Mathématice, intégration des Tice dans l'enseignement des mathématiques  
Sommaire > N°57 - novembre 2017 > La mesure des longitudes des étoiles dans (...)

La mesure des longitudes des étoiles dans l’Antiquité et la précession des équinoxes
Moteur de recherche

A James EVANS

En 2005 , lors d’une réunion au sein de l’American Astronomical Society qui s’est tenu à San Diego, Bradley E. Schaefer rapporte qu’il a trouvé un lien possible entre l’Atlas Farnèse et le catalogue d’étoiles perdu attribué à Hipparque de Nicée. Après une analyse statistique poussée de la position des constellations représentée sur le globe, il tire la conclusion que celle-ci est compatible avec la configuration des étoiles visibles qui est apparue à l’époque de ce grand astronome de la Grèce antique.

Cette conclusion a été contestée par Dennis Duke de l’université d’État de Louisiane.

À James EVANS, auteur du livre « l’Histoire et la pratique de l’astronomie ancienne » publié aux Belles Lettres.

Je remercie Louis SAIS pour son travail attentif de relecture et la pertinence de ses remarques qui m’ont obligé à remanier mon texte pour le rendre plus rigoureux.

« Nous sommes des nains juchés sur des épaules de géants »

Métaphore attribuée à Bernard de Chartres ( 12eme siècle)

Table des matières

Introduction

Ce document essaie de répondre à la question de savoir comment Ptolémée et Hipparque réussirent à constituer leur catalogue d’étoiles par la mesure des longitudes écliptiques des étoiles. Leur idée astucieuse fut d’utiliser la lune soit au cours d’une éclipse de lune soit comme intermédiaire lorsque le soleil et l’étoile n’étaient pas simultanément visibles dans le ciel. De nombreux préalables seront nécessaires en vue de la présentation de cette idée aux paragraphes 11 et 12.

Le catalogue de Ptolémée publié au deuxième siècle ap .J.-C dans son Almageste, qui liste 1022 étoiles visibles depuis Alexandrie, fut le catalogue de référence des mondes occidental et arabe pendant plus de mille ans. Ce catalogue était en partie basé sur un catalogue antérieur produit par Hipparque à partir du deuxième siècle av .J.-C. Cent ans plus tôt, Timocharis d’Alexandrie avait dressé un premier catalogue.

C’est en comparant ses observations avec celles de Timocharis (320 av. J.-C /.260 av. J.-C) relativement à la longitude écliptique de l’étoile Spica (Alpha Virginis) qu’Hipparque en 129 av. J.-C mit en évidence le phénomène de la précession des équinoxes expliqué pour la première fois par Newton et plus tard par Jean le Rond D’Alembert, la découverte de la nutation par Bradley ayant servi de catalyseur à D’Alembert.

Un glossaire d’astronomie vient en appui au texte :

https://www.imcce.fr/langues/fr/grandpublic/systeme/promenade/pages2/201.html

Enfin, je ne saurais trop recommander le très beau livre de James Evans publié aux Belles Lettres qui constitue une somme dans le domaine de l’astronomie ancienne.

0 ) De quelle précision parle-t-on dans l’Antiquité ?

Il est intéressant de savoir que les instants des solstices et équinoxes étaient connus à 1/4 jour près, que les clepsydres donnaient l’intervalle de temps depuis le midi à 20 minutes près, que les angles étaient mesurés à 10’ près.

C’est très certainement avec le perfectionnement de la clepsydre que Ctesibios ( iiiesiècle av. J.-C) connaît une grande renommée. Créée en Egypte, la clepsydre était constituée d’un réservoir plein d’eau se vidant par une ouverture dans le bas, dans un deuxième récipient. Ce système était peu précis car plus le niveau de l’eau dans le premier récipient baisse, plus le filet d’eau qui coule est faible : le flux d’eau est donc irrégulier.

Ctésibios propose donc d’ajouter un troisième récipient entre les deux déjà existants. Ce vase intermédiaire est maintenu ainsi à niveau constant.

Une variante comporte une sorte de flotteur qui obture plus ou moins l’ouverture du premier récipient à mesure que le deuxième récipient se remplit. Ainsi, lorsque l’eau atteint un certain niveau dans le deuxième récipient, l’ouverture dans le premier récipient est totalement fermée. Et lorsque le deuxième récipient se vide, le flotteur libère à nouveau cette ouverture, et le niveau remonte. Ainsi, le niveau de l’eau du deuxième récipient reste constant.

En conséquence, le flux d’eau passant du 2e au 3e récipient est constant. Cette clepsydre est donc beaucoup plus fiable. Ce système est toujours utilisé aujourd’hui, dans les chasses d’eau et les carburateurs d’automobile, par exemple. (Wikipedia)

schéma 2

1) Les coordonnées écliptiques et équatoriales

Voir Mathématice N°56 http://revue.sesamath.net/spip.php?article1004

schéma 3

Dans le milieu du deuxième siècle avant notre ère, Hipparque rédige un catalogue d’étoiles dont les coordonnées sont essentiellement équatoriales (850 étoiles environ), mais certaines de ces coordonnées sont aussi écliptiques (plus de 122) .

2) Les constellations du zodiaque et la manière de spécifier les longitudes dans l’Antiquité.

schéma 4

Les étoiles projetant vers la Terre l’image d’une casserole (la grande ourse) sont en réalité à des distances considérablement différentes de la terre.

Les astronomes de l’Antiquité avaient remarqué que le Soleil se trouve chaque année, à la même époque, en avant plan de la même constellation. Ils comptèrent ainsi une douzaine de constellations que le Soleil semble traverser dans sa ronde autour de la Terre durant une année.

schéma 5

Dans l’Antiquité, les signes du zodiaque sont au nombre de 12 (schéma ci-dessus). Pour les astronomes, le Soleil, dans son mouvement apparent autour de la Terre, traverse chaque année non pas 12, mais 13 constellations (schéma ci-dessous).

schéma 6

Comment déterminer le jour de l’équinoxe ou le soleil franchit l’équateur au point vernal origine des coordonnées écliptiques ?

Le point vernal est l’un des deux points d’intersection de l’équateur et de l’écliptique qui est le trajet apparent du soleil au cours de l’année.

Un gnomon permet de déterminer grâce aux ombres le jour de l’équinoxe. Les ombres sont en effet alignées aux équinoxes.

schéma 7

https://fr.wikipedia.org/wiki/Gnomon

schéma 8

L’extrémité de l’ombre du bâton décrit sous nos latitudes une hyperbole.

Prenons le pied du bâton comme origine du repère orthonormé d’axe des y dirigé vers le nord et d’axe des x vers l’est. On démontre que l’équation de l’hyperbole mise sous la forme y=f(x) est :

Si $\delta=0$ (équinoxe de printemps et d’automne) on obtient $y=a\tan \varphi$ ce qui est l’équation d’une droite parallèle à l’axe des abscisses.

Avec $\varphi$ latitude du lieu

Avec $\delta$ déclinaison du soleil

Avec a longueur du gnomon

De manière plus précise on peut déterminer l’instant de l’équinoxe de printemps par interpolation linaire. Voir le site de Louis Sais sur la détermination du point vernal par Timocharis.

http://louissais.free.fr/index.php?option=com_content&view=article&id=100&Itemid=108

Comment étaient spécifiées les longitudes dans l’Antiquité ?

club astronomie du Lycée ST Exupéry

schéma 9

Ainsi, si une étoile a pour longitude écliptique 122$\frac{1}{2}$ °, elle est alors à 2$\frac{1}{2}$ °dans le lion.

Dans l’Antiquité, le point vernal origine des longitudes écliptiques en astronomie moderne, était dans la constellation du Bélier et servait d’origine des longitudes écliptiques dans Bélier. Il est actuellement dans la constellation des poissons.

Si une étoile est 3$\frac{1}{20}$ ° dans les poissons, cela signifie qu’elle est à 333° 3’ de longitude.

La longitude des astres a été donnée dans les livres d’astronomie en utilisant les signes du zodiaque jusqu’au 19° siècle.

Les constellations comme il sera expliqué au paragraphe 10 vont se décaler par rapport au point vernal du fait de la précession des équinoxes.

3) Les heures temporaires et les heures équinoxiales

a) Heures temporaires

La subdivision d’un jour clair en douze heures temporaires, consiste à considérer l’arc diurne du Soleil et à le diviser en douze parties égales entre elles. Bien entendu, le lendemain du jour choisi, l’arc diurne du Soleil n’aura plus la même mesure et l’heure temporaire ne contiendra plus le même nombre de minutes, mais chacune des douze heures temporaires vaudra exactement autant que chacune des onze autres. A une latitude donnée, les durées des heures temporaires ne dépendent que de la déclinaison du Soleil. Ainsi, à nos latitudes moyennes, autour de 45°, l’heure temporaire de jour vaut 40 minutes vers le solstice d’hiver, 1 heure 20 minutes près du solstice d’été et, évidemment, 60 minutes les jours d’équinoxes. Il existe donc une variation du simple au double d’un solstice à l’autre. La même chose peut être dite, en inversant toutes choses, des heures temporaires de nuit ; chaque jour (date), la somme d’une heure temporaire de jour et d’une temporaire de nuit est toujours de 120 minutes.

(D’après Charles-Henri Eyraud, Paul Gagnaire)

schéma 10 D’après WIKIPEDIA

Voici ce qu’en dit Jérôme Bonnin dans « la mesure du temps dans l’Antiquité » :

« Lorsque dans un texte quelconque on lit qu’un évènement s’est produit à la sixième heure, cela ne signifie pas six heures du matin ou du soir mais midi solaire, puisque les heures sont comptées à partir du lever du soleil(du moins chez les Romains). On divisait en outre la nuit en 12 heures égales. Le temps du jour et de la nuit était donc compté en heures différentes, puisque sauf aux équinoxes, la durée du jour n’est jamais égale à celle de la nuit ».

Évolution des heures temporaires

Solstice d’hiver Équinoxe Solstice d’été

schéma 11 D’après Michel LALOS

Au début du 17 ème siècle, Galilée dans le messager des étoiles nous dit qu’il utilisait les heures temporaires ou inégales.

b) Heures équinoxiales

schéma 12 D’après WIKIPEDIA

Dans l’Antiquité, les heures d’usage courant étaient les heures temporaires dites aussi inégales. Elles ne pouvaient pas convenir aux astronomes-géographes qui avaient besoin de références temps « invariables » pour accompagner leurs travaux d’observations et de calculs. Ils employèrent alors des heures équinoxialesouheures égales, qui bien plus tard (au XVIIIe siècle) porteront le nom d’heures solaires vraies.

Une heure équinoxiale correspond à la vingt-quatrième partie du jour solaire vrai qui est dans sa définition moderne le temps qui s’écoule entre deux passages consécutifs du Soleil au méridien supérieur d’un lieu.

Les heures équinoxiales, dites égales ne le sont en fait qu’en première approximation. En effet les jours solaires vrais ont une durée qui varie tout au long de l’année pour deux raisons : la première est due à l’inclinaison de l’écliptique sur l’équateur ; la seconde est le fait de la variation de la vitesse de translation de la terre sur son orbite. Ainsi la durée du jour solaire vrai varie-t-elle entre 23 h 59 min 39 s et 24 h 00 min 30 s. Soit une différence de 51 s.

c) Exemple de conversion d’heures équinoxiales en heure temporaire et réciproquement.

Nous sommes le 23 février 139 à Alexandrie.

Cherchons le lien entre l’heure temporaire et l’heure équinoxiale.

Pour cela, nous allons nous référer au Mathematice n°56

http://revue.sesamath.net/spip.php?article1004

qui nous donne la durée du jour en fonction de la latitude et de la déclinaison du soleil.

La déclinaison du soleil est le 23 février 139 est environ -10°.

La latitude : 31° 12’ 56 Nord

Ce qui donne pour la durée du jour le 23 février 139 : 11,18 h .

On peut aussi obtenir ce résultat par le site : https://ptaff.ca/soleil/

12 heures temporaires de jour valent approximativement 11,18 heures équinoxiales.

1 heure temporaire de jour $\approx$ 0,93 heures équinoxiales

1 heure équinoxiale $\approx$ 1,07 heures temporaires de jour

4) Les éclipses de lune

schéma 13

source : https://www.calendrier-lunaire.fr/lune/eclipses-de-lune-et-de-soleil-comprendre-le-calendrier-lunaire/

Lorsque les longitudes célestes géocentriques de la Lune et du Soleil différent de 180°, c’est la pleine lune.

Une éclipse de Lune se produit lorsque la Lune passe dans l’ombre de la Terre. Toutes les personnes situées sur Terre côté nuit peuvent voir l’éclipse. Les différentes phases de l’éclipse (entrée dans l’ombre ou sortie de l’ombre) se produisent pour tous au même moment.

Une éclipse de Lune ne peut se produire qu’à la pleine lune.

La terre, éclairée par le Soleil, donne naissance, dans la direction opposée au Soleil à deux cônes, un cône d’ombre et un cône de pénombre. La droite joignant le centre du Soleil et le centre de la Terre constitue l’axe de ces cônes. Le sommet du cône de pénombre est situé sur cet axe entre le Soleil et la Terre, et le sommet du cône d’ombre est également situé sur cet axe mais de l’autre côté par rapport à la Terre. Le cône d’ombre est le cône tangent aux deux sphères solaires et terrestre. Les génératrices de ces 2 cônes sont des tangentes extérieures communes aux sphères solaire et terrestre, le cône de pénombre est construit à partir des tangentes intérieures aux sphères solaire et terrestre.

schéma 14 source : http://phoux.com/ombres.htm

schéma 15 source :CLEA

On sait que la Terre orbite autour du Soleil dans un plan appelé écliptique qu’elle parcourt en un an. Sa trajectoire est très proche d’un cercle. De même, la Lune orbite autour de la Terre sur une trajectoire relativement elliptique, qui n’est pas contenue dans l’écliptique. C’est ainsi que le plan de l’orbite lunaire est incliné par rapport à l’écliptique d’environ 5°. L’orbite lunaire traverse le plan de l’écliptique en deux points appelés nœud ascendant et nœud descendant. L’alignement des centres du Soleil, de la Terre et de la Lune ne peut se produire qu’au voisinage des nœuds. Or la ligne des nœuds de l’orbite lunaire n’est pas toujours alignée avec le Soleil.

Les différentes phases des éclipses de Lune sont les suivantes :

1) L’entrée de la Lune dans la pénombre : c’est l’instant où le disque lunaire est tangent extérieur au cône de pénombre.

2) L’entrée de la Lune dans l’ombre, uniquement pour les éclipses par l’ombre : c’est l’instant où le disque lunaire est tangent extérieur au cône d’ombre.

3) Le commencement de la totalité, uniquement pour les éclipses totales par l’ombre : c’est l’instant où le disque lunaire est tangent intérieur au cône d’ombre.

4) Le maximum de l’éclipse : c’est l’instant où la distance entre le centre du disque lunaire et le centre du cône d’ombre est minimale.

5) La fin de la totalité, uniquement pour les éclipses totales par l’ombre : c’est l’instant où le disque lunaire est de nouveau tangent intérieur au cône d’ombre.

6) La sortie de l’ombre, uniquement pour les éclipses par l’ombre : c’est l’instant où le disque lunaire est de nouveau tangent extérieur avec le cône d’ombre.

7) La sortie de la pénombre : c’est l’instant où le disque lunaire est de nouveau tangent extérieur avec le cône de pénombre.

Pour qu’il y ait éclipse, il est nécessaire que :

1) la Lune présente une phase de Pleine Lune,

2) la Lune soit au voisinage de l’un de ses nœuds.

Nous aurons à nous servir par la suite du maximum de l’éclipse : c’est l’instant où la distance entre le centre du disque lunaire et le centre du cône d’ombre est minimale.

L’élongation de la Lune( angle lune, terre, soleil) est à son maximum quand son centre se rapproche le plus de l’axe du cône d’ombre projeté par la terre (schéma 6 du paragraphe 8). L’instant de ce maximum géométrique peut ne pas correspondre à l’instant du maximum photométrique qui se produit lorsque la lune est obscurcie au maximum, ce qui dépend des conditions atmosphériques particulières sur le bord du disque terrestre.

schéma 16 source : club VEGA

L’éclipse de lune est totale lorsque la lune pénètre complètement dans l’ombre de la terre et totale centrale si de plus les centres des 3 astres sont exactement alignés, ce qui se produit environ une fois par siècle en moyenne.

schéma 17

Le maximum a lieu à 20h 30.1m et la pleine Lune a lieu à 20h 33,6m (passage au nœud descendant).

Parfois, c’est le contraire, la pleine lune peut précéder le maximum comme dans l’éclipse du 7 août 2017. la pleine lune a lieu à 18 h 12 m et le maximum a 18 h 20 m 26,953 s (passage au nœud ascendant).

a) Observer en vidéo le déroulement d’une éclipse lunaire partielle et totale

C’est ici http://astroplanetes.net/eclipse-lune.html

b) Pourquoi voit-on la lune lors d’une éclipse totale ?

C’est ici 1) http://adsabs.harvard.edu/full/1964LAstr..78..181J

C’est ici 2) https://media4.obspm.fr/public/AMC/pages_eclipses-lune/stlp-effets-lumineux.html

schéma 18 source : astroclub.toussaint

c) Canon d’une éclipse

Les particularités des éclipses de lune sont détaillées dans ce que l’on appelle le canon de l’éclipse dont on trouvera l’explication dans :

http://www.imcce.fr/langues/fr/ephemerides/phenomenes/eclipses/lune/

d) Détermination des phases de la lune selon le mois et l’année

http://www.imcce.fr/fr/grandpublic/phenomenes/phases_lune/index.html

e) Les phases de la lune : positions relatives de la terre, du soleil et de la lune

http://physiquecollege.free.fr/physique_chimie_college_lycee/cinquieme/optique/phases_lune.htm

schéma 19

Au cours d’une éclipse de lune, l’ élongation de la lune ne vaut pratiquement jamais 180° mais s’en approche beaucoup.

Ainsi pour l’éclipse de lune du 27 juillet 2018, l’élongation vaut 178° 58’ 30’’ .

5) Notion de parallaxe : la parallaxe diurne ou parallaxe verticale et la parallaxe horizontale

schéma 20

Soit L l’astre étudié.

Appelons A l’intersection de (CL) avec la sphère céleste autrement dit A est astre vu du centre de la terre.

Appelons B l’intersection de (mL) avec la sphère céleste autrement dit B est l’astre vu de l’observateur m.

schéma 21 sphère céleste

schéma 22 terre sans la sphère céleste

schéma 23 schéma précédent sans la terre

Les points A et B étant sur la sphère céleste supposée d’un rayon infiniment grand, on a compte tenu de ce que la distance mC = rayon terrestre est très petit devant la distance mB ou CB : (mB) // (CB)

Si l’on pose $p=\widehat{mLC}$ p est par définition la parallaxe de l’astre.

Les angles $\widehat{mLC}$ et $\widehat{ACB}$ sont alternes internes donc égaux et donc si l’on considère l’arc de grand cercle arc AB de la sphère céleste :

Mesure arcAB = p

6) Diamètre apparent d’un astre

Le diamètre apparent d’un astre est l’angle sous lequel il nous apparaît.

Ici l’angle $\widehat{LAF}$, le cône en mauve étant le cône issu de A et tangent à la sphère.

Sa valeur dépend de sa taille réelle et de sa distance à l’observateur. Par exemple prenons la Lune et le Soleil, ces deux astres n’ont pas la même taille et sont situés à des distances différentes par rapport à la Terre. Cependant la Lune et le Soleil ont la même taille apparente. On s’en rend parfaitement compte lors d’une éclipse totale de Soleil, la Lune recouvre entièrement la surface du Soleil. L’explication est que bien que la Lune soit à peu près 400 fois plus petite que le Soleil, elle est aussi 400 fois plus proche.

schéma 24

schéma 25

Exemple :

La distance D terre lune est environ 370300 km.

Pour la lune $\delta \approx 0,5$°

$r\approx \left ( 370300 \times 0,5\times \pi \right )\div 360\approx 1615$ km

Ce rayon est proche du rayon de la lune .

L’observateur terrestre voit ainsi pratiquement la moitié de la lune, en réalité un peu plus avec le balancement de la lune qu’on appelle la libration.

7) Mois sidéral et mois synodique ou lunaison

Avec l’aimable autorisation de Jacques GISPERT

schéma 26

Ce schéma montre le Soleil, la Terre sur son orbite, et la Lune sur son orbite autour de la Terre. Pour simplifier, les orbites sont dessinées circulaires. La direction SE est celle d’une étoile, située à l’infini, et prise pour repère. La direction TE′ repère la même étoile vue de la Terre, et SE et TE′ sont parallèles, puisque l’étoile est infiniment loin.

Pour étudier les phases de la Lune, il convient de calculer l’angle que font les directions de la Lune et du Soleil, vues de la Terre. Si nous prenons comme point de repère les pleines lunes, on considérera la position de l’anti soleil, qui est notée S′.

Dans toute la suite et dans un souci d’allégement de l’écriture, un angle sera noté sans l’accent circonflexe.

L’angle qui nous intéresse est S′TL. On peut écrire :

E′TS′ + S′TL = E′TL

donc :

S′TL = E′TL - E′TS′

E′TL est l’angle que la Lune a parcouru depuis l’instant où elle était dans la direction de l’étoile E′, dans le temps t. Or elle fait un tour complet par rapport à cette étoile dans le temps de sa révolution sidérale, que nous noterons TL. A chaque seconde, elle parcours donc ωL = 2π / TL. Dans le temps t, elle parcourt donc un angle t fois plus grand, et donc :

E′TL = 2π t / TL

On peut dire exactement la même chose pour le Soleil, en considérant les points E′ et S′. La période à considérer est celle de la Terre autour du Soleil, donc TT = 365,2422 jours. On a alors :

E′TS′ = 2π t / TT

Il vient par substitution :

S′TL = E′TL - E′TS′ = 2π t / TL - 2π t / TT

Enfin, les phases de la Lune sont périodiques, et reviennent identiques au bout d’un temps qui est la lunaison, ou mois lunaire. Soit θ cette période. Dans le temps t, la Lune aura progressé de :

S′TL = 2π t / θ

Il nous reste à égaler les deux expressions de S′TL :

S′TL = 2π t / θ = 2π t / TL - 2π t / TT

On peut simplifier par 2π t ; il vient :

1 / θ = 1 / TL - 1 / TT

Remplaçons les périodes connues par leurs valeurs :

1 / θ = 1 / 27,32 - 1 / 365,2422 = 0,0366 - 0,0027 d’où θ = 29,5287 jours = 29 j 12 h 41 mn.

8) Distance de la terre à la lune obtenue par Hipparque

La méthode des éclipses de lune (éclipse totale)

schéma 27 source : http://astronomie-smartsmur.over-blog.com/

Aristarque de Samos (300 - 230 av.J.-C ) fut un des premiers à essayer de déterminer la distance de la terre à la lune, en utilisant l’observation des éclipses de lune.

Pour faire ses calculs, il a eu besoin de connaître le rayon de la terre, rayon qu’Eratosthène calcula en -236 av .J.-C.

Nous allons ici nous intéresser plutôt à la méthode proposée par Hipparque pour calculer la distance terre lune. Voici les données formulées par Hipparque , le schéma1 étant réalisé dans le plan de l’orbite lunaire.

- H1 : La terre est sphérique

- H2 : La totalité (paragraphe 4a) de l’éclipse de lune est de 2,5 h. Voir le déroulement ci-dessous : schéma 2, schéma3, schéma 4 ci-dessous.

- H3 : La durée de la lunaison est de 29,5 jours (période synodique).

- H4 : Le diamètre apparent (paragraphe 6) du soleil $\alpha$ est de 0,5°.

- H5 : La parallaxe de la terre depuis le soleil est négligeable et donc $\gamma \approx 90$ ° .

- H6 : Le centre de la lune, le centre du soleil et le centre de la terre sont quasiment alignés

schéma 28

schéma 29

schéma 30

La totalité est la durée entre l’entrée dans l’ombre (t=0) et la sortie de l’ombre (partie en gris du cône d’ombre du schéma ci-dessous) soit pour Hipparque 2,5 heures.

Regardons le schéma 1 précédent en le considérant dans l’espace et en supprimant au fur et à mesure certains éléments pour mieux comprendre la situation proposée.

Représentation des cônes tangents intérieurement(en mauve) et extérieurement (en gris)

Dans toute la suite les proportions ne sont pas respectées

schéma 31

Représentation des cônes d’ombre et de pénombre

schéma 32 : en marron la sphère terre et en jaune la sphère soleil.

En gris plein le cône d’ombre et en bleu ajouré, la partie du cône de pénombre qui reste dans l’obscurité. C et C’ les cercles intersection de ces deux cônes par un plan (P) perpendiculaire à la droite passant par le centre du soleil et le centre de la terre.

Sans le cône d’ombre et de pénombre

schéma 33

C est le centre de la terre

De C, nous menons les tangentes au soleil dont les points de contact avec le soleil sont A et B. Ces tangentes permettent de déterminer le diamètre apparent du soleil.

Les tangentes communes extérieures au soleil et à la terre qui déterminent le cône d’ombre ont pour point de contact T et S avec la terre et T’ et T’’ avec le soleil.

Rappelons que les tangentes communes intérieures déterminent le cône de pénombre.

Avec le plan de l’orbite lunaire

schéma 34

f est le centre de la lune , L et L’ les points de contact de la lune avec le cône d’ombre. f est pratiquement aligné avec les centres du soleil et de la terre car nous sommes en situation d’éclipse de lune.

Sans les sphères

schéma 35

A partir des relations trigonométriques dans le triangle CLT, rectangle en T, en déduire la distance terre lune en fonction du rayon de la terre RT.

Sachant qu’Eratosthène a estimé le rayon de la terre à 6300 Km, donner l’estimation d’Hipparque de la distance terre lune.

Voir le sujet abordé dans le dossier MATHEMATICE N° 36 pour l’estimation du rayon terrestre :

Attention : Copier l’adresse suivante dans le moteur de recherche Firefox à l’exclusion de chrome et Internet Explorer.

C’est ici http://revue.sesamath.net/spip.php?article547

Solution

Voici quelques compléments concernant cette démonstration (Clic droit :ouvrir de préférence le lien dans une nouvelle fenêtre).

9) Le mouvement de la lune sur l’écliptique

schéma 36

La lune (flèche rouge) au cours du temps suit approximativement la trajectoire écliptique (en jaune) suivie par le soleil. On pourra s’en assurer en utilisant le logiciel stellarium.

La ligne jaune de l’écliptique est obtenue avec la virgule. La lune est désignée par la flèche rouge sur le schéma. On pourra ainsi observer que de mois en mois la lune suit de très prés l’écliptique.

La lune se meut autour de l’écliptique grossièrement en 30 jours dans le sens direct comme le soleil. Son mouvement moyen quotidien est donc de 12° par jour soit 1/2° par heure.

10) Méthode d’Hipparque de détermination des longitudes

par une éclipse de lune.

Le catalogue des éclipses lunaires de -1999 à +3000 nous apprend qu’il s’agit d’une éclipse totale.

C’est ici https://eclipse.gsfc.nasa.gov/LEcat5/LEcatalog.html

schéma 37 éclipse de lune du 17 janvier -131

Les particularités de cette éclipse sont détaillées dans ce que l’on appelle le canon de l’éclipse dont on trouvera l’explication dans :

http://www.imcce.fr/langues/fr/ephemerides/phenomenes/eclipses/lune/

Important : dans toute la suite, on se souviendra que les anciens ne mesuraient pas les longitudes écliptiques absolues, c’est à dire en référence au point vernal mais par rapport aux signes du zodiaque, ce qui signifie que la sphère armillaire ou l’organon de Ptolémée permettaient de mesurer des différences de longitude écliptique et permettaient aussi de mesurer des latitudes écliptiques.

Les méthodes que nous allons exposer utilisent la lune comme intermédiaire, soit à l’occasion d’une éclipse de lune soit parce qu’il n’est pas toujours possible de voir le soleil en même temps que les étoiles qui nous intéressent.

Hipparque a ainsi déterminé la longitude de Spica en utilisant une éclipse de lune.

Voici quelques précisions au sujet de cette démonstration.

schéma 38

L’étoile Spica en rouge est très proche de l’écliptique en rouge.

schéma 39

Disposition du point vernal, de la lune , du soleil et de l’étoile Spica

le 17 janvier -131.

Le point rose dans le coin supérieur gauche est le point vernal, intersection de l’équateur et de l’écliptique. Comme il y a deux points possibles, on repère le point d’ascension 0 h en cliquant sur ce point, l’autre ayant pour ascension 12 h.

L’autre point en rose est l’étoile Spica. La ligne rouge indiquée par la flèche jaune est l’écliptique. Le point très lumineux est le soleil et dans le coin inférieur droit le point lumineux est la lune.

Au cours d’une éclipse de lune, les 3 centres ( soleil, lune , terre) sont sensiblement alignés.

Nous aurons à nous servir du maximum photométrique de l’éclipse qui va correspondre à l’obscurcissement maximum de la surface du disque lunaire(voir paragraphe 4).

L’arc de longitude entre la lune et Spica peut être mesuré à ce moment.

schéma 39bis

Sur ce schéma sont placés les points tels qu’ils peuvent être vus du pôle écliptique nord. C désigne le centre de la terre.

Ici on a :

Longitude Spica = longitude du soleil au milieu de l’éclipse + 180 ° - arc de longitude entre la lune et l’étoile au maximum de l’éclipse.

La longitude du soleil était connue par les tables solaires.

Si les mesures ne sont pas faites au même moment, il faudrait dans ce cas faire des corrections comme cela sera expliqué au paragraphe 11 suivant.

En comparant ses mesures de la position de Spica par rapport au point vernal avec celles effectuées par les astronomes des siècles précédents, comme Timocharis d’Alexandrie ( éclipse de lune le 17 mars -283 à 19 h 20 TU ) et les astronomes babyloniens et chaldéens, il montra que le point vernal s’était déplacé de 2° par rapport à Spica soit d’environ de 50’ par an, la latitude écliptique de Spica n’ayant pas varié.

Hipparque en conclut que cet effet est dû à un lent déplacement du plan de l’équateur lui-même associé à un déplacement du pôle de rotation de la Terre qui lui est perpendiculaire : c’est le mouvement de précession des équinoxes, appelée ainsi, car la ligne des nœuds, intersection du plan de l’écliptique (orbite de la Terre) et du plan de l’équateur, qui joint donc les deux équinoxes de printemps et d’automne, précesse, autrement dit se déplace dans le plan de l’écliptique, selon un cycle d’environ 26 000 ans. En conséquence, dans le même temps, l’axe de rotation de la Terre, tel celui d’une toupie, décrit un cône dans l’espace, centré sur l’axe de l’écliptique perpendiculaire au plan orbital de la Terre autour du Soleil.

11) La détermination des longitudes écliptiques par Ptolémée

Ptolémée décrit en détail sa propre méthode pour mesurer la longitude des étoiles, méthode qui repose sur la lune mais employée d’une autre façon.

Nous sommes le 23 février 139.

Regulus est proche de l’écliptique comme le montre le schéma suivant :

schéma 40

Le petit cercle blanc entoure Regulus et se trouve sur la ligne rouge de l’écliptique.

Peu avant le coucher du soleil, Ptolémée mesure l’arc de longitude entre le soleil et la lune.

Nous allons paramétrer Stellarium sur le méridien d’Alexandrie.

Longitude : 29° 57’ 18 ’’ E

Latitude : 31° 12’ 56’’ N

Une heure plus tard, l’étoile devient visible.

Ptolémée mesure alors l’arc de longitude entre la lune et l’étoile Regulus. {{}}

Ptolémée mesure d’abord l’arc lune soleil


schéma 41

1 heure plus tard Regulus fait son apparition

schéma 42 Ptolémée mesure ensuite l’arc lune Regulus dans le petit cercle blanc

Au schéma 42, la lune est presque sur le méridien, autrement dit les deux observations se font à l’est.

L est la position de la lune sur l’écliptique vue depuis le centre de la terre, L’ est la position depuis l’observateur. On pourra en déplaçant la lune en gris dans le sens direct sur son orbite, constater que cette disposition reste la même tant que l’on n’a pas franchi le méridien, c’est-à-dire que L précède L’. (le sens est direct pour un observateur placé sur le pôle écliptique nord).

m est l’observateur d’Alexandrie qui tourne sur le cercle blanc dans le sens direct du fait de la rotation de la terre. c est le centre de la terre.

On utilisera le logiciel Cabri 3d en téléchargeant le plugin cabri 3d

que l’on fera fonctionner avec Firefox ou internet explorer mais pas avec Chrome : http://www.cabri.com/fr/telecharger-cabri-3d.html#plugin

schéma 43

Disposition des astres, lune, soleil, Regulus et du point vernal le 23 février 139.

schéma 43bis

Sur ce schéma sont placés les points tels qu’ils peuvent être vus du pôle écliptique nord.

Cette image est obtenue avec Stellarium le 23 février 139 en supprimant l’atmosphère (touche A) et le plan horizontal (touche G).

La ligne rouge est l’écliptique (touche ,)

La ligne bleue est l’équateur céleste (touche .)

La ligne verte est le méridien d’Alexandrie (touche  ;) La lune y est presque.

Le point orange est Regulus

Le point vert est le point vernal

Nous ferons l’hypothèse que la lune vue du centre de la terre est sensiblement sur l’écliptique et qu’il en est de même pour la lune vue de l’observateur.

Les deux observations se font à l’est du méridien d’Alexandrie comme au 23 février139.

schéma 44

Sur ce schéma sont placés les points tels qu’ils peuvent être vus du pôle écliptique nord.

V désigne le point vernal et C le centre de la terre.

L1 position de la lune sur l’écliptique à l’instant de la première observation.

L2 position de la lune sur l’écliptique à l’instant de la deuxième observation, soit 1/2 heure plus tard.

L’1 position de la lune vue par l’observateur à l’instant de la première observation. On peut considérer que L’1 est sur l’écliptique.

L’2 position de la lune vue par l’observateur à l’instant de la deuxième observation. On peut considérer que L’2 est sur l’écliptique.

Entre les deux observations (1h) , la position du soleil sur l’écliptique n’a pas varié. en effet , celle-ci augmente environ de 1° par jour (24 h) et donc en 1 heure de 3 secondes environ, ce qui est insignifiant.

Ce jour du 23 février 139, la lune après s’être levée à l’est monte dans le ciel, ce qui signifie que sa hauteur augmentant, sa distance zénithale diminue et donc que sa parallaxe est dans une phase décroissante.

En effet d’après la relation (1) du paragraphe 5 on a :

$p=\omega \sin z$ avec parallaxe horizontale avec $\omega$ qui vaut environ 1°.

La hauteur de la lune à Alexandrie le 23 février 139 est environ 76° (vérifiable avec Stellarium) et donc la parallaxe vaut approximativement au moment de la mesure de l’arc lune Regulus p2= 0,24°.

la hauteur de la lune au moment de la mesure de l’arc soleil lune vaut 70° d’où la parallaxe de la lune p1= 0,34°. ( vérifiable par stellarium).

d’où :

arcL’1L’2$=\frac{1}{2}^{\circ}-p1+p2=0,4^{\circ}$

Ptolémée dit que au moment de la première observation, la position du soleil était à $3\frac{1}{20}^{\circ}$ dans les Poissons, c’est-à-dire à 333° 03’ de longitude. Cette valeur a été prise dans sa table solaire. Posons Ls=333° 03’

Compte tenu de la disposition précédente, on a :

Longitude de Regulus

=

Mesure arcSL’1$=a1=92\frac{1}{8}^{\circ}$ (valeur de Ptolémée)

-

Mesure arcVL’1$=360^{\circ}-Ls=360^{\circ}-333\frac{1}{20}^{\circ}$ (valeur de Ptolémée)

+

Mesure arcL’1L’2$=0,4^{\circ}$comme nous venons de le voir.

+

Mesure arcRL’2$=a2=57\frac{1}{6}^{\circ}$ (valeur de Ptolémée)

D’où la longitude écliptique de Regulus :

a1 + a2 + Ls +0,4°- 360°

La longitude de Regulus vaut environ 122,75 °

Autrement dit Regulus était située à $2\frac{3}{4}^{\circ} $ dans le Lion.

Ptolémée nous dit qu’il fait la deuxième observation 1/2 heure plus tard. Ptolémée donnait le temps en heure équinoxiale. Les durées équinoxiales

suivent de prés les durées de nos montres puisque l’heure équinoxiale est la vingt quatrième partie du jour solaire qui est invariable en première approximation.

Les clepsydres donnaient l’intervalle de temps depuis le midi à 20 minutes près.

Si nous rajoutons 20 minutes à cette demi-heure, nous trouvons 50 minutes d’heure équinoxiale, c’est-à-dire presque 1 heure comme nous l’indique Stellarium.

Remarque : A l’époque de Ptolémée, il n’aurait pas d’emblée été possible d’obtenir la disposition précédente fournie par stellarium et seul un résultat cohérent avec le signe du zodiaque auquel appartient Regulus aurait permis de trancher entre les différentes dispositions possibles.

Si par exemple , on avait trouvé au calcul final que la longitude écliptique de Regulus est 20° dans les Poissons, ce résultat aurait été à rejeter car Regulus appartenait à la constellation du lion qui elle même appartient au signe du lion.

Etoiles fondamentales et étoiles secondaires

Après avoir déterminé les longitudes écliptiques d’un certain nombre d’étoiles dites fondamentales (comme Regulus), Ptolémée est en mesure de déterminer les longitudes écliptiques d’autres étoiles dites secondaires puisque l’organon ou la sphère armillaire munie de viseurs permettaient de déterminer des différences de longitude écliptiques et de mesurer aussi les latitudes écliptiques.

12) La précession des équinoxes, la nutation

Voici ce qu’en dit Jean Souchay, astronome à l’Observatoire de Paris :

«  Au mouvement de précession connu depuis l’antiquité viennent s’ajouter de petites oscillations que l’on appelle la nutation. Il faudra attendre le XVIIIème siècle pour que celle-ci soit mise en évidence par l’observation, grâce à un astronome anglais, James Bradley (1693-1762).

{}La précession et la nutation de la terre s’expliquent par un même phénomène, l’influence conjuguée de la Lune et du Soleil sur le bourrelet équatorial de la Terre : le couple gravitationnel exercé par ces deux corps célestes sur le bourrelet s’accompagne d’un mouvement de balancement de l’équateur et donc déplace l’axe des pôles qui lui est perpendiculaire, dans l’espace. On doit à Newton, dans son Livre I des Principia, d’avoir expliqué le premier l’origine gravitationnelle de la précession.

En 1749 D’Alembert calcule le couple perturbateur lunisolaire sur tout le bourrelet équatorial. Pour cela il fait appel au calcul intégral, précieux outil mathématique qu’il a lui-même contribué à développer. Rapidement, il obtient les équations du mouvement du pôle de la terre dans l’espace et peut ainsi d’une part retrouver en la quantifiant la précession des équinoxes, d’autre part prouver et déterminer en détail le mouvement de nutation, découvert deux ans auparavant »

En 1765, Euler montre que si l’axe d’inertie d’un corps et l’axe de rotation d’un corps ne sont pas confondus, alors l’axe de rotation décrit un cône autour de l’axe du plus grand moment d’inertie.

Animation sur la précession.

C’est ici http://www.astro-rennes.com/initiation/precession.php

animation

schéma 48

La précession en bleu, la nutation en rouge, la terre tournant autour de l’axe des pôles en vert.

Chronologie :

Timocharis d’Alexandrie (env. 320 av. J.-C. - 260 av. J.-C.) , astronome et philosophe. Il dresse un premier catalogue d’étoiles.

Hipparque en se basant sur ces prédécesseurs (Timocharis et les babyloniens ) met en évidence en -129 la précession des équinoxes.

Claude Ptolémée (né vers 90).

Ptolémée est l’auteur de plusieurs traités scientifiques, dont deux ont exercé une très grande influence sur les sciences occidentales et orientales. L’un est le traité d’astronomie, aujourd’hui connu sous le nom d’Almageste . L’autre est la Géographie, qui est une synthèse des connaissances géographiques du monde gréco-romain.

Ptolémée réalisa aussi une sorte de manuel essentiellement pratique, appelé « Les tables faciles » ou parfois « Les tables manuelles » {{}}http://www.persee.fr/doc/rht_0373-6075_1992_num_22_1992_1368

Newton en 1687 publie les Principia et propose une explication de la précession grâce à la gravitation universelle.

Bradley en 1748 publie sa découverte de la nutation.

Jean le Rond d’Alembert en 1749 publie son chef d’œuvre sur la précession et nutation, suite à la découverte de Bradley. Il contribue à développer le calcul intégral.

Euler en 1765 prévoit les oscillations de l’axe de rotation de la terre nommées par la suite oscillations de Chandler.

Logiciels utilisés

Stellarium :

C’est ici http://www.stellarium.org/fr/

Cabri 3D :

On chargera le plugin sur

C’est ici http://www.cabri.com/fr/telecharger-cabri-3d.html#plugin

Attention : On utilisera Firefox ou internet explorer à l’exclusion de Chrome.


Documents associés à l'article
     |   (PDF - 3.3 Mo)
     |   (Cabri géomètre 3 - 50.8 ko)
     |   (PDF - 548.5 ko)
Réagir à cet article
Vous souhaitez compléter cet article pour un numéro futur, réagir à son contenu, demander des précisions à l'auteur ou au comité de rédaction...
À lire aussi ici
MathémaTICE est un projet
en collaboration avec
Suivre la vie du site Flux RSS 2.0  |  Espace de rédaction  |  Nous contacter  |  Site réalisé avec: SPIP  |  N° ISSN 2109-9197