Dans cette activité, je présente une heptathlète qui doit s’entraîner au lancer du poids (une des 7 disciplines de l’heptathlon.) Bien évidemment, une heptathlète n’est pas une véritable spécialiste de cette discipline. J’imagine que son record personnel est 14,79 m et que son objectif est d’améliorer celui-ci.

a) Découverte de la situation, appropriation par les élèves

La première phase du travail est très importante car j’ai choisi de faire découvrir la notion de fonction aux élèves grâce à elle. Le lancer du poids est une activité que beaucoup d’élèves ont déjà pratiqué, cela va aider à s’approprier une notion mathématique délicate.

Enoncé :

Pour améliorer ses techniques d’entraînement, une athlète a fait appel à des scientifiques spécialistes de l’étude des gestes sportifs. Lors du lancer, l’athlète communique une vitesse initiale $v$ (en m/s) au poids au moyen d’un mouvement d’élan approprié, ceci selon un angle $\alpha$ avec l’horizontale et à une hauteur $h$ par rapport au sol. Les spécialistes savent que la trajectoire du poids est constituée des points de coordonnées $(x ; y)$ tels que :

où $x$ représente la distance horizontale parcourue par le poids et $y$ représente la hauteur du poids.

Lors du lancer d’essai : $v$ = 11,2 m/s ; $\alpha$ = 45° et $h$ = 1,8 m.

Montrer que l’équation de la trajectoire devient : $ y = - {{9,8x^2} \over 125,44} + x + 1,8$. Tracer la représentation graphique de la trajectoire du poids de manière aussi précise que possible. Quelle semble être la longueur du lancer ? Vérifier par le calcul.

Analyse de la situation :

La formulation du protocole de construction de la courbe qui s’en suit découle d’un échange argumenté entre pairs.

La première étape amène donc, pour une valeur de $x$ donnée (la distance horizontale), à calculer la valeur de $y$ correspondante (la hauteur du poids). Le professeur jouera son rôle de structuration des connaissances en présentant un nouveau concept de correspondance entre un nombre de départ (le « futur » antécédent, matérialisé graphiquement par l’abscisse du point à placer) et un nombre d’arrivée (la « future » image, matérialisée par l’ordonnée de ce point). Le formalisme de la fonction peut être introduit. Le professeur peut également répartir le travail dans la classe pour les différents calculs de hauteur du poids, par exemple, tous les 50 cm de l’axe des abscisses (et détecter facilement les erreurs éventuelles). C’est la phase de remplissage d’un premier « tableau de valeurs ». La représentation graphique associée, construite point par point, montre exactement la trajectoire du poids en l’air et sa construction rassure l’élève qui voit apparaître la réalité du lancer du poids à partir d’un concept très abstrait (la fonction). L’avantage de cette situation de découverte est qu’elle permet en environ une heure d’avoir abordé la fonction selon les différents registres (algébrique, numérique, graphique) :

• fonction définie par une expression littérale donnée explicitement ;
• fonction définie par l’intermédiaire d’un tableau de valeurs (couples antécédents-images) ;
• fonction représentée graphiquement.

La mise en place du vocabulaire et du formalisme associé est aussi aisée. Le concept essentiel de fonction modélise donc la trajectoire du poids mais il est d’ores et déjà possible d’en montrer les limites. Lorsque la hauteur calculée devient négative, nous sortons du domaine de validité de la fonction qui modélise : le poids a déjà été intercepté par le sol, c’est important pour la suite des activités.

La seconde étape est de faire comprendre l’intérêt de ce nouveau formalisme. Définir une fonction, c’est faciliter les calculs d’images car on peut programmer et confier les tâches calculatoires pénibles à une machine (par exemple, en troisième, nous utiliserons le tableur, pour calculer un grand nombre d’images d’un seul coup de poignée de recopie.)

Jusqu’à maintenant, l’enseignant a dû beaucoup intervenir pour placer le vocabulaire, expliquer le concept, montrer son intérêt. Dans les phases calculatoires et de tracés des courbes, il s’est volontairement mis en retrait et un travail par groupes permet à chacun de s’approprier un concept délicat et d’en voir tout de suite le bénéfice lorsque la trajectoire parabolique commence à apparaître sur la feuille. Intuitivement, le fait qu’un poids qui monte ne peut que redescendre ensuite permet aux élèves de faire un auto-contrôle de leurs calculs de hauteur et nous sommes déjà dans une démarche d’investigation active.

b) L’activité d’investigation

L’objectif de cette activité est de guider une heptathlète dans ses choix d’entraînement : doit-elle privilégier le travail de la technique de lancer (et rechercher l’angle optimal $\alpha$) ou bien améliorer sa puissance en augmentant sa musculation (afin d’augmenter la vitesse initiale $v$) ?

Enoncé : [5]

1) On considère que l’angle $ \alpha$ vaut 45°. La trajectoire est modélisée par la fonction : $f(x) = - {9,8x^2 \over v^2} + x + 1,8$.

Une vitesse initiale lors du jet de 11,2 m/s permet-elle à l’heptathlète d’améliorer son record personnel ? En cas de réponse négative, à partir de quelle vitesse initiale, l’athlète réussira-t-elle cet exploit ? A votre avis, est-ce réaliste et compatible avec un entraînement d’heptathlète ?

2) On considère que la vitesse initiale du lancer est égale à 11,2 m/s. Quelle est la mesure optimale de l’angle de lancer ? Est-ce une bonne idée de chercher à améliorer la technique de lancer pour cette athlète ?

Analyse de la situation :

Pour obtenir des réponses à la question 1), il faut calculer les images de 14,8 par la fonction f pour les vitesses successives $v$ = 11,2 ; $v$ = 11,3 ; $v$ = 11,4 etc. Lorsque l’image de 14,8 est négative, le poids est déjà tombé au sol (intercepté par la droite d’équation $y$ = 0) avant d’atteindre la distance horizontale 14,80 m et donc le record personnel n’est pas battu. A l’inverse lorsque l’image de 14,8 est positive, le poids est encore en l’air à ce niveau et donc le record personnel de l’athlète est amélioré. Le fichier GeoGebra, dont voici une copie d’écran, est montré aux élèves pour qu’ils puissent passer outre les difficultés de l’abstraction sans trop de peine. On y visualise l’effet des différentes vitesses initiales de 10 m/s (P0) à 13,2 m/s (P8).

Une fois le protocole déterminé collectivement, les procédures d’usage du tableur sont encouragées pour déterminer les images de la nouvelle fonction $g(v) = - {2 146,592 \over v^2} + 16,6 $ obtenue en fixant $x$ = 14,8 dans l’expression de f. Les élèves à forte capacité d’initiative et d’abstraction seront accompagnés, eux, vers la résolution de l’équation $v^2 = a$ sous-jacente. Une nette différenciation des méthodes peut s’opérer dans la classe pour cette question, certains élèves pouvant également être orientés vers la lecture graphique des fichiers GeoGebra.

Cette activité peut être à l’origine d’un bon exercice d’algorithmique pour les enseignants en seconde : on peut demander aux élèves de produire et de tester un algorithme qui permette de calculer les images de la fonction $g$ pour les différentes vitesses allant de 10 m/s avec un pas de 0,01 m/s. La condition de sortie de l’algorithme est alors d’afficher la première vitesse $v$ pour laquelle $g(v) > 0$. Cela fait mettre en pratique des instructions élémentaires (entrées, sorties, calcul de valeurs, affectation) mais aussi des instructions conditionnelles, ceci à peu de frais et avec l’objectif de résoudre un problème concret. Une proposition d’algorithme simple (à tester), réalisé sous AlgoBox, figure ci-dessous :

Pour la question 2), c’est l’usage du tableur qui permet de rendre efficace la recherche de l’angle optimal. Il suffit de programmer le tableur avec une cellule donnant la mesure de l’angle $\alpha$ et la cellule permettant de calculer la longueur du lancer. En utilisant la poignée de recopie, on peut tester différentes valeurs de l’angle et s’apercevoir que l’angle optimal est proche de 41 - 42°. Tout le travail consiste finalement à saisir la bonne formule, ce qui est délicat compte-tenu de l’expression de la portée. La cellule D8 peut servir d’auto-contrôle à l’écriture de la formule tableur car nous savons depuis la première activité que lorsque $ \alpha $ = 45°, la longueur du jet est 14,40 m.

Recherche de l’angle optimal à l’aide d’un tableur

Le fichier GeoGebra, dont voici une copie d’écran, peut permettre au professeur de montrer la pertinence des résultats des élèves lors d’une correction collective.

Là encore, cette activité peut donner lieu à un exercice d’algorithmique contenant une instruction conditionnelle en classe de seconde. En voici un exemple :

Ces trois approches sont complémentaires et montrent bien la continuité des programmes entre le collège et le lycée.

La formulation de ce protocole d’expérimentation n’est pas aisée dans la mesure où les élèves n’envisagent pas forcément les mathématiques comme une aide à la décision et encore moins le tableur comme un outil permettant de réitérer plusieurs fois des calculs similaires en un minimum de temps. C’est sûrement une des insuffisances de la formation suivie par les élèves au collège. Il faudra faire sentir que la tâche est longue, répétitive et que les calculs sont assez pénibles du fait des carrés et des coefficients décimaux d’où l’efficacité de l’ordinateur. La résolution de problème en 4ème devrait notamment s’attaquer à ce genre de procédures de recherche. C’est le travail de l’enseignant de faire acquérir ce type de réflexes et cela doit donc faire partie intégrante du bilan de l’activité.

En conclusion de cette situation-problème, je note que les travaux menés en groupes sont ici utiles à la confrontation des idées. Pour l’enseignant, la différenciation pédagogique doit être effective et des « coups de pouces » ciblés doivent aiguiller les élèves en fonction de leur profil.

Quelle drôle d’idée ! Pourtant lors du célèbre meeting d’athlétisme de Zurich, depuis 2010, le concours du lancer de poids a été délocalisé hors du stade dans le hall de la gare centrale de la ville. Les organisateurs du meeting souhaitent pour leur prochaine édition promouvoir une autre discipline athlétique...Pourquoi pas le lancer du javelot ? Voilà en gros comment je pourrais résumer le second problème à trajectoire parabolique de l’année (il s’agit d’un petit extrait d’un problème plus vaste mené en demi-classe [6]).

Valerie Adams lance le poids dans la gare de Zurich lors du Weltklasse

Là encore, les deux équations du mouvement sont données. Je demande aux élèves de choisir l’une des deux pour décider si organiser le concours de javelot à cet endroit est une bonne idée. Le facteur limitant est les dimensions du hall et plus particulièrement la hauteur sous plafond. Les élèves doivent donc estimer la hauteur maximale de l’engin.

Enoncé :

Le hall de cette gare est un rectangle de longueur 131 mètres et de largeur 41 mètres. Il est surplombé par un superbe toit en verre et en fer situé 22 mètres au-dessus du sol. Lors du record du monde de Jan Zelezny, les spécialistes ont déterminé que le mouvement du javelot pouvait être modélisé à l’aide des deux fonctions mathématiques suivantes :

.

La fonction $h$ donne la hauteur du javelot en fonction du temps de vol $t$ et la fonction $d$ représente la distance horizontale parcourue par le javelot en fonction du temps de vol. Les spécialistes ont également déterminé que le javelot avait atteint le maximum de sa hauteur au bout de 2 s de vol.

Organiser une compétition de lancer du javelot dans la gare centrale de Zurich vous paraît-il une bonne idée ? Justifier votre réponse.

Analyse de la situation :

Les élèves doivent d’abord comprendre que l’usage de la fonction $d$ ne leur apportera rien car la durée totale du temps de vol est inconnue. La longueur du hall n’est pas le facteur limitant comme on pourrait d’abord le penser. Les élèves ont souvent spontanément l’impression que c’est la fonction $d$ qui joue le rôle le plus important car ils sont conditionnés par le but de l’épreuve du javelot qui est de lancer le plus loin possible. Une fois cette piste écartée (ce que certains se refusent à faire d’ailleurs), les élèves doivent se remobiliser pour étudier la piste de la hauteur maximale de l’engin (il s’agit de calculer l’image du nombre 2 par la fonction $h$). Ils s’aperçoivent alors que la verrière de la gare centrale est en danger !

Cet énoncé me semble intéressant et il est rapide à traiter. Après une phase d’appropriation du problème, les élèves doivent mobiliser leurs connaissances et les mettre au service d’un problème "de bon sens". Il est important de montrer que « dans la vie réelle » les prises de décision pour des besoins de sécurité peuvent s’appuyer sur des modèles mathématiques.

C) La catapulte dans un dessin animé

Le prochain exercice est plutôt destiné à un devoir-maison (il a été proposé plus tard dans l’année). On peut néanmoins regarder l’extrait vidéo en classe. Il est issu de l’épisode 9 des Mystérieuses Cités d’Or (saison 1, celle des années 80). Lors d’un combat entre Espagnols et Incas, ces derniers utilisent une catapulte qui propulse une pierre dans les airs. A-t-elle des chances de toucher les lignes ennemies ?

La catapulte des Incas

copyright : MK Production / DIC

Enoncé :

Toute trace de recherche et d’initiative pertinente rapportera des points.

Les Incas envoient des pierres à leur adversaire au moyen d’une catapulte. On considère que la trajectoire suivie par ces pierres est une parabole et que la fonction décrivant cette trajectoire est :

où $x$ représente la distance horizontale (en m) parcourue par la pierre et $ f(x) $ représente la hauteur de la pierre (en m) lorsque la distance horizontale $x$ a été parcourue.

La distance entre la catapulte des Incas et les premiers soldats espagnols est de 45 mètres. Les Incas ont-ils une chance de toucher leurs adversaires ?

Analyse de la situation :

Il s’agit d’un travail d’investigation à part entière comme l’indique la petite phrase d’en-tête dans l’énoncé. La mobilisation des connaissances antérieures est impérative pour traiter le problème. L’image du nombre 45 par la fonction $f$ donne « l’altitude de la pierre » lorsque celle-ci est au niveau des soldats Espagnols. Si celle-ci est négative, la pierre est tombée au sol avant 45 mètres et n’atteindra pas les ennemis. Si celle-ci est plus grande que la taille d’un humain d’une stature normale, on peut considérer qu’elle passera au-dessus des adversaires et ne les touchera pas.

Cet énoncé est intéressant car le travail s’achève par la nécessité d’interpréter le résultat du calcul : que signifie la valeur de l’image de 45 relativement au contexte étudié ? La compréhension des mécanismes de l’abstraction et des liens avec la réalité qu’ils modélisent demeure pour moi un des objectifs prioritaires au collège.

On peut noter que certains élèves tentent évidemment d’employer une autre stratégie et essayent de déterminer un antécédent de 0 par la fonction proposée. Mais le bagage technique des élèves de troisième est insuffisant pour que cette piste aboutisse. Cela peut constituer un bilan enrichissant (une méthode exacte échoue par manque de technique adéquate alors qu’une méthode approchée est suffisante pour aboutir au résultat !)

Le recours au logiciel de géométrie dynamique demeure une possibilité offerte aux élèves pour résoudre ce problème, tout particulièrement aux élèves issus du profil « TICE ». Le logiciel de géométrie dynamique permet de matérialiser la trajectoire et de placer éventuellement l’image de la catapulte et des Espagnols dans le fichier, ce qui rend la procédure infiniment élégante.
On peut en voir un exemple ci-dessous :

Le tableur, lui, permet d’automatiser le calcul d’image mais est peu rentable par rapport à la stratégie à la main. Les élèves ont totale liberté pour organiser leurs réponses. Je propose même de les faire travailler en groupes en organisant des échanges via des plate-formes ENT ou Moodle, pour les inciter à s’approprier des outils numériques. La même démarche peut-être suivie au moment d’aborder le prochain problème qui mêle fractions et fonctions. On pourra montrer que la calculatrice permet d’automatiser le calcul d’image à cette occasion.

On peut regarder l’extrait vidéo du dessin animé en classe : il s’agit d’un passage de l’épisode 11 des Mystérieuses Cités d’Or. On y voit un Inca, Ketcha, lancer un javelot en direction de soldats espagnols pour faciliter la fuite des héros Esteban, Zia et Tao. Peut-on calculer la distance qui sépare les différents adversaires ?

Enoncé :

On suppose que le mouvement du javelot de Ketcha peut être modélisé à l’aide des deux fonctions mathématiques suivantes :

La fonction $h$ donne la hauteur, en mètres, du javelot en fonction du temps de vol $t$ et la fonction $d$ représente la distance horizontale parcourue, en mètres, par le javelot en fonction du temps de vol $t$. Le temps de vol est exprimé en secondes.

Ketcha lance le javelot

copyright : MK Production /DIC

a) Le javelot de Ketcha vient se planter au pied d’un soldat espagnol. Quelle est la durée t de son vol en secondes ?

Plusieurs réponses sont proposées. Choisir celle qui convient et justifier :

b) Calculer la longueur exacte, en mètres, du lancer de javelot de Ketcha.

Analyse de la situation :

Ici la question a), qui est à choix multiples, pourrait laisser penser que l’énoncé est très guidé et ne laisse place à aucune construction de démarche. Ce n’est pas totalement vrai. En effet, pour se lancer dans la résolution de cet exercice, l’élève devra avoir compris qu’il faut chercher la valeur de $t$ qui annule la fonction $h$ (la fonction $d$ devra être mise de côté), en effet lorsque la hauteur du javelot devient nulle, le vol de celui-ci s’achève. Un certain nombre d’initiatives restent alors à prendre :

• tester successivement les valeurs de t proposées ;
• travailler avec des valeurs exactes pour conserver une précision dans les calculs ;
• s’arrêter dès le premier succès.

En fait, le bagage technique d’un élève de troisième étant de nouveau insuffisant pour résoudre l’équation $h(t) = 0$, il est nécessaire de proposer différentes valeurs du temps de vol pour ramener la recherche de cet antécédent de zéro à une stratégie d’essai-erreur basée sur des calculs d’images. Cette méthode est instructive : il faut montrer aux élèves qu’il est courant dans la démarche scientifique de procéder par essais successifs afin de rechercher une solution qui respectent toutes les contraintes. Là encore, je reste persuadé que ce type de démarche n’est pas spontané et que traiter ce type de problème s’avère très formateur, et pas seulement pour la manipulation des éléments techniques de calcul (fractionnaire).
Le temps de vol étant acquis, il reste encore à réinjecter celui-ci dans l’expression de l’autre fonction pour remplir les objectifs.
Certains élèves issus des profils TICE ont à leur disposition un fichier GeoGebra servant d’aide à la conjecture. On peut voir ici qu’au bout de 1,4 seconde, le javelot n’est pas encore au sol :

La programmation de la calculatrice est aussi encouragée. Elle permet de rejeter certaines valeurs de $t$ et d’affiner la fourchette de recherche entre 1,7 et 1,8 (voir copie d’écran ci-dessous).

Copie de manipulation de la calculatrice

Copie d’écran pour les résultats

Bob Beamon a réalisé un exploit retentissant en 1968 avec un saut en longueur à 8,90 m. Il restera détenteur du record du monde pendant 23 ans. Son saut de l’époque a été analysé en détail.

En 1968, Bob Beamon réalise un exploit incroyable : la hauteur de son centre de gravité est impressionnante sur cette image

Enoncé :

A partir de cette trajectographie [7] du centre de gravité du sauteur en longueur Bob Beamon, peut-on retrouver l’équation de sa trajectoire parabolique ?

Trajectographie du centre des masses de Bob Beamon

On donne les indications suivantes :

• la hauteur de son centre de gravité à la verticale de la planche d’envol est 1,25 m ;
• au « sommet » de son saut, il se trouve à 4 mètres de la planche et son centre de gravité atteint 1,96 m ;
• la longueur de son saut est 8,90 m (pied) mais le centre de gravité est placé en avant au sol à 9,40 m.

Analyse de la situation :

Il s’agit bien sûr d’un problème d’interpolation qui semble donner lieu à un système de trois équations à trois inconnues, hors de portée des élèves de troisième. Pourtant, à l’aide des coordonnées du centre de gravité au moment de l’appel, on peut éliminer rapidement une variable et se retrouver dans le contexte plus rassurant du système d’équations du programme de troisième. Cette situation-problème peut donc servir d’introduction au chapitre sur les systèmes d’équations. Il s’agit essentiellement de lancer les élèves dans le formalisme du système et de faire étudier la méthode par élimination. Au besoin, les calculs techniques peuvent être confiés à la calculatrice lorsque les bases méthodologiques sont en place. Il faut cependant au préalable avoir bien travaillé le fait que si un point appartient à la représentation graphique d’une fonction $f$, cela signifie que ses coordonnées sont de la forme ($x$ ; $f(x)$) et savoir en tirer profit pour retrouver l’équation de la parabole sous la forme $f(x) = ax^2 + bx + 1,25$.
Parmi les coups de pouce que l’on peut imaginer, on peut penser à distribuer des indices :

• en forme texte à trous du type : comme $f(4) = 1,96$ alors cela signifie que $a × .....+ b × ..... + 1,25 = ......$ ;
• en forme de système facile à résoudre du type deux stylos et une gomme coûtent 3 euros, deux stylos et trois gommes coûtent 4,20 euros....pour inspirer des techniques de résolution ;
• en forme de tutoriel pour résoudre un système avec l’aide d’une calculatrice scientifique (profil TICE).

Le travail sur cet exercice se conclut par une auto-évaluation des résultats trouvés. Chaque groupe peut venir saisir les paramètres $a$ et $b$ qu’il a trouvé dans un fichier GeoGebra tout préparé avec la trajectographie en image de fond. La parabole ainsi construite par le « choix » de $a$ et $b$ doit épouser la parabole initiale. Si ce n’est pas le cas, le groupe peut repartir travailler : une erreur a été commise dans la résolution du système. Le fichier ci-dessous montre que les valeurs calculées pour $a$ et $b$ à $10^{-4}$ près, - 0,0575 et 0,4075, donnent naissance à une parabole qui respectent quasi-parfaitement les données du problème.

Fichier GeoGebra de contrôle de la trajectoire de Bob Beamon

Cet exercice peut paraître très difficile mais il faut bien avoir en tête que si l’on s’en donne le temps et si l’on fait usage de coups de pouce ciblés, les résultats obtenus peuvent être étonnants.