Mathématice, intégration des Tice dans l'enseignement des mathématiques  
Sommaire > N°55 - mai 2017 > Le facteur de Mafate, un jeu de logique (...)

Le facteur de Mafate, un jeu de logique mathématique
Moteur de recherche
Mis en ligne le 28 avril 2017, par François Barbé

Le Facteur de MAFATE est jeu de logique mathématique.
Primé au concours SHANNON 100 en présence de M. Cédric VILLANI, il sera bientôt commercialisé chez ASCO & CELDA

L’auteur de l’article, François Barbé, est actuellement T3 dans l’école Primat à Saint-Denis de La Réunion, en Grande Section de Maternelle.

Cet article peut être librement diffusé à l’identique dans la limite d’une utilisation non commerciale suivant la licence CC-by-nc-nd


But du jeu : construire le seul chemin possible en mettant les montagnes (tours) et les escaliers donnés dans le bon ordre, sachant que la première et la dernière tour sont fixes.

Le Facteur de MAFATE est un jeu de logique mathématique auto-validant qui présente une progressivité dans les difficultés. Il répond à des compétences du Cycle 1 au Cycle 4 en faisant travailler la décomposition des nombres jusqu’à 10 et le raisonnement logique par arbre de décisions (principe algorithmique).

Lien internet vers la version de jeu à jouer en ligne

Clip vidéo de présentation :

Page Facebook

Page regroupant toutes les infos autour du jeu 

Comment jouer ?

Prendre une carte-défi de niveau 2 à 7 étoiles :
Ci-dessous la carte-défi n°1 (sur 12) du niveau 6 étoiles

 symbolisant l’escalier de 8 étages ;  symbolisant la montagne (tour) de 8 étages

Installer le matériel sur un carré de 9 cases comme indiqué sur l’illustration de l’enveloppe ci-dessus, ou bien en ligne droite comme sur la photo ci-dessous, en plaçant le facteur à gauche (violet) sur la tour de départ de 3 étages (vert clair) ainsi que la tour d’arrivée de 9 étages (bleue) à une distance de 6 cases vides.

Sur la photographie suivante, nous voyons de manière auto-validante que la solution (unique) a été découverte : le facteur a pu parcourir la totalité du chemin.

remonter au début du paragraphe
remonter au début de l’article

Quelle est l’originalité du jeu, son mécanisme ?

C’est un jeu ludo-éducatif qui a la spécificité, de par son mécanisme, de matérialiser la transformation additive, autrement dit, le passage d’un nombre à un autre, matérialisé par les escaliers (nombres « dynamiques » de transformation additive : par exemple « +2 » ou « -4 »). Dans cette version en 3D, se sont de « vrais escaliers », sur lequel l’enfant peut « sentir » et gravir les marches avec son pion. Ainsi, le jeu développe le sens de la transformation additive chez l’enfant. Les tours quant à elles sont des éléments qui correspondent à des quantités « statiques », ce sont des « états » numériques.

Le jeu permet aux élèves de réaliser des additions et soustractions selon une ligne temporelle, car le joueur avance dans une direction donnée : d’un ilet de départ (état d’une hauteur numérique initiale) vers un ilet d’arrivée (état d’une hauteur numérique finale). C’est donc un véritable récit numérique qui se construit et permet de matérialiser, comme cela n’a jamais été fait auparavant, 2 des 4 typologies de la Classification des problèmes du Champ additif selon G. VERGNAUD, dans la limite des nombres allant jusqu’à 10 :

  •  « Transformation d’un état »
  •  « Composition de transformations »
    Sur des problèmes de type « scolaire » de mathématiques, le matériel peut être employé de diverses manières par les enseignants, et peut notamment se révéler indispensable pour matérialiser une distinction entre 2 types de problèmes établis par G. VERGNAUD (spécialiste de la didactique des mathématiques) : problèmes « statiques » et problèmes « dynamiques ». Voici une présentation ci-dessous de problèmes « stratifiés » qui illustrent ces distinctions :

Les problèmes stratifiés

Le matériel du jeu permet d’exprimer tous les types de problèmes additifs établis par le didacticien G. Vergnaud en distinguant et en faisant apparaître les éléments statiques et dynamiques de ceux-ci. En effet, la tour représente la quantité statique et l’escalier la quantité dynamique (de transformation/transfert échange). Les problèmes de transformation se déroulent selon une chronologie mise ici en évidence sur une ligne de plateau et les tours s’encastrent les unes sur les autres pour exprimer les problèmes statiques.

remonter au début du paragraphe
remonter au début de l’article

Quels sont les intérêts pédagogiques du jeu ?

Du Cycle 1 au Cycle 2, les élèves apprennent :

  • Le plaisir de jouer, d’assembler, de réussir au moins un défi à chaque utilisation du jeu, le progrès à chaque nouvelle utilisation.
  • À développer leur logique et à structurer leur raisonnement en résolvant des problèmes liés aux grandeurs.
  • À mémoriser progressivement des écritures chiffrées.
  • Le sens de l’abstraction des nombres par l’association grandeur-quantité-chiffre avec le support de la représentation digitale, dans l’entraînement répété.
  • À décomposer et recomposer les nombres jusqu’à 10 en développant le sens de la transformation additive.
  • À sur-compter lors d’une addition (« monter » de 3 à 6 par exemple), décompter lors d’une soustraction (« descendre », de 9 à 5 par exemple), sous sollicitation du professeur.
  • À calculer mentalement pour gagner du temps.
  • À mémoriser des « impasses », pour ne pas « tourner en rond ».
  • À communiquer une stratégie pour répondre aux questions : par où commencer le chemin pour le construire rapidement ? Quels éléments utiliser en priorité ? Comment repérer les relations certaines ?

Du Cycle 2 au Cycle 4, les élèves apprennent :

  • À communiquer une stratégie, à trouver une véritable méthode de résolution efficace (appartenant au principe d’organisation d’un arbre de décision) sur un problème de recherche ouvert lié à des contraintes numériques. Répondre aux questions : par où commencer le chemin pour le construire rapidement ? Quels éléments utiliser en priorité ? Comment repérer les relations certaines ? Quelle méthode de résolution est possible et comment la schématiser ?
  • À réaliser et à utiliser des outils d’organisation des données : un tableau à double entrée « table des transformations additives » (ci-dessous), ainsi qu’un arbre de décisions (plus bas).
  • Établir une distinction entre les 3 types de relations logiques suivantes : rapport possible (hypothétique), impossible, ou nécessaire.

Remarque : le matériel de jeu s’utilise aussi dans une version de jeu de réflexion pour 2 joueurs de type échec, faisant travailler le calcul mental et l’anticipation.

Table complète des transformations additives possibles avec le matériel de jeu, pour un éventuel affichage en classe :

Le tableau à double entrée des relations possibles dans le défi sélectionné (n°1 du niveau 6 étoiles) :

Par quelles relations avancer dans la résolution du problème, dans l’arbre de décision ?

Il est préférable, par souci d’économie, de prendre en compte les probabilités de relations exprimées dans le tableau de transformation additive du problème en question (ci-dessus). Je choisis de partir des escaliers : je me demande pour un même escalier quelles sont toutes ses possibilités de relation, de préférence je commence par l’escalier qui a le moins de relations possibles. Mais je pourrais très bien partir d’une tour pour avancer dans mon arbre de décision, par exemple la tour de 3 étages « T3 » et noter qu’elle peut être mise en relations avec seulement 3 autres tours : T3, T7, et T10.

L’utilisation du tableau ci-dessus permet en effet de voir facilement qu’il est préférable de ne pas commencer par poser l’escalier de 5, de 6 ou de 7 qui ont chacun 3 possibilités de relations, mais par l’escalier de 9 qui se pose nécessairement entre la tour de 1 et la tour de 10. Ensuite, nous pourrons tenter le placement de l’escalier de 3, puis de 4, puis de 8, qui n’ont chacun que 2 possibilités de relations, puis les escaliers de 7, de 6, et de 5 étages. Si une voie d’essai se révèle impossible (« impasse »), le joueur devra revenir au nœud précédent pour tenter une nouvelle voie.

Ce qui donnera, en schématisant la démarche du joueur pas à pas, l’arbre de décision suivant (avec « T » pour « tour » et « E » pour « escalier ») :

remonter au début du sous-paragraphe
remonter au début du paragraphe
remonter au début de l’article

Règles de détermination des « impasses » (encadrées en rouge) :

Sur un même chemin de résolution :

  •  Une même tour ne peut être en relation qu’avec 2 autres tours,
  •  Une tour d’extrémité (ici « T3 » et « T9 ») ne peut être mise en relation qu’une fois et non pas à l’extrémité opposée, car selon la règle du jeu elles sont « fixes ».
  •  Une tour liée à une tour d’extrémité devient elle-même une tour d’extrémité, elle ne peut donc être mise en relation qu’1 autre fois, et non pas à l’extrémité opposée ! (à relation soulignée en bleu plus bas).

Lorsque nous nous trouvons dans une impasse, nous devons revenir au nœud possible précédent sur notre arbre de décision afin de trouver le seul chemin possible :

Nous tombons sur des impasses, mais nous avançons : nécessairement, E3 se place entre T4 et T7 ! Nous avons désormais 2 relations certaines (encadrées en vert) :

En continuant ainsi nous obtenons :

Nécessairement, E4 se place entre T4 et T8 !

 

Au final, nous avons dû tracer l’ensemble d’un arbre de décision du problème posé ! Ce qui implique que non seulement nous avons trouvé une solution (annoncée comme étant unique) mais nous avons de surcroît prouvé qu’elle était unique ! Ce, en avançant méthodiquement, pas à pas, patiemment, selon une chaîne de nécessités logiques.

remonter au début du sous-paragraphe

remonter au début du paragraphe
remonter au début de l’article

Comment m’est venue l’idée de départ ?

Au cours de réflexions personnelles sur les problèmes d’apprentissages rencontrés en classe, j’ai eu l’idée que l’on pouvait matérialiser le passage d’une case à une autre par une « passerelle ». En effet, l’enfant qui veut déplacer son pion sur un parcours du type jeu de l’oie a tendance à débuter le comptage par la case du pion, au lieu de compter les « passages », ou « pas », c’est-à-dire les cases supplémentaires. Là-dessus je me suis dit que ce passage pouvait se faire selon une 3ème dimension : la hauteur. Ainsi le pion se déplacerait désormais d’une case (désormais une « tour ») d’une certaine hauteur d’étages à une autre tour d’une hauteur différente via un escalier numériquement complémentaire. L’escalier donnant la valeur de la transformation additive (ou différence numérique) entre les 2 tours.
Un même escalier peut ainsi représenter une addition (monter des marches = ajouter des étages sous le pion) ou une soustraction (descendre des marches = soustraire des étages sous le pion), selon le sens de déplacement du pion. Le caractère temporel et dynamique de la transformation additive est ainsi mis en évidence.
Mon innovation réside dans l’escalier qui matérialise le passage d’un nombre à un autre. Ayant inventé ce mécanisme, qui matérialise l’opération cognitive de transformation des nombres de 1 à 10, j’ai ensuite travaillé sur l’élaboration de jeux de réflexion partant de celui-ci.

remonter au début de l’article

Quel processus ? De l’idée au prototypage…

De nombreux tests ont été faits, en passant par différents prototypes. Ceux fait de papier et de carton sont les premiers réalisés, car plus faciles et moins coûteux, mais ils ne pouvaient pas rendre pleinement la tridimensionnalité de mon mécanisme. J’ai alors fait appel à un ébéniste, qui a accepté ma commande.
Au final, j’ai été peu satisfait de cette prestation, car j’ai reçu six mois plus tard ce prototype d’une qualité et d’une jouabilité très imparfaites. Avant même de recevoir celui-ci j’ai choisi de commander une imprimante 3D, d’apprendre à m’en servir et à modéliser en 3D. J’ai alors réalisé plus de 300 heures d’impression pour différents jeux. Je devais le faire rapidement car je prévoyais de participer au Festival international des jeux de Cannes en Février 2016 pour présenter mon jeu à des éditeurs. Avancer vite et loin dans le développement du jeu était aussi important pour la qualité des améliorations (constantes) et s’assurer que personne d’autre n’aie le temps de s’approprier (voler) l’idée du projet mieux que moi-même.

remonter au début de l’article

Quelles motivations ? Pourquoi participer à un concours ?

Relever le défi de cheminer de l’idée d’un matériel pédagogique jusqu’à sa réalisation concrète et voir que tout fonctionne bien est en soi une réussite, d’un point de vue personnel. L’utiliser dans ma classe de Grande Section est la vraie récompense : voir l’attrait des élèves, leur envie de rejouer à mon jeu et de surcroît voir leur progrès grâce au jeu.
Au-delà de ces premières motivations il y a aussi l’ambition de voir mon jeu adopté par des collègues d’autres classes, et si possible de le voir édité, pour que mon jeu acquière le statut de véritable objet culturel, avec son design/graphisme, sa boîte. J’ai eu cette ambition car le mécanisme du jeu est unique (à ma connaissance). Collaborer avec une maison d’édition serait une forme de reconnaissance exceptionnelle, une source de fierté, et en plus un point de départ important pour d’autres projets dans l’univers de l’édition ludo-éducative. La participation à des concours d’auteurs de jeux pédagogiques m’a paru essentielle afin de le rendre visible et d’intéresser des éditeurs. C’est ainsi que grâce au concours Shannon (mais aussi grâce à des soutiens locaux de la Région Réunionnaise tels que l’IREM et le CARDIE) j’ai été contacté par la présidente du groupe PIERRON ASCO&CELDA pour éditer chez eux le jeu Le Facteur de MAFATE !

remonter au début de l’article

Quel parcours, quelles influences ?

Né en 1980 à Rennes, je me suis installé en juillet 2012 à la Réunion et j’ai réussi le concours de professeur des écoles l’année suivante. Je suis actuellement T3 dans l’école Primat à Saint-Denis en Grande Section de maternelle. J’ai une culture plutôt scientifique jusqu’à l’obtention d’un DUT en génie mécanique et productique en 2002, le milieu de l’industrie ne me convenait pas, mais ces études ont eu l’avantage de développer chez moi la vision en 3 dimensions par la pratique du dessin industriel et du dessin assisté par ordinateur… 15 ans plus tard je peux enfin dire que ces études me servent !
À partir de 2002, j’ai débuté des études de philosophie à Rennes jusqu’à l’obtention d’un Master 1 en 2006. Ces études m’ont passionné, je reste féru de lectures philosophiques. La philosophie va à l’essentiel, elle questionne, déconstruit et analyse. Elle m’est utile lorsque je questionne les démarches cognitives de l’élève, la fonctionnalité du matériel utilisé pour apprendre, les règles d’utilisation du matériel et le sens de l’activité.
J’ai eu la chance de travailler 3 années de suite avec le même niveau (Grande Section), j’ai ainsi pu connaître précisément les habiletés et les besoins des élèves de cet âge, et parallèlement les matériels de jeu présents dans les classes ou proposés dans les catalogues. J’ai pu en tester de nombreux, j’ai évalué leurs points forts mais aussi leurs insuffisances. Depuis mes débuts je modifie ou détourne les matériels de classe pour qu’ils correspondent à mes attentes.
Je perçois le processus de création d’un jeu comme tout à fait analogue à toute autre création artistique. Je me suis en effet beaucoup intéressé à la culture de l’art visuel et architectural et c’est dans l’école du Bauhaus que j’ai trouvé une immense source d’inspiration, car dans cette école le beau est lié à l’utile, l’art peut avoir une fonction : bâtiments de vie quotidienne (maisons, immeubles, ponts, tables) voire des jeux de société. Un de leurs slogans : « la forme suit la fonction ».

remonter au début de l’article

Pourquoi jouer pour apprendre ?

L’aspect ludique, multi-niveaux du jeu (progressif en difficultés), et l’exigence d’une concentration soutenue dans la recherche a pour effet de provoquer un « Flow » (frisson de plaisir) chez le joueur. C’est une expérience optimale ou autotélique - Csikszentmihalyi, 1990, 2004, 2005. En effet, « le Flow se manifeste souvent quand il y a perception d’un équilibre entre ses compétences personnelles et la demande de la tâche » (Csikszentmihalyi, 1975).
 
remonter au début de l’article

Quelles analyses critiques des pratiques en classe du jeu ?

L’attrait des enfants de tous âges a été frappant, de 5 ans à 17 ans, et même les adultes se prennent au jeu. Tout le monde aime manipuler, encastrer des objets. De plus, la simplicité de la consigne et le fait que chacun trouve un défi à sa hauteur y sont pour beaucoup : le joueur est toujours d’abord en condition de réussite, donc ressent du plaisir, donc souhaite naturellement rejouer et relever un défi plus important depuis cette base de confiance en soi.
La réussite et l’entraînement dans les niveaux les plus simples motivent et familiarisent en effet les élèves les plus en difficulté qui fortifient une démarche dite « pré-numérique » : par estimation visuelle des quantités. Le passage progressif à des niveaux plus difficiles les amène ensuite à mettre en mémoire des images mentales des quantités, associées aux chiffres, pour acquérir davantage de rapidité d’exécution.

Pour la « construction de la dizaine », le matériel pédagogique ainsi créé devient un support de référence pour l’élève car il l’aide, dans une activité de recherche ludique et problématique, à passer d’une estimation visuelle et tactile des quantités à une image mentale de leur cardinalité, associée à leurs écritures chiffrées. Il est important de noter que pour construire l’abstraction du nombre, le professeur devra tout de même faire largement référence à l’usage des 10 doigts pour représenter autrement la transformation du nombre. En effet, il devra conduire l’enfant à identifier que le nombre d’étages sous le Facteur correspond au nombre de doigts levés, que monter 2 étages c’est ajouter 2 doigts, que descendre de 3 c’est soustraire 3 doigts.
Le jeu construit ce pont qui fait passer les élèves d’un usage pré-numérique à un usage numérique (cardinal) des collections. Les chiffres correspondants aux quantités sont indiqués sur chaque élément, et le dénombrement un à un de chaque « nombre d’étages » est aussi possible sur chaque tour ou escalier utilisés, l’enfant peut ainsi se familiariser avec les associations grandeur-quantité-chiffre.

remonter au début de l’article

Des perspectives d’expérimentations avec le jeu ?

Le jeu a été testé de manière approfondie en Grande Section de maternelle, des joueurs de 5 à 17 ans ont aussi pu le tester mais de manière ponctuelle. Cependant une véritable méthode d’apprentissage de la numération ayant pour base le matériel de jeu du Facteur de MAFATE prend forme avec le temps. C’est donc un manuel pédagogique à destination de l’enseignant qu’il s’agit maintenant de constituer et ce pour les élèves du Cycle1 au Cycle 4. Ceci se fera, je l’espère, dans un futur très proche, en collaboration avec d’autres professeurs afin d’expérimenter le jeu et les techniques d’enseignements dans des classes de tous niveaux.

remonter au début de l’article

D’autres projets en cours ?

J’ai trois autres jeux mathématiques qui sont déjà réalisés, dont un qui vient de réussir une première phase de sélection au concours d’auteurs de jeux de BOULOGNE-BILLANCOURT. Ce jeu s’appelle PIGZ et est inspiré du jeu de GO (photos ci-dessous). C’est un jeu de réflexion à 2 joueurs, d’anticipation.

Les 2 autres jeux permettent de travailler les multiplications par la manipulation, ils sont encore en phase de développement et de test, je les présenterai à des concours et des éditeurs une fois qu’ils seront prêts.

PIGZ

  • 2 à 3 joueurs, à partir de 6-7 ans

remonter au début de l’article

Annexe : Un échange avec l’auteur de l’article

A la lecture de l’article, le comité de rédaction de MathémaTICE a posé à l’auteur, François Barbé, deux questions pour éclaircir son propos :

  • Pourquoi l’arbre final va-t-il de T1 à T8, alors que la carte défi demande d’aller de T3 à T9 ?
  • Comment sont pris en compte les escaliers descendants dans les arbres de décision ?

Les réponses de François Barbé peuvent éclairer les lecteurs de l’article :

Si je comprends la seconde question : 

Pour ce qui est des escaliers "descendants", je ne vois pas le problème, un escalier représente un passage, une différence, qui peut être indifféremment négative ou positive. Par exemple, la relation T1 (E9) T10 est équivalente à la relation T10 (E9) T1 dans le cadre de l’arbre de décision , puisque l’on s’intéresse seulement à la relation (nécessaire ou impossible), l’orientation de la relation pourra être établie plus tard, selon la chaîne de relations (en maillons) qui se construira.

Pour la première question : 

Il faut reconnaître que le chemin de relations emprunté par l’arbre de décision ne correspond pas à celui du Facteur. En effet, pour construire le chemin du facteur, il n’est pas nécessaire de commencer par l’endroit où il se trouve. Dans le jeu, c’est une fois que la totalité du chemin est fabriqué que le Facteur peut monter et descendre les escaliers.

Je précise au dessus du 1er arbre de décision schématisé pourquoi je commence l’arbre par la relation T1 (E9) T10, et non par une extrémité du problème : c’est parce que je prends en compte les probabilités de relations exprimées dans le tableau de transformation additive du problème en question. En effet, celui-ci nous montre qu’il est préférable de commencer notre arbre de décision par l’étude des relations autour de l’escalier de 9 , puisqu’il n’y a qu’une seule relation possible ! En partant d’une relation nécessaire, cela fait toujours un escalier de moins à gérer.

Ensuite, nous choisissons de nous intéresser à l’étude des relations autour des escaliers qui ont 2 possibilités de relations, puis 3.

remonter au début de l’article


Réagir à cet article
Vous souhaitez compléter cet article pour un numéro futur, réagir à son contenu, demander des précisions à l'auteur ou au comité de rédaction...
À lire aussi ici
MathémaTICE est un projet
en collaboration avec
Suivre la vie du site Flux RSS 2.0  |  Espace de rédaction  |  Nous contacter  |  Site réalisé avec: SPIP  |  N° ISSN 2109-9197