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Sommaire > N°57 - novembre 2017 > Mesures historiques d’Hipparque

Mesures historiques d’Hipparque
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Mis en ligne le 6 octobre 2017, par David Crespil

Le caractère historique du sujet a amené à son remaniement afin d’éviter les incertitudes accompagnant le paragraphe sur Ptolémée.

L’auteur a préféré ne retenir que deux expériences remarquables d’Hipparque de Nicée faisant intervenir la lune.
L’ancien titre Mesure de la longitude des étoiles dans l’Antiquité et précession des équinoxes a fait place à celui qui ouvre cet article.

Je remercie Louis Sais pour sa relecture attentive et Aymeric Picaud pour les nombreuses améliorations qu’il a apportées à cet article en vue de le rendre plus attrayant tant sur la forme que par l’ajout d’une belle animation sur la précession des équinoxes.

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Atlas Farnèse

À James EVANS

En 2005 , lors d’une réunion au sein de l’American Astronomical Society qui s’est tenu à San Diego, Bradley E. Schaefer rapporte qu’il a trouvé un lien possible entre l’Atlas Farnèse et le catalogue d’étoiles perdu attribué à Hipparque de Nicée. Après une analyse statistique poussée de la position des constellations représentée sur le globe, il tire la conclusion que celle-ci est compatible avec la configuration des étoiles visibles qui est apparue à l’époque de ce grand astronome de la Grèce antique.

Cette conclusion a été contestée par Dennis Duke de l’université d’État de Louisiane.

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Détail

À James EVANS, auteur du livre « l’Histoire et la pratique de l’astronomie ancienne » publié aux Belles Lettres.

« Nous sommes des nains juchés sur des épaules de géants »

Métaphore attribuée à Bernard de Chartres ( 12eme siècle)

Table des matières

Introduction

Ce document essaie de répondre à la question de savoir comment Ptolémée et Hipparque réussirent à constituer leur catalogue d’étoiles par la mesure des longitudes écliptiques des étoiles. Leur idée astucieuse fut d’utiliser la Lune soit au cours d’une éclipse de Lune soit comme intermédiaire lorsque le Soleil et l’étoile n’étaient pas simultanément visibles dans le ciel. De nombreux préalables seront nécessaires en vue de la présentation de cette idée aux paragraphes 11 et 12.

Le catalogue de Ptolémée publié au deuxième siècle ap .J.-C dans son Almageste, qui liste 1022 étoiles visibles depuis Alexandrie, fut le catalogue de référence des mondes occidental et arabe pendant plus de mille ans. Ce catalogue était en partie basé sur un catalogue antérieur produit par Hipparque à partir du deuxième siècle av .J.-C. Cent ans plus tôt, Timocharis d’Alexandrie avait dressé un premier catalogue.

C’est en comparant ses observations avec celles de Timocharis (320 av. J.-C /.260 av. J.-C) relativement à la longitude écliptique de l’étoile Spica (Alpha Virginis) qu’Hipparque en 129 av. J.-C mit en évidence le phénomène de la précession des équinoxes expliqué pour la première fois par Newton et plus tard par Jean le Rond D’Alembert, la découverte de la nutation par Bradley ayant servi de catalyseur à D’Alembert.

Un glossaire d’astronomie vient en appui au texte :

https://www.imcce.fr/langues/fr/grandpublic/systeme/promenade/pages2/201.html

Enfin, je ne saurais trop recommander le très beau livre de James Evans publié aux Belles Lettres qui constitue une somme dans le domaine de l’astronomie ancienne.

0 ) De quelle précision parle-t-on dans l’Antiquité ?

Il est intéressant de savoir que les instants des solstices et équinoxes étaient connus à 1/4 jour près, que les clepsydres donnaient l’intervalle de temps depuis le midi à 20 minutes près, que les angles étaient mesurés à 10’ près.

C’est très certainement avec le perfectionnement de la clepsydre que Ctesibios ( iiiesiècle av. J.-C) connaît une grande renommée. Créée en Egypte, la clepsydre était constituée d’un réservoir plein d’eau se vidant par une ouverture dans le bas, dans un deuxième récipient. Ce système était peu précis car plus le niveau de l’eau dans le premier récipient baisse, plus le filet d’eau qui coule est faible : le flux d’eau est donc irrégulier.

Ctésibios propose donc d’ajouter un troisième récipient entre les deux déjà existants. Ce vase intermédiaire est maintenu ainsi à niveau constant.

Une variante comporte une sorte de flotteur qui obture plus ou moins l’ouverture du premier récipient à mesure que le deuxième récipient se remplit. Ainsi, lorsque l’eau atteint un certain niveau dans le deuxième récipient, l’ouverture dans le premier récipient est totalement fermée. Et lorsque le deuxième récipient se vide, le flotteur libère à nouveau cette ouverture, et le niveau remonte. Ainsi, le niveau de l’eau du deuxième récipient reste constant.

En conséquence, le flux d’eau passant du 2e au 3e récipient est constant. Cette clepsydre est donc beaucoup plus fiable. Ce système est toujours utilisé aujourd’hui, dans les chasses d’eau et les carburateurs d’automobile, par exemple. (Wikipedia)

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Schéma 2

1) Les coordonnées écliptiques et équatoriales

Voir Mathématice N°56 : La latitude en fonction de la durée du jour le plus long

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Schéma 3

Dans le milieu du deuxième siècle avant notre ère, Hipparque rédige un catalogue d’étoiles dont les coordonnées sont essentiellement équatoriales (850 étoiles environ), mais certaines de ces coordonnées sont aussi écliptiques (plus de 122) .

2) Les constellations du zodiaque et la manière de spécifier les longitudes dans l’Antiquité

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Schéma 4

Les étoiles projetant vers la Terre l’image d’une casserole (la grande ourse) sont en réalité à des distances considérablement différentes de la Terre.

Les astronomes de l’Antiquité avaient remarqué que le Soleil se trouve chaque année, à la même époque, en avant plan de la même constellation. Ils comptèrent ainsi une douzaine de constellations que le Soleil semble traverser dans sa ronde autour de la Terre durant une année.

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Schéma 5

Dans l’Antiquité, les signes du zodiaque sont au nombre de 12 (schéma ci-dessus). Pour les astronomes, le Soleil, dans son mouvement apparent autour de la Terre, traverse chaque année non pas 12, mais 13 constellations (schéma ci-dessous).

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Schéma 6

Comment déterminer le jour de l’équinoxe ou le Soleil franchit l’équateur au point vernal origine des coordonnées écliptiques ?

Le point vernal est l’un des deux points d’intersection de l’équateur et de l’écliptique qui est le trajet apparent du Soleil au cours de l’année.

Un gnomon permet de déterminer grâce aux ombres le jour de l’équinoxe. Les ombres sont en effet alignées aux équinoxes.

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Schéma 7

https://fr.wikipedia.org/wiki/Gnomon

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Schéma 8

L’extrémité de l’ombre du bâton décrit sous nos latitudes une hyperbole.

Prenons le pied du bâton comme origine du repère orthonormé d’axe des y dirigé vers le nord et d’axe des x vers l’est. On démontre que l’équation de l’hyperbole mise sous la forme y=f(x) est :

$$y=\dfrac{-a\sin\varphi\cos\varphi+\sin\delta\sqrt{x^2(\cos^2\varphi-\sin^2\delta)+a^2\cos^2\delta}}{\sin^2\delta-\cos^2\varphi}$$

Si $\delta=0$ (équinoxe de printemps et d’automne) on obtient $y=a\tan \varphi$ ce qui est l’équation d’une droite parallèle à l’axe des abscisses.

Avec $\varphi$ latitude du lieu

Avec $\delta$ déclinaison du Soleil

Avec a longueur du gnomon

De manière plus précise on peut déterminer l’instant de l’équinoxe de printemps par interpolation linaire. Voir le site de Louis Sais sur la détermination du point vernal par Timocharis.

http://louissais.free.fr/index.php?option=com_content&view=article&id=100&Itemid=108

Comment étaient spécifiées les longitudes dans l’Antiquité ?

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Schéma 9
club astronomie du Lycée ST Exupéry

Ainsi, si une étoile a pour longitude écliptique 122$\frac{1}{2}$ °, elle est alors à 2$\frac{1}{2}$ °dans le lion.

Dans l’Antiquité, le point vernal origine des longitudes écliptiques en astronomie moderne, était dans la constellation du Bélier et servait d’origine des longitudes écliptiques dans Bélier. Il est actuellement dans la constellation des poissons.

Si une étoile est 3$\frac{1}{20}$ ° dans les poissons, cela signifie qu’elle est à 333° 3’ de longitude.

La longitude des astres a été donnée dans les livres d’astronomie en utilisant les signes du zodiaque jusqu’au 19° siècle.

Les constellations comme il sera expliqué au paragraphe 10 vont se décaler par rapport au point vernal du fait de la précession des équinoxes.

3) Les heures temporaires et les heures équinoxiales

a) Heures temporaires

La subdivision d’un jour clair en douze heures temporaires, consiste à considérer l’arc diurne du Soleil et à le diviser en douze parties égales entre elles. Bien entendu, le lendemain du jour choisi, l’arc diurne du Soleil n’aura plus la même mesure et l’heure temporaire ne contiendra plus le même nombre de minutes, mais chacune des douze heures temporaires vaudra exactement autant que chacune des onze autres. A une latitude donnée, les durées des heures temporaires ne dépendent que de la déclinaison du Soleil. Ainsi, à nos latitudes moyennes, autour de 45°, l’heure temporaire de jour vaut 40 minutes vers le solstice d’hiver, 1 heure 20 minutes près du solstice d’été et, évidemment, 60 minutes les jours d’équinoxes. Il existe donc une variation du simple au double d’un solstice à l’autre. La même chose peut être dite, en inversant toutes choses, des heures temporaires de nuit ; chaque jour (date), la somme d’une heure temporaire de jour et d’une temporaire de nuit est toujours de 120 minutes.

(D’après Charles-Henri Eyraud, Paul Gagnaire)

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Schéma 10
D’après Wikipedia

Voici ce qu’en dit Jérôme Bonnin dans « la mesure du temps dans l’Antiquité » :

« Lorsque dans un texte quelconque on lit qu’un évènement s’est produit à la sixième heure, cela ne signifie pas six heures du matin ou du soir mais midi solaire, puisque les heures sont comptées à partir du lever du Soleil(du moins chez les Romains). On divisait en outre la nuit en 12 heures égales. Le temps du jour et de la nuit était donc compté en heures différentes, puisque sauf aux équinoxes, la durée du jour n’est jamais égale à celle de la nuit ».

Évolution des heures temporaires

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Schéma 11 : Solstice d’hiver, Équinoxe, Solstice d’été
D’après Michel LALOS

Au début du 17 ème siècle, Galilée dans le messager des étoiles nous dit qu’il utilisait les heures temporaires ou inégales.

b) Heures équinoxiales

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Schéma 12
D’après Wikipedia

Dans l’Antiquité, les heures d’usage courant étaient les heures temporaires dites aussi inégales. Elles ne pouvaient pas convenir aux astronomes-géographes qui avaient besoin de références temps « invariables » pour accompagner leurs travaux d’observations et de calculs. Ils employèrent alors des heures équinoxialesouheures égales, qui bien plus tard (au XVIIIe siècle) porteront le nom d’heures solaires vraies.

Une heure équinoxiale correspond à la vingt-quatrième partie du jour solaire vrai qui est dans sa définition moderne le temps qui s’écoule entre deux passages consécutifs du Soleil au méridien supérieur d’un lieu.

Les heures équinoxiales, dites égales ne le sont en fait qu’en première approximation. En effet les jours solaires vrais ont une durée qui varie tout au long de l’année pour deux raisons : la première est due à l’inclinaison de l’écliptique sur l’équateur ; la seconde est le fait de la variation de la vitesse de translation de la Terre sur son orbite. Ainsi la durée du jour solaire vrai varie-t-elle entre 23 h 59 min 39 s et 24 h 00 min 30 s. Soit une différence de 51 s.

c) Exemple de conversion d’heures équinoxiales en heure temporaire et réciproquement.

Nous sommes le 23 février 139 à Alexandrie.

Cherchons le lien entre l’heure temporaire et l’heure équinoxiale.

Pour cela, nous allons nous référer au Mathematice n°56 : La latitude en fonction de la durée du jour le plus long

qui nous donne la durée du jour en fonction de la latitude et de la déclinaison du Soleil.

La durée du jour en heure est $\dfrac{2\arccos\varphi\left(-\tan\varphi\tan\delta\right)}{15}$

La déclinaison du Soleil le 23 février 139 est environ $-10°$.

La latitude : 31° 12’ 56 Nord

Ce qui donne pour la durée du jour le 23 février 139 : 11,18 h .

On peut aussi obtenir ce résultat par le site : https://ptaff.ca/soleil/

12 heures temporaires de jour valent approximativement 11,18 heures équinoxiales.

1 heure temporaire de jour $\approx$ 0,93 heure équinoxiale

1 heure équinoxiale $\approx$ 1,07 heure temporaire de jour

4) Les éclipses de Lune

A) Présentation du phénomène des éclipses de lune

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Schéma 13
source : https://www.calendrier-lunaire.fr/lune/eclipses-de-lune-et-de-soleil-comprendre-le-calendrier-lunaire/

Lorsque les longitudes célestes géocentriques de la Lune et du Soleil différent de 180°, c’est la pleine Lune.

Une éclipse de Lune se produit lorsque la Lune passe dans l’ombre de la Terre. Toutes les personnes situées sur Terre côté nuit peuvent voir l’éclipse. Les différentes phases de l’éclipse (entrée dans l’ombre ou sortie de l’ombre) se produisent pour tous au même moment.

Une éclipse de Lune ne peut se produire qu’à la pleine Lune.

La Terre, éclairée par le Soleil, donne naissance, dans la direction opposée au Soleil à deux cônes, un cône d’ombre et un cône de pénombre. La droite joignant le centre du Soleil et le centre de la Terre constitue l’axe de ces cônes. Le sommet du cône de pénombre est situé sur cet axe entre le Soleil et la Terre, et le sommet du cône d’ombre est également situé sur cet axe mais de l’autre côté par rapport à la Terre. Le cône d’ombre est le cône tangent aux deux sphères solaires et terrestre. Les génératrices de ces deux cônes sont des tangentes extérieures communes aux sphères solaire et terrestre, le cône de pénombre est construit à partir des tangentes intérieures aux sphères solaire et terrestre.

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Schéma 14
source : http://phoux.com/ombres.htm
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Schéma 15
source : CLEA

On sait que la Terre orbite autour du Soleil dans un plan appelé écliptique qu’elle parcourt en un an. Sa trajectoire est très proche d’un cercle. De même, la Lune orbite autour de la Terre sur une trajectoire relativement elliptique, qui n’est pas contenue dans l’écliptique. C’est ainsi que le plan de l’orbite lunaire est incliné par rapport à l’écliptique d’environ 5°. L’orbite lunaire traverse le plan de l’écliptique en deux points appelés nœud ascendant et nœud descendant. L’alignement des centres du Soleil, de la Terre et de la Lune ne peut se produire qu’au voisinage des nœuds. Or la ligne des nœuds de l’orbite lunaire n’est pas toujours alignée avec le Soleil.

Les différentes phases des éclipses de Lune sont les suivantes :

  1. L’entrée de la Lune dans la pénombre : c’est l’instant où le disque lunaire est tangent extérieur au cône de pénombre.
  2. L’entrée de la Lune dans l’ombre, uniquement pour les éclipses par l’ombre : c’est l’instant où le disque lunaire est tangent extérieur au cône d’ombre.
  3. Le commencement de la totalité, uniquement pour les éclipses totales par l’ombre : c’est l’instant où le disque lunaire est tangent intérieur au cône d’ombre.
  4. Le maximum de l’éclipse : c’est l’instant où la distance entre le centre du disque lunaire et le centre du cône d’ombre est minimale.
  5. La fin de la totalité, uniquement pour les éclipses totales par l’ombre : c’est l’instant où le disque lunaire est de nouveau tangent intérieur au cône d’ombre.
  6. La sortie de l’ombre, uniquement pour les éclipses par l’ombre : c’est l’instant où le disque lunaire est de nouveau tangent extérieur avec le cône d’ombre.
  7. La sortie de la pénombre : c’est l’instant où le disque lunaire est de nouveau tangent extérieur avec le cône de pénombre.

Pour qu’il y ait éclipse, il est nécessaire que :

  • la Lune présente une phase de Pleine Lune,
  • la Lune soit au voisinage de l’un de ses nœuds.

Nous aurons à nous servir par la suite du maximum de l’éclipse : c’est l’instant où la distance entre le centre du disque lunaire et le centre du cône d’ombre est minimale.

L’élongation de la Lune( angle Lune, Terre, Soleil) est à son maximum quand son centre se rapproche le plus de l’axe du cône d’ombre projeté par la Terre (schéma 17). L’instant de ce maximum géométrique peut ne pas correspondre à l’instant du maximum photométrique qui se produit lorsque la Lune est obscurcie au maximum, ce qui dépend des conditions atmosphériques particulières sur le bord du disque terrestre.

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Schéma 16
source : club VEGA

L’éclipse de Lune est totale lorsque la Lune pénètre complètement dans l’ombre de la Terre et totale centrale si de plus les centres des 3 astres sont exactement alignés, ce qui se produit environ une fois par siècle en moyenne.

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Schéma 17

Le maximum a lieu à 20 h 30,1 min et la pleine Lune a lieu à 20 h 33,6 min (passage au nœud descendant).

Parfois, c’est le contraire, la pleine Lune peut précéder le maximum comme dans l’éclipse du 7 août 2017. la pleine Lune a lieu à 18 h 12 min et le maximum à 18 h 20 min 26,953 s (passage au nœud ascendant).

B) Approfondissons notre compréhension des phases de la lune et des éclipses de lune

a) Observer en vidéo le déroulement d’une éclipse lunaire partielle et totale
b) Pourquoi voit-on la Lune lors d’une éclipse totale ?
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Schéma 18
source : astroclub.toussaint
c) Canon d’une éclipse

Les particularités des éclipses de Lune sont détaillées dans ce que l’on appelle le canon de l’éclipse dont on trouvera l’explication dans :

d) Détermination des phases de la Lune selon le mois et l’année
e) Les phases de la Lune : positions relatives de la Terre, du Soleil et de la Lune
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Schéma 19

Au cours d’une éclipse de Lune, l’élongation de la Lune ne vaut pratiquement jamais 180° mais s’en approche beaucoup.

Ainsi pour l’éclipse de Lune du 27 juillet 2018, l’élongation vaut 178° 58’ 30’’ .

5) Mois sidéral et mois synodique ou lunaison

Un remaniement de l’article a obligé à conserver l’ancienne numérotation des schémas passant ainsi du schéma 20 au schéma 26.

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Schéma 26
Avec l’aimable autorisation de Jacques GISPERT

Ce schéma montre le Soleil, la Terre sur son orbite, et la Lune sur son orbite autour de la Terre. Pour simplifier, les orbites sont dessinées circulaires. La direction SE est celle d’une étoile, située à l’infini, et prise pour repère. La direction TE′ repère la même étoile vue de la Terre, et SE et TE′ sont parallèles, puisque l’étoile est infiniment loin.

Pour étudier les phases de la Lune, il convient de calculer l’angle que font les directions de la Lune et du Soleil, vues de la Terre. Si nous prenons comme point de repère les pleines lunes, on considérera la position de l’anti Soleil, qui est notée S′.

L’angle qui nous intéresse est $\widehat{\text{S′TL}}$. On peut écrire :

$$\widehat{\text{E′TS′}} + \widehat{\text{S′TL}} = \widehat{\text{E′TL}}$$

donc :

$$\widehat{\text{S′TL}} = \widehat{\text{E′TL}} - \widehat{\text{E′TS′}}$$

$\widehat{\text{E′TL}}$ est l’angle que la Lune a parcouru depuis l’instant où elle était dans la direction de l’étoile E′, dans le temps $t$. Or elle fait un tour complet par rapport à cette étoile dans le temps de sa révolution sidérale, que nous noterons $T_{\text{L}}$. À chaque seconde, elle parcours donc $\omega_L = \dfrac{2\pi}{T_{\text{L}}}$. Dans le temps $t$, elle parcourt donc un angle $t$ fois plus grand, et donc :

$$\widehat{\text{E′TL}} = \dfrac{2\pi t}{T_{\text{L}}}$$

On peut dire exactement la même chose pour le Soleil, en considérant les points E′ et S′. La période à considérer est celle de la Terre autour du Soleil, donc $T_{\text{T}} = 365,242 2 \text{ jours}$. On a alors :

$$\widehat{\text{E′TS′}} = \dfrac{2\pi t}{T_{\text{T}}}$$

Il vient par substitution :

$$\widehat{\text{S′TL}} = \widehat{\text{E′TL}} - \widehat{\text{E′TS′}} = \dfrac{2\pi t }{ T_{\text{L}}} - \dfrac{2\pi t}{T_{\text{T}}}$$

Enfin, les phases de la Lune sont périodiques, et reviennent identiques au bout d’un temps qui est la lunaison, ou mois lunaire. Soit $\theta$ cette période. Dans le temps $t$, la Lune aura progressé de :

$$\widehat{\text{S′TL}} = \dfrac{2\pi t}{\theta}$$

Il nous reste à égaler les deux expressions de $\widehat{\text{S′TL}}$ :

$$\widehat{\text{S′TL}} = \dfrac{2\pi t}{\theta} = \dfrac{2\pi t}{T_{\text{L}}} - \dfrac{2\pi t}{T_{\text{T}}}$$

On peut simplifier par $2\pi t$ ; il vient :

$$\dfrac{1}{\theta} = \dfrac{1}{T_{\text{L}}} - \dfrac{1}{T_{\text{T}}}$$

Remplaçons les périodes connues par leurs valeurs :

$$\dfrac{1}{\theta} = \dfrac{1}{27,32} - \dfrac{1}{365,242 2} = 0,036 6 - 0,002 7$$

d’où

$$\theta= 29,528 7\text{ jours} = \text{29 j 12 h 41 min}$$

6) Distance de la Terre à la Lune obtenue par Hipparque

La méthode des éclipses de Lune (éclipse totale)

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Schéma 27
source : http://astronomie-smartsmur.over-blog.com/

Aristarque de Samos (300 - 230 av.J.-C ) fut un des premiers à essayer de déterminer la distance de la Terre à la Lune, en utilisant l’observation des éclipses de Lune.

Pour faire ses calculs, il a eu besoin de connaître le rayon de la Terre, rayon qu’Eratosthène calcula en -236 av .J.-C.

Nous allons ici nous intéresser plutôt à la méthode proposée par Hipparque pour calculer la distance Terre Lune. Voici les données formulées par Hipparque , le schéma1 étant réalisé dans le plan de l’orbite lunaire.

  • H1 : La Terre est sphérique
  • H2 : La totalité (paragraphe 4a) de l’éclipse de Lune est de 2,5 h. Voir le déroulement ci-dessous : schéma 2, schéma3, schéma 4 ci-dessous.
  • H3 : La durée de la lunaison est de 29,5 jours (période synodique).
  • H4 : Le diamètre apparent (paragraphe 6) du Soleil $\alpha$ est de 0,5°.
  • H5 : La parallaxe de la Terre depuis le Soleil est négligeable et donc $\gamma \approx 90$ ° .
  • H6 : Le centre de la Lune, le centre du Soleil et le centre de la Terre sont quasiment alignés
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Schéma 28
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Schéma 29
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Schéma 30

La totalité est la durée entre l’entrée dans l’ombre ($t=0$) et la sortie de l’ombre (partie en gris du cône d’ombre du schéma ci-dessous) soit pour Hipparque 2,5 heures.

Regardons les schémas précédents en les considérant dans l’espace et en supprimant au fur et à mesure certains éléments pour mieux comprendre la situation proposée.

Représentation des cônes tangents intérieurement(en mauve) et extérieurement (en gris)

Dans toute la suite les proportions ne sont pas respectées

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Schéma 31
Représentation des cônes d’ombre et de pénombre
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Schéma 32
en marron la sphère Terre et en jaune la sphère Soleil

En gris plein le cône d’ombre et en bleu ajouré, la partie du cône de pénombre qui reste dans l’obscurité. C et C’ les cercles intersection de ces deux cônes par un plan (P) perpendiculaire à la droite passant par le centre du Soleil et le centre de la Terre.

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Schéma 33
Sans les cônes d’ombre et de pénombre

C est le centre de la Terre

De C, nous menons les tangentes au Soleil dont les points de contact avec le Soleil sont A et B. Ces tangentes permettent de déterminer le diamètre apparent du Soleil.

Les tangentes communes extérieures au Soleil et à la Terre qui déterminent le cône d’ombre ont pour point de contact T et S avec la Terre et T’ et T’’ avec le Soleil.

Rappelons que les tangentes communes intérieures déterminent le cône de pénombre.

Avec le plan de l’orbite lunaire

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Schéma 34

f est le centre de la Lune , L et L’ les points de contact de la Lune avec le cône d’ombre. f est pratiquement aligné avec les centres du Soleil et de la Terre car nous sommes en situation d’éclipse de Lune.

Sans les sphères

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Schéma 35

À partir des relations trigonométriques dans le triangle CLT, rectangle en T, en déduire la distance Terre Lune en fonction du rayon de la Terre RT.

Sachant qu’Eratosthène a estimé le rayon de la Terre à 6 300 km, donner l’estimation d’Hipparque de la distance Terre Lune.

Voir le sujet abordé dans le dossier MathémaTICE N° 36 pour l’estimation du rayon terrestre : Eratosthène et la mesure de la circonférence terrestre

Solution

La parallaxe de la Terre depuis le Soleil est l’angle $\widehat{\text{TT’C}}$.

Elle reste du même ordre qu’on la prenne d’un point de la surface du Soleil ou à partir de son centre.

Calculons un ordre de grandeur de cette parallaxe :

$$ \arcsin\left(\dfrac{\text{TC}}{\text{CT’}}\right)= \arcsin\left(\dfrac{6 371}{150\times 10^{6}}\right) \approx 0,002 5°\approx 9 \text{ secondes d’arc} $$

On en déduit que $\gamma\approx 90°$.

Hipparque avait fait cette estimation sachant que la Terre est suffisamment éloignée du Soleil. Dans le triangle rectangle LTC, on a :

$$ \cos\left(\delta\right)=\dfrac{\text{CT}}{\text{CL}}=\dfrac{\text{Rayon de la Terre}}{\text{Distance Terre-Lune}} $$

Par ailleurs $\dfrac{\beta}{2}+\delta+\dfrac{\alpha}{2}=180°$ d’où :

$$\delta=180°-\gamma-\dfrac{\alpha}{2}-\dfrac{\beta}{2}$$

$\alpha$ est le diamètre apparent du Soleil et vaut 0,5°. $\beta$ est l’angle $\widehat{\text{LCL’}}$ (voir l’explication du diamètre apparent dans le PDF ci-dessous).

Nous avons vu que la Lune met 2,5 h pour traverser cette ombre.

D’après le paragraphe 5, on sait que la lunaison dure 29,5 jours soient 708 heures.
On en déduit donc que l’angle $\beta$ de l’ombre (schéma 27 et schéma 35 arc $ \overset{\LARGE{\frown}}{\text{LL’}}$) est de $\dfrac{360}{708}\times 2,5=1,27°$.

$$ \delta = 180°-90°-\dfrac{0,5°}{2}-\dfrac{1,52°}{2}\approx 89,115° $$

$$ \text{Distance Terre-Lune}\approx\dfrac{\text{Rayon de la Terre}}{\cos\left(89,115°\right)} $$

$$ \text{Distance Terre-Lune}\approx \text{Rayon de la Terre} \times 64,74 $$

D’où la distance Terre-Lune avec la valeur du rayon terrestre fournie par Eratosthène est d’environ 408 000 km. On ne peut que rester admiratif !

Voici quelques compléments concernant cette démonstration :

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Lunaison
Explication détaillée
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Diamètre apparent d’un astre
Explication

7) Le mouvement de la Lune sur l’écliptique

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Schéma 36

La Lune (flèche rouge) au cours du temps suit approximativement la trajectoire écliptique (en jaune) suivie par le Soleil. On pourra s’en assurer en utilisant le logiciel stellarium.

La ligne jaune de l’écliptique est obtenue avec la virgule. La Lune est désignée par la flèche rouge sur le schéma. On pourra ainsi observer que de mois en mois la Lune suit de très prés l’écliptique.

La Lune se meut autour de l’écliptique grossièrement en 30 jours dans le sens direct comme le Soleil. Son mouvement moyen quotidien est donc de 12° par jour soit 1/2° par heure.

8) Méthode d’Hipparque de détermination des longitudes

par une éclipse de Lune.

Le catalogue des éclipses lunaires de -1999 à +3000 nous apprend qu’il s’agit d’une éclipse totale.

C’est ici https://eclipse.gsfc.nasa.gov/LEcat5/LEcatalog.html

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Schéma 37
éclipse de lune du 17 janvier -131

Les particularités de cette éclipse sont détaillées dans ce que l’on appelle le canon de l’éclipse dont on trouvera l’explication dans :

http://www.imcce.fr/langues/fr/ephemerides/phenomenes/eclipses/lune/

Hipparque a ainsi déterminé la longitude de Spica en utilisant une éclipse de Lune.

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Schéma 38
L’étoile Spica en rouge est très proche de l’écliptique en rouge.
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Schéma 39
Disposition du point vernal, de la lune , du soleil et de l’étoile Spica le 17 janvier -131.

Le point rose dans le coin supérieur gauche est le point vernal, intersection de l’équateur et de l’écliptique. Comme il y a deux points possibles, on repère le point d’ascension 0 h en cliquant sur ce point, l’autre ayant pour ascension 12 h.

L’autre point en rose est l’étoile Spica. La ligne rouge indiquée par la flèche jaune est l’écliptique. Le point très lumineux est le Soleil et dans le coin inférieur droit le point lumineux est la Lune.

Au cours d’une éclipse de Lune, les 3 centres ( Soleil, Lune , Terre) sont sensiblement alignés.

Nous aurons à nous servir du maximum photométrique de l’éclipse qui va correspondre à l’obscurcissement maximum de la surface du disque lunaire (voir paragraphe 4).

L’arc de longitude entre la Lune et Spica peut être mesuré à ce moment.

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Schéma 39 bis

Sur ce schéma sont placés les points tels qu’ils peuvent être vus du pôle écliptique nord. C désigne le centre de la Terre.

Ici on a :

Longitude Spica = longitude du Soleil au milieu de l’éclipse + 180 ° — arc de longitude entre la Lune et l’étoile au maximum de l’éclipse.

La longitude du Soleil était connue par les tables solaires.

Pour être exact, ce calcul devrait tenir compte de la parallaxe de la lune due au fait que la direction de la lune vue de la terre n’est pas la même que celle de la lune vue de l’observateur.

En comparant ses mesures de la position de Spica par rapport au point vernal avec celles effectuées par les astronomes des siècles précédents, comme Timocharis d’Alexandrie ( éclipse de Lune le 17 mars -283 à 19 h 20 TU ) et les astronomes babyloniens et chaldéens, il montra que le point vernal s’était déplacé de 2° par rapport à Spica soit d’environ de 50’ par an, la latitude écliptique de Spica n’ayant pas varié.

Hipparque en conclut que cet effet est dû à un lent déplacement du plan de l’équateur lui-même associé à un déplacement du pôle de rotation de la Terre qui lui est perpendiculaire : c’est le mouvement de précession des équinoxes, appelée ainsi, car la ligne des nœuds, intersection du plan de l’écliptique (orbite de la Terre) et du plan de l’équateur, qui joint donc les deux équinoxes de printemps et d’automne, précesse, autrement dit se déplace dans le plan de l’écliptique, selon un cycle d’environ 26 000 ans. En conséquence, dans le même temps, l’axe de rotation de la Terre, tel celui d’une toupie, décrit un cône dans l’espace, centré sur l’axe de l’écliptique perpendiculaire au plan orbital de la Terre autour du Soleil.

9) La précession des équinoxes, la nutation

Voici ce qu’en dit Jean Souchay, astronome à l’Observatoire de Paris :

«  Au mouvement de précession connu depuis l’antiquité viennent s’ajouter de petites oscillations que l’on appelle la nutation. Il faudra attendre le XVIIIème siècle pour que celle-ci soit mise en évidence par l’observation, grâce à un astronome anglais, James Bradley (1693-1762).

La précession et la nutation de la Terre s’expliquent par un même phénomène, l’influence conjuguée de la Lune et du Soleil sur le bourrelet équatorial de la Terre : le couple gravitationnel exercé par ces deux corps célestes sur le bourrelet s’accompagne d’un mouvement de balancement de l’équateur et donc déplace l’axe des pôles qui lui est perpendiculaire, dans l’espace. On doit à Newton, dans son Livre I des Principia, d’avoir expliqué le premier l’origine gravitationnelle de la précession.

En 1749 D’Alembert calcule le couple perturbateur lunisolaire sur tout le bourrelet équatorial. Pour cela il fait appel au calcul intégral, précieux outil mathématique qu’il a lui-même contribué à développer. Rapidement, il obtient les équations du mouvement du pôle de la Terre dans l’espace et peut ainsi d’une part retrouver en la quantifiant la précession des équinoxes, d’autre part prouver et déterminer en détail le mouvement de nutation, découvert deux ans auparavant »

En 1765, Euler montre que si l’axe d’inertie d’un corps et l’axe de rotation d’un corps ne sont pas confondus, alors l’axe de rotation décrit un cône autour de l’axe du plus grand moment d’inertie.

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Schéma 45 : précession
Cliquez pour lancer l’animation. Animation réalisée par A. Picaud et POV-Ray d’après http://www.astro-rennes.com/initiation/precession.php
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Schéma 48

La précession en bleu, la nutation en rouge, la Terre tournant autour de l’axe des pôles en vert.

Chronologie :

Timocharis d’Alexandrie (env. 320 av. J.-C. - 260 av. J.-C.), astronome et philosophe. Il dresse un premier catalogue d’étoiles.

Hipparque en se basant sur ces prédécesseurs (Timocharis et les babyloniens ) met en évidence en -129 la précession des équinoxes.

Claude Ptolémée (né vers 90).

Ptolémée est l’auteur de plusieurs traités scientifiques, dont deux ont exercé une très grande influence sur les sciences occidentales et orientales. L’un est le traité d’astronomie, aujourd’hui connu sous le nom d’Almageste . L’autre est la Géographie, qui est une synthèse des connaissances géographiques du monde gréco-romain.

Ptolémée réalisa aussi une sorte de manuel essentiellement pratique, appelé « Les tables faciles » ou parfois « Les tables manuelles » http://www.persee.fr/doc/rht_0373-6075_1992_num_22_1992_1368

Newton en 1687 publie les Principia et propose une explication de la précession grâce à la gravitation universelle.

Bradley en 1748 publie sa découverte de la nutation.

Jean le Rond d’Alembert en 1749 publie son chef d’œuvre sur la précession et nutation, suite à la découverte de Bradley. Il contribue à développer le calcul intégral.

Euler en 1765 prévoit les oscillations de l’axe de rotation de la Terre nommées par la suite oscillations de Chandler.

Logiciels utilisés

Stellarium :

Site officiel : http://www.stellarium.org/fr/

Cabri 3D

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Crédits : Aymeric Picaud
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