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Mesure de l’obliquité de l’écliptique par Pythéas
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Mis en ligne le 28 février 2018, par David Crespil
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Cette aquarelle de Jean-Marie Gassend figure dans ce dossier avec son aimable autorisation.

Article mis sous spip par Angelo Laplace.

Table des matières

Pour un retour direct à la table des matières, cliquer sur ce symbole :
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Notions utilisées


Astronomie

  • Notion de verticalité et d’horizontalité
  • L’arpentage
  • Notion de méridienne
  • La latitude méridienne
  • Solstice
  • Les éphémérides du soleil


Mathématiques

  • Les fractions continues
  • Angles à côtés perpendiculaires



Pythéas est un explorateur grec originaire de Massalia, l’antique Marseille. Considéré comme l’un des plus anciens explorateurs scientifiques ayant laissé une trace dans l’Histoire, il a effectué un voyage dans les mers du Nord de l’Europe. Il est le plus ancien auteur de l’Antiquité à avoir décrit, notamment, les phénomènes polaires, les marées ainsi que le mode de vie des populations de la Grande-Bretagne et des peuples germaniques des rives de la mer du Nord, voire de la mer Baltique.

Contributions en astronomie :

  • Il contribue à apporter la preuve de la sphéricité de la Terre, qui à son époque passe du statut d’hypothèse à celui de connaissance scientifique.
  • Le calcul de l’obliquité de l’écliptique, l’inclinaison de l’axe de rotation de la Terre par rapport au plan de l’écliptique, même si pour les Grecs l’héliocentrisme reste une notion évoquée mais non acquise.
  • Ses mesures de latitude, faites à l’aide d’un gnomon, sont d’une précision étonnante pour l’époque.
  • Aujourd’hui, vingt-trois siècles plus tard, la latitude de Marseille est établie à 43° 18’, à peine 5’ de la valeur calculée par Pythéas, 43° 13′ (en tenant compte de l’inclinaison de l’axe de la Terre à son époque).
  • La description du phénomène des marées, inconnu des Méditerranéens, et le synchronisme des marées avec les phases de la Lune, ainsi que l’influence des équinoxes sur leur amplitude. Si leur synchronisme peut lui avoir été décrit par les peuples rencontrés, il y ajoute sa connaissance astronomique pour en donner une description précise.


0) Introduction

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Selon Ptolémée, ce fut Eratosthène (v. 276 - v.194 av. J.-C) qui fut le premier à démontrer l’inclinaison de l’écliptique sur l’équateur. Il établit sa valeur à 23°51’. Mais Pythéas avait déjà effectué ces calculs presque un siècle avant.
Nous nous proposons dans cet article de montrer la méthode suive par Pythéas pour mesurer l’obliquité de l’écliptique.

Jacques Laskar de l’institut de mécanique céleste (IMCCE) a montré que la lune stabilisait l’obliquité de l’écliptique entre certaines valeurs permettant ainsi aux saisons de ne pas connaître des variations chaotiques.
Nous détaillerons la méthode par approximations utilisée pour affiner la mesure de l’angle d’obliquité avec un clin d’œil aux fractions continues.
Un peu d’astronomie sera utile pour comprendre la méthode de la latitude méridienne correspondant au passage du soleil au méridien, fondement de la démarche suivie par Pythéas.

Nous dirons quelques mots sur la détermination des solstices et des équinoxes et les éphémérides de l’institut de mécanique céleste (IMCCE) nous permettront de donner de plus amples précisions sur les calculs inhérents à la démarche proposée.

Danjon nous dit à propos de l’obliquité de l’écliptique :
« On a cru pendant longtemps que la latitude céleste des étoiles ainsi que l’obliquité de l’écliptique étaient invariables, et l’on en concluait à la fixité absolue de l’écliptique. C’est au dix-septième siècle que l’on a commencé à douter de l’invariabilité de l’obliquité ; les mesures de cet angle faites depuis l’Antiquité mettaient alors en évidence une diminution lente de sa valeur. Cependant, dans ses éléments d’astronomie, Cassini II se demanda encore si l’on ne doit pas attribuer ces différences au peu d’exactitude des observations anciennes.
Mais quelques années plus tard, Euler démontrait, en développant la théorie des perturbations exercées par les planètes sur le mouvement de translation de la terre, que le plan de l’écliptique était mobile, et qu’en conséquence, l’obliquité décroissait lentement, de 46" par siècle environ, comme on peut le vérifier des déterminations ci-dessous :

Al Battani (vers 880) : 23° 35’

Tycho Brahe (1590) : 23° 30’

Bradley (1750) : 23° 28,3’

……………………………………………

(1950) : 23° 26,7’

Les valeurs admises par Eratosthène, Hipparque, Ptolémée, voisines de 23° 50’, étaient trop fortes d’une dizaine de minutes. »


1) Les fractions continues

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On appelle fraction continue une expression de la forme :

$a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2 +\frac{1}{a_3+\frac{1}{a_4+\frac{1}{a_5+...}}}}}$


Théorème : Tout nombre réel positif b a une écriture unique comme fraction continue.


On utilise une notation plus compacte, on écrit simplement :$[a_0 ;a_1 ;a_2 ;a_3 ;....]$

Ainsi :

$\pi \approx$ [3 ;7 ;15] = $\frac{333}{106}$ = 3,14150943396226

$\pi \approx$ [3 ;7 ;15 ;1] = $\frac{355}{113}$ = 3,14159292035398

$\pi \approx$ [3 ;7 ;15 ;1 ;292] = $\frac{103993}{33102}$ = 3,14159265301190

L’écriture décimale fournit elle aussi des approximations rationnelles de $\pi$, par exemple quand on écrit que $\pi$ est égal à 3,1415, on écrit en fait que :

$\pi \approx \frac{31415}{10000}$

Le développement en fraction continue suivant est celui du célèbre nombre d’or :

$\phi$ = [1 ;1 ;1 ;1 ;1 ;1 ;1 ;1 ;1 ;1 ;1 ;1 ;....]

Il existe notamment 2 sites pour obtenir le développement en fractions continues d’un nombre :
- https://www.dcode.fr/fractions-continues
pour 37/45, on obtient :

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- ou http://jean-paul.davalan.pagesperso... qui fournit :

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2) Les instruments des arpenteurs

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a) Le chorobate


Le chorobate était destiné à vérifier l’horizontalité.

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b) La groma
La groma ou gruma (par déformation de l’étrusque (gn/gr), du mot grec gnomon(γνωμων) signifiant « équerre ») était l’appareil de levée essentiel des agrimenseurs de l’ancienne Rome. C’est un lointain ancêtre de l’équerrette des géomètres du XIXe siècle.

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C’était une perche verticale supportant à son extrémité supérieure un croisillon monté sur un tourillon : le croisillon pouvait ainsi tourner dans le plan horizontal. Chaque bras du croisillon supportait à son extrémité un fil à plomb.
La groma servait à vérifier les alignements et la correction des directions perpendiculaires dans les rites du bornage étrusque de fondation des villes1, puis dans les nombreux apports des Étrusques aux Romains.


3) Détermination de la méridienne


a) Méthode des cercles indiens

La méthode ancestrale, connue dès l’Antiquité, est la méthode des « cercles indiens »15 ou méthode des ombres solaires égales.
Dans le plan horizontal de la future ligne méridienne, pointer au sol quatre à cinq extrémités de l’ombre du gnomon avant midi - entre 9 h et 10 h par exemple - puis tracer des cercles centrés sur le pied du gnomon et passant par les points repérés. L’après-midi, pointer sur ces différents cercles les passages successifs de l’extrémité de l’ombre du gnomon. Joindre les points situés sur un même cercle (ombres solaires égales), ceci pour tous les cercles et tracer les médiatrices des segments obtenus (qui par définition passent par le pied du gnomon). Les médiatrices doivent être confondues : elles matérialisent la ligne méridienne.

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La méthode n’est rigoureusement exacte qu’aux solstices où la déclinaison du Soleil est pratiquement constante. On soulignera aussi que les ombres solaires égales correspondent à des hauteurs égales du Soleil.

b) La méthode des 3 points d’ombre

  • Le principe consiste à relever 3 points d’ombre pendant une même journée à l’aide d’un gnomon ;
  • Les heures de relevé ne sont pas connues ;
  • La latitude est inconnue ;
  • La déclinaison du soleil est inconnue ;
  • La variation de la déclinaison du soleil et la réfraction atmosphérique sont négligées.


Voir la vidéo d’Yvon Massé.


Étape initiale


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Ce schéma montre le gnomon et les 3 ombres [PA], [PB], [PC].



Étape Finale


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La méridienne est la droite rouge.


4) La latitude méridienne

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Il s’agit de déterminer la latitude lorsque le soleil franchit le méridien.

Pour l’hémisphère nord :

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Soleil au-dessus de l’équateur

Dans ce cas : $\varphi$ = 90° - h + $\delta$.


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Soleil au-dessous de l’équateur

Dans ce cas : $\varphi$ = 90° - h - $\delta$.

Quant à l’hémisphère sud :

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Soleil au-dessus de l’équateur

Dans ce cas : $\varphi$ = 90° - h - $\delta$.


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Soleil au-dessous de l’équateur

Dans ce cas : $\varphi$ = 90° - h + $\delta$.


La latitude et la déclinaison désignent dans ce qui suit les angles géométriques. Hémisphère nord : soleil au-dessus de l’équateur $\varphi$ = 90° - h + $\delta$.
Hémisphère nord : soleil au-dessous de l’équateur $\varphi$ = 90° - h - $\delta$.
Hémisphère sud : soleil au-dessus de l’équateur $\varphi$ = 90° - h - $\delta$.
Hémisphère sud : soleil en dessous de l’équateur $\varphi$ = 90° - h + $\delta$.

Conclusion :

Introduisons les conventions suivantes :

$\overline{\delta} = \delta$ si le soleil est en dessus de l’équateur, sinon $- \delta$.
$\overline{\varphi} = \varphi$ si la latitude est nord sinon $- \varphi$.
Il ne reste dans ce cas plus que 2 formules :

L’une pour l’hémisphère nord : $\overline{\varphi} = 90° - h +\overline{\delta}$.
L’autre pour l’hémisphère sud : $\overline{\varphi} = - (90° - h ) + \overline{\delta}$.

Et ces deux formules peuvent être condensées en :

$\overline{\varphi}$ = $\tau$ (90° - h) + $\overline{\delta}$ avec $\tau$ = +1 dans l’hémisphère nord et $\tau$ = -1 dans l’hémisphère sud.

Nous supposerons que nous sommes dans l’hémisphère nord.

Appliquons la formule $\overline{\varphi} = \tau (90° - h) + \overline{\delta}$.


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Dans ce cas l’obliquité de l’écliptique formé par le rayon solaire du solstice d’été et le rayon solaire de l’équinoxe de printemps vaut bien ε.

On peut dire aussi que l’angle entre un rayon solaire du solstice d’été et un rayon solaire du solstice d’hiver vaut 2ε.
La verticalité du gnomon étant obtenue par la groma et l’horizontalité du plan par le corobat.


5) Mesurer un angle en le reportant sur un plan

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Le gnomon en mauve est reporté sur le plan horizontal : on trace la perpendiculaire au pied du gnomon et on reporte sur le plan horizontal et sur cette perpendiculaire la longueur du gnomon.
Le centre du gnomon obtenu sur le plan horizontal sera le centre du cercle sur lequel on va mesurer l’obliquité de l’écliptique.
Montrons à présent la démarche de Pythéas.

Pythéas reporte 15 fois l’angle obtenu sur son cercle puis le reste est subdivisé en 11 arcs avec un reste $r’$ qu’il néglige. Appelons $x$ la longueur correspondant à cet angle.
On a donc : $2\pi R = 15x+ r$ et $x = 11r + r’$, $r’$ est considéré négligeable.
D’où $2\pi R =15 \times 11r + r = 166r$.

Donc le rapport de la longueur de l’arc cherché à la longueur de la circonférence vaut :
$\frac{11r}{166r} = \frac{11}{166}$, ce qui fait 23 $\times $ 51’ en langage moderne.

Continuons le procédé bien que les quantités qui entrent en jeu soient négligeables, histoire de mettre en évidence l’écriture sous forme de fraction continue. Nous allons considérer que $r’$ n’est pas négligeable.

On a donc $2\pi R= 15 x + r$ et $x=11r +r’$. Supposons que l’on puisse reporter $r’$ 23 fois dans $r$.

On a donc : $2 \pi R = 15 (11r+r’) + r = 166 r +15 r’ =3833 r’$ ; $x = 11r + r’=254r’$.
Donc le rapport de la longueur de l’arc cherché à la longueur de la circonférence vaut :
$\frac{254r’}{3833r’} = \frac{254}{3833}$.

Donc l’angle cherché a pour mesure :

$\frac{254}{3833} = \frac{1}{15+\frac{1}{11+\frac{1}{23}}}$.

On voit ainsi se poursuivre le développement en fraction continue.

Attention : Ce dernier calcul ne correspond pas à la valeur de l’obliquité, il s’agissait juste de constater de quelle manière le procédé se serait poursuivi si les angles entrant en jeu étaient accessibles à la mesure.


6) La déclinaison du soleil au solstice d’été est égale à l’obliquité de l’écliptique

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Cela provient des égalités d’angles à côtés perpendiculaires : $\widehat{AON} = \widehat{Bob}$.

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Les deux cercles blancs sont les cercles de déclinaison maximale du soleil : 23,26° et -23,26°.

Sans la sphère céleste :

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7) Détermination des solstices et des équinoxes

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a) Les solstices
Voici comment varie la hauteur au cours de l’année pour une latitude de 48°.

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On constate qu’il y a une symétrie par rapport au solstice qui correspond au maximum de la courbe.

Latitude 48°
En rouge la courbe des déclinaisons, en vert la courbe des hauteurs lorsque le soleil passe au méridien.

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où $x$ correspond au n° du jour compté à partir de l’équinoxe de mars.

Par ailleurs le tableau suivant nous parle aussi de cette symétrie par rapport à la date du solstice : le 20 juin 2012.

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Le 20 juin 2012 correspond au solstice d’été.
Le raisonnement qui suit est basé sur le fait que la date du solstice est approximativement connue et qu’il va falloir procéder en tenant compte de la symétrie évoquée au marquage sur la méridienne des jours ou les hauteurs sont égales.

Calculons le rayon du cercle de l’instrument si nous voulons que les graduations de l’instrument de l’époque destiné à mesurer les hauteurs soient espacées de 2 mm, chaque intervalle entre deux graduations servant à apprécier 1’ d’arc :

Appliquons la relation donnant la longueur $L$ d’un arc de cercle : $L = R \alpha$, d’où $R \approx \frac{0,002}{3 \times 0,00001}$ m $\approx$ 7 m.

L’instrument doit donc avoir une dimension considérable pour apprécier de manière convenable la minute d’arc !

On voit sur le tableau qu’il y a des couples qui donnent la même hauteur comme les : 19 et 22 juin, 17 et 24 juin, 16 et 25 juin, 15 et 26 juin.
En faisant la demi-somme pour chaque couple, on trouve : 20,50 juin.
Nous sommes donc bien le 20 juin 2012.

Observons qu’aux solstices la déclinaison varie très peu comme le montre le tableau suivant au solstice du 20 juin 2012.


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Comme on le voit la déclinaison reste stable autour de la valeur 23°26’ valeur qui est celle du passage du soleil au méridien.
La déclinaison aux solstices croît environ d’une seconde d’arc par heure alors qu’aux équinoxes, elle décroît environ d’une minute d’arc par heure soit de 24’ environ dans la journée.


b) Les équinoxes


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Nous démontrerons le résultat suivant dans un prochain dossier.
L’ombre du bâton pour une latitude comprise entre les cercles polaires boréal et austral est une hyperbole d’équation :

$y = \frac{a \sin \varphi \cos \varphi - \sin \delta \sqrt{x^2 (\cos^2 \varphi -\sin^2 \delta )+a² \cos^2 \delta}}{\cos^2 \varphi - sin^2 \delta}$

Si $x$ = 0 (équinoxe de printemps et d’automne) on obtient $y = a \ tan \varphi$, ce qui est l’équation d’une droite parallèle à l’axe des abscisses c’est-à-dire à la ligne est-ouest. (φ latitude du lieu ; δ déclinaison du soleil ; a longueur du gnomon).

Voir l’animation suivante en utilisant le navigateur internet explorer.

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Voir l’animation CabriJava issue du site de Geneviève Tulloue [1]

Donc nous savons repérer le jour de l’équinoxe grâce aux ombres portées par le soleil. L’équinoxe de 2012 a lieu le 20 mars 2012.

Regardons comment évolue la déclinaison au moment de l’équinoxe de printemps.

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Du solstice d’été » à l’équinoxe de printemps, l’angle des rayons solaires correspondant est égal à l’obliquité de l’écliptique.
Par contre du solstice d’été au solstice d’hiver, l’angle des rayons solaires correspondant est égal au double de l’obliquité de l’écliptique. Rappelons au passage ce schéma :

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Pythéas avait trouvé 23° 51’.
La valeur actuelle est de 23° 26’ environ. Nous allons appliquer la formule fournie par la mécanique céleste valable sur une période de 2000 ans. Consulter le fichier Excel joint à ce document pour connaître la valeur de l’obliquité il y a 2000 ans.
Traditionnellement on pose : ε = valeur de l’obliquité de l’écliptique.

ε = $23°26’21",448-46",8150 T - 0",00059T^2 +0", 001813 T^3$ avec $T = \frac{J-2451544,5}{36525}$ avec J jour julien.

On commencera par faire la recherche du jour julien avec https://promenade.imcce.fr/fr/pages... Pour ce faire : On rentrera le 1 janvier de l’an 1 à 0h pour obtenir la correspondance en jour julien, puis on fera un copier coller du résultat dans la cellule I2 après avoir remplacé le . par une virgule. Ce qui signifie qu’à l’époque de Pythéas elle valait environ 23° 41’ L’obliquité de l’écliptique avait été déterminée avec une erreur de 10 minutes d’arc.

Chapeau bas !

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8) Influence de l’obliquité sur les saisons

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Extrait d’un article de Marie-Antoinette Mélières, Laboratoire de glaciologie et géophysique de l’environnement (Grenoble) :

« L’inclinaison (actuellement proche de 23°) de l’axe de rotation de la Terre sur l’écliptique, plan dans lequel se déplace la Terre autour du Soleil au cours de l’année. La Terre tourne en 24 heures autour de cet axe. La direction de cet axe est facilement matérialisable car, lorsqu’on regarde la voûte céleste la nuit, une étoile située dessus doit rester immobile au cours des 24 heures de rotation de la Terre : c’est actuellement le cas de l’étoile polaire.
Cette direction ne bouge quasiment pas au cours de l’année (l’étoile polaire reste l’étoile fixe sur la voûte céleste). L’inclinaison de cet axe est responsable de l’existence des saisons : pas de saisons si l’inclinaison est nulle, et plus l’axe est incliné, plus l’écart est fort entre l’été et l’hiver. La position de cet axe oscille entre 21° et 24,5°, avec une période principale de 41 000 ans. Plus l’axe est incliné, plus les étés sont chauds, en particulier aux hautes latitudes où les jours sont longs. Inversement, moins il est incliné, plus les étés sont frais.
Par exemple, passer d’une inclinaison de 21 à 24,5° entraîne en été à la latitude de 70° une augmentation de l’insolation reçue : elle passe de $E \times \ cos(70-21)$, soit $E \times 0,6561$, à $E \times \cos (70-24,5)$, soit $E \times 0,7010$ ( $E$ étant l’énergie solaire incidente, soit le flux d’énergie reçu par une surface frappée perpendiculairement par les rayons solaires).
Le flux d’énergie solaire reçu augmente ainsi de la quantité $E \times 0,0449$, c’est-à-dire une augmentation de $(E \times 0,0449/E \times 0,6561)$, soit 6,8%.

Ceci conduit, environ tous les 20 000 ans, soit à une situation favorable à la fusion de calottes glaciaires aux hautes latitudes de l’H.N. (inclinaison forte, étés chauds) soit à une situation favorable à la croissance des calottes (inclinaison faible, été frais). Mais ce paramètre n’est pas le seul à influer sur l’établissement des époques glaciaires / interglaciaires : l’influence de la précession est au moins aussi importante. »


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Site à consulter :

Yvon GEORGELIN
Ce site est d’une grande richesse tant par la variété des sujets abordés que par la qualité de leur contenu.


notes

[1nécessite une configuration particulière, Internet Explorer conseillé

Documents associés à l'article
  Fichier excel - Mesure de l’obliquité de l’écliptique par Pythéas   |   (Excel - 11.5 ko)
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