Dans les nouveaux programmes du collège, l’un des objectifs de la résolution de problèmes est d’approcher la notion de fonction : il s’agit par exemple de déterminer l’image d’un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule. En seconde, les nouveaux programmes comprennent une partie sur l’étude des fonctions : généralités sur les fonctions, des études qualitatives de fonctions, des fonctions de référence dont deux cas de non-linéarité - la fonction carré et la fonction inverse. La résolution (graphique et algébrique) d’équations et d’inéquations est également un objectif de cette partie fonction.
Je propose de travailler sur la fonction inverse en classe de seconde. Ces séances se situent après l’étude des généralités sur les fonctions et la fonction carré. Le chapitre sur les équations et inéquations n’a pas encore été abordé.
Il s’agit d’utiliser un logiciel de géométrie dynamique afin de construire une courbe point par point. J’utilise ici TracenPoche. Un autre logiciel de géométrie dynamique peut aussi convenir. Dans les différents exercices, je reviens à cette utilisation pour conjecturer, sans négliger la part importante des démonstrations. Enfin, il me semble important de travailler sur la notion d’équation d’une courbe $y=f\left( x \right) $ en liaison avec les coordonnées des points de cette courbe.
J’ai proposé ces activités dans une classe de seconde en utilisant un vidéo-projecteur en classe. Certains exercices ont été faits au fur et à mesure dans la classe (construction de l’énoncé 1, tableur). Parfois, je modifiais rapidement le script afin de rendre plus visible la figure. D’autres exercices ont été réalisés individuellement par les élèves en salle informatique.
NDLR : En réaction à cet article, Robert Cabane (IG de Mathématiques) nous écrit : "A propos des hyperboles et de la fonction inverse, il existe une introduction très progressive et soignée ici :
http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Hyperbel/index.htm