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Expérimenter pour introduire la fonction inverse en Seconde
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Dans les nouveaux programmes du collège, l’un des objectifs de la résolution de problèmes est d’approcher la notion de fonction : il s’agit par exemple de déterminer l’image d’un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule. En seconde, les nouveaux programmes comprennent une partie sur l’étude des fonctions : généralités sur les fonctions, des études qualitatives de fonctions, des fonctions de référence dont deux cas de non-linéarité - la fonction carré et la fonction inverse. La résolution (graphique et algébrique) d’équations et d’inéquations est également un objectif de cette partie fonction.

Je propose de travailler sur la fonction inverse en classe de seconde. Ces séances se situent après l’étude des généralités sur les fonctions et la fonction carré. Le chapitre sur les équations et inéquations n’a pas encore été abordé.

Il s’agit d’utiliser un logiciel de géométrie dynamique afin de construire une courbe point par point. J’utilise ici TracenPoche. Un autre logiciel de géométrie dynamique peut aussi convenir. Dans les différents exercices, je reviens à cette utilisation pour conjecturer, sans négliger la part importante des démonstrations. Enfin, il me semble important de travailler sur la notion d’équation d’une courbe $y=f\left( x \right) $ en liaison avec les coordonnées des points de cette courbe.

J’ai proposé ces activités dans une classe de seconde en utilisant un vidéo-projecteur en classe. Certains exercices ont été faits au fur et à mesure dans la classe (construction de l’énoncé 1, tableur). Parfois, je modifiais rapidement le script afin de rendre plus visible la figure. D’autres exercices ont été réalisés individuellement par les élèves en salle informatique.

I. Lieu géométrique d’un point :

Exercice 1 : (Construction d’une figure sur papier puis avec TeP)

Dans un repère orthonormé (O, I, J), placer un point M sur la demi-droite ]O, I).
Tracer la parallèle à la droite (JM) passant par I. Elle coupe la droite (OJ ) en un point N. Placer N.
Tracer la parallèle à la droite (OM) passant par N et la parallèle à (OJ) passant par M : elles sont sécantes en M’.
Lorsqu’on déplace le point M, quelle est la trajectoire du point M’ ?

Commentaire : on voit ici la limite de la feuille de papier. L’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique est intéressante. Les élèves comprennent rapidement l’utilisation des boutons de TeP et ne travaillent pas du tout avec la partie script.

Script TeP :

@options ;

repereortho(142,385,173,1,1) 0 , moyen , grisfonce , num1  ;

@figure ;

I = point( 1 , 0 ) ;

B = point( -1 , 0 ) ;

J = point( 0 , 1 ) ;

D = point( 0 , -1 ) ;

O = point( 0 , 0 ) ;

demiOI = demidroite( O , I ) ;

M = pointsur( demiOI , 1.16 ) ;

sJM = segment( J , M ) ;

paraIsJM = parallele( I , sJM ) ;

demiOJ = demidroite( O , J ) ;

N = intersection( demiOJ , paraIsJM ) ;

paraNdemiOI = parallele( N , demiOI ) ;

paraMdemiOJ = parallele( M , demiOJ ) ;

M’ = intersection( paraNdemiOI , paraMdemiOJ ) trace  ;


Figure obtenue à l’écran :

Réactions des élèves : l’enseignant déplace le point M et demande le lieu des points M’. Les élèves sont très intéressés par ce type de questions. Ils proposent une droite (c’est ce qu’ils connaissent le mieux), mais lorsque le point M’ se déplace « plus largement », ils corrigent et proposent une parabole (la fonction carré a été vue), enfin ils concluent que c’est une autre courbe.... En activant le mode Trace, ils voient la branche de l’hyperbole se dessiner. L’enseignant peut proposer à ce moment d’introduire le vocabulaire. Il faut les amener à écrire son équation (sur IR+*).

II. Découverte de la fonction inverse :

Le rôle de l’enseignant est important ici : il doit amener les élèves à introduire la variable x , puis à écrire l’équation de la courbe. L’exercice 2 ne peut être donné que si ce travail préalable est fait.

On se bornera évidemment à des exemples pour lesquels la fonction inverse existe globalement... Pas question d’entrer dans le théorème des fonctions implicites !
Rien n’empêche cependant, en fin de parcours, de proposer un contre-exemple pour les rendre attentifs à des situations qu’ils rencontreront plus tard dans leur scolarité. Une étape vers une plus grande complexité.

Exercice 2 :

On note x l’abscisse du point M.
Ecrire OM en fonction de x .
Ecrire ON en fonction de x.
Déterminer les coordonnées de M’ en fonction de x.
En déduire l’équation de la courbe décrite par le point M’.

III. Tableau de valeurs et représentation graphique :

Remarque : il y a un passage délicat ici. On passe de la fonction inverse définie sur IR+* à la fonction inverse définie sur IR*.

Sur TeP, on peut modifier le script pour déplacer le point sur la droite (OI). On voit la deuxième branche de l’hyperbole définie sur IR- se former. Mais la démonstration que l’on a faite n’est valable que sur IR+*, car on a travaillé avec des longueurs (OM= x ). Enfin, lorsque le point M se rapproche du point O, il est difficile de voir ce qui se passe. Les élèves remarquent qu’il y a une impossibilité.

Script TeP modifié :

@options ;

repereortho(224,246,100.1,1,1) 0 , moyen , grisclair , num1  ;

@figure ;

I = point( 1 , 0 ) ;

B = point( -1 , 0 ) ;

J = point( 0 , 1 ) ;

D = point( 0 , -1 ) ;

O = point( 0 , 0 ) ;

dOI = droite( O , I ) ;

M = pointsur( dOI , 2.39 ) ;

dJO = droite( J , O ) ;

sJM = segment( J , M ) ;

paraIsJM = parallele( I , sJM ) ;

N = intersection( dJO , paraIsJM ) ;

paraNdOI = parallele( N , dOI ) ;

paraMdJO = parallele( M , dJO ) ;

M’ = intersection( paraMdJO , paraNdOI ) trace  ;


Les élèves ont effectué individuellement cet exercice en salle informatique.

Exercice 3 :

En utilisant un tableur, construire un tableau de valeurs de -5 à 5, avec un pas de 0,5 pour la fonction inverse $f\left( x \right) =\frac{1} {x}$.

Remarque sur l’utilisation du tableur : l’avantage de travailler sur un tableur est de pouvoir demander un affichage des valeurs exactes sous forme de fractions (ce qui ne sera pas le cas de la calculatrice).

Voici le type de résultats que l’on obtient lorsque l’on choisit un mode graphique continu :

Remarque : c’est l’occasion de vérifier les valeurs dans le tableau (#DIV/0 !), si les élèves ne l’ont pas encore fait. On peut revenir au déplacement du point M et constater que lorsque M est en O, on ne peut pas tracer la parallèle (sur le logiciel TeP, on ne voit pas ce qui se passe exactement, mais on peut quand même voir que l’on ne peut plus tracer). Les élèves sont très attentifs à ce qui se passe en 0.

On peut recommencer le graphique en demandant un graphique point par point :

Dans la salle informatique, les élèves ont obtenu ces deux types de graphique et nous avons analysé les problèmes rencontrés.

Exercice 3 bis :

Au lieu d’utiliser un tableur, on peut faire cet exercice en utilisant une calculatrice graphique. On peut demander un tableau de valeurs ( 0 n’a pas d’image : la calculatrice signale une erreur), la définition de la fenêtre et enfin le graphe de la fonction.

Remarque  : les élèves préfèrent travailler avec la calculatrice graphique : ils obtiennent plus facilement la courbe que sur le tableur. Le problème en 0 est géré par la calculatrice.

IV Monotonie de la fonction inverse :

Il n’y a pas beaucoup de points : on peut donc refaire un graphique, si cela s’avère nécessaire, pour pouvoir donner la monotonie de la fonction inverse sur chaque branche.

Les élèves parviennent à formuler des phrases du type la courbe « descend », ou encore la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; $+\infty $ [.

Propriété 1 (à démontrer) :

La fonction inverse est décroissante sur IR+*.

Remarque sur la démonstration :

Les élèves ont retenu que la courbe d’une fonction décroissante « descend », mais ils peuvent être aidés pour retrouver une définition théorique de la décroissance d’une fonction (celle qui sera utile pour les démonstrations).

Remarque : il est important de faire comprendre aux élèves ce qu’on est en train de faire : on conjecture à l’aide des outils TICE et ensuite on démontre.

Propriété 2 : La fonction inverse est décroissante sur IR-*.

Il est important de faire remarquer aux élèves que la fonction inverse n’est pas décroissante sur son ensemble de définition IR*, mais sur chacun des intervalles ] $-\infty $ ;0[ et ]0 ; $+\infty $[.


On peut demander un contre-exemple : -3 < 4 et -$\frac{1} {3} < \frac{1} {4}$.

Exercice 4 :

Comparer $\frac{1} {\pi^2} $ et $\frac{1} {9}$.

V. Résolution d’équations et d’inéquations (méthodes graphique et algébrique)

Exercice 5 :

1°)Résoudre dans IR* l’équation $\frac{1} {x}=–\frac{1} {4} $(par le calcul).

2°)Résoudre graphiquement dans IR* l’équation $\frac{1} {x}=–\frac{1} {4} $.

Remarque sur la résolution de 2°)

Pour résoudre graphiquement cette équation, il faut tracer la courbe représentative de la fonction inverse (d’équation $y=\frac{1} {x}$) et la courbe représentative de la fonction affine d’équation $y=–\frac{1} {4}$.

Il est important d’amener les élèves à ce raisonnement. On peut avoir déjà travaillé cette notion au moment de l’étude de la fonction carré et de la résolution graphique d’équation du type $x^2={4}$. C’est donc l’occasion de réinvestir ces connaissances.

Script TeP :

@options ;

repereortho(310,270,30,1,1) 0 , moyen , grisclair , num1  ;

@figure ;

g = fonction( 1/x ) ;

h = fonction( -1/4 ) rouge  ;

M = intersection( g , h , 1 ) ;


Complément : dans la zone Analyse, on peut demander les coordonnées du point M (coord(M)=)

Remarque : on peut simplement demander l’abscisse de M, ce qui permet de répondre à la question x =-4. Avoir les coordonnées de M permet de redonner du sens à la résolution de l’équation et aux coordonnées du point d’intersection de deux courbes (les élèves connaissent l’intersection de deux droites, représentations graphiques de deux fonctions affines).

Exercice 6 :

Attention, l’enseignant doit choisir s’il veut utiliser un tableau de signes lors de la résolution de l’inéquation.

1°)Résoudre dans IR* l’inéquation $\frac{1} {x} > –\frac{1} {4}$ (par le calcul).

2°)Résoudre graphiquement dans IR* l’inéquation $\frac{1} {x} > –\frac{1} {4}$.

Remarque concernant la question 2°) : il faut tracer les deux courbes et interpréter.

Script TeP :

@options ;

repereortho(310,270,30,1,1) 0 , moyen , grisfonce , num1  ;

@figure ;

g = fonction( 1/x ) ;

h = fonction( -1/4 ) ;

M = pointsur( g , 0.8 ) ;

var x = abscisse(M) 0.8  ;

var y = ordonnee(M) 1.25  ;

varsi z = [y<-0.25,"vert","rouge"] rouge  ;

M’ = point( x , 0 ) $z$ , rouge  ;


Lorsqu’on déplace le point M sur la courbe représentative de la fonction inverse, le point M’ est vert lorsque son abscisse est solution de l’inéquation, il devient rouge dans le cas contraire. Dans la zone Analyse, on peut demander l’abscisse du point M pour conjecturer

Exercice 7 :

Pour tout réel x de l’intervalle [-2 ; -1], on pose $A=\frac{2} {x+{5}}$. Encadrer le réel A.

Remarque : on peut chercher à conjecturer en traçant la courbe d’équation $y=\frac{2} {x+{5}}$. On place un point M sur la courbe. On déplace le point M sur cette courbe. Dans la fenêtre analyse, on cherche les coordonnées du point M et on regarde comment encadrer l’ordonnée du point M. Il est important de faire prendre conscience aux élèves du lien entre les coordonnées du point M et l’étude d’une fonction. La conjecture ne suffit pas. Il faut maintenant démontrer en utilisant les propriétés connues.

Script TeP :

@options ;

repereortho(310,270,30,1,1) 0 , moyen , grisfonce , num1  ;

grille() ;

@figure ;

f = fonction( 2/(x+5) ) ;

M = pointsur( f , 1.23 ) ;


VI. Conclusion :

Lors de cette séquence sur la fonction inverse, les élèves ont apprécié l’utilisation de TeP. Ils ont cherché à conjecturer. Les moments les plus délicats sont ceux de démonstration : ils n’ont pas eu cette attitude de passivité que l’on reproche souvent aux lycéens, mais ils ne savaient pas comment s’y prendre. Dans le dernier exercice, ils ont essayé, comme si un pas avait été franchi. Je n’ai pas évalué ces élèves individuellement sur ce genre de démarche. Je crois qu’il aurait fallu le faire, quitte à ne le faire qu’un peu plus tard... En effet, il me semble important d’analyser ce qui se passe dans nos classes, mais il faut également vérifier que nos élèves ont acquis des connaissances mathématiques et des outils pour résoudre des problèmes.

NDLR : En réaction à cet article, Robert Cabane (IG de Mathématiques) nous écrit : "A propos des hyperboles et de la fonction inverse, il existe une introduction très progressive et soignée ici :
http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Hyperbel/index.htm


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