

schéma 35

L’astre apparent e est abaissé sur l’horizon optique en e’.
L’astre réel a été relevé par la réfraction en l’astre apparent.
Le balancement du sextant sert à vérifier que le sextant est bien vertical.

image42

http://www.techno-science.net/illustration/Definition/inconnu/u/Using-the-sextant-edit1.gif

6 ) Annexes

a) Le Monte Cinto est-il visible du cap d’Antibes ?

étape 1

Obtenir les coordonnées d’un lieu et son altitude afin de calculer la distance orthodromique et la distance de visibilité.
http://www.coordonnees-gps.fr/

schema 43

schéma 43

Monte Cinto (Corse)
En degrés décimaux
Longitude : 8,94° Nord - Latitude : 42,379456° Est
Altitude 2652 m
Faisons la même opération pour le cap d’Antibes :

schema 44

schéma 44

Cap d’Antibes
En degrés décimaux
Longitude 8,945891999999958° Nord - Latitude 42,379456° Est
Altitude 1m

Distance maximale de visibilité : On a la formule admise
$D \approx 3,91\sqrt{h}$ h altitude en m et D en km.
Donc
D maximale Monte Cinto ≈ 201,35 km
D maximale Antibes ≈ 3,91 km

Nous allons calculer à présent la distance orthodromique entre le Monte Cinto et le cap d’Antibes.

D maximale Antibes + D maximale Monte Cinto ≈ 205 km

étape 2 : calcul de la distance orthodromique
Le site suivant permettra en rentant les coordonnées des lieux( en degrés décimaux ) de fournir la distance orthodromique en miles

schema 45

schéma 45 - http://www.icarai.fr/tips/fr/ortho.php

D’où distance orthodromique en km ≈ 106,37 x 1,852 ≈ 199 km
Comme D Antibes + D Monte Cinto > 199 km, le paragraphe 4c permet d’affirmer que le Mont Cinto est visible depuis le cap d’Antibes grâce à la réfraction.

On peut aussi obtenir cette distance avec l’outil règle de Google Map.

schema 46

schéma 46

Posons-nous la question de savoir si sans la réfraction, nous aurions pu voir le Monte Cinto du cap Antibes du fait de la rotondité de la terre.
Nous allons dance cas appliquer la formule du paragraphe 3a.
$D \approx 3,57\sqrt{h}$ qui correspond à la distance maximale de visibilité sans la réfraction :

D cap d’Antibes ≈ 3,57 km
D Monte Cinto ≈ 183,85 km

D Antibes + D Monte Cinto ≈ 187,41 km
distance orthodromique en km ≈ 199 km
Comme D Antibes + D Monte Cinto < distance orthodromique , le Monte Cinto n’est pas visible du cap d’Antibes en vertu du paragraphe 3e.

b) Mise en évidence du maximal d’un lieu

Cabri géomètre 3 - 22.9 ko
Le maximal

Le point T a subi l’effet de la réfraction et se trouve élevé en S.
Du point A, on peut voir le point S dés lors que le segment [AS] ne disparaît pas sous la sphère lorsque l’on déplace le point T le long du cercle rouge méridien de M. On observera alors que le segment [AS] est toujours visible si le cercle noir occupe une position bien définie que j’ai appelée le « maximal de A ». Ce maximal va dépendre de l’altitude h de l’observateur.

schema 47

schéma 47

Après déplacement du point T le long du méridien, c’est-à-dire du cercle rouge, on obtient le maximal.
Si à partir de cette position du cercle noir, on déplace le point T vers le sud alors le segment [AS] se brise.

schema 48

schéma 48

La position du cercle en noir correspond au fait que la droite(AS) est une tangente issue de A à la sphère ce qui signifie qu’elle est une génératrice du cône issue de A et s’appuyant sur l’horizon géométrique. De sorte que l’on le schéma suivant :

schema 49

schéma49

On a la formule approximative suivante admise pour la distance maximale de vision avec la réfraction en journée c’est-à-dire la distance Aa.

$D \approx 3,91\sqrt{h}$ h altitude en m et D en km.

c) Bibliographie, webographie, filmographie

Bibliographie

-  Astronomie générale de Danjon (ardu)
Éditeur : Albert Blanchard
Un chapitre extrêmement difficile est consacré à la réfraction.

Webographie

- Étude mathématique de la réfraction
http://www.lesia.obspm.fr/perso/jean-marie-malherbe/cours/opt-atm.pdf

- Réfraction et astronomie
Cette étude remarquable est de Patrick ROCHER, de l’observatoire de Paris.
http://www.imcce.fr/newsletter/docs/Canigou_NDG.pdf (difficile mais très rigoureux).

- Physique de la réfraction
http://www.odpf.org/images/archives_docs/16eme/memoires/gr-20/memoire.pdf
http://canigou.allauch.free.fr/Explications.htm : site remarquable
http://www.saint-barthelemy.pyreneus.fr/refract/calculs/calculs.html
https://sites.google.com/site/miragesetrefraction/
http://users.polytech.unice.fr/~leroux/VoirlaCorsedepuislesAlpesMaritimes3.htm
http://sciences-chouvin.jimdo.com/2nde/l-univers/chapitre-3-r%C3%A9fraction-et-dispersion-dans-l-atmosph%C3%A8re/
http://www.lesia.obspm.fr/perso/jean-marie-malherbe/cours/opt-atm.pdf

- La dépression de l’horizon
http://www.ac-nice.fr/massena/navigationastro/resources/Note-3-depression-horizon.pdf
http://canigou.allauch.free.fr/Explications.htm : site remarquable
http://villemin.gerard.free.fr/aScience/Physique/OPTIQUE/Horizon.htm
http://www-rohan.sdsu.edu/~aty/explain/atmos_refr/dip.html
http://www.astrosurf.com/canigou/calculs.htm
http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/La_calculatrice_ce_bon_objet.pdf

- Le sextant
http://www.techno-science.net/illustration/Definition/inconnu/u/Using-the-sextant-edit1.gif
http://dept.navigation.enmm.free.fr/correction_hauteurs.swf

- Optique géométrique
http://olivier.granier.free.fr/cariboost_files/lois-fond.pdf

- Animation
http://ww2.ac-poitiers.fr/math_sp/IMG/swf/baseOptique.swf
http://www.ostralo.net/3_animations/swf/descartes.swf

- Photos
http://emmanuel.varoquaux.free.fr/

- Filmographie
https://www.youtube.com/watch?v=H4UkRkrl4rU


notes

[1J.P. Pérez, Optique. Fondements et applications, Masson, Paris, 1996, pages 171-172.

[2L’aplatissement du Soleil et de la Lune, à l’horizon est de l’ordre de 1/5, d’après Philippe de La Cotardière, dictionnaire de l’astronomie, Paris, Larousse,‎ 1996 (ISBN 2-03-720238-5), p. 336

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