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Sur une "nouvelle" loi de probabilité
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Mis en ligne le 19 avril 2014, par Alain Busser, Hubert Raymondaud

Le problème concerne à la fois la géométrie et les probas : On choisit deux points au hasard dans un segment de longueur 1, qui forment à leur tour un segment : Quelle est la loi de la longueur de ce segment aléatoire ?

Cet article peut être librement diffusé à l’identique dans la limite d’une utilisation non commerciale suivant la licence CC-nc-nd
(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/fr/)

La loi de Xenakis peut donc se découvrir expérimentalement avec un logiciel de géométrie dynamique comme CaRMetal (dont la version réseau permet de collecter rapidement un grand nombre de données) ou GeoGebra avec ses superbes histogrammes.


Simulation en CoffeeScript

Dans les exemples de CoffeeScript ci-dessous, la fonction histogramme dessine un histogramme dans le dessin numéro 1, 2 ou 3 selon le choix fait par l’utilisateur en premier paramètre. Le second paramètre est un tableau d’effectifs (nombres positifs).

simulation de variables aléatoires de Xenakis

Définition géométrique

La longueur du segment [a,b] est la distance entre a et b, soit |b-a|: Math.abs b-a. Pour simuler une variable aléatoire de Xenakis, on commence par créer un tableau effectifs que l'on remplit avec des 0, puis dans une boucle sur n, on simule la variable X et on incrémente l'effectif correspondant au premier chiffre de son décuple. La fonction histogramme dessine l'histogramme sur le canevas dont le numéro est donné en premier argument.

Définition alternative

Le minimum de deux variables aléatoires uniformes suit aussi une loi de Xenakis

Remarque:

Avec 20 classes comme ci-dessus, on simule en fait le minimum de deux dés dodécaédriques...

Algorithme utilisé par Xenakis


Calculs sur la loi de Xenakis

Pour les calculs ci-dessous, on considère la loi de Xenakis de paramètre 1, soit la loi de la longueur d’un segment aléatoire inclus dans un segment de longueur 1. La densité est alors $2(1-x)$

I/ Probabilité et fonction de répartition

La probabilité que $X$, variable aléatoire de Xenakis, soit comprise entre $a$ et $b$ est $\int_{a}^{b} (2-2x) dx$. Ce qui veut dire que pour calculer cette probabilité, on a besoin d’une primitive de $2-2x$ : La probabilité que $X$ soit inférieure à $x$, qui est $F(x)=2x-x^2$. Finalement, la probabilité que $a\leqslant X \leqslant b$ est $F(b)-F(a)=2b-b^2-(2a-a^2)=2(b-a)-(b^2-a^2)=2(b-a)-(b-a)(b+a)=(b-a)(2-a-b)$.

On constate que la primitive est plus facile à calculer que celle pour une loi exponentielle tout en étant plus intéressante que celle pour une loi uniforme. Ce qui motive déjà dès le début l’étude de cette variable aléatoire en Terminale...

II/ Espérance

Par analogie avec le cours de Première, on définit en Terminale, l’espérance d’une variable aléatoire $X$ de densité $f$ comme étant l’intégrale de $x \times f(x)$ sur le support de $f$. Le problème est que la seule variable aléatoire de support fini au programme est la loi uniforme pour laquelle l’intégrale est un calcul d’aire de trapèze, ce qui rend inintéressant (parce que non nécessaire) le calcul de primitive. Comme les intégrales indéfinies ne sont pas au programme de lycée, on aborde rapidement cette question parce qu’on aborde quelque chose qui n’est pas au programme. De plus, il faut une intégration par parties (ou un logiciel de calcul formel) pour avoir une primitive de $x e^{-\lambda x}$.

Ces problèmes n’existent pas pour une variable $X$ de Xenakis, pour laquelle l’espérance est donc $\int_{0}^{1} x(2-2x) dx = \int_{0}^{1} (2x-2x^2) dx$ : Une primitive du trinôme à intégrer est $G(x)=x^2-\frac{2x^3}{3}$ ; cette primitive s’annulant en 0, l’espérance est donc $G(1)=1^2-\frac{2\times 1^3}{3}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$.

On constate que l’espérance est légèrement supérieure à la médiane $1-\frac{\sqrt{2}}{2}$, ce qui montre que la densité est asymétrique. D’ailleurs sa "skewness" (ou asymétrie (statistiques)) est $\frac{2\sqrt{2}}{5}$ soit environ 0,56 qui est assez élevée.

III/ Variance

Il y a deux manières de calculer la variance, selon la définition vue en Première :

  1. Ou bien on a vu que $V(X)=E(X-EX)^2$, ce qui ici donne $V(x)=\int_{0}^{1}(x-\frac{1}{3})^2 (2-2x) dx=\int_{0}^{1}(x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9})(2-2x) dx$ soit, après développement, $V(X)=\int_{0}^{1}(-2x^3+\frac{10}{3}x^2-\frac{14}{9}x+\frac{2}{9}) dx=[-\frac{x^4}{2}+\frac{10 x^3}{9}-\frac{7 x^2}{9}+\frac{2x}{9}]_{0}^1$ soit, puisque la primitive choisie s’annule en 0, $V(X)=-\frac{1}{2}+\frac{10}{9}-\frac{7}{9}+\frac{2}{9}=\frac{1}{18}$
  2. Ou alors on utilise la formule $V(x)=E(X^2)-(EX)^2$ en commençant par calculer l’espérance de $X^2$, soit $\int_{0}^{1}x^2(2-2x) dx=\int_{0}^{1}(2x^2-2x^3) dx$. Comme une primitive de $2x^2-2x^3$ est $\frac{2x^3}{3}-\frac{x^4}{2}$ qui a la gentillesse de s’annuler en 0, on trouve finalement $E(X^2)=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$. Alors $V(X)=\frac{1}{6}-\frac{1}{9}=\frac{1}{18}$.

On constate que la deuxième version est plus facile à calculer que la première, ce qui montre son intérêt. De toute manière, il est possible, comme dans les sujets de bac, de donner la primitive dans l’énoncé, ce qui amène l’exercice à un calcul de dérivée et un développement.

Il résulte donc de ce qui précède que l’écart-type d’une variable aléatoire de Xenakis est $\sqrt{VX}=\sqrt{\frac{1}{18}}=\frac{\sqrt{2}}{6}$ soit environ 0,24.

Les calculs d’espérance, médiane et écart-type de la loi de Xenakis ont été donnés en devoir maison avant le cours sur la loi uniforme. Voici le sujet :

PDF - 49.3 ko

IV/ Simulation

Le calcul de primitive effectué plus haut montre que, si $X$ est une variable aléatoire de Xenakis de paramètre 1, on a $P(X \leqslant y)=2y-y^2$ pour tout $y \in [0 ;1]$. En posant $X=f(R)$ où $R$ est une variable (pseudo-)aléatoire uniforme comme celle de la calculatrice et $f$ une fonction strictement croissante, on réécrit la définition de la fonction de répartition ci-dessus comme $P(f(R) \leqslant y)=2y-y^2$, soit en posant $y=f(x)$, $P(R \leqslant x)=2 f(x)-f(x)^2$ ; or pour une variable aléatoire uniforme entre 0 et 1, la probabilité qu’elle soit inférieure à $x$ est égale à $x$ ; d’où $x=2y-y^2$. Pour trouver l’expression de $f$, on résout cette équation du second degré, qui s’écrit aussi $-y^2+2y-x=0$ : Son discriminant est $\Delta=2^2-4 (-1)(-x)=4-4x=4(1-x)$ dont la racine carrée est $\sqrt{\Delta}=2\sqrt{1-x}$ ; or une seule des deux solutions de l’équation est inférieure à 1, c’est $1-\sqrt{1-x}$ ; donc $f(x)=1-\sqrt{1-x}$. Pour simuler une variable aléatoire de Xenakis, on peut donc appliquer cette fonction à une variable aléatoire uniforme.

V/ Estimation de paramètres

Si on est confronté à une variable de Xenakis de paramètre $a$ inconnu, on peut estimer le paramètre à partir d’un échantillon suffisamment grand de valeurs de $X$. Plusieurs estimateurs peuvent être envisagés :

  • le maximum sur un échantillon assez vaste de réalisations de $X$ ; il semble être biaisé (d’ailleurs la probabilité d’avoir une valeur proche du maximum est faible).
  • le produit de la médiane par $2+\sqrt{2}$ sur un échantillon assez vaste de réalisations de $X$ ;
  • le triple de la moyenne sur échantillon. Il s’agit d’un cas particulier de méthode des moments (statistiques).

Dans son livre, il est clair que cette variable aléatoire est utilisée par Xenakis pour approcher une variable exponentielle en la bornant. Dans le cas du paramètre 1, quel est le paramètre de cette loi exponentielle ?

Pour y répondre, on peut chercher à minimiser l’aire coloriée entre les deux courbes représentant les fonctions de répartition :

Mais depuis Hilbert, on préfère minimiser l’intégrale du carré de la différence. Celle-ci est composée de deux morceaux :

  • $\int_{0}^{1}(1-e^{-\lambda x}-2x+x^2)^2 dx=\frac{1}{5}-\frac{3}{2 \lambda}+\frac{4}{\lambda ^2}-\frac{4}{\lambda ^3}-\frac{e^{-2 \lambda}}{2 \lambda}+\frac{4 e^{-\lambda}}{\lambda ^3}$
  • $\int_{1}^{+ \infty}(1-e^{-\lambda x}-1)^2 dx=\int_{1}^{+ \infty} e^{-2\lambda x}dx=\frac{e^{-2 \lambda}}{2 \lambda}$

Donc on veut minimiser la fonction $\lambda \mapsto \frac{1}{5}-\frac{3}{2 \lambda}+\frac{4}{\lambda ^2}-\frac{4}{\lambda ^3}-\frac{e^{-2 \lambda}}{2 \lambda}+\frac{4 e^{-\lambda}}{\lambda ^3}+\frac{e^{-2 \lambda}}{2 \lambda}$ ; sa dérivée faisant intervenir des produits d’exponentielles par $\lambda$ et ses puissances, on ne peut que chercher numériquement les valeurs qui l’annulent. D’après Xcas, on trouve environ 2,83173397154 qui est supérieur à la valeur de e (nombre) utilisée par Xenakis.


Un R de musique stochastique avec Xenakis

Simulation

Pour simuler la longueur d’un segment aléatoire, on manipule directement des listes, c’est ce que permet R (langage de programmation et environnement statistique).

  • La première méthode consiste à créer des listes de nombres aléatoires uniformes appelées A et B (car ce sont des points) puis à calculer la distance X comme valeur absolue de leur différence :
  1. N <- 100000
  2. A <- runif(N,0,1)
  3. B <- runif(N,0,1)
  4. X <- abs(A-B)
  5. bornes <- seq(0,1,0.05)
  6. hist(X,breaks=bornes)

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L’histogramme obtenu est celui-ci :

  • Mais R n’est pas un logiciel de géométrie, alors autant faire une simulation à partir de la fonction de répartition :
  1. N <- 100000
  2. U <- runif(N,0,1)
  3. X <- 1-sqrt(U)
  4. bornes <- seq(0,1,0.05)
  5. hist(X,breaks=bornes)

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L’histogramme obtenu est si proche du précédent qu’il ne vaut pas la peine de l’afficher

  • Et pour simuler X comme minimum de deux variables aléatoires uniformes, on peut effectuer une boucle :
    • On crée une liste vide avec X <- c()
    • On boucle sur n allant de 1 à N ; à chaque passage dans la boucle,
      • on crée une liste de deux variables aléatoires uniformes avec runif(2,0,1)
      • on cherche la plus petite des deux valeurs avec la fonction statistique min(runif(2,0,1))
      • on concatène le résultat à X avec c(X,min(runif(2,0,1))) que l’on met dans X
  1. N <- 10000
  2. X <- c()
  3. for (n in 1:N) {
  4. X <- c(X,min(runif(2,0,1)))
  5. }
  6. bornes <- seq(0,1,0.05)
  7. hist(X,breaks=bornes)

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Là encore, l’histogramme est assez proche des deux précédents, la seule différence étant que le script s’exécute plus lentement que les deux autres, ce qui a conduit à choisir N plus petit :

Distribution bêta

Comme la loi de Xenakis est un cas particulier de loi bêta et que celle-ci est connue de R, on peut simplifier et accélerer ce qui a été vu ci-dessus, en effet il suffit pour simuler une variable de Xenakis, de faire rbeta(x,1,2)x est une liste de nombres de la taille voulue :

  1. N <- 10000
  2. x <- seq(0,1,len=N+1)
  3. X <- rbeta(x,1,2)
  4. bornes <- seq(0,1,0.05)
  5. hist(X,breaks=bornes,col='lightcyan')
  6. points(x,N*0.05*dbeta(x,1,2),type="l",col="red")

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En prime, on a avec dbeta(x,1,2) la fonction de densité, et avec pbeta(x,1,2) la fonction de répartition de la variable de Xenakis. Le graphique obtenu est celui-ci :


TP en réseau

avec CaRMetal

L’idée de base était la suivante : Si 10 élèves réussissent une simulation sur 1000 expériences chacun, en moyennant leurs données, on aura l’équivalent d’une simulation sur 10000 données, et en plus, si on transmet les données au serveur sous forme de points, l’alignement des points du nuage moyen sera meilleur que sur chacun des jeux de données. De ces deux points de vue le TP a été décevant :

Au moment de démarrer le serveur, on peut choisir d’activer, ou non, le travail collaboratif :

Dans le premier groupe, ce choix n’ayant pas été fait, chaque figure était envoyée par l’élève l’ayant créée, dans un onglet qui lui était propre, et il n’a pas été possible de saisir les données des différents onglets par script pour calculer la moyenne [1]. Du moins, pas pendant le TP. Le nuage moyen, en rouge, calculé sur 7 des fichiers, n’est pas tellement aligné que ça :

Dans le second groupe, par contre, l’option "travail collaboratif" a été actionnée, et les nuages de points, portant chacun des noms différents, ont bien été envoyés dans la figure "global". Par contre certains élèves avaient laissé le nombre maximal n à 100 au lieu de 1000 et le calcul de la moyenne a été fait en tenant compte de cela :

  1. noms=["Jirayalecochon","Mamdex","Corobizar","Drank","Kakashi","Gros tête","Walter","Atomiiz","Prototype"];
  2. for(p=0; p<=10;p++){
  3. somme = 0;
  4. for (n=0; n<=6; n++){
  5. somme += Y(noms[n]+p);
  6. }
  7. for (n=7; n<=8; n++){
  8. somme += Y(noms[n]+p)/10;
  9. }
  10. q = Point("Q"+p,p,somme/9);
  11. SetPointType(q,"cross");
  12. SetColor(q,"red");
  13. }

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Comme les élèves ont vu qu’en bougeant un point sur leur écran, le point bougeait sur tous les écrans, et que ça les a amusés, ils ont bougé beaucoup de points et le nuage moyen (en rouge ci-dessous) n’est pas très aligné non plus :

Il aurait donc fallu rajouter cette ligne dans le script :

  1. setFixed(p,true);

Il aurait également fallu faire faire des nuages de 100000 points [2] ; mais avec 1000 points, le TP dure 40 minutes...

Prolongement

Une fois faite l’activité sur la loi de Xenakis, il est facile de refaire tout avec la loi exponentielle, même avant le cours sur celle-ci. Toutefois, la sensibilité aux erreurs des élèves rend le TP long (environ une heure) et peu probant. Aussi semble-t-il préférable de faire le TP avec la calculatrice, en entrant

Suite(-10*ln(nbrAléat),I,1,100) →L1

puis en affichant l’histogramme (surtout avec des calculatrices comme la Ti84 qui peuvent aller jusqu’à 1000 données) ; du coup il reste du temps pour la très motivante question : "Quelle fonction passe au plus près de l’histogramme ?". Ce qui a permis de conjecturer une fonction du type "constante fois l’exponentielle de 0,1X" plus ou moins spontanément pour environ le tiers de la classe.


notes

[1Par contre les fichiers sont envoyés avec JavaScript ce qui permet d’utiliser cette technologie pour faire de l’algorithmique en réseau

[2et diviser les ordonnées par 1000

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