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Les objets aimantés en Géométrie Dynamique
vers de nouvelles pratiques géométriques ?
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Mis en ligne le 30 janvier 2009, par Yves Martin

L’aimantation d’un point par plusieurs objets à la fois, avec barycentration paramétrable du champ d’attraction des objets est une nouvelle fonctionnalité de CaRMetal depuis la version 2.9.6. A l’origine mise en place pour affiner la réalisation d’imagiciels dynamiques, cette nouvelle fonctionnalité ouvre des perspectives si nouvelles qu’on peut se demander si l’aimantation des objets n’ouvre pas sur des pratiques d’une originalité radicale en géométrie dynamique.
C’est ce que nous allons tenter d’explorer dans cet article.

Mise à jour de mars 2017
Cet article de 2009 avait été écrit dans une logique de mettre des fichiers Java en ligne. Comme désormais ce n'est possible - demande trop de choses à faire pour l'utilisateur final, il vient d'être repris avec des copies d'écran pour une vraie lisibilité. De même les lien vers des figures sont supprimés, le tout est téléchargeable en fin d'article. L'article a partiellement été corrigé juste dans cette option.

L’aimantation d’un point est rapidement une question naturelle en géométrie dynamique. Le premier aspect de cette question est l’affranchissement de la précision du logiciel. Si par exemple on prépare une activité dans laquelle les élèves doivent visualiser la position d’un point (archétypiquement le 4° point d’un parallélogramme ou d’un cas particulier comme un rectangle), il n’est réaliste pour personne d’attendre une précision au pixel près (et même ce serait déjà une aimantation). On souhaite accepter une solution, selon les classes, à 10 ou 15 pixels près, et on peux alors aimanter le point manipulé par l’élève sur la position exacte à la précision choisie par l’enseignant. De nombreuses activités de ce type sont déjà réalisables dans différents logiciels qui ont intégré, soit par macro logicielle (CaRMetal) soit par script (TracenPoche) l’aimantation d’un point en général par un point, une droite ou un cercle.

Partie 1 : Présentation de l’aimantation de CaRMetal

Le "ou" précédent est naturellement exclusif : selon l’activité que l’on prépare on va aimanter un point par un point, éventuellement une droite ou un cercle. Le résultat est alors un "point sur objet" étendu à l’affranchissement de la précision. La récente implémentation de l’aimantation dans CaRMetal, apporte - dans une première analyse - le ou précédent inclusif : un point peut être attiré par plusieurs objets à la fois. On entre alors dans un second aspect du questionnement sur l’aimantation : l’Extension de la notion de Point Sur Objet (EPSO dans la suite) en une notion de point sur objets .
C’est l’occasion de rendre hommage ici une nouvelle fois au logiciel historique de géométrie dynamique qu’est Cabri Géomètre : dès 2001, sa grille pointée était implémentée comme objet Cabri ce qui fait que dans une figure, on pouvait prendre un point sur l’objet grille. Cela fut utilisé par exemple pour illustrer le champ de vecteur d’une équation différentielle en faisant varier l’origine du vecteur sur la grille pointée.
Ainsi, dans le cadre de l’implémentation d’un objet bien particulier, Cabri-Géométre avait partiellement réalisé ce qui va se généraliser maintenant par l’aimantation d’un ou de points, les points allant être choisis par l’utilisateur,bainsi que l’aimantation. Notons toutefois qu’à cette époque, ce qui était présenté dans cette implémentation (et perçu par les utilisateurs) était l’extension de la notion d’objet Cabri à la grille pointée et pas du tout l’extension de la notion de point sur objet, qui n’était alors pas d’actualité.

EPSO - 1. Aspect topologique

Pour illustrer cette extension au ou inclusif d’objets, voici une première figure illustrant les possibilités les plus basiques de cette nouvelle fonctionnalité :

Construction de l'image d'une figure par la trace de l'image d'un point parcourant la figure initiale

Cette première illustration interroge sur l’implémentation toujours de plus en plus fine, au fil des années, des différents aspects de la notion de figure en géométrie dynamique. Quand on travaille les problèmes de construction l’aspect séquentiel de la construction est important, la figure est mise en relation soit à un texte, soit à un arbre (au moins dans un logiciel de géométrie). Ici on s’intéresse non pas à la construction d’une figure composée d’objets géométriques différents mais au contraire à l’aspect topologique de la réunion de ces objets. La nouvelle aimantation des objets de CaRMetal permet alors de mettre en œuvre cette dimension, implicitement très présente dans les activités de Collège, de la notion de figure. En effet, cette union topologique permet de donner au mot générique figure un sens plus concret, car opérationnel : l’aimantation dans ce cas cristallise du sens sur le concept de figure car celle-ci se comporte pour le logiciel comme un objet : on peut le parcourir avec un point comme on le ferait d’un triangle ou d’un quadrilatère. De ce point de vue - du point de vue de la manipulation directe essentiellement - l’aimantation donne à voir une figure comme un objet autonome qui n’a pas de nom spécifique comme le rectangle ou le triangle isocèle.

La réalisation d’une telle figure est élémentaire, totalement en manipulation directe, il suffit, pour le point M, de désigner les objets qui vont l’aimanter en cliquant sur l’aimant puis sur les objets de la figure (ci dessous un aspect d’objet tronqué) :

On a cliqué successivement sur le cercle, trois segments, le triangle et quatre autres segments. Ensuite on choisit une attraction importante, ici plus grande que la taille de la fenêtre pour que le point ne sorte pas de la figure réalisée par la réunion des objets indiqués.

Poursuivons, toujours avec des figures élémentaires, par le respect des attentes la manipulation directe de cette aimantation : dans la figure suivante, le point X ne peux aller que sur les points d’intersection du cercle et du quadrilatère. En pratique il est attiré fortement par les deux objets.

Manipulations proposées (donc désormais hors ligne
1. Commencer par vérifier que X se déplace sur les 8 points d'intersection I, J, K, L, M, N, P, et Q.
2. Déplacer les sommets du quadrilatère ou la poignée "r" du cercle pour que certains points d'intersection n'existent pas, on voit alors X sauter lui-même sur les points qui restent s'il est sur un point qui disparait.

Manipulation directe et aimantation

Même si ce comportement est le minimum attendu d’une telle implémentation, on peut imaginer qu’il ne soit pas élémentaire à mettre en place.

EPSO - 2. Réalisation d’imagiciels avec conditionnements dynamiques

La mise en œuvre de cette extension topologique au concept de point sur objet trouve une autre efficacité dans la mise en place d’ingénierie fine et détaillée soit d’exploration soit de validation de propriétés au sein d’une unique figure.

L’exemple suivant peut être une figure qui accompagne une fiche de travail (ou de bilan) sur les cercles et les angles en collège. Dans cette figure, le point E est légèrement attiré par les deux cercles C1 et C2, la droite d1 ainsi que le point D. La fiche de travail accompagnatrice propose de placer le point E successivement sur la droite, le cercle C2, le cercle C1 et le point D.
Dans chaque cas une question est posée.

Imagiciel utilisant l'aimantation des objets

Il y a ici interaction entre cette possibilité de réunir dans un même comportement les deux cercles, la droite et un point de la figure, tout en distinguant explicitement ces différents objets par une démarche conditionnelle, extérieure à l’aimantation. Nous verrons plus loin un traitement conditionnel interne à l’aimantation.

La construction de cette figure est réalisée et commentée par l’auteur du logiciel lui-même, Eric Hakenholz, dans une vidéo faite en direct, disponible à cette page. Attention ! L’ouvrir "dans un nouvel onglet" car SPIP ne permet pas de paramétrer la cible. La vidéo dure 10 min car la figure est faite avec tous ses conditionnements et Eric a volontairement laissé quelques hésitations de parcours qui sont formatrices pour nous. Il suffit de regarder cette vidéo pour voir la simplicité de la réalisation de l’aimantation d’objets. Cela signifie aussi qu’un utilisateur expérimenté ne met que 10 minutes à réaliser une telle figure !!!

EPSO - 3. Réalité mathématiquement augmentée

Après ces premiers exemples élémentaires, au sens où l’on applique l’aimantation sans différenciation des objets aimantant, voyons maintenant une situation dans laquelle l’extension du concept de point sur objet correspond à une richesse mathématique supplémentaire explicite, d’où l’allusion à la réalité augmentée.

Dans la figure suivante le point M est un point sur objet du segment [CG]. On cherche à réaliser la longueur minimale pour aller sur le cube de B à I, milieu de l’arête [GH] en passant par l’arête [CG]. Déplacer M. Quand M réalise ce minimum, un curseur système devient disponible et permet d’aller plus loin dans la compréhension, pour engager ensuite très facilement une construction effective du point M réalisant ce minimum.

Extension de la notion de point sur objet aux caractéristiques mathématiques de la figure (figure réalisée par Monique Gironce)

Le point M, en plus d’être sur le segment [CG] est attiré, quand il est à moins d’un pixel, par la position de la solution réalisation le minimum cherché. Cette possibilité est nouvelle en géométrie dynamique et ce type de réalité augmenté (ou de simulation augmentée) n’est actuellement disponible que sur CaRMetal. C’est une autre conséquence de l’aimantation. Voyons comment cela est réalisé.

Pour des raisons vite évidentes, l’auteur du logiciel a choisi de ne pas permettre l’aimantation de points sur objet, mais a préféré paramétrer le champ d’attraction des objets. Ainsi le point M est aimanté de la façon suivante :

Paramétrisation du point M
s2:500;m1:1
où s2 est le segment [CG] et m1 la solution préalablement construite.

On peut donc moduler l’attraction des objets : une forte attraction du segment pour simuler le point sur objet (on est bien dans un contexte d’extension de la notion de point sur objet) et le point solution à 1 pixel car M, en manipulation directe, ne peux pas prendre a priori la position exacte, et l’attraction à un pixel prés permet de n’arriver sur la solution que si le point M y est déjà d’un point de vue perceptif (réalité mathématiquement augmentée).

Partie 2 : Autres exemples d’utilisations à des fins d’illustration

Revenons maintenant un instant sur le fait qu’une forte attraction permet de faire se déplacer un point sur des objets précis, et en particulier sur un nombre fini de points. Cela permet de construire de nouvelles illustrations de propriétés qui, en classe , permettent une approche plus approfondies de certaines notions. Voici un premier exemple, élémentaire, utilisable en collège.

Utilisation de manipulations directes finies sur une figure

On voit bien qu’il s’agit d’une utilisation assez élémentaire de l’aimantation d’objets, mais qu’elle permet effectivement la mise en place d’ingénieries, de découverte ou de consolidation, tout à fait nouvelles.

Un autre exemple maintenant, dans un contexte non scolaire, où chacun de nous peut être plus interpelé par le processus, transposant alors l’effet de nos propres manipulations de la figure dans nos contextes scolaires familiers.

Chacun a appris, et plus ou moins utilisé ce théorème de géométrie des configurations, fondamental dans le cadre de la construction d’une axiomatique de la géométrie. Il met met en jeu l’incidence et l’alignement de points dans une symétrie de configuration qui a pu ne pas sauter aux yeux lors de notre parcours universitaire :

Version discrète du théorème de Desargues : rôles symétriques joués par les points

En fait, comme on l’imagine facilement, la figure pourrait être plus aboutie : pour chaque position de I, il y a 6 positions possibles pour A, puis les possibilités pour B. Mais cela ne ferait que faire une permutation des points M, N, et P sur la même droite rouge. Ici, on a préféré minimiser les déplacements des points en manipulant seulement un seul point.

Plus sur ce théorème (dont preuves formelles de Pascal et Desargues) et manipulation directe (finie) dans le navigateur sous DGPad dans cet article de l’IREM de La Réunion.

Une dernière illustration, sur les nombres complexes, où l’aimantation est presque invisible tellement la manipulation de la figure est naturelle. Cette figure peux aussi bien être utilisée en terminale pour illustrer les racines n-ièmes de l’unité (par exemple sur le pentagone) que dans l’enseignement supérieur pour visualiser les racines primitives de l’unité. C’est pour cela que la curseur va jusqu’à 15, pour avoir un premier produit de deux nombres premiers impairs (indicateur d’Euler...)

Manipulation directe discrète sur les racines complexes de l'unité

Partie 3 : Aimantation et déterminisme

Un logiciel de géométrie dynamique est dit déterministe si, après manipulation de ses objets de base, la figure revient dans sa position initiale quand les objets de base reprennent eux aussi leurs propres positions initiales.
On pourra dire que c’est un minimum attendu, mais en fait c’est un choix, un choix logique que tous les logiciels de géométrie dynamique ont fait à l’exception notable de Cinderella. Le choix alternatif des concepteurs de Cinderella est justifié par le fait qu’un logiciel de géométrie dynamique déterministe ne peux pas respecter totalement la continuité de l’orientation des objets (ceci à partir de 14 points, alors que l’orientation est conservée jusqu’à 8 points). Pour plus détails, voir la thèse de Bernard Genevès (paragraphes 1.1 et 1.4 en particulier).

Dans un article précédent (suspendre le temps en géométrie dynamique), nous avons vu que les références circulaires du logiciel permettent de s’affranchir volontairement de ce déterminisme, et on l’a utilisé pour inclure dans une figure la trace de l’histoire de sa manipulation par l’utilisateur : on perd donc, si on le souhaire le déterminisme, mais par choix.

Nous allons voir que l’aimantation, quand elle n’est plus seulement arithmétique (ie que les coefficients ne sont pas seulement des nombres) mais qu’on y incorpore des expressions numériques et/ou logiques aboutit à des figures non déterministes.

Nous allons l’illustrer dans un contexte scolaire de lycée, on verra en complément des liens vers d’autres situations.

La figures suivante (sur une idée de Dominique Tournès) est une façon d’illustrer que les 12 cercles circonscrits associés aux 12 triangles du quadrilatère complet sont concourants 4 par 4, sur la base de la recherche du centre de similitude qui envoie une paire de points sur une autre paire de points. Cette figure est déterministe même si l’on ne suit pas les conseils de manipulation qu’elle contient :

Parcours sur les centres de similitudes directes de 4 points

Elle est déterministe car seul le point M’ est manipulable, les points N et N’ sont construits à partir de M’, d’où le choix d’un parcours, didactiquement cohérent car, comme est construit N, c’est dans l’échange de M’ et N que l’on conserve le même centre de similitude.

C’est bien entendu bien plus intéressant de faire la manip soit même sur la figure (téléchargeable en fin d’article)

On peux avoir envie de construire une figure plus ouverte dans laquelle le choix de N est libre sur les deux positions restantes. Alors bien entendu, sauf programmation supplémentaire, c’est l’algorithme d’aimantation qui détermine la position de N par défaut. Or celle-ci peut ne pas relever du déterminisme usuel des logiciels de GD.

Dans la figure suivante on a choisi de placer à l’ouverture de la figure une manipulation déterministe et une autre non déterministe (si aucune ne l’est c’est assez déstabilisant au début). Dans le second choix du menu, des informations précises sont données pour échanger ces deux comportements.

Exemple de situation aimantée non déterministe

On voit donc qu’il est assez facile de produire une situation aimantée non déterministe. Si on décontextualise la situation, par exemple pour une présentation en formation, il suffit de prendre le triangle BCD et deux points aimantés sur ses sommets. On a choisit de conserver la situation initiale car le changement de couleur entre les situations et les cercles circonscrits frappent plus visuellement, en terme de non respect du déterminisme, qu’une situation minimaliste plus formalisée.

On retiendra de cette situation que l’aimantation est une fonctionnalité qui induit des comportements nouveaux puisqu’elle peut contenir en elle-même la perte partielle du déterminisme que les auteurs de logiciel s’évertuent à maintenir le plus parfaitement possible au prix d’un savoir faire développé patiemment par l’analyse de nombreuses situations.

On remarquera aussi que, de fait, cette rupture du déterminisme avait semblé naturelle dans la manipulation de la référence circulaire à l’article sur le temps déjà cité, car cette rupture était l’effet attendu de cette manipulation alors qu’ici elle est un sous produit de l’aimantation.

Cela peut vouloir dire aussi que culturellement, si l’on pratique ce comportement régulièrement, c’est alors une porte ouverte vers d’autres pratiques, il devient aussi naturel que l’inaudible et scandaleux accord de 7° dominante la première fois que Berlioz l’a utilisé dans une symphonie : tout n’est peut-être qu’une question de culture, et MathémaTICE est un outil pour nous aider à progresser collectivement dans cette culture qui se construit au quotidien.

D’une manière plus intérieure encore, c’est l’occasion également de s’interroger sur la complexité des choix des concepteurs des logiciels de GD. Pour l’auteur, supprimer cette perte de déterminisme ne prendrait que quelques dizaines de ligne de code. Il suffirait par exemple de remplacer la prédominance de la distance pour gérer l’attraction multiple par un ordre de parcours des objets aimantant (dans l’ordre du clic des objets par exemple). L’aimantation et le déterminisme cohabiteraient sans problème. Faut-il préférer ce choix, à celui de la version actuelle (la 297) ? Faut-il se permettre parfois un abandon partiel du déterminisme des figures pour une aimantation plus en manipulation directe (puisque son comportement change en temps réel par la manipulation des objets) ? Il n’est pas simple pour l’auteur d’un logiciel de trancher. Sans doute faut-il se donner le temps de la pratique et de l’exploration.

Dans le cas de CaRMetal, le choix est peut-être encore plus complexe car une autre alternative est possible : le logiciel contient en interne une fonction permettant de retrouver automatiquement le déterminisme des figures. Alors, faut-il utiliser cette fonctionnalité ou au contraire la rendre disponible à l’utilisateur final pour que celui-ci fasse le choix lui-même du comportement de sa figure, au prix bien entendu de la mise en œuvre de cette fonctionnalité. En dernière analyse c’est, comme toujours, un choix à effectuer entre la complexité du micro-monde potentiellement produisible, et la simplicité de mise en œuvre de ce micromonde.

Téléchargement des figures de l’article

à utiliser avec la version 2.9.7 ou plus de CaRMetal

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