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Sommaire > N°47 - novembre 2015 > Recension de "Bouge tes neurones"

Recension de "Bouge tes neurones"
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Mis en ligne le 17 octobre 2015, par Hédi Abderrahim

Le livre "Bouge tes neurones" s’adresse à des jeunes gens curieux de 9 à 13 ans. Certaines parties de la recension qu’Hédi Abderrahim nous offre dépassent largement ces limites, ce qui veut dire que les exemples de Kjartan Poskitt peuvent être repris et traités à d’autres niveaux d’enseignement. Nous proposons d’ailleurs quelques animations pour éclairer le propos du livre ainsi que quelques ouvertures pour des enseignants.

TITRE : BOUGE TES NEURONES

AUTEUR : KJARTAN POSKITT

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Editeur : LE POMMIER

Collection : MATH’ ATTAK !

Rayon : Documentaire / Documentaire 9-13 ans

ISBN : 978-2-7465-0921-4

Date de sortie : le 12/06/2015

Prix : 9,90 euros

Public concerné  : Enfants à partir de 9 ans

L’auteur :
Kjartan Poskitt est né en 1956, en Angleterre. Il est l’auteur d’une vingtaine d’ouvrages pour la jeunesse. Scénariste, il est aussi présentateur d’une émission de vulgarisation scientifique à la télévision. Il est connu dans le monde anglo-saxon pour sa célèbre série The Murderous Maths qui compte plus de 15 titres.

L’ouvrage :
Ce livre propose une découverte ludique des mathématiques grâce à des énigmes, des histoires courtes, des bandes dessinées et des illustrations humoristiques. L’auteur présente une douzaine de tours de magie mathématique avec des cartes et des pièces. Il explique comment créer un carré magique, comment trouver le résultat d’une multiplication par n’importe quel nombre entier rien qu’en se servant de la table de 2, etc…
Certaines énigmes sont connues sous d’autres habillages et peuvent être présentées à des lecteurs ayant un bagage mathématique qui peut leur permettre de comprendre la théorie sur laquelle elles sont fondées. Cette recension en profite pour donner à ces lecteurs une idée sur ces bases et ne pas les priver de faire la jonction entre la théorie et l’application.
L’auteur essaye à travers plusieurs épisodes d’une série policière de vulgariser certaines magies des mathématiques. Des bandes dessinées enrichissent certaines rubriques dans le but d’éveiller un intérêt chez les jeunes lecteurs.

Cet article, présenté sous forme de blocs dépliables, est un compte rendu de Bouge tes neurones qui en résume certains de ses volets.

BLOCS

Pour un retour direct au menu d’ouverture-fermeture des blocs, cliquer sur ce symbole :

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La magie de la table de 2


Pour calculer le produit de deux nombres entiers entre eux, il n’est pas nécessaire de connaître toutes les tables de multiplication (de 2 à 9) : il suffit de connaître la table de 2 et d’être capable de diviser par 2 !

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Exemple :


Description de l’algorithme.

Pour calculer le produit de deux entiers naturels $a$ et $b$ :

i. On écrit, sur la même ligne, $a$ à gauche de la feuille et $b$ à sa droite ;

ii. On effectue les divisions successives de $a$ puis des quotients entiers obtenus par 2 jusqu’au quotient égal à 1. Les quotients (entiers) obtenus seront inscrits, l’un en dessous de l’autre (dans l’ordre chronologique), dans la colonne chapeautée par $a$ ;

iii. Sur chacune des lignes de ces quotients et dans la colonne chapeautée par $b$, on écrira le produit du nombre de dessus par 2 ;

iv. On barre les lignes qui correspondent à un quotient pair (y compris celle de $a$, si $a$ est pair) : on n’en tiendra plus compte) ;

v. Le produit $a \times b$ cherché n’est autre que la somme des nombres non barrés dans la colonne chapeautée par $b$.

Illustration

Exemple 1 : 43 $\times$ 112
43 112
21 224
10 448
5 896
2 1792
1 3584
43 $\times$ 112 = 4816

(Voir ANNEXE B.)

Exemple 2 : 12 $\times$ 87
12 87
6 174
3 348
1 696
12 $\times$ 87 = 1044

Démonstration de cet algorithme :

Etape 1
Les divisions successives de $a$ puis des quotients entiers obtenus par 2 jusqu’au quotient égal à 1 nous mènent à l’écriture de $a$ dans la base 2. C’est une succession de 1 et de 0.
-  On aura 1 lorsque le dividende ($a$ ou le quotient) est impair ;
-  On aura 0 lorsque le dividende ($a$ ou le quotient) est pair.

Dans le cas de l’exemple 1 : 43 $\times$ 112

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ainsi : $ 43 = \overline {101011} ^2$ = 1 $\times 2^5$ + 0 $\times 2^4$ + 1 $\times 2^3$ + 0 $\times 2^2$ + 1 $\times 2^1$ + 1 $\times 2^0$ (remarquez que les 0 proviennent des cas où le dividende est pair.)

Etape 2
Sur chacune des lignes de ces quotients et dans la colonne chapeautée par $b$, on écrira le produit du nombre de dessus par 2, ce qui nous donnera : $b, 2b, 2^2b, 2^3b, ...., 2^nb$.

Etape 3

$43 \times 112$ = (1 $\times 2^5$ + 0 $\times 2^4$ + 1 $\times 2^3$ + 0 $\times 2^2$ + 1 $\times 2^1$ + 1 $\times 2^0$) $\times 112$

= ($2^5$ + 0 $\times 2^4$ + $2^3$ + 0 $\times 2^2$ + $2^1$ + $2^0$) $\times 112$

= 25 $\times 112$ + 0 $\times 2^4 \times 112$ + $2^3 \times 112$ + 0 $\times 2^2 \times 112$ + $2^1 \times 112$ + $2^0 \times112$ : c’est ce qui justifie la suppression des lignes où le quotient est pair.

Etape 4
Le produit $a\times b$ cherché n’est autre que la somme des nombres non barrés dans la colonne chapeautée par $b$, alors :

$43 \times112 = 2^5 \times 112 + 2^3 \times 112 + 2^1 \times 112 + 2^0 \times 112$.
Noter que chacun de ces produits partiels est déjà calculé, il suffit alors de les sommer !

Démonstration

Dans la suite, $M_2$ désigne l’ensemble des multiples de 2.
Plus généralement, dans la base 2, on a :
$ a = \sum_{i=1}^{n} r_i \times 2^{i - 1} + 2^n$, $r_i$ étant le reste de la $i^{ème}$ division donc, pour $i \geq 1$,

$$r_i = \cases{ 0 si q_{i-1} \in M_2 \cr 1 sinon \cr } $$

où $q_i$ désigne le quotient de la $i^{ème}$ division avec $i \geq 2$, (on a : $q_1 = a$) alors :
$a \times b = ( \sum_{i = 1}^{n} r_i \times 2^{i - 1} + 2^n ) = 2^n \times b + b \times \sum_{i = 1}^{n} r_i \times 2^{i - 1}$.

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Les éclipses


Dans cette rubrique, on présente une explication simplifiée de ce que sont : le solstice d’été, l’éclipse solaire et l’éclipse lunaire. L’auteur évoque aussi comment les peuples anciens jugeaient ces phénomènes.
La présentation dans ces quelques pages de certaines images auraient permis aux petits lecteurs une meilleure conception de ce qui se passe pendant ces trois situations.

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Les fous qui ont inventé les mathématiques


Ici, l’auteur parle des mathématiques grecques, il cite les noms des plus célèbres mathématiciens de cette époque ainsi que leurs œuvres les plus connues. On retrouve :
• Thalès et son angle inscrit dans un demi-cercle ;
• Pythagore et sa loi concernant les côtés d’un triangle rectangle ainsi que sa classification des nombres : les nombres pairs étaient des femelles, les impairs des mâles, à l’exception de 1 qui était à la fois le père et la mère de tous les autres nombres ;
• Zénon et ses paradoxes et en particulier une illustration éclaircie par des graphiques du paradoxe du coureur et de la tortue. (Voir ANNEXE A.) Depuis le V$^{ème}$ siècle avant J.-C, les paradoxes du mouvement causent beaucoup de soucis à ceux qui veulent les résoudre. Zénon les avait formulés dans le but de montrer la nature illusoire du mouvement, ce qui correspondait à la doctrine de son mentor Parménide. En analyse moderne, le paradoxe est résolu en utilisant fondamentalement le fait qu’une série infinie de nombres strictement positifs peut converger vers un résultat fini. Reste à voir si cette solution est vraiment satisfaisante ou non !
• Euclide et son œuvre intitulée Les éléments où il a rassemblé toutes les découvertes de ses prédécesseurs et a présenté quelques théories personnelles ;
• Archimède qui était géant sur tous les plans. Parmi ses découvertes, Kjartan Poskitt cite le levier, la vis d’Archimède, les catapultes, le canon solaire, le rapport du volume d’une sphère à celui du cylindre où elle se tient et la poussée d’Archimède qui en a fait le fondateur de l’hydrostatique…
• Diophante très célèbre pour ses travaux en algèbre. Il classifie les équations et propose des algorithmes de résolution pour certaines catégories.

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Des énigmes à résoudre avec des dominos


Dans cette rubrique qui commence par l’énigme ci-dessous, l’auteur soulève le problème de pavage par différents types de polyminos.


• Enigme de départ :
Le maître du jeu dispose d’un échiquier carré qui a 8 cases par côté. Elles sont coloriées de telle sorte que si une case est blanche alors celles qui lui sont adjacentes sont noires et vice-versa (figure 1 ci-dessous), il dispose aussi d’une boîte de 32 dominos, chacun d’eux couvre 2 cases. Il supprime les 2 cases blanches qui sont dans les coins opposés (Figure 2 ci-dessous). Il demande au joueur s’il lui est possible de paver l’échiquier obtenu avec seulement 31 dominos ?

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• Quelques exemples de polyminos
Un polymino est le résultat du collage d’un certain nombre de carrés identiques, on parle de monomino (1 carré), domino (2 carrés), triomino (3 carrés) : on en distingue deux sortes, tétramino (4 carrés) : on en distingue cinq sortes,…
L’auteur propose des applications intéressantes qui consistent en des jeux qui font appel aux polyminos, il cite le Tetris !

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La course impossible


L’auteur commence par rappeler certaines vitesses plus ou moins connues (d’un sprinter bien entraîné, de la lumière, le guépard qui est l’animal le plus rapide, un escargot…) mais qui sont exprimées dans des unités différentes : km/h, m/s, km/s…puis il essaye d’expliquer la définition de la vitesse et la signification de ces unités pour passer par la suite à la comparaison de deux vitesses exprimées dans deux unités différentes.

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Le livre regorge d’illustrations humoristiques



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Du papier monoface


L’auteur consacre cette rubrique au ruban de Möbius qui est une surface compacte dont le bord est homéomorphe à un cercle.



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Pour réaliser un ruban de Möbius :
1. Découpe une bande de papier suffisamment longue.
2. Avant d’assembler les extrémités de la bande de papier, fais effectuer un demi-tour à une des extrémités.
3. Assemble maintenant les extrémités à l’aide d’un bout de ruban adhésif.
4. Tu obtiens alors un ruban de Möbius.




Le ruban de Möbius n’a qu’une seule face. Ce qui veut dire qu’en partant d’un point quelconque du ruban, si on trace une ligne sans jamais lâcher le stylo en suivant le ruban, on se retrouve à mi-chemin au point de départ mais de l’autre côté du ruban. On est pourtant toujours sur la même face !

Si on découpe un ruban de Möbius le long de sa ligne médiane, on obtient non pas deux morceaux mais un seul qui forme quatre demi-tour.

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Pour obtenir deux morceaux, il faut couper une deuxième fois le ruban le long de sa ligne médiane.

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Des jours bizarroïdes


Cette rubrique est consacrée à l’arithmétique.
Dans un premier volet, et comme application de la congruence, l’auteur dénombre les calendriers dont on doit disposer pour couvrir tous les besoins : il s’avère que pour toute période de 28 ans, il nous faut 7 versions de calendriers non-bissextiles (chacun d’eux commence par l’un des 7 jours de la semaine et sera utilisé 3 fois pendant cette période) et on a aussi besoin de 7 versions du calendrier bissextile (chacune d’elles sera utilisée 1 fois pendant cette même période).
L’ajout d’un tableau similaire à ce qui suit aurait illustré encore mieux la situation vu l’âge des lecteurs visés (An : année, 1er jo : 1er jour de l’année, Ni : année normale n° i, Bi : année bissextile n° i)

An 1er jo An 1er jo An 1er jo An 1er jo An 1er jo An 1er jo An 1er jo An 1er jo
N1 L N4 S N7 J N10 Ma N13 D N16 V N19 Me N22 L
N2 Ma N5 D N8 V N11 Me N14 L N17 S N20 J N23 Ma
N3 Me N6 L N9 S N12 J N15 Ma N18 D N21 V N24 Me
B1 J B2 Ma B3 D B4 V B5 Me B6 L B7 S B8 J

La comparaison de deux premières et de deux dernières colonnes prouvent la périodicité après 28 ans.

Dans un deuxième volet, l’auteur essaye de déterminer, à partir d’un calcul que je trouve assez long, la fréquence du vendredi 13 (13 du mois) que certains jugent comme porte malheur ! Il nous fait découvrir que pour une période de 4 siècles, il est légèrement plus probable que le 13 du mois soit un vendredi qu’un autre jour de la semaine ! (Voir annexe C.)
Le troisième volet est réservé au calcul de nombres de personnes qui fêtent leur anniversaire le même jour de la semaine.

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Petits nombres, superpouvoirs !


‘’Méfie-toi de petits nombres planqués en haut dans les coins. Les puissances peuvent conduire à des nombres mortels !’’ : c’est ainsi que l’auteur commence sa rubrique sur les ‘’petits nombres’’, car par exemple c’est selon le principe de division en deux que "les bactéries se reproduisent très rapidement grâce aux puissances". Même si on arrive à neutraliser la grande masse d’une population de bactéries, les quelques-unes qui survivent par mutation seront capables de causer des désastres !

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Quand les calculatrices ne servent à rien…


Dans un premier temps, l’auteur se base sur le fait qu’un rationnel non entier possède un développement décimal illimité pour faire remarquer à ses lecteurs qu’en effectuant certaines divisions, les calculatrices peuvent donner des résultats différents donc causer des injustices dans certains partages !
Dans un second volet, l’auteur propose un habillage attirant pour une situation de partage qui se traduit par la somme :

$ \frac{1} {2} + \frac {1} {4} + \frac {1} {6} = \frac {11} {12} \neq \frac {12} {12}$.

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Le chemin le plus court


Cette rubrique est une occasion pour illustrer le déplacement dans le plan suivant les quatre directions. Le lecteur est mis dans une situation de défi entre deux cavaliers, le gagnant parmi eux est celui qui a le plus d’imagination pour optimiser au maximum les différents trajets à faire. L’un a suivi ponctuellement le plan qui est sur la carte, quant à l’autre, il a pensé à ajouter une petite jonction (entre le point de départ et celui d’arrivée ! (voir les deux plans ci-dessous.)

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Des gâteaux diaboliques


Ici, l’auteur nous présente deux situations de dénombrement. On s’intéresse plus précisément au nombre de façons de placer n objets autour d’un cercle. Dans ces situations, il ne suffit pas d’être capable de dénombrer pour trouver les solutions, il faut, en plus, être capable de remarquer même les petits détails d’un dessin. Les petits lecteurs pourraient tirer plus de profits des situations proposées, si on avait à comparer les résultats avec le cas où les objets à ranger sont alignés.

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Le défi de TROLL et les ILES MAUDITES


Ici, la place est cédée à la théorie des graphes, à travers des jeux ‘’connus’’ mais dont la justification de l’existence ou non de solution est beaucoup moins connue même par les plus âgés. On croise par exemple le casse- tête de l’enveloppe fermée, vue de dos, (dessin 1 ci-dessous) et celui de l’enveloppe ouverte (dessin 2 ci-dessous). Ils consistent à juger la possibilité de reproduire chacun des dessins 1 et 2 ci-dessous sans que la mine du crayon ne quitte la surface du papier et sans repasser sur une ligne déjà tracée.

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D’autres situations intéressantes et des astuces sont proposées. Elles méritent qu’on leur consacre un peu de notre temps !

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Le grand RHUN de JEPHATTI et ses carrés magiques


Constatation


• Vérifier que la somme des 5 nombres encerclés de la grille 1 ci-dessous est 39.

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• Choisir 5 autres nombres de cette même grille de telle sorte que deux parmi eux ne soient ni sur la même ligne ni de la même colonne. Vérifier que leur somme est 39 !



Comment élaborer un exemple de ce type de tableaux magiques ?

L’auteur explique sur un exemple le principe selon lequel est construit ce tableau magique dans un habillage très élégant :

Le 1er joueur
• Prépare une grille de 5 cases par 5 ;
• Dans les 5 cases de la ligne du bas, écris les nombres de 0 à 4 (à partir de la case du gauche) ;
• Choisis un nombre entier N supérieur à 20 (pas très grand, de préférence, pour ne pas compliquer les calculs), soustrais-en 10 et désigne par D le résultat obtenu ;
• Décompose D en une somme de 4 nombres distincts 2 à 2 ;
• Reporte ces 4 nombres dans la première colonne à gauche de la grille en partant de la case qui est juste au dessus de celle où est écrit le 0 ;
• Remplis les cases restantes de chaque ligne en ajoutant 1 au nombre écrit dans la case qui est à gauche de la case qu’il veut remplir.
On obtient ainsi un tableau magique dans sa version primitive : cas de la grille 2 où N = 50 et D = 40 = 4 + 6 + 13 + 17.

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Le 2ème joueur
• Entoure l’un quelconque des 25 nombres de la grille ;
• Barre tous les nombres qui sont dans la même ligne et ceux qui sont dans la même colonne que le nombre encerclé ;
• Reprends les mêmes étapes avec un autre nombre qui ne figure pas parmi les barrés (il n’est ni dans la même ligne ni la même colonne que le nombre précédemment entouré) ;
• Reprends les mêmes étapes, jusqu’à l’obtention de 5 nombres encerclés ;
• Additionne ces cinq nombres. Surprise : il trouve un résultat prédit par le maître du jeu, c’est toujours N, même si on encercle d’autres nombres !

Remarque :
En présentant le tableau suivant la description ci-dessus, le 2ème joueur arrivera à découvrir son secret facilement. Pour qu’il reste dans l’ignorance, on peut brouiller les tableaux en :
• Marquant le 0 dans n’importe quelle case ;
• Complétant la ligne avec les nombres 1, 2, 3 et 4 dans n’importe quel ordre ;
• Reportant les 4 nombres dont la somme est D dans la colonne du 0 dans n’importe quel ordre ;
• Complétant les autres cases de telle manière que la différence algébrique entre deux cases d’une même ligne soit égale à la différence algébrique entre les deux cases de même rang de la ligne du 0.
Ainsi, on obtient des tableaux plus sophistiqués et c’est pour cela d’ailleurs que les deux tableaux présentés en exemples ne sont pas conformes à la description présentée ci-dessus !

Justification
On a : $D = N – 10$.
Soit $D = a + b + c + d$ : la décomposition de $D$ en une somme de 4 entiers et supposons que $a < b < c < d$. Les 5 nombres entourés seront du type : $i, a + j, b + k, c + l, d + m$ où $i, j ,k, l, m \in \{0 ;1 ;2 ;3 ;4\}$ et $i \neq j \neq k \neq l \neq m$.
On a alors $ i + j + k + l + m = 10$ car c’est la somme des 5 premiers entiers naturels.
Alors $i + a + j + b + k + c + l + d + m = (a + b + c + d) + (i + j + k + l + m) = D + 10 = N$.

Commentaire

Il était possible de résumer les tâches du deuxième joueur et les réduire à :
• Choisir 5 nombres de la grille de telle sorte que 2 quelconques d’entre eux ne soient ni sur la même ligne ni de la même colonne.
• Vérifier que leur somme est toujours la même (égale à ce qui était prévu par le premier joueur.)

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Conclusion

Ce livre pourrait intéresser des personnes appartenant à une tranche d’âge beaucoup plus large que celle prévue (9-13 ans). En effet, parmi les ‘’tours de magie’’ qui y sont proposés, beaucoup peuvent donner lieu à l’application de certaines notions mathématiques étudiées à des niveaux plus avancés (lycée ou même plus). C’est dans ce cadre que s’instaure l’ajout, dans ce résumé et les annexes qui suivent, de certains points théoriques qui dépassent le niveau cognitif du public à qui, en principe, ce livre s’adresse.


ANNEXE :


A) Les fous qui ont inventé les mathématiques

Voici une illustration dynamique réalisée à l’aide du logiciel GeoGebra du paradoxe du coureur et de la tortue. Celui-ci est présenté entre les pages 26 et 28 de Bouge tes neurones.

Pour une meilleure utilisation de cette animation, cliquer sur Affichage et décocher Fenêtre algèbre. On peut aussi cliquer sur l’animation pour l’ouvrir dans une fenêtre externe indépendante.

Désolé, l'activité GeoGebra ne peut pas démarrer. Assurez-vous que Java 1.4.2 (ou version supérieure) est installée et activeée sur votre navigateur (Cliquez ici pour installer Java maintenant !)
Créé avec GeoGebra


Sur le même sujet, notre collaborateur Alain Busser, dans un article de l’IREM de la Réunion propose un diagramme horaire qui enlève au paradoxe d’Achille et de la tortue son caractère paradoxal. Les deux mobiles (Achille et la tortue) vont dans le même sens, mais à des vitesses différentes.
Le diagramme en toile d’araignée ci-dessous montre que, s’il y a une infinité de marches d’escalier, la longueur totale de l’escalier est finie, ce qui résout à sa façon le paradoxe de Zénon. La trajectoire d’Achille est en marron (Achille est bronzé à force de courir partout), celle de la tortue est verte (couleur de la tortue) et le trajet d’Achille tel que décrit par Zénon est en bleu. On voit la rapidité de convergence quelle que soit le « handicap » d’Achille (position initiale de la tortue, réglable en bougeant le point T) :


B) La magie de la table de 2

Notre collaborateur Alain Busser vous propose une petite animation à tester en ligne pour illustrer l’algorithme que Kjartan Poskitt détaille dans la partie La magie de la table de 2. Pour la tester, il vous suffit d’entrer les nombres entiers de votre choix et d’observer.

La magie de la table de 2

Voici les étapes de la multiplication :

divisionsadditions

La somme des nombres non barrés est

Cette méthode de multiplication est celle des égyptiens. Alain Busser y consacre une partie dans ce fichier de présentation de l’utilisation des boîtes dans Sophus : http://revue.sesamath.net/IMG/pdf/b...


C) Des jours bizarroïdes

Etes-vous paraskevidékatriaphobe ? Nous apprenons à la page 111 de Bouge tes neurones que c’est ainsi que l’on nomme les gens qui ont peur du vendredi 13. Notre collaborateur Angelo Laplace nous propose de mettre en œuvre un algorithme permettant de déterminer la date des différents vendredi 13 à venir à partir de 2016. On suppose en effet que les gens sont munis d’un calendrier de 2015 qui leur permet de savoir que le 13 novembre 2015 est un vendredi !

Le principe consiste à se donner une date référence dont on connaît le jour (ici le jeudi 31 décembre 2015 - c’est le plus simple - ) et ensuite de comptabiliser le nombre de jours $N$ qui séparent cette date de celle dont on veut connaître le jour de la semaine et vérifier si c’est un vendredi. Si le nombre de jours $N$ est un multiple de 7, alors le jour de la semaine recheché est un jeudi également. En conséquence si le reste de la division de $N$ par 7 est 1 alors le jour de la semaine recherché est un vendredi.

En pratique pour calculer $N$ , on compte le nombre de jours des années entières en faisant la distinction entre les années bissextiles et les années non-bissextiles puis on ajoute le nombre de jours dans chaque mois entiers (en prenant garde de compter 29 jours en février lors des années bissextiles) et on termine par ajouter le nombre de jours restants dans le mois en cours de la date qui nous concerne soit 13.

On rappelle en préambule qu’une année est bissextile si le reste de sa division entière par 4 est 0 et que soit le reste de sa division entière par 100 est différent de 0, soit le reste de sa division entière par 400 est 0.

Description de l’algorithme :

On veut connaître le jour de la semaine d’une date notée sous le format 13, MM, AAAA. (C’est forcément un 13 du mois.)

Variables :

  • N le nombre total de jours entre le jour référence et le 13, MM, AAAA. ;
  • N1 le nombre de jours qui sépare le jour référence du 31 décembre de l’année AAAA - 1 ;
  • N2 le nombre de jours dans l’année AAAA jusqu’à la date recherchée.

Etapes :

  • Initialiser les variables N, N1 et N2 à 0.
  • Prendre successivement toutes les années entre 2016 et AAAA - 1 pour calculer les restes des divisions de ces années par 4, 100 et 400 afin de déterminer si ce sont des années bissextiles. Pour les années bissextiles, on ajoute 366 à N1 sinon on ajoute seulement 365 à N1. (Boucle for)
  • Calculer les restes des divisions de AAAA par 4, 100 et 400 pour déterminer si c’est une année bissextile. Affecter à une variable MOIS le "vecteur" [31, 29, 31, 30, 31, 30, ......] donnant le nombre de jours de chaque mois. Affecter sinon à MOIS le "vecteur" [31,28, 31 30, 31, 30, .....].
  • Ajouter à N2 le nombre de jours de chaque mois jusqu’à MM - 1 en balayant les composantes de MOIS.
  • Calculer N = N1 + N2 + 13.
  • Calculer le reste de la division entière de N par 7. Si ce reste est 1 alors afficher que le 13, MM, AAAA est un vendredi 13.

Voici une procédure en langage Maple (choisi pour sa simplicité malgré son caractère propriétaire) qui met en œuvre cet algorithme :

date :=proc(J)
local Mois,N,N1,k,N2 ;
N1 :=0 ; N2 :=0 ;
for k from 2016 to J[3]-1 do
if irem(k,4) = 0 and (irem(k,100)<>0 or irem(k,400)=0) then N1 :=366+N1 ;
else N1 :=365+N1 ;
fi ; od ;
for k from 1 to J[2]-1 do if irem(J[3],4) = 0 and (irem(J[3],100)<>0 or irem(J[3],400)=0)
then Mois :=[31,29,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31] ;
N2 :=N2+Mois[k] ;
else Mois :=[31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31] ;
N2 :=N2+Mois[k] ; fi ; od ;
N :=N1+N2+J[1] ;
if irem(N,7) = 1 then print(J) ;
fi ;
end :

En répétant cette procédure sur tous les 13 des mois de 2016 à 2025, on peut établir la date des prochains vendredi 13 jusqu’en 2025 :

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Angelo Laplace nous propose également une variante du même algorithme (avec en supplément la possibilité de donner systématiquement le jour de la semaine), mis en œuvre avec AlgoBox (logiciel gratuit au contraire de Maple). Cela permet de le tester en live ci-dessous en entrant la date au clavier. On notera que l’écriture de l’algorithme est moins condensée avec AlgoBox mais la trame reste bien sûr la même.

AlgoBox

EST-CE UN VENDREDI 13 ?

Rentrer J, M et A respectivement jour, mois et année. Remarque : J = 13 évidemment. Mais l'algorithme fonctionne quand même pour n'importe quel nombre J.

Tester l'algorithme
Cliquer sur ce bouton pour exécuter l'algorithme : 

Résultats

Code de l'algorithme
1   VARIABLES
2     N1 EST_DU_TYPE NOMBRE
3     N2 EST_DU_TYPE NOMBRE
4     k EST_DU_TYPE NOMBRE
5     E EST_DU_TYPE NOMBRE
6     J EST_DU_TYPE NOMBRE
7     M EST_DU_TYPE NOMBRE
8     A EST_DU_TYPE NOMBRE
9     MOIS EST_DU_TYPE LISTE
10  DEBUT_ALGORITHME
11    LIRE J
12    LIRE M
13    LIRE A
14    N1 PREND_LA_VALEUR 0
15    N2 PREND_LA_VALEUR 0
16    E PREND_LA_VALEUR 0
17    POUR k ALLANT_DE 2016 A A-1
18      DEBUT_POUR
19      SI (k%4==0 ET k%100>0 OU k%400==0) ALORS
20        DEBUT_SI
21        N1 PREND_LA_VALEUR N1 + 366
22        FIN_SI
23        SINON
24          DEBUT_SINON
25          N1 PREND_LA_VALEUR N1+365
26          FIN_SINON
27      FIN_POUR
28    POUR k ALLANT_DE 1 A M - 1
29      DEBUT_POUR
30      SI (A%4 ==0 ET A%100>0 OU A%400==0) ALORS
31        DEBUT_SI
32        MOIS[1] PREND_LA_VALEUR 31
33        MOIS[2] PREND_LA_VALEUR 29
34        MOIS[3] PREND_LA_VALEUR 31
35        MOIS[4] PREND_LA_VALEUR 30
36        MOIS[5] PREND_LA_VALEUR 31
37        MOIS[6] PREND_LA_VALEUR 30
38        MOIS[7] PREND_LA_VALEUR 31
39        MOIS[8] PREND_LA_VALEUR 31
40        MOIS[9] PREND_LA_VALEUR 30
41        MOIS[10] PREND_LA_VALEUR 31
42        MOIS[11] PREND_LA_VALEUR 30
43        MOIS[12] PREND_LA_VALEUR 31
44        N2 PREND_LA_VALEUR N2+MOIS[k]
45        FIN_SI
46        SINON
47          DEBUT_SINON
48          MOIS[1] PREND_LA_VALEUR 31
49          MOIS[2] PREND_LA_VALEUR 28
50          MOIS[3] PREND_LA_VALEUR 31
51          MOIS[4] PREND_LA_VALEUR 30
52          MOIS[5] PREND_LA_VALEUR 31
53          MOIS[6] PREND_LA_VALEUR 30
54          MOIS[7] PREND_LA_VALEUR 31
55          MOIS[8] PREND_LA_VALEUR 31
56          MOIS[9] PREND_LA_VALEUR 30
57          MOIS[10] PREND_LA_VALEUR 31
58          MOIS[11] PREND_LA_VALEUR 30
59          MOIS[12] PREND_LA_VALEUR 31
60          N2 PREND_LA_VALEUR N2+MOIS[k]
61          FIN_SINON
62      FIN_POUR
63    E PREND_LA_VALEUR N1+N2+J
64    SI (E%7==0) ALORS
65      DEBUT_SI
66      AFFICHER "C'est un jeudi !"
67      FIN_SI
68    SI (E%7==1) ALORS
69      DEBUT_SI
70      AFFICHER "C'est un vendredi 13 ! Malheur !"
71      FIN_SI
72    SI (E%7==2) ALORS
73      DEBUT_SI
74      AFFICHER "C'est un samedi !"
75      FIN_SI
76    SI (E%7==3) ALORS
77      DEBUT_SI
78      AFFICHER "C'est un dimanche !"
79      FIN_SI
80    SI (E%7==4) ALORS
81      DEBUT_SI
82      AFFICHER "C'est un lundi !"
83      FIN_SI
84    SI (E%7==5) ALORS
85      DEBUT_SI
86      AFFICHER "C'est un mardi !"
87      FIN_SI
88    SI (E%7==6) ALORS
89      DEBUT_SI
90      AFFICHER "C'est un mercredi !"
91      FIN_SI
92  FIN_ALGORITHME

Une adaptation de la procédure Maple peut même permettre de vérifier si le 13 du mois a plus de chances de tomber sur un vendredi qu’un autre jour comme le montre Kjartan Poskitt à la page 114 de Bouge tes neurones.

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Pas de doute, de quoi devenir complètement paraskevidékatriaphobe !


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