Situation

Donne une calculatrice à un ami, demande-lui d’afficher un nombre de 3 chiffres de son choix et de te le montrer.
Dis-lui ensuite de taper : $\times$ 7 $\times$ 11 $\times$ 13 puis annonce-lui le résultat avant qu’il termine de taper ces multiplications !

Le résultat sera le nombre de 6 chiffres obtenu en écrivant le premier nombre de 3 chiffres (choisi par ton ami) 2 fois successives.

Exemple : si ton ami a choisi 271 comme nombre de départ alors après les multiplications, il obtiendra 271 271.

Justification

Désignons par c, d et u les chiffres respectifs des centaines, dizaines et unités du nombre de départ. Il s’écrira donc cdu (en base 10). D’autre part, on a : 7 $\times$ 11 $\times$ 13 = 1 001.
Alors cdu $\times$ 7 $\times$ 11 $\times$ 13 = cdu $\times$ 1 001 = cdu $\times$ (1 000 +1) = cdu 000 + cdu = cdu cdu (en base 10).

Tour 2 : Multiplier un nombre de 2 chiffres par 3 $\times$ 7 $\times$ 13 $\times$ 37.
Tour 3 : Multiplier un nombre de 1 chiffre par 3 $\times$ 37.
Tour 4 : Multiplier un nombre de 2 chiffres par 3 $\times$ 7 $\times$ 11 $\times$ 13 $\times$ 37.

Essayer de prédire le résultat dans chacun des trois cas ci-dessus.

Trouve un calendrier qui affiche un mois entier par page. Trace un rectangle qui délimite un bloc de 20 nombres (5 $\times$ 4). Donne à un ami une calculatrice et demande-lui de te faire la somme de ces 20 nombres.

Pour le surprendre, tu peux lui proposer le résultat alors qu’il vient à peine de commencer ses additions !

Le résultat sera 10 fois la somme des 2 nombres inscrits dans les 2 cases extrémités de la diagonale principale (encerclés en vert).

Exemple : dans le cas du calendrier ci-contre, la somme des 20 nombres encadrés par le rectangle orangé est : 10 $\times$ (2 + 27) = 290.

Justification

Proposition :

Désignons par $j_1$ la date inscrite dans la première case (en haut à gauche) du rectangle et par $j_{20}$ la date inscrite dans la vingtième case (en bas à droite) du rectangle. Les autres dates peuvent être exprimées ainsi :

La somme est alors :
$S = (j_1 + j_{20}) + (j_1 + 1 + j_{20} - 1) + (j_1 + 2 + j_{20} - 2) + .... + (j_1 + 10 + j_{20} - 10) + (j_1 + 11 + j_{20} - 11)$
Et donc : $S= 10 (j_1 + j_{20}).$

Remarque :
On peut remarquer et montrer en s’inspirant de la proposition ci-dessus que la somme cherchée est aussi 10 fois la somme des deux nombres inscrits dans les deux cases extrémités de la deuxième diagonale (nombres encerclés en rouge) : 10 $\times$ (6 + 23) = 290.

Demande à un ami de :
– faire afficher sur l’écran de sa calculatrice un nombre de 4 chiffres tels qu’aucun d’eux ne soit nul et qu’ils ne soient pas tous égaux à 1 (le nombre est différent de 1111) ;
– multiplier ce nombre par 9 et d’afficher le résultat sans te le montrer ;
– lire à haute voix les quatre premiers chiffres du produit obtenu (qui sera toujours un nombre de 5 chiffres).

Maintenant c’est à toi de le stupéfier en lui annonçant le dernier chiffre (celui qu’il n’a pas lu) !

Justification :
Le produit étant un multiple de 9 alors la somme de ses chiffres sera divisible par 9. Il te faut alors :
– faire mentalement et rapidement la somme des quatre chiffres lus par ton ami, désignons la par S ;
– déterminer le plus petit multiple de 9 supérieur ou égal à la somme que tu as trouvée, désignons le par M ;
– le chiffre manquant sera : M - S.

Exemple :
Ton ami a choisi le nombre 5 268 alors le produit est 5 268 $\times$ 9 = 47 412.
Alors S = 4 + 7 + 4 + 1 = 16 donc M = 18 et ainsi le chiffre manquant est 18 − 16 = 2.

Commentaire :
On peut laisser au partenaire la liberté de choisir quatre chiffres quelconques du produit au lieu de se limiter aux quatre premiers : ça ne changera rien à la suite du jeu !

Ce tour, que l’auteur qualifie d’incroyable, consiste à :
– dessiner une grille identique à celle qui est ci-dessous :

– faire passer l’un des spectateurs sur scène ;
– lui demander de remplir la troisième ligne en inscrivant dans chacune de ses 5 cases un chiffre de son choix afin d’avoir un nombre de 5 chiffres.
– Puis à écrire ensuite un nombre sur un morceau de papier que tu donnes à un autre spectateur qui s’engage à ne le montrer à personne.
– Revenir au spectateur qui est sur scène, et lui demander de remplir la première et la deuxième ligne avec deux nombres de 5 chiffres de son choix.
– Prendre la relève et remplir la quatrième et la cinquième ligne avec deux nombres de 5 chiffres aussi.
– Donner une calculatrice à ce spectateur et lui demander de faire la somme des 5 nombres écrits sur la grille puis écrire le résultat sur la sixème ligne (un chiffre par case).
– Demander au spectateur qui a le morceau de papier d’exposer au public le nombre que tu as écrit dessus.

Le public stupéfait découvrira que ce nombre est égal à la somme écrite sur la sixème ligne : il t’applaudira chaleureusement car tu es capable de prédire la somme de 5 nombres avant même de terminer de les écrire et sans utiliser une calculatrice !

L’astuce :

Il y a deux moments clés :

1) Le nombre écrit sur le morceau de papier est obtenu à partir du premier écrit sur la grille en diminuant son chiffre des unités de 2 et en conservant ses autres chiffres sans oublier de les faire précéder par un 2 (ce sera un nombre de 6 chiffres).

Exemple :
On désigne par $N_3$, le nombre de la troisième ligne et par $S_p$ le résultat prédit.
Si $N_3$ = 58 173 alors $S_p$ = 258 171.

2) On désigne par $N_1$ et $N_2$ les nombres écrits par le spectateur respectivement sur la première et la deuxième ligne. Lorsque tu prends la relève pour écrire le quatrième et le cinquième nombre que nous désignerons respectivement par $N_4$ et $N_5$, tu dois les choisir de manière à ce que chacun des chiffres de $N_4$ soit égal à 9 diminué du chiffre de même rang dans $N_2$ et que chacun des chiffres de $N_5$ soit égal à 9 diminué du chiffre de même rang dans $N_1$.
On doit donc toujours avoir : $N_1 + N_5 = 99 999$ et $N_2 +N_4 = 99 999$.

Exemple :
Si le spectateur sur scène a écrit 25 938 sur la première ligne (c’est $N_1$), tu écriras 74 061 sur la cinquième ligne (c’est $N_5$). S’il a écrit 39 174 sur la deuxième ligne (c’est $N_2$), tu écriras 60 825 sur la quatrième ligne (c’est $N_4$).

Justification :

Soit S la somme de ces cinq nombres et $N_3 = nm cdu$ dans la base 10. Alors :

$S = N_1 +N_2 + N_3 +N_4 +N_5 = N_3 + (N_1 + N_5) + (N_2 + N_4) = N_3 + 2 \times 99 999 = N_3 + 2 \times (100 000 - 1)$.
Soit $S = N_3 + (200 000 - 2)$.

Commentaire :

En haut de la page 22, on lit : ‘’Demande à Daz d’inscrire cinq chiffres de son choix sur la troisième ligne…’’ : cela sous-entend que Daz peut choisir 0 (zéro) ou 1 comme chiffre des unités.
A la page 25, et dans le cadre de la démystification , il est écrit : ‘’Prends le nombre inscrit dans la grille, rajoute un deux devant et soustrais deux au dernier chiffre…’’
Cela sous-entend que le dernier chiffre (le chiffre des unités) doit être supérieur ou égal à 2 sinon on sera obligé de s’emprunter 1 du chiffre de dizaine qui lui aussi doit alors être supérieur ou égal à 1 ; et la boucle continuera et la méthode décrite ne sera pas applicable. Pour éviter cette situation qui complique le jeu, on pourrait avertir et exiger que le dernier chiffre soit supérieur ou égal à 2.

Jouer contre l’ordinateur :
Voici un fichier GeoGebra utilisant le tableur pour détailler ce tour (il est nécessaire de cacher la fenêtre algèbre dans Affichage et d’afficher la fenêtre tableur pour saisir les nombres choisis) :

<geogebra|doc=12867|fenetre_externe=oui|barre_menu= oui>

Voici un autre fichier GeoGebra utilisant des curseurs :

Deux personnes partagent une plaquette dont un carré est empoisonné. Elles décident alors de manger chacune, à leur tour, un morceau de chocolat qui peut être petit ou gros mais la cassure doit se faire suivant les lignes. Evidemment, le jeu consiste à laisser à l’autre joueur le carré est empoisonné.

Stratégie gagnante :

• Situation 1 : le carré qui est empoisonné n’est pas sur l’un des bords du morceau

Quand c’est ton tour, essaye de laisser à ton partenaire un morceau de chocolat où le carré empoisonné occupe le centre.

Illustration avec le logiciel GeoGebra sur une plaquette de 8×7 carreaux : (décocher la fenêtre algèbre dans le menu Affichage)

<geogebra|doc=13227|fenetre_externe=oui|barre_menu= oui>

Pour télécherger le fichier :

• Situation 2 : le carré qui est empoisonné est sur l’un des bords du morceau

Quand c’est ton tour, essaye de laisser à ton partenaire un morceau de chocolat sous forme d’un carré dont l’un des coins est occupé par le carré empoisonné.

Illustration à télécharger avec le logiciel GeoGebra sur une plaquette de 5×7 carreaux :

Commentaire :

Comme le signale l’auteur, vous n’avez pas besoin d’une plaquette de chocolat empoisonnée : vous pouvez la remplacer par un papier quadrillé.

On demande à un partenaire de penser à un nombre (secret) entre 1 et 12 ou alors de lancer deux dés et garder le résultat secret. Ensuite, on fait faire au partenaire, la suite d’opérations suivante :

• Ajouter 1 au score des dés ;
• multiplier le résultat par 2 ;
• enlever trois au résultat obtenu ;
• enfin multiplier par 5.

Le partenaire doit annoncer à haute voix le nombre final obtenu. Il est alors facile de retrouver le résultat du lancer de dés. Il suffit d’occulter le chiffre des unités du résultat annoncé (qui est un 5) et d’ajouter 1 au nombre formé par les autres chiffres. Par exemple, si on t’annonce 35 alors le résultat du lancer de dés était 4. Hyper facile !

Voici une copie d’écran d’une mise en oeuvre de ce tour avec Scratch. Tu peux ainsi jouer le rôle du magicien contre l’ordinateur.

Et pour essayer en live, c’est ici :
https://scratch.mit.edu/projects/97...

Voilà ce que Pongo demande à Véronica qui refuse de lui dire son âge et son poids :

• Tape 13.
• Multiplie par ton poids en kg.
• Enlève 13.
• Multiplie par 7.
• Enlève 10.
• Ajoute ton âge.
• Multiplie par 11.
• Soustrais ton poids.
• Soustrais ton âge.
• Ajoute 101.
• Donne le résultat.

Véronica a répondu : 54 160. Pongo, tout joyeux, dit alors tu as 17 ans et tu pèses 55 kilos. Véronica confirme, mais elle veut bien savoir comment Pongo est arrivé à découvrir ces données confidentielles à partir du résultat 54 160 ?

Explication :

• Pongo ignore le chiffre des unités ;
• Au nombre formé des chiffres de dizaines et celui des centaines, il ajoute 1 pour obtenir l’âge ;
• Au nombre formé des chiffres des unités des mille et celui des dizaines des mille, il ajoute 1 pour obtenir le poids.

Justification :

Désignons respectivement l’âge et le poids de Véronica par $a$ et $p$.
D’où : $A =[ ({{13 \times p} - 13) \times 7}- 10 + a] \times 11 - p - a + 101 = 7 \times 11 \times 13 \times p - 7 \times 11 \times 13 - 110 + 11 \times a - p - a + 101.$
Soit $A = 1 000p - 1 010 + 10a$.
Puis $A = 1 000p - 1 000 + 10a - 10 = 1 000(p - 1) + 10(a - 1) = 10[100(p - 1) + (a - 1)]. $
Le fait d’ignorer le zéro de droite du résultat nous mène à : $100(p - 1) + (a - 1)$.
Désignons par $du$ et $d’u’$ les écritures respectives de $(a - 1)$ et $(p - 1)$ dans la base 10 ($d$ ou $d’$ peut être nul et on a supposé $a$ et $p$ inférieurs ou égaux à 100.)
Alors $100(p - 1) + (a - 1) = d’ u’00 + du = d’ u’du$.
D’où l’idée de Pongo pur découvrir l’âge et le poids de Véronica.

Commentaire :

• Si le deuxième nombre est inférieur ou égal à 10, le troisième chiffre à partir de la droite sera zéro et par suite le deuxième nombre sera la somme du deuxième chiffre du résultat et 1.
• Si le deuxième nombre est supérieur ou égal à 101, cet algorithme ne sera plus valable car son quatrième chiffre à partir de la droite sera le chiffre des unités de (c + d’) où c est le chiffre des centaines du deuxième nombre.
• Si le premier nombre est supérieur ou égal à 101, le résultat sera un nombre de 6 chiffres et le premier nombre sera la somme de 1 et du nombre formé par les trois premiers chiffres à partir de la gauche.

Voici une utilisation de scratch pour réaliser ce tour :

Essayer en live

Se servant d’un carré magique normal d’ordre 3 exposé dans son bureau, le mathémagicien confectionne deux autres carrés magiques de même ordre : l’un est obtenu en retranchant 1 de chaque case du carré exposé et l’autre en ajoutant 2 au contenu de chaque case du carré exposé.

• Carré magique normal d’ordre 3 de constante magique 15.
  

  

  C’est le carré magique exposé dans le bureau du mathémagicien.

• Carré magique d’ordre 3 de constante magique 12.
  

  

• Carré magique d’ordre 3 de constante magique 21.
  

  

Commentaires :

• Soit $S_T$ la somme de tous les nombres écrits dans un carré magique d’ordre 3 et $S$ la somme de tous les nombres écrits dans une ligne (colonne et diagonale) de ce même carré alors on a :

La somme $S$ est aussi appelée la constante magique ou densité du tableau.

• Les neuf nombres utilisés dans un tel tableau étant des entiers consécutifs, on peut les considérer comme étant les 9 premiers termes d’une suite arithmétique $u$ de raison 1. Si $u_1$ est le plus petit parmi ces termes on aura :

et alors

• Le nombre qui occupe le centre du carré sera la moyenne du plus petit et plus grand termes de la suite : c’est $u_5$ et on aura :

Les équations (1), (2), (3) et (4) sont des outils qui peuvent aider à remplir un tableau magique à partir de certaines données.

• Dans le cas d’un carré magique normal (les 9 nombres utilisés sont des entiers consécutifs de 1 à n), on aura :

Ainsi le carré obtenu en retranchant 1 de chaque case du carré exposé est celui qui a la plus petite densité (sinon, on sera obligé d’utiliser des entiers négatifs).

Le mathémagicien en a un dans son bureau : c’est un carré normal alors sa densité sera : $S = \frac{(1 + 25) \times 25}{2 \times 5} = 65$.
Le nombre qui occupe la cellule centrale est : $u_{13} = \frac{u_1 + u_{25}}{2} = \frac{1 + 25}{2} = 13$.
La somme $S$ est aussi obtenue en additionnant les quatre coins et la cellule centrale.

Construction du carré magique :

• Etape 1 : On dessine un tableau carré 5×5 (en vert) auquel on ajoute une colonne de 4 cases du côté droit et on le chapeaute par une ligne de 4 cases (en marron) (voir le dessin ci-dessous).
  N.B : La ligne et la colonne tracée en marron sont en dehors du tableau.
  

  

• Etape 2 : On place le 1 dans la troisième case de la première ligne du tableau.
• Etape 3 : On se déplace en diagonale vers le haut en écrivant dans chaque case atteinte l’entier qui succède au dernier nombre écrit.
• Etape 4 : Au bout du déplacement, si on se trouve sur :
  – un carré de la colonne en dehors du tableau, on réécrit le nombre qui s’y trouve dans la cellule intersection de la même ligne avec la première colonne et on reprend l’étape 3.
  – un carré de la ligne en dehors du tableau, on réécrit le nombre qui s’y trouve dans la cellule intersection de la même colonne avec la cinquième ligne du tableau et on reprend l’étape 3.
  – un carré du tableau qui est déjà rempli, on reprend l’étape 3 à partir de la cellule qui se trouve juste en dessous de celle qu’on vient de remplir.

Commentaire :

• La description par l’auteur de la méthode de la disposition des nombres dans le tableau est difficile à suivre c’est ce qui nous a poussé à l’exprimer comme ci-dessus et à l’enrichir par un dessin illustratif.
• A la page 52 et à la fin de la deuxième et au début de la troisième ligne en dessous du tableau, on lit : ‘’ Mets ton 6 sous le 1 et …’’ alors que ça devrait être : ‘’ Mets ton 6 sous le 5 et …’’

L’exemple proposé par l’auteur est un carré normal (tableau ci-dessous.)

Sa densité sera alors :
$S = \frac{(1 + 16) \times 16}{2 \times 4} = 34$.
La somme S est aussi obtenue en additionnant les quatre coins du tableau.
L’auteur cite certaines des propriétés de ce tableau, entre autres :

• ce tableau peut être exploité pour écrire sa somme magique 34, de 24 façons, comme somme de 4 nombres pris parmi les entiers de 1 à 16 ;
• ce tableau peut être utilisé pour écrire d’autres carrés magiques de somme magique donnée : il suffit de rectifier les quatre nombres placés dans les cellules grisées du tableau ci-dessus.

– Exemple 1 : pour avoir un carré de densité 41, il suffit d’ajouter 7 (41 – 34 = 7) à chacun de ces quatre nombres et de garder les autres cellules telles qu’elles sont.
– Exemple 2 : pour avoir un carré de densité 23, il suffit de retrancher 11 (34 - 23 = 11) de chacun de ces quatre nombres et de garder les autres cellules telles qu’elles sont.