Pour calculer le produit de deux nombres entiers entre eux, il n’est pas nécessaire de connaître toutes les tables de multiplication (de 2 à 9) : il suffit de connaître la table de 2 et d’être capable de diviser par 2 !

Exemple :

Description de l’algorithme.

Pour calculer le produit de deux entiers naturels $a$ et $b$ :

i. On écrit, sur la même ligne, $a$ à gauche de la feuille et $b$ à sa droite ;

ii. On effectue les divisions successives de $a$ puis des quotients entiers obtenus par 2 jusqu’au quotient égal à 1. Les quotients (entiers) obtenus seront inscrits, l’un en dessous de l’autre (dans l’ordre chronologique), dans la colonne chapeautée par $a$ ;

iii. Sur chacune des lignes de ces quotients et dans la colonne chapeautée par $b$, on écrira le produit du nombre de dessus par 2 ;

iv. On barre les lignes qui correspondent à un quotient pair (y compris celle de $a$, si $a$ est pair) : on n’en tiendra plus compte) ;

v. Le produit $a \times b$ cherché n’est autre que la somme des nombres non barrés dans la colonne chapeautée par $b$.

Illustration

(Voir ANNEXE B.)

Démonstration de cet algorithme :

Etape 1
Les divisions successives de $a$ puis des quotients entiers obtenus par 2 jusqu’au quotient égal à 1 nous mènent à l’écriture de $a$ dans la base 2. C’est une succession de 1 et de 0.
–  On aura 1 lorsque le dividende ($a$ ou le quotient) est impair ;
–  On aura 0 lorsque le dividende ($a$ ou le quotient) est pair.

Dans le cas de l’exemple 1 : 43 $\times$ 112

ainsi : $ 43 = \overline 101011^2$ = 1 $\times 2^5$ + 0 $\times 2^4$ + 1 $\times 2^3$ + 0 $\times 2^2$ + 1 $\times 2^1$ + 1 $\times 2^0$ (remarquez que les 0 proviennent des cas où le dividende est pair.)

Etape 2
Sur chacune des lignes de ces quotients et dans la colonne chapeautée par $b$, on écrira le produit du nombre de dessus par 2, ce qui nous donnera : $b, 2b, 2^2b, 2^3b, ...., 2^nb$.

Etape 3

$43 \times 112$ = (1 $\times 2^5$ + 0 $\times 2^4$ + 1 $\times 2^3$ + 0 $\times 2^2$ + 1 $\times 2^1$ + 1 $\times 2^0) \times 112$

= ($2^5$ + 0 $\times 2^4$ + $2^3$ + 0 $\times 2^2$ + $2^1$ + $2^0$) $\times 112$

= 25 $\times 112$ + 0 $\times 2^4 \times 112$ + $2^3 \times 112$ + 0 $\times 2^2 \times 112$ + $2^1 \times 112$ + $2^0 \times112$ : c’est ce qui justifie la suppression des lignes où le quotient est pair.

Etape 4
Le produit $a \times b$ cherché n’est autre que la somme des nombres non barrés dans la colonne chapeautée par $b$, alors :

$43 \times 112 = 2^5 \times 112 + 2^3 \times 112 + 2^1 \times 112 + 2^0 \times 112$.
Noter que chacun de ces produits partiels est déjà calculé, il suffit alors de les sommer !

Démonstration

Dans la suite, $M_2$ désigne l’ensemble des multiples de 2.
Plus généralement, dans la base 2, on a :
$ a = \sum_{i=1}^{n} r_i \times 2^{i - 1} + 2^n$, $r_i$ étant le reste de la $i^{ème}$ division donc, pour $i \geq 1$,

$$r_i = \cases{ 0   si   q_{i-1} \in M_2 \cr 1   sinon   \cr } $$

Dans cette rubrique, on présente une explication simplifiée de ce que sont : le solstice d’été, l’éclipse solaire et l’éclipse lunaire. L’auteur évoque aussi comment les peuples anciens jugeaient ces phénomènes.
La présentation dans ces quelques pages de certaines images auraient permis aux petits lecteurs une meilleure conception de ce qui se passe pendant ces trois situations.

Ici, l’auteur parle des mathématiques grecques, il cite les noms des plus célèbres mathématiciens de cette époque ainsi que leurs œuvres les plus connues. On retrouve :
• Thalès et son angle inscrit dans un demi-cercle ;
• Pythagore et sa loi concernant les côtés d’un triangle rectangle ainsi que sa classification des nombres : les nombres pairs étaient des femelles, les impairs des mâles, à l’exception de 1 qui était à la fois le père et la mère de tous les autres nombres ;
• Zénon et ses paradoxes et en particulier une illustration éclaircie par des graphiques du paradoxe du coureur et de la tortue. (Voir ANNEXE A.) Depuis le V$^ème$ siècle avant J.-C, les paradoxes du mouvement causent beaucoup de soucis à ceux qui veulent les résoudre. Zénon les avait formulés dans le but de montrer la nature illusoire du mouvement, ce qui correspondait à la doctrine de son mentor Parménide. En analyse moderne, le paradoxe est résolu en utilisant fondamentalement le fait qu’une série infinie de nombres strictement positifs peut converger vers un résultat fini. Reste à voir si cette solution est vraiment satisfaisante ou non !
• Euclide et son œuvre intitulée Les éléments où il a rassemblé toutes les découvertes de ses prédécesseurs et a présenté quelques théories personnelles ;
• Archimède qui était géant sur tous les plans. Parmi ses découvertes, Kjartan Poskitt cite le levier, la vis d’Archimède, les catapultes, le canon solaire, le rapport du volume d’une sphère à celui du cylindre où elle se tient et la poussée d’Archimède qui en a fait le fondateur de l’hydrostatique…
• Diophante très célèbre pour ses travaux en algèbre. Il classifie les équations et propose des algorithmes de résolution pour certaines catégories.

Dans cette rubrique qui commence par l’énigme ci-dessous, l’auteur soulève le problème de pavage par différents types de polyminos.

• Enigme de départ :
Le maître du jeu dispose d’un échiquier carré qui a 8 cases par côté. Elles sont coloriées de telle sorte que si une case est blanche alors celles qui lui sont adjacentes sont noires et vice-versa (figure 1 ci-dessous), il dispose aussi d’une boîte de 32 dominos, chacun d’eux couvre 2 cases. Il supprime les 2 cases blanches qui sont dans les coins opposés (Figure 2 ci-dessous). Il demande au joueur s’il lui est possible de paver l’échiquier obtenu avec seulement 31 dominos ?

• Quelques exemples de polyminos
Un polymino est le résultat du collage d’un certain nombre de carrés identiques, on parle de monomino (1 carré), domino (2 carrés), triomino (3 carrés) : on en distingue deux sortes, tétramino (4 carrés) : on en distingue cinq sortes,…
L’auteur propose des applications intéressantes qui consistent en des jeux qui font appel aux polyminos, il cite le Tetris !

L’auteur commence par rappeler certaines vitesses plus ou moins connues (d’un sprinter bien entraîné, de la lumière, le guépard qui est l’animal le plus rapide, un escargot…) mais qui sont exprimées dans des unités différentes : km/h, m/s, km/s…puis il essaye d’expliquer la définition de la vitesse et la signification de ces unités pour passer par la suite à la comparaison de deux vitesses exprimées dans deux unités différentes.

Le livre regorge d’illustrations humoristiques

L’auteur consacre cette rubrique au ruban de Möbius qui est une surface compacte dont le bord est homéomorphe à un cercle.

Pour réaliser un ruban de Möbius :
1. Découpe une bande de papier suffisamment longue.
2. Avant d’assembler les extrémités de la bande de papier, fais effectuer un demi-tour à une des extrémités.
3. Assemble maintenant les extrémités à l’aide d’un bout de ruban adhésif.
4. Tu obtiens alors un ruban de Möbius.

Le ruban de Möbius n’a qu’une seule face. Ce qui veut dire qu’en partant d’un point quelconque du ruban, si on trace une ligne sans jamais lâcher le stylo en suivant le ruban, on se retrouve à mi-chemin au point de départ mais de l’autre côté du ruban. On est pourtant toujours sur la même face !

Si on découpe un ruban de Möbius le long de sa ligne médiane, on obtient non pas deux morceaux mais un seul qui forme quatre demi-tour.

Pour obtenir deux morceaux, il faut couper une deuxième fois le ruban le long de sa ligne médiane.

Cette rubrique est consacrée à l’arithmétique.
Dans un premier volet, et comme application de la congruence, l’auteur dénombre les calendriers dont on doit disposer pour couvrir tous les besoins : il s’avère que pour toute période de 28 ans, il nous faut 7 versions de calendriers non-bissextiles (chacun d’eux commence par l’un des 7 jours de la semaine et sera utilisé 3 fois pendant cette période) et on a aussi besoin de 7 versions du calendrier bissextile (chacune d’elles sera utilisée 1 fois pendant cette même période).
L’ajout d’un tableau similaire à ce qui suit aurait illustré encore mieux la situation vu l’âge des lecteurs visés (An : année, J1 : 1er jour de l’année, Ni : année normale n° i, Bi : année bissextile n° i)

La comparaison des deux premières et des deux dernières colonnes prouvent la périodicité après 28 ans.

Dans un deuxième volet, l’auteur essaye de déterminer, à partir d’un calcul que je trouve assez long, la fréquence du vendredi 13 (13 du mois) que certains jugent comme porte malheur ! Il nous fait découvrir que pour une période de 4 siècles, il est légèrement plus probable que le 13 du mois soit un vendredi qu’un autre jour de la semaine ! (Voir annexe C.)
Le troisième volet est réservé au calcul de nombres de personnes qui fêtent leur anniversaire le même jour de la semaine.

‘’Méfie-toi de petits nombres planqués en haut dans les coins. Les puissances peuvent conduire à des nombres mortels !’’ : c’est ainsi que l’auteur commence sa rubrique sur les ‘’petits nombres’’, car par exemple c’est selon le principe de division en deux que « les bactéries se reproduisent très rapidement grâce aux puissances ». Même si on arrive à neutraliser la grande masse d’une population de bactéries, les quelques-unes qui survivent par mutation seront capables de causer des désastres !

Dans un premier temps, l’auteur se base sur le fait qu’un rationnel non entier possède un développement décimal illimité pour faire remarquer à ses lecteurs qu’en effectuant certaines divisions, les calculatrices peuvent donner des résultats différents donc causer des injustices dans certains partages !
Dans un second volet, l’auteur propose un habillage attirant pour une situation de partage qui se traduit par la somme :

$ \frac{1} {2} + \frac {1} {4} + \frac {1} {6} = \frac {11} {12} \neq \frac {12} {12}$.

Cette rubrique est une occasion pour illustrer le déplacement dans le plan suivant les quatre directions. Le lecteur est mis dans une situation de défi entre deux cavaliers, le gagnant parmi eux est celui qui a le plus d’imagination pour optimiser au maximum les différents trajets à faire. L’un a suivi ponctuellement le plan qui est sur la carte, quant à l’autre, il a pensé à ajouter une petite jonction (entre le point de départ et celui d’arrivée ! (voir les deux plans ci-dessous.)

Ici, l’auteur nous présente deux situations de dénombrement. On s’intéresse plus précisément au nombre de façons de placer n objets autour d’un cercle. Dans ces situations, il ne suffit pas d’être capable de dénombrer pour trouver les solutions, il faut, en plus, être capable de remarquer même les petits détails d’un dessin. Les petits lecteurs pourraient tirer plus de profits des situations proposées, si on avait à comparer les résultats avec le cas où les objets à ranger sont alignés.

Ici, la place est cédée à la théorie des graphes, à travers des jeux ‘’connus’’ mais dont la justification de l’existence ou non de solution est beaucoup moins connue même par les plus âgés. On croise par exemple le casse- tête de l’enveloppe fermée, vue de dos, (dessin 1 ci-dessous) et celui de l’enveloppe ouverte (dessin 2 ci-dessous). Ils consistent à juger la possibilité de reproduire chacun des dessins 1 et 2 ci-dessous sans que la mine du crayon ne quitte la surface du papier et sans repasser sur une ligne déjà tracée.

D’autres situations intéressantes et des astuces sont proposées. Elles méritent qu’on leur consacre un peu de notre temps !

Constatation

• Vérifier que la somme des 5 nombres encerclés de la grille 1 ci-dessous est 39.

• Choisir 5 autres nombres de cette même grille de telle sorte que deux parmi eux ne soient ni sur la même ligne ni de la même colonne. Vérifier que leur somme est 39 !

Comment élaborer un exemple de ce type de tableaux magiques ?

L’auteur explique sur un exemple le principe selon lequel est construit ce tableau magique dans un habillage très élégant :

Le 1er joueur
• Prépare une grille de 5 cases par 5 ;
• Dans les 5 cases de la ligne du bas, écris les nombres de 0 à 4 (à partir de la case du gauche) ;
• Choisis un nombre entier N supérieur à 20 (pas très grand, de préférence, pour ne pas compliquer les calculs), soustrais-en 10 et désigne par D le résultat obtenu ;
• Décompose D en une somme de 4 nombres distincts 2 à 2 ;
• Reporte ces 4 nombres dans la première colonne à gauche de la grille en partant de la case qui est juste au dessus de celle où est écrit le 0 ;
• Remplis les cases restantes de chaque ligne en ajoutant 1 au nombre écrit dans la case qui est à gauche de la case qu’il veut remplir.
On obtient ainsi un tableau magique dans sa version primitive : cas de la grille 2 où N = 50 et D = 40 = 4 + 6 + 13 + 17.

Le 2ème joueur
• Entoure l’un quelconque des 25 nombres de la grille ;
• Barre tous les nombres qui sont dans la même ligne et ceux qui sont dans la même colonne que le nombre encerclé ;
• Reprends les mêmes étapes avec un autre nombre qui ne figure pas parmi les barrés (il n’est ni dans la même ligne ni la même colonne que le nombre précédemment entouré) ;
• Reprends les mêmes étapes, jusqu’à l’obtention de 5 nombres encerclés ;
• Additionne ces cinq nombres. Surprise : il trouve un résultat prédit par le maître du jeu, c’est toujours N, même si on encercle d’autres nombres !

Remarque :
En présentant le tableau suivant la description ci-dessus, le 2ème joueur arrivera à découvrir son secret facilement. Pour qu’il reste dans l’ignorance, on peut brouiller les tableaux en :
• Marquant le 0 dans n’importe quelle case ;
• Complétant la ligne avec les nombres 1, 2, 3 et 4 dans n’importe quel ordre ;
• Reportant les 4 nombres dont la somme est D dans la colonne du 0 dans n’importe quel ordre ;
• Complétant les autres cases de telle manière que la différence algébrique entre deux cases d’une même ligne soit égale à la différence algébrique entre les deux cases de même rang de la ligne du 0.
Ainsi, on obtient des tableaux plus sophistiqués et c’est pour cela d’ailleurs que les deux tableaux présentés en exemples ne sont pas conformes à la description présentée ci-dessus !

Justification

On a : $D = N – 10$.
Soit $D = a + b + c + d$ : la décomposition de $D$ en une somme de 4 entiers et supposons que $a < b < c < d$. Les 5 nombres entourés seront du type : $i, a + j, b + k, c + l, d + m$ où $i, j ,k, l, m \in \{0 ;1 ;2 ;3 ;4\}$ et $i \neq j \neq k \neq l \neq m$.
On a alors $ i + j + k + l + m = 10$ car c’est la somme des 5 premiers entiers naturels.
Alors $i + a + j + b + k + c + l + d + m = (a + b + c + d) + (i + j + k + l + m) = D + 10 = N$.

Commentaire

Il était possible de résumer les tâches du deuxième joueur et les réduire à :
• Choisir 5 nombres de la grille de telle sorte que 2 quelconques d’entre eux ne soient ni sur la même ligne ni de la même colonne.
• Vérifier que leur somme est toujours la même (égale à ce qui était prévu par le premier joueur.)