une variable aléatoire peu connue mais utilisée depuis quelque temps déjà, et intéressante au lycée de par la relative facilité des calculs de probabilité, d’espérance et de variance
par Alain Busser, Hubert Raymondaud
Le problème concerne à la fois la géométrie et les probas : On choisit deux points au hasard dans un segment de longueur 1, qui forment à leur tour un segment : Quelle est la loi de la longueur de ce segment aléatoire ?
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(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/fr/)
La loi de Xenakis peut donc se découvrir expérimentalement avec un logiciel de géométrie dynamique comme CaRMetal (dont la version réseau permet de collecter rapidement un grand nombre de données) ou GeoGebra avec ses superbes histogrammes.
Simulation en CoffeeScript
Dans les exemples de CoffeeScript ci-dessous, la fonction histogramme dessine un histogramme dans le dessin numéro 1, 2 ou 3 selon le choix fait par l’utilisateur en premier paramètre. Le second paramètre est un tableau d’effectifs (nombres positifs).
simulation de variables aléatoires de Xenakis
Définition géométrique
La longueur du segment [a,b] est la distance entre a et b, soit |b-a|: Math.abs b-a
.
Pour simuler une variable aléatoire de Xenakis, on commence par créer un tableau effectifs
que l'on remplit avec des 0, puis dans une boucle sur n
, on simule la variable X et
on incrémente l'effectif correspondant au premier chiffre de son décuple. La fonction histogramme
dessine l'histogramme sur le canevas dont le numéro est donné en premier argument.
Définition alternative
Le minimum de deux variables aléatoires uniformes suit aussi une loi de Xenakis
Remarque:
Avec 20 classes comme ci-dessus, on simule en fait le minimum de deux dés dodécaédriques...
Algorithme utilisé par Xenakis
Calculs sur la loi de Xenakis
Pour les calculs ci-dessous, on considère la loi de Xenakis de paramètre 1, soit la loi de la longueur d’un segment aléatoire inclus dans un segment de longueur 1. La densité est alors $2(1-x)$
Les calculs d’espérance, médiane et écart-type de la loi de Xenakis ont été donnés en devoir maison avant le cours sur la loi uniforme. Voici le sujet :
Un R de musique stochastique avec Xenakis
TP en réseau