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Suites récurrentes : La toile sur tableur
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Mis en ligne le 27 janvier 2007, par Yves Martin

On a tellement l’habitude d’avoir des calculatrices qui ont cette option "web" dans les classes terminales qu’il est intéressant de regarder comment on peut "faire la toile" sur un tableur.
Pédagogiquement, l’exercice est intéressant à proposer dans les classes scientifiques car c’est - au minimum - un changement de cadre significatif de la récurrence : rendre compte de l’initialisation ? Bon, OK. Et de l’hérédité ? Ah ! là, il faut peut-être réfléchir un peu ...
Cet article comporte deux parties : tout d’abord un exemple d’utilisation en Terminale, ensuite une application plus sophistiquée utilisable, sur les suites récurrentes, utilisable en BTS ou encore en L1.

Première partie : On travaille sur un exercice de base (annales du Bac), avec une parabole ayant un seul point fixe.

On part donc de cette feuille :

Il y a la courbe sur [0 ; 1,2], la droite y=x, et le point fixe, simplement calculé par

Les élèves savent déjà tracer les suites en fonction de n, on cherche cette fois à construire la spirale qui s’enroule - ou non - autour du point fixe.

L’initialisation consiste à tracer le segment [UV] avec U(u0, 0) et V(u0, f(u0)). Il faut deux lignes sur le tableur.

L’hérédité peut être de construire deux segements : le premier, horizontal, d’un point de la courbe à la droite y = x, et un second, vertical, de cette droite au point suivant de la courbe. Pour faire cela il faut donc 4 lignes du tableur.


Recherche en classe :
il est particulièrement intéressant de laisser les élèves chercher,par exemple aprés avoir fait l’initialisation ensemble. Il peut y avoir plusieurs nivaux de recherche : Que va (doit ?) être l’hérédité ? Que va-t-on faire avec la poignée de recopie (l’appplication de la récurrence) ?

Selon l’aisance (ou la non aisance) des élèves, on peut proposer à un moment de la recherche une schématisation au tableau construisant les deux segments mentionnés ci-dessus, laissant alors à la charge des élèves le seul codage "tableur" de cette schématisation ... et l’application de la poignée de recopie.

Si on devait l’écrire, on peut proposer par exemple :

La poignée de recopie s’appliquant alors à la sélection des lignes 3 à 6. Il est toujours amusant (il faut être honnète) de voir les premiers résultats. En général les élèves, non seulement quand ils cherchent seuls, mais même quand on leur proposet ce tableau, ne prennent pas en compte le recopie en ligne 5 de la ligne 4 (une "probable erreur du prof" - tester alors ce que cela fait). C’est l’occasion de rappeller que c’est ... en cherchant qu’on a des chances de trouver. En général les élèves mettent un point d’honneur à "réussir la spirale". Cela va plus vite dès que quelques uns y sont parvenus et expliquent aux autres.

On finit alors par arriver, plus ou moins rapidement à [1] :

qui correspond à une convergence rapide [2] de la suite, qu’on peut aussi représenter ainsi :

un exemple de convergence plus lente

ce qui correspond à la suite u(n) :

Quand a augmente, la suite ne converge plus, le point fixe devient répulsif, comme on peut le voir ici (avec la valeur initiale très proche du point fixe) :

Donc on voit plus clairement sous forme de suite qu’il y a deux valeurs d’adhérence, c’est-à-dire - pour le lycée - deux sous suites qui convergent vers deux valeurs différentes :

Télécharger le fichier correspondant (SpiraleSesam.xls) :

Excel - 58.5 ko

Seconde partie :
Les suites homographiques sont un classique des activités de terminale avec l’utilisation d’une suite annexe - géométrique ou arithmétique selon le cas - pour montrer la convergence.
Cette partie propose l’utilisation en classe entière, soit en Terminale soit en BTS, d’une feuille de calcul qui permet de faire le point, sur l’ensemble des problèmes de ce type.

Le dossier de calcul proposé ici n’est pas à construire par les élèves, mais simplement à manipuler. L’objectif est de visualiser les mécanismes d’attractivité et de répulsivité des points fixes.

En pratique, l’hyperbole correctement dessinée dans tous les cas du paramètre est plus complexes à réaliser que la parabole de la première partie si on veut conserver un comportement régulier à l’approche de l’asymptote verticale.

On part donc de cette première feuille de calcul

On y repèrera l’hyperbole et ses asymptotes (beu clair), les intersections de la parabole associée avec l’axe des abscisses qui correspondent aux points fixes de la fonction f (traits de rapppel en marron) et donc aux deux candidats potentiels à la convergence de la suite.

Puis on place les itérations, d’abord dans un cas (relativement) quelconque comme ici (u0 proche du point répulsif) :

On notera donc le résultat général rappelé dans la feuile de calcul et qui, en classe peut se démontrer simplement avec le calcul formel d’une Voyage 200 ou d’une ClassPad par exemple, à savoir que l’un des points est attractif et l’autre répulsif, selon la valeur absolue de k. Le calcul principal est le suivant ; il donne la valeur de k :

On sait la convergence géométrique de rapport k.On peut vérifier qu’elle est trés lente pour k proche de 1. Par exemple ci-dessous, une valeur initiale proche du point répulsif fait que l’itération est longue à être repoussée :

Alors que ce n’est pas du tout le cas pour k assez grand, la convergence vers l’autre racine (géométrique de rapport 1/k) est plus significative :

On peut vérifier la même chose dans l’autre sens pour k < 1 :

Enfin une autre feuille de calcul du dossier s’intéresse au cas de la racine double l. On sait qu’alors l’inverse de u(n)- l est arithmétique, ce qui suffit à montrer que la suite converge vers la racine double. Le calcul est plus délicat car il faut prendre en compte que le discriminant est nul. Ci-dessous la vérification à la Voyage 200 qu’il y a bien une suite aritmétique : on trouve que la raison arithmétique est 2c/(a+d) :

On obtient alors :

En pratique un côté est attractif et l’autre répulsif. On voit ici, avec une valeur initiale inférieure à la racine, que le point fixe est répulsif à gauche et attractif à droite, et que la discontinuité assure la convergence.

On peut aussi faire la même figure en géométrie dynamique, ci-dessous avec Cabri-géomètre, mais peut aussi bien se faire avec un autre logiciel

Excel - 204.5 ko

notes

[1Il y a une "erreur" fabuleuse que je n’ai pas réussi à reproduire, c’est quand la spirale est en mode d’ajustement non linéaire : elle ressemble alors à un joli escargot

[2au sens usuel du terme et non pas dans la typologie "rapide, géométrique, lente" de la vitesse de convergence des suites.

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