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Sommaire > N°44 - mars 2015 > GeoGebra et le cercle de Dao Thanh Oai

GeoGebra et le cercle de Dao Thanh Oai
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Le présent article est à considérer comme une « suite » à l’article :
« GeoGebra et le cercle de van Lamoen », il en conserve donc ce préambule :

Il n’est pas question pour moi de présenter une activité élève toute faite, surtout qu’elle ne pourra se conclure par une démonstration. Disons que cet article n’est qu’un prétexte pour faire une courte promenade dans GeoGebra et vous présenter quelques unes de ses fonctionnalités. Le fichier est donc construit « côté prof ».

(Note de lecture du document original, chaque outil, chaque commande est associé, au moment de sa première citation, à un hyperlien vous permettant d’ouvrir, dans votre navigateur, sa page de référence dans le manuel officiel GeoGebra, l’icône est encadrée en bleu, la commande soulignée en bleu. Les saisies surlignées peuvent être copiées et collées dans le champ Saisie, et seront exécutées, tout du moins si leurs arguments ont bien été créés auparavant).

Les 6 centres des cercles tangents aux médianes d’un triangle en son centre de gravité et passant par les sommets sont cocycliques.

Encore un cercle des 6 points, nous les matheux, nous sommes fiers de faire travailler nos élèves sur le cercle des 9 points ! Ben moi, aux n’œufs de Pâques, je veux me montrer « original » avec les six de Noël : l’âne (moi ?), le bœuf, le père (par procuration), la mère, l’enfant et son auréole logo geogebra, dont GeoGebra s’est inspiré pour créer son logo.
Version 1 de « mon » protocole de construction :
Créer un triangle, ses médianes, les centres des cercles circonscrits aux 6 « petits » triangles, chacun ses outils ou ses commandes.
Je crée à la volée un triangle et les milieux de ses côtés , puis les médianes : des segments, des demi-droites ou des droites ? Éternel débat … Je tranche, avec demi-droite.
Pourquoi ? demanderont les curieux, parce que je sais où je veux en venir, et qu’un segment copié dans le tableur, est réduit à sa simple longueur, donc un nombre ! Et droite, cela surchargerait un peu plus la figure. Je renomme ces 3 demi-droites dA, dB et dC. Avec l’outil Intersection, appliqué par exemple à dA et dB, je crée le centre de gravité G du triangle.

Il n’y a plus qu’à … construire les 6 cercles passant par les sommets et G, et bien, c’est peut-être l’occasion de se faire un outil, « CSG », il ne vous plaît pas ce nom ? Vous auriez préféré, comme les cercles doivent être tangents en G, « CGT » ? Un appartement, ça suffit, je ne vais pas refaire toute la construction !

Création d’un outil utilisateur (« macro » disent d’aucuns)
Je veux donc créer un cercle passant par un point donné et tangent à une droite en un de ses points.
Je crée une droite « sans points », en validant par exemple droite=Droite[(0,0),(1,1)], avec l’outil je crée un point, il va s’appeler H, et je clique dans une zone libre, pour créer un autre point I. Le centre du cercle passant par I et tangent en H à droite est le point d’intersection de la perpendiculaire en H à droite et de la médiatrice de [HI].Je valide donc :
centre=Intersection[Perpendiculaire[H,droite],Médiatrice[H,I]] et je peux maintenant obtenir le cercle cherché en validant : cercle=Cercle[centre, H ].
Colorier maintenant éventuellement le centre et le cercle, rétrécir l’image tout en grossissant les tracés et prendre une copie d’écran à peu près carrée afin de réaliser une icône : CSG
Ensuite, menu « Outils », « Créer un nouvel outil ... »

Objets Finaux :
centre
cercle
Objets Initiaux :
Point I
droite
Point H

Nom de commande : CSG
Aide : Point, Droite, Point sur droite
Icône ... : Aller rechercher votre image sauvegardée, GeoGebra la recadrera en $32\times 32$.

(Attention, l’ordre n’est pas anodin).
(Une remarque : L’outil ne va pas vous retoquer si vous ne choisissez pas un point de la droite !).

1 > Utilisation « clicS »

CSG A dB G A dC G B dA G B dC G C dA G C dB G

Oui, il n’y en a que 18 ! (sans compter celui d’activation de l’outil).

2 > Utilisation « Compactée  »
Rappel ? Tout outil, même créé par l’utilisateur est associé à une commande. (vous avez dû remarquer les champs « Nom ... » pendant la création de l’outil.
Je vous ai seriné dans l’article précédent, sur la commande Compactée[], pourquoi ne pas l’in-, l’é- -voquer : Compactée[CSG[M, d, G], M, A, A,B,B,C,C,d,dB, dC, dA, dC, dA,dB]
C’est volontairement que je ne surligne pas ! Rien ne vous interdit de la tester ! Pour constater quoi ? Et bien, que seuls les centres sont créés ! (Nous avions mis centre en 1er dans les objets finaux). La commande Compactée, comme aussi, par exemple, la commande Séquence, ne retourne à chaque exécution qu’un seul objet à la fois !
Aux oubliettes alors, la commande Compactée ? Non, d’ailleurs, s’il n’y avait eu l’intention de reparler d’outil utilisateur, le couple
centres=Compactée[Intersection[Perpendiculaire[G,d],Médiatrice[M,G]] ,M, A, A, B, B, C, C,d,dB, dC, dA, dC, dA, dB]
cercles= Compactée[Cercle[M,G],M, centres]
faisait l’affaire et la page de cet article occupée par ma version 1 ne serait pas !

3 > Et la commande Exécute  ? Tu n’en parles pas aujourd’hui, Noël ? CSG ça se traduit pas en anglais ! Yes, of course : (si on sait créer une liste de textes !)

Exécute[Séquence["CSG["+ Elément[A, A, B,B,C,C,i]+","+ Elément[dB, dC, dA,dC,dA,dB,i]+",G]",i,1,6]] save the job.

4 > et si ! Si on utilisait ce surprenant tableur de GeoGebra …
(une petite remarque, déjà signalée plus haut : les segments sont considérés comme des nombres dans le tableur).

Dans le menu Options, je choisis, pour voir plus clair, l’option « Définition », j’ouvre le tableur, et dans la colonne A, je valide mes points, ils apparaîtront en clair A au lieu de leur couple de coordonnées, pareil en colonne B pour les demi-droites.

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tableur1

Et dans la cellule C1, j’inscris =CSG[ A1 , B1 ,G], dès que je valide, la cellule D1 est, elle aussi, remplie de la formule, l’outil délivrant 2 objets, le 1er ira en colonne C et le 2ème en colonne D

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tableur2

il suffit de sélectionner à nouveau C1 et de tirer le petit carré bleu en bas à droite pour effectuer la copie jusqu’en C6.

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tableur3

Vous pouvez constater l’apparition des cercles dans la fenêtre Graphique, les centres ne sont pas affichés, on les sélectionne dans le tableur et clic droit Afficher l’objet
ou on va les chercher dans la fenêtre algèbre en demandant l’affichage des objets auxiliaires !
(et par rapport à l’article précédent, ces centres ont été directement nommés C1 … C6).

(et du fait des doublons GeoGebra, il semble bon de ne pas afficher les Ai et Bi)

Pas d’enluminures pour ce fichier que vous pouvez tester en ligne sur GeoGebratube, simplement création du centre d’un cercle passant par 3 des centres (C1, C2, C3 ) et construction du cercle de centre ce dernier point créé et passant par un des centres ( C1)
Dao=Centre[Cercle[C1, C2, C3]]
CDao=Cercle[Dao,C1]

Je vous laisse remettre en pratique différentes démarches pour mettre en évidence le fait que ces 6 points sont cocycliques, je vous rappelle simplement l’existence de la commande SontCocycliques
dans la version 5, ainsi que de la commande Relation.

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figure + tableur

Version 2 de « mon » protocole de construction :

Je vous ai beaucoup parlé dans l’article précédent de la commande TriangleCentre
TriangleCentre[,,,]
retourne le n-ème centre du triangle ABC. Fonctionne pour n<3054.
Alors GeoGebra est un peu court (actuellement ?), pour créer le centre du cercle de Dao Thanh Oai, il nous faudrait n = 5569 (> 3054).

X(5569) = CENTER OF THE DAO 6-POINT CIRCLE
Barycentrics f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b),
where f(a,b,c) = 7a4 + b4 + c4 - 7a2b2 - 7a2c2 - 4b2c2
Let ABC be a triangle, and let AB be the center of the circle through A and tangent to the B-median at X(2), and define BC and CA cyclically. Let AC be the center of the circle through A and tangent to the C-median at X(2), and define BA and CB cyclically. The points AB, BA, BC, CB, CA, AC lie on a circle, of which X(5569) is the center. (Dao Thanh Oai,Nov. 3,2013)

Je vais donc utiliser le calcul formel, pour calculer les coordonnées du centre du cercle de Dao à l’aide de cette fonction de 3 variables.
Je suppose que je travaille sur un fichier vierge, et que j’y construis avec l’outil Polygone, un triangle, GeoGebra va appeler ses côtés en respectant la convention, a le côté [BC] ...

En ligne 1, je valide la fonction des 3 variables, x,y et z :
Rappel ? Pour l’affectation dans le calcul formel, on utilise : suivi de =

f(x,y,z) := 7*x^4 + y^4 + z^4 - 7*x^2*y^2 - 7*x^2*z^2 – 4*y^2*z^2

il me suffit maintenant de valider dans les lignes suivantes, (sans avoir peur des énormes fractions, longues comme des jours sans pain, qui vont apparaître), les 3 calculs :

xc :=f(a,b,c)
yc :=f(b,c,a)
zc :=f(c,a,b)

et valider l’écriture barycentrique du centre relativement aux points A, B et C :

Dao :=(xc A + yc B + zc C) / (xc + yc + zc)

(et si besoin, cliquer sous la « boule » de visibilité à gauche de la ligne, en dessous du 5, pour faire afficher ce centre).

Dans mon fichier que vous pouvez tester en ligne sur GeoGebratube j’ai repris quelques enluminures du fichier « Lamoen ». Je vous laisse remettre en pratique différentes démarches pour mettre en évidence le fait que ces 6 points sont cocycliques, je vous rappelle simplement l’existence de la commande SontCocycliques dans la version 5, ainsi que de la commande Relation.


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