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Les propositions du groupe Casyopée pour l’étude des fonctions
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Rappelons que Casyopée est le nom d’un groupe de l’IREM de Rennes soutenu par l’Institut Français de l’Education. Une question abordée par le groupe est celle de l’apport du calcul formel aux apprentissages des élèves. En effet, Casyopée veut dire Calcul Symbolique offrant des possibilités à l’élève et à l’enseignant. Nous nous sommes aussi posé la question de la contribution des Technologies d’Information et de Communication à un domaine d’enseignement particulier, mais crucial, celui des fonctions.

Ce travail se déroule depuis plusieurs années alors qu’en parallèle les programmes officiels en Troisième et au Lycée et par conséquent les pratiques des enseignants mettaient l’accent de façon croissante sur cette notion de fonction.

Au-delà de la réflexion sur ces questions, nous avons travaillé au développement, à l’expérimentation et à la diffusion d’un logiciel formel et géométrique, dédié aux fonctions, qui s’appelle aussi Casyopée, ainsi qu’à la publication de ressources web sous forme de mini-sites pour la classe et la formation, déjà présentés dans MathemaTICE.

Le groupe est heureux de faire part de deux réalisations récentes :

  • 1) La version 3 du logiciel Casyopée.
  • 2) Une brochure publiée par l’IREM de Rennes et intitulée :
    Les fonctions : comprendre la notion et résoudre des problèmes de la 3ème à la Terminale. L’apport d’un logiciel dédié.

1.La version 3 du logiciel Casyopée est opérationnelle, elle a été testée en classe de façon approfondie.

Le volet d’algèbre a été simplifié, de façon que les fonctionnalités les plus spécialisées (vérification du domaine, propriétés de signe et de variation) n’apparaissent que quand c’est nécessaire. La géométrie dynamique a été complétée pour inclure des objets tels que les angles et les lieux géométriques et permettre l’importation d’images. On trouve donc dans Casyopée les fonctionnalités communément présentes dans les logiciels de géométrie dynamique. L’interface a été redéfinie pour qu’un utilisateur par exemple de GeoGebra, se l’approprie facilement.

Les points forts demeurent : pas de langage de commande, statut des objets conforme aux exigences mathématiques, lien Géométrie-Algèbre grâce au volet « calculs géométriques », aide à l’élève...

La documentation correspond à la version 2. Elle contient de nombreux exemples d’utilisation du logiciel dans différents domaines.

PDF - 5.7 Mo
Manuel de prise en main pas à pas
PDF - 648.6 ko
Casyopée version 3

Un document additionnel présente les nouveautés de la version 3. La documentation sera mise à jour dans les mois qui viennent. En attendant, un utilisateur de la version 2 pourra s’aider du document additionnel. En cas de première utilisation, il est conseillé de suivre pas à pas les travaux proposés. Il est aussi tout à utile de consulter le blog d’Olivier Leguay http://www.inclassablesmathematiques.fr/. Parmi les rubriques, toutes passionnantes, on trouvera des exemples d’utilisation de Casyopée.

2. La brochure a comme objectif de présenter une synthèse en un seul document de notre démarche et de nos résultats. Elle est disponible dans les IREM (dont celui de Rennes).

- Dans une première partie, nous présentons les enjeux liés à la notion de fonction à travers deux exemples de situations. Un exemple en classe de Terminale scientifique présente de façon générale la construction des fonctions comme articulation de cadres et de registres, puis un exemple en classe de Seconde se centre plus particulièrement sur la transition entre cadre géométrique et algébrique. Nous faisons ensuite une présentation des enjeux épistémologiques autour de la notion de fonction de la Troisième à la Terminale, puis nous présentons nos choix didactiques.

- La seconde partie précise le cadre où nous situons notre travail, comment nous comprenons les programmes officiels, l’historique du groupe, ainsi que les choix de conception et les évolutions successives du logiciel. Nous terminons cette partie en spécifiant ce qui nous semble important concernant l’activité des élèves sur les fonctions et ce à quoi l’usage du logiciel peut contribuer. Pour nous les fonctions prennent sens progressivement comme modèles de covariations .

- La troisième partie vise à faire partager notre démarche en s’appuyant sur l’exploitation d’une même situation expérimentée en classe, de la Troisième à la Terminale, en adaptant les objectifs et les choix. Les trois parties suivantes sont consacrées à l’étude détaillée de deux exemples et à une présentation de nos productions disponibles sur le web.

- Deux postfaces apportent un regard extérieur à nos travaux. Maria Alexandra Mariotti professeure à l’université de Sienne (Italie) s’intéresse aux choix de conception du logiciel. L’exposé qu’elle donne de la théorie de la Médiation Sémiotique permet de mieux comprendre le processus par lequel, à partir de la manipulation du logiciel, les élèves accèdent aux significations mathématiques ainsi que le rôle joué par le professeur. NGUYEN Chi Thanh professeur à l’Université Pédagogique de Hanoï nous informe sur l’enseignement de la notion de fonction au Vietnam et son expérience d’utilisation de Casyopée au lycée et dans la formation des enseignants.

Concluant la brochure, nous pensons avoir montré que les fonctions comme « modèles de covariations » peuvent accompagner les apprentissages des élèves jusqu’en Terminale et peut-être au-delà, et que le calcul formel peut être mobilisé de multiples façons pour accompagner l’élève dans ses démarches d’exploration et de preuve. Le développement du logiciel Casyopée nous a permis de faire évoluer notre réflexion en développant les fonctionnalités nécessaires, puis en tentant de les organiser en un produit « open source » cohérent et suffisamment robuste pour permettre des usages réalistes en classe. Mesurant le chemin parcouru, nous en mesurons aussi les limites ; notre approche des fonctions reste très « algébrique », y compris lorsque des notions comme la dérivée ou le théorème de la bijection sont abordés. Cette « consolidation » de l’algèbre nous paraît nécessaire et utile, mais les fonctions devraient être aussi une voie d’accès à l’analyse. La conclusion donne les pistes que nous allons explorer dans ce domaine.


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