Si on souhaite savoir comment est construit le modèle Poincaré, on consultera cette page d’introduction.

Pour un simple aperçu hyperbolique, on peut se limiter à ces deux ou trois pages

1. Premières propriétés des droites

Dans cette page, les premières propriétés s’explorent en manipulant trois figures, puis on aborde les propriétés des droites d’un triangle en finalisant les figures (donc avec des macros). Cela dit, il est prévu une lecture plus rapide où on consulte la figure à construire déjà finalisée.

Puis cette page se termine par la preuve d’un premier théorème absolu, celui dont il est question en introduction.

2. Les cycles hyperboliques

Cette page présente l’extension de la notion de cercle à celle de cycle. Plusieurs figures à manipuler sont proposées. Dans une première lecture, on zappera la partie sur Malfatti qui propose une manipulation n’ayant de sens que si on a lu au préalable des pages d’autres menus.

On peut poursuivre avec une dernière page par une exploration, toujours de manipulation, des possibilités de pavages hyperboliques.

Cette page est aussi un premier hommage à Bolyaï qui a abordé la question de la constructibilité des angles et donc des polygones à la règle et au compas et a ainsi montré - intrinsèquement - qu’en géométrie hyperbolique π est quarrable. Une série de trois articles autour du mémoire de Bolyaï a été rédigée depuis, avec quelques articles associés aux pavages.

L’exploration des pavages consiste à manipuler des figures comme celle-ci (si la figure ne se charge pas entièrement, cliquer une ou deux fois sur l’icône de gauche de l’iframe)

La page se termine par des liens (internes) vers trois pavages dont celui-ci : à chaque tour de M sur le cercle, le pavage passe de P(5,4) de pentagones orthogonaux, à P(4,5) de carrés à 72°.

Complément possible : si un lecteur habitué à la géométrie dynamique s’interroge sur la faisabilité de changer la figure à chaque tour - en fait si le nombre de tours est pair ou impair - il pourra consulter le dernier onglet du parcours 6.

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Si la géométrie hyperbolique est, d’une certaine façon, une sorte d’extension des possibles de la géométrie euclidienne, la géométrie elliptique est toute autre, comme une sorte de contraction, où (presque) tout est possible. Ce qui, finalement, n’est pas si simple que cela ...

1. C’est pour cela qu’il est conseillé de commencer par cette page d’introduction au modèle utilisé qui présente, entre autre, la droite elliptique dans le modèle de Klein.

2. On poursuit l’exploration de la géométrie elliptique par la page consacrée à l’orthogonalité et au pôle d’une droite. L’essence même de la géométrie elliptique est contenue dans cette courte page. Comme pour le cas hyperbolique, on propose soit de finaliser les figures (c’est le plus intéressant mathématiquement parlant) ... si on a pris le temps de découvrir un peu les macros, soit simplement de consulter les figures déjà finalisées.

3. On peut terminer cette première exploration par cette page très courte sur la polaire d’un point qui, même si elle ne présente que deux figures, réserve tout de même quelques belles surprises ... de nature cognitive.

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Ayant déjà vu le modèle de la géométrie elliptique, il peut être alors intéressant de consulter la page consacrée à un modèle borné de la géométrie euclidienne, modèle DE pour Disque Euclidien.

En effet les droites elliptiques et les droites euclidiennes de ces deux modèles sont quasiment les mêmes : un arc de cercle coupant le cercle du modèle en deux points diamétralement opposés.

La seule différence est que dans le cas elliptique les deux points du cercle sont identifiés, alors que dans le cas euclidien ce sont les deux points à l’infini de la droite. Et cette seule différence, un seul point sur une infinité , change tout.

Dans cette illustration, on est dans le modèle DE, les droites passant par M, N et P sont orthogonales à la droite (AB), elles sont donc parallèles et ont les deux mêmes points à l’infini. Ces 4 droites sont aussi des droites elliptiques dans le modèle de Klein. Outre que les droites passant par M, N et P ne sont plus orthogonales à (AB), ces trois droites ont un point commun : le point sur le cercle équateur, les deux points « euclidiens à l’infini » étant identifiés à un unique point elliptique.

Cette page sur le modèle DE est intéressantes pour les illustrations que l’on y propose des figures usuelles que chacun connaît, mais dans un modèle euclidien original.

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Les trilatères sont l’extension naturelle des triangles : trois droites qui ne sont pas en pinceau. Un trilatère peut être sans sommet, avec un ou deux sommets ou être un triangle. C’est donc une extension très large des triangles.

Bien entendu il ne va pas être question de médianes ou de médiatrices, mais on peut parler des hauteurs d’un trilatère.

1. Cette page aborde les premières propriétés des trilatères. Comme c’est un deuxième parcours, et que cela fait vraiment sens de finaliser soi-même les premières figures, celles-ci nécessitent l’utilisation des macros (présentation dans un cadre euclidien). Et les premières figures n’ont pas d’alternatives finalisées.

Détail sur la lecture de cette page :
• Il est intéressant de faire la première figure
• Pour une première lecture on peut sauter la figure sur Malfatti.
• Il est intéressant de faire la figure sur les hauteurs d’un trilatère même si cette figure est ensuite complétée plus loin par le triangle orthique d’un trilatère.

2. Une deuxième page aborde la question plus délicate des bissectrices d’un trilatère. Pour une première approche, on se limitera au début de la page. On réservera la lecture de la construction de Malfatti (on l’aura compris une sorte de fil rouge du site) à une seconde lecture. D’ailleurs un parcours Malfatti sera proposé en fin d’article. Pour aller un peu plus loin sur les trilatères, il vaut mieux aborder la page suivante.

3. Le menu DP se termine par une page sur le plongement projectif du disque de Poincaré. C’est une page assez courte, sans technicité, avec une seule figure d’illustration, qui explique - et illustre surtout - la question du plongement sur le thème des hauteurs d’un trilatère.

Cette page a été ajoutée car
• d’une part, dans le menu PS on sera amené à utiliser le modèle hyperbolique de Klein-Beltrami (KB), qui est entièrement projectif.
• d’autre part, elle présente simplement une approche plus globale de la relation entre triangle projectif et trilatère hyperbolique.

Dans cette illustration on voit que les trois hauteurs du trilatère formé par les droites (a1a2), (b1b2), et (c1c2) sont les hauteurs du triangle ABC du plongement projectif du disque de Poincaré dans le plan projectif.

On peut par exemple conseiller de consulter cette page avant d’aborder la deuxième partie du menu PS traitant de la conjugaison avec KB.

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Dans ce deuxième parcours elliptique, on va être à nouveau surpris - éventuellement très surpris - et, pourtant, avec un peu d’habitude, on peut trouver que tout ceci est certes bizarre, mais terriblement logique, et avec la pratique, à l’image d’une langue étrangère, on finit par « penser elliptique » assez naturellement ... Voyons cela.

1. Tout d’abord on commence par la notion de segment. Ce n’est pas compliqué, mais c’est subtil car si le segment elliptique est toujours connexe, sa représentation dans le modèle peut ne pas l’être.

La même page aborde la notion de triangle elliptique avec cette propriété que l’axiome de Pasch n’est pas vérifié en géométrie elliptique ... dont voici le compte-rendu d’un étudiant dans une des formations présentées en introduction.

2. La page suivante aborde le thème des milieux et de leurs applications. Il y a une différence entre les milieux de deux points et le milieu d’un segment.

En effet, deux points ont deux milieux, deux médiatrices, chaque médiatrice étant la polaire du milieu qu’elle ne contient pas, les deux milieux et le pôle de la droite formant un triangle tripolaire ... cette dernière propriété étant, au final (abordée seulement plus loin) une caractérisation de la géométrie elliptique.

Un triangle, comme triplet de points, a alors 6 milieux réunis par trois sur 4 droites des milieux. Beaucoup de choses intéressantes, originales, et, comme dit plus haut, « terriblement logiques » ... même si parfois cela peut être un peu éprouvant comme en témoignait cet étudiant :

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1. Une première page prend le temps d’étudier les symétries orthogonales pour voir que ce ne sont que des symétries centrales et d’étudier algébriquement, la question du triangle tripolaire.

2. Le cercle elliptique, là encore - comme le segment - est un objet connexe alors que sa représentation dans le modèle peut ne pas l’être. Deux cercles peuvent avoir 4 intersection et donc un triangle 4 cercles circonscrits. On y voit nettement plus clair en manipulant soi-même la figure dont voici une copie d’écran.

3. Enfin, le menu ELL se termine par une page sur les polygones réguliers. C’est une très belle page qui réserve quelques surprises dont voici un aperçu.

(la figure est un peu lourde, si nécessaire la recharger une ou deux fois par la première icône de l’iframe)

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Il est présenté - en reprenant le texte de Hilbert ci-dessous - dans cette page.

On voit une nouvelle fois - car on a déjà rencontré ce problème dans le deuxième parcours sur les bissectrices de trilatère - qu’il y a une différence entre la notion intrinsèque de droite et la notion utilisée en géométrie dynamique de « droite définie par deux points ». Hilbert défini en général les droites de sa géométrie indépendamment des points qui pourraient la définir.

Or ici - c’est-à-dire pour la géométrie dynamique - la position des points par rapport à une ellipse est centrale dans le modèle. Il y a trois cas possibles : soit les deux points sont à l’extérieur de l’ellipse, soit ils sont tous les deux à l’intérieur, soit l’un est à l’intérieur et l’autre à l’extérieur. La construction de la droite de Hilbert dans deux premiers cas relève de la simple géométrie. Dans le troisième cas, la situation est - étonnamment - beaucoup plus complexe à résoudre algébriquement. Elle a été finalisée en février 2024 ... un vrai bonheur de « géomètre dynamique » (lien technique dans l’onglet suivant sur l’orthogonalité).

Cela permet de construire assez rapidement quelques premières figures traditionnelles dans ce modèle, et déjà illustrer que cette géométrie ne vérifie pas l’axiome III.5 et donc n’est pas arguésienne (ne vérifie pas la configuration de Desargues).

Après quelques macros techniques sur les longueurs et les milieux, on peut par exemple trouver de nombreux cas où les médianes sont concourantes, alors qu’elle ne le sont pas a priori.

En fait cette figure inaugure une nouvelle démarche pour obtenir une propriété souhaité par programmation : on se place proche d’une solution, et on arrive, par programmation, à la solution - à la précision des ordinateurs, soit en dessous du milliardième de pixel ! - solution qui reste dynamique car on peut déplacer un peu les points de base en maintenant la solution.

Comme dit plus haut ... un vrai bonheur de « géométre dynamique » que l’on peut tester ici directement sur les médianes.

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Ayant résolution algébrique de la question de la droite de Hilbert, on peut ensuite se poser la question de l’orthogonalité. La résolution technique de ces deux questions (droite et orthogonalité) est abordée dans cet article de blog (très technique, on s’en doute). C’est intéressant de voir ce que peuvent réaliser maintenant les logiciels de géométrie dynamique en terme de micro-monde, comme le fait ici DGPad ... mais c’est peut être réservé aux curieux.

L’orthogonalité, si elle est algébriquement plus abordable que les droites, est quand même assez délicate à traiter car on peut avoir de nombreux cas. Dans la première page sur l’orthogonalité on illustre qu’un triangle peut avoir jusqu’à 7 hauteurs, comme c’est le cas ici, avec en plus un orthocentre.

Plus surprenant, dans ce modèle, on peut avoir deux hauteurs parallèles comme sur cette figure - toujours sur la même page - où on peut conserver le parallélisme des deux hauteurs tout en déplaçant un sommet.

Mais la propriété la plus époustouflante de cette géométrie est dans la possibilité, pour certaines droites, qu’il existe des points d’où on peut mener trois perpendiculaires hilbertiennes.

Dans l’animation suivante on voit la H-droite se déplacer par l’animation du centre euclidien Ctr de sa partie dans l’ellipse et le point K, lui aussi bouger légèrement, d’où sont tracées 3 perpendiculaires. Quand l’icone de l’angle droit d’une figure de DGPad apparaît c’est que pour le logiciel l’angle est droit (soit à la précision du JavaScript). Il illustre ici l’orthogonalité effective des droites.

Deux pages abordent la question des orthocentres des triangles du modèle de Hilbert.

Triangles orthocentriques

Tout d’abord, pour les orthocentres ordinaires, comme il n’y a qu’une seule contrainte, on peut, comme pour les hauteurs parallèles ci-dessus, obtenir un orthocentre par programmation et le maintenir par modification d’un sommet. On peut arriver - sur plusieurs exemple - à une situation de ce type :

Triangles bi-orthocentriques

Une configuration élémentaire, du même niveau organisationnel que la précédente, consiste à trouver un orthocentre « hilbertien » à un triangle qui a déjà un orthocentre euclidien naturel comme ci-dessous.

Dans le cadre plus général de deux orthocentres non triviaux, cette nouvelle page étend la démarche utilisée pour obtenir, en plusieurs étapes, des triangles de Hilbert bi-orthocentriques comme celui ci-dessous. La page propose plusieurs exemples d’étapes pour y arriver à partir de plusieurs configurations nécessairement proches de solutions.

On a ajouté cette propriété, évidente certes, mais sympathique à illustrer : les deux droites des centres des arcs de cercles passant par les deux orthocentres sont sécantes en le centre euclidien de l’arc de cercle de la droite hilbertienne passant par les deux orthocentres.

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Cette page interlude entre le modèle de Hilbert et celui de Moulton est construite autour de figures illustrant très précisément - et de manière dynamique bien entendu - la critique que Moulton a apportée au modèle de Hilbert.

Cette page est construite en trois parties. Même la première partie, sur la critique elle-même, peut -être réservée à une seconde lecture, tant cela n’est pas essentiel à une première approche d’appropriation.

Toutefois, cette page a été rédigée avec minutie pour une approche plus approfondie, car elle explique peut-être que les deux modèles, de Hilbert et de Moulton, n’aboutissent pas aux mêmes propriétés : ce que l’on a illustré à l’onglet précédent (les trois perpendiculaires issues d’un point) ne peut exister dans le modèle de Moulton. Ainsi, ces deux géométries ne sont pas les mêmes, ce qui pose cette question :

Les axiomes de cette géométries sont-ils trop larges pour permettre qu’il y ait deux types de géométrie non arguésienne ?

La troisième partie montre une autre particularité de cette géométrie : en les points de l’ellipse, il existe deux orthogonalités différentes selon l’orientation des droites.

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Parce qu’il est beaucoup plus simple de implémenter, la géométrie dynamique permet d’aller bien plus loin dans l’exploration de ce modèle.

La première page sur les droites fait un tour d’horizon des (non) propriétés des droites de cette géométrie ...

En miroir des trois cas de construction dynamique des droites de Hilbert, cette page commence par une partie un peu technique pour montrer que l’on peut créer un unique objet pour tous les cas, y compris celui des droites verticales dans le repère. Puis on illustre une série de « non propriétés affines » de ces droites, en terminant par la non constructibilité des coordonnées, par le fait qu’il n’y a pas de relation de Chasles.

La deuxième page est consacrée aux angles dans le plan de Moulton. La première partie arrive assez simplement à des résultats intéressants. En première lecture, on peut se limiter à cette première partie.

La suite de cette page aborde en détail la question de l’angle en un point de l’axe des ordonnées, puisque c’est le point critique de Moulton sur le modèle de Hilbert. Une fois que l’on entre dans cette problématique, on s’amuse à quelques constructions amusantes.

La page sur l’orthogonalité, même si elle est assez courte et ne contient que deux figures, est probablement une des plus exaltantes de cette partie Moulton, car elle propose des explorations tout à fait inattendues et ceci sans aucune technicité, contrairement aux deux dernières.

Les deux dernières pages s’intéressent, d’abord, aux triangles orthocentriques algébriques, puis aux triangles bi-orthocentriques. La rédaction est bien différente des autres : c’est le choix de faire une analyse exhaustives de cette question des triangles orthocentriques, en particulier par l’usage systématique du calcul formel.

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Le menu consacré à la pseudosphère se décline en trois parties. Une première partie de « géométrie intrinsèque des surfaces » dans laquelle on calcule effectivement les objets que l’on va utiliser directement sur la surface. Parce que ces calculs sont organisés pour une utilisation en géométrie dynamique et ne se retrouvent pas nécessairement dans la littérature dédiée à la surface, on a choisi de donner toutes les formules utilisées, même si cela peut parfois alourdir le texte. C’est de cette partie que traite ce premier onglet.

On commence tout naturellement par une présentation de la surface et des droites. Et tout de suite, on aborde la façon de placer un point sur une des feuilles adjacentes à la feuille principale.

Ensuite on aborde le milieu de deux points et la symétrie centrale car on s’aperçoit que traiter le premier permet (par les calculs) de traiter immédiatement le second. On peut alors manipuler des figures comme celle-ci sur l’intersection des médianes :

La troisième page traite de l’orthogonalité. On y aborde donc les hauteurs, les médiatrices, mais aussi la perpendiculaire commune.

Pour les cycles, ils sont traités sur deux pages, d’abord le cercle avec le calcul intrinsèque associé comme cet exemple :

Puis une autre page aborde la construction des équidistantes et des horicycles dans une démarche qui prépare comme une transition vers la suite, car on revient à des constructions géométriques, sans aucun calcul. Dans l’illustration suivante par exemple, il s’agit d’un triangle avec ses médiatrices, la perpendiculaire commune des médiatrice et l’équidistante (courbe verte) qui passe par les trois sommets du triangle. On commence à avoir de très belles figures.

La page se poursuit par la construction des traces de tout horicycle sur la surface, et en conséquence, la construction de droites parallèles.

Ce qui termine cette première partie sur la géométrie intrinsèque, même si la dernière page est plus géométrique.

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Comme on le verra en détail dans cette page interlude, Beltrami utilisait ce qu’il appelait un « disque limite » (DL dans l’onglet suivant) pour linéariser les géodésiques de la pseudosphère.

Klein, travaillant sur une généralisation de résultats de Cayley, était alors imprégné de considérations métriques et projectives, a vu très rapidement que cet outil intermédiaire était en réalité un vrai modèle de géométrie hyperbolique, et en particulier de la totalité du plan hyperbolique. On notera KB ce modèle.

Cette page présente donc ce modèle pour lequel les KB-droites sont les cordes du cercle. Le modèle est non conforme, construit sur des considérations projectives, rappelées dans cette page. Le KB-cercle est une ellipse euclidienne, de même la KB-équidistante est un arc de conique et le KB-horicyle une ellipse tangente au cercle horizon, dont voici une représentation :

Toutes ces constructions sont transformées en macro-constructions pour pouvoir être utilisées dans la suite du menu, présentée à l’onglet suivant.

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Deux pages sont consacrées à la conjugaison, une sur le principe, avec application directe, et une seconde où on réalise des figures qu’il serait difficile (voire impossible) de réaliser sans elle.

La réalisation d’une figure par conjugaison, est très simple dans son principe : partant d’objets sur la pseudosphère, typiquement un triangle ou un cercle, on les envoie, par la projection de Beltrami sur KB. On fait la construction que l’on souhaite réaliser dans KB et on renvoie la figure sur la pseudosphère.

Ensuite, il y a quelques ajustements à faire, en particulier selon l’intervalle de la longitude retenu. Voici une illustration sur la perpendiculaire commune à trois médiatrices qui est dans KB bien entendu, mais en dehors de la pseudosphère. Malgré cela, la conjugaison permet alors de construire l’équidistante sur la pseudosphère.

L’image de la pseudosphère est l’intérieur de l’ellipse rose qui passe par le centre Odl et le seul point à l’infini de la pseudosphère, le point Idl. C’est donc une petite partie du plan hyperbolique ... ce qui a posé problème sinon à Beltrami, en tout cas à ses contemporains.

La page d’applications est l’occasion de quelques belles réalisations. On commence par quelque chose de classique :

Puis on s’amuse à des choses plus extraordinaires. Ci-dessous, un triangle - deux points données sur la pseudosphère, le troisième construit depuis KB - ayant une équidistante qui s’enroule à l’infini sur « la corne de la pseudosphère » pour reprendre le terme de Coxeter lui-même. Une vue de face, et une vue de dessus.

D’autres belles surprises sont aussi proposées dans cette page.

Une dernière page du menu PS propose quelques illustrations dynamiques du mémoire de Beltrami. En réalité il n’y a que quelques points du mémoire qui sont abordés, dont au moins un dans lequel les illustrations proposées sont effectivement éclairantes. Mais on pourrait faire bien plus ... cela sera probablement fait un jour car ce mémoire est passionnant ...

Par exemple, Beltrami retrouve un résultat essentiel pour parvenir à la consistance de la géométrie hyperbolique (équivalente à celle de la géométrie euclidienne). Montré indépendamment par Lobatchevsky et Bolyaï, c’est celui sur la distance constante entre deux cordes de deux horicycles concentriques. Là encore la conjugaison permet la construction des traces des horicycles sur la pseudosphère.

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Avec tout ce qui a déjà été fait dans les autres menus hyperboliques, les figures réalisées dans ce menu ne présentent pas vraiment de difficultés, à part peut-être la construction de la surface elle-même. Et pourtant ce menu est mon préféré, ne serait-ce que pour la beauté des polygones sur la surface et la possibilité, surprenante dans un premier temps, de ces (débuts) de pavages autour d’un point.

Le menu commence par présenter la construction de la surface (la seule chose délicate à réaliser en pratique) et le passage vers KB et retour.

La page suivante est consacrée aux droites et aux droites remarquables d’un triangle. La méthode de construction est efficace. On arrive assez rapidement à ces figures par exemple

Ensuite une page présente deux exemples de figures sur les trilatères.

Dans ces deux premières pages, on ne propose pas beaucoup de figures. En effet, elles sont assez simples à réaliser, et sont proposées à la construction individuelle - dans un article de blog (voir le parcours dédié) - avec les macros adaptées qui permettent de réaliser soi-même plusieurs figures classiques assez facilement.

Le reste du menu est consacré à des pavages sur la surface, au sens de polygones autour d’un point (début de pavages).

Avec des pentagones orthogonaux ...

... ou des triangles équilatéraux à 45°

Et bien d’autres constructions surprenantes (ci-dessous extrait d’un P83)

Ce menu est tout simplement merveilleux ...

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La pseudosphère elliptique, même si la forme extérieure ressemble à la PS, est un modèle différent des deux précédents car il est borné : sur la PSE on ne peut atteindre aucun point à l’infini.

Cela a une conséquence immédiate : l’enroulement sur la PSE n’est pas une bijection avec la partie qu’elle représente du plan hyperbolique, alors que c’était le cas des deux autres modèles.

Il n’ a que deux pages sur ce modèle, elles ont été ajoutées à la fin du menu sur la PSH. La première page présente (rapidement) la nappe et la construction des droites. On arrive très vite à des constructions comme les médianes.

La seconde page aborde la construction de figures sur les trilatères répartis sur trois feuilles pour être plus facilement visibles. La encore, cela produit de très belles figures, surprenantes mais facilement compréhensibles. A titre d’exemple, voici le cercle inscrit d’un trilatère réparti sur 4 tours de la PSE car p=0,25.

De nombreuses autres belles illustrations sont proposées dans ces deux pages. On laisse au lecteur le plaisir de les découvrir.

On l’aura compris, j’ai ressenti beaucoup de bonheur à réaliser ces figures dynamiques et ces illustrations sur les modèles pseudosphériques.

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La première partie comporte cinq pages (dont celle du titre du menu). L’axiomatique de Bachmann est considérée comme une seconde axiomatisation (présentée dans le lien précédent). On y présente alors :
• la lecture algébrique qu’il fait de la géométrie euclidienne, puis ses notations

•les 5 axiomes qui fondent sa géométrie et ses premières conséquences (9 théorèmes immédiats).

Les propriétés sont illustrées dans les deux géométries, hyperbolique et elliptique. Comme il y a trois types de pinceaux en géométrie hyperbolique et un seul en géométrie elliptique, le cas hyperbolique semble une situation privilégiée d’illustration pourtant il faut souvent illustrer les cas elliptiques, plus problématiques à traiter à cause de la polarité.
• Une page est consacrée au théorème de Hjelmslevqui permet les constructions de figures indépendamment du type de pinceau, et aboutit à la transitivité des pinceaux.

et une conséquence de la transitivité, l’unicité de l’intersection de deux pinceau (quand l’intersection existe). Là encore, grâce à Hjelmslev, une seule figure permet de rendre compte des 9 cas possibles dont un seul où il peut ne pas y avoir intersection.

• Enfin la page consacrée aux premiers résultats sur les trilatères en général. C’est le cas par exemple de la notion de bissecteur, en particulier commentée au regard d’une autre partie du site (KE-KH) dont on parlera au dernier parcours.

Sur cette illustration, on notera que, dans ce menu on a repris le vocabulaire originel de Bachmann, on appelle donc pinceau de droites ce que dans d’autres menu on a pu parfois appeler faisceau de droites.

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Les pages précédentes exposent des résultats « absolus » vrais pour toutes les géométries de l’axiomatique de Bachmann. Cette page propose d’ajouter des axiomes spécifiques pour dégager les géométries elliptique, euclidienne, et hyperbolique.

Conceptuellement, cette page est peut-être la plus belle de ce menu. En particulier parce que Bachmann propose une figure - associée à une propriété - caractéristique de chaque géométrie. C’est particulièrement intéressant pour le cas euclidien puisqu’il n’y a, dans son axiomatique, aucune notion affine, comme les parallèles au sens de Hilbert souvent critiquées à l’époque (par Hessenberg en particulier). Comment alors dégager la géométrie euclidienne ? Nous laissons au lecteur le plaisir de le découvrir.

Mais la caractérisation la plus extraordinaire est bien celle de la géométrie hyperbolique dont voici une illustration dynamique :

Autrement dit : si les droites g et d sont orthogonales à la droite a, si G , point l’intersection des droites orthogonales g et e est sur la droite b, si f est orthogonale à b et enfin si les trois droite d, e, et f sont en pinceau alors :
le pinceau des droites a et b, soit P_ab, est un pinceau sans support (un bout), implique que le produit des droites def appartient à ce pinceau sans support.

Le lemme de Bergau - la figure associée - est assez extraordinaire : dans la figure précédente, a et b ne sont pas a priori connectables^(*) : on peut déplacer la poignée b2 pour rendre les droites connectables ou pas. En manipulant ainsi la figure précédente, on s’aperçoit vite [on conjecture] que cette implication est en réalité une équivalence : la droite def n’appartient au pinceau P_ab que si c’est un pinceau de droites non connectable : il s’agit donc d’une figure caractéristique de la géométrie hyperbolique.

(*) deux droites sont connectables si elles ont un point ou une perpendiculaire en commun. Le fait qu’il puisse exister des droites non connectables - contrairement à la géométrie euclidienne où cela n’existe pas - a été, historiquement, un obstacle ontologique important à l’émergence de la géométrie hyperbolique.

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Cette page est un peu une page de transition entre la théorie de base et le questionnement sur le plongement projectif.

Elle met en place un nouvel outil (développé par Hessenberg en 1905 dans un cadre moins étendu) qui permet de montrer que les médianes sont en pinceau, ce qui n’est pas du tout trivial dans le cadre général de l’axiomatique de Bachmann.

Puis cet antiappariement permet ensuite de montrer le théorème de Brianchon sur les pinceaux de droites et ensuite, surtout, celui de Pappus dont on sait l’importance pour l’algébrisation associée : le corps de nombres construit à partir de cette géométrie, quand il existe, sera alors nécessairement commutatif.

et son dual

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Avec cet onglet, nous abordons la seconde partie de ce menu, celle consacrée au plongement projectif de cette axiomatique. Elle est répartie sur trois pages. Il faut définir, pour le plongement :
• les points
• les droites
• l’orthogonalité (la polarité) ... et vérifier que l’on obtient bien ce que l’on voulait.

Les points du plongement sont les pinceaux. Pour définir les droites, Bachmann adapte la notion de demi-rotation issue des travaux de Hjelmslev. La première page de cette partie est consacré à cet outil.

Compte tenu de l’aspect fortement conceptuel, et - clairement - assez éloigné de notre culture géométrique actuelle, le choix de cette fin de menu est d’éviter les démonstrations trop longues et parfois complexes, mais plutôt de mettre en avant une exploration dynamique propre au cas hyperbolique dans le disque de Poincaré, comme ci-dessous le disque D_uv, associé à la demi-rotation H_uv.

Ce disque est l’image par H_uv du plan hyperbolique. Cela signifie, entre autre, que la droite image d’une droite par une demi-rotation n’est pas l’ensemble des images des points de la droite - qui est la partie contenue dans le disque D_uv :

Cette première page sur les demi-rotations est surtout consacrée au principal résultat, à savoir que l’image d’un pinceau par une demi-rotation est un pinceau, ce qui est bien entendu fondamental pour la suite.

Les demi-rotations vont permettre de définir la motion de droites idéales. C’est l’objet du prochain onglet.

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Comme on a pu le dire à l’onglet précédent, tout ceci est assez éloigné de nos préoccupations géométriques actuelles. Et pourtant j’ai un vrai faible pour cette partie de la théorie de Bachmann au point que j’ai pris du temps pour illustrer tout cela de manière dynamiquement intéressante, et assez facile d’accès.

Bachmann commence par définir les droites idéales propres g(d) associée à une droite d de sa géométrie. Dans le modèle hyperbolique qui nous sert d’illustration une droite idéale propre est simplement le prolongement affine de la droite hyperbolique au delà de ses points idéaux. ce qui donne des figures assez amusantes. Puis il étudie le premier résultat important sur ces droites idéales propres : leur conservation par les demi-rotations.

Bachmann définit ensuite les droites idéales générales à partir des droites idéales propres. Voici une illustration d’un cas assez générique de cette définition.

Mais les choses sont, en réalité, un peu plus subtiles ... passionnantes et ... vraiment à découvrir pour les curieux ... un peu passionnés ... quand même ...

La page se termine par un Pappus du plongement projectif amusant :

On notera que pour réaliser cette figure, il faut pouvoir construite des droites idéales propres comme A₃B₂ ou A₁B₃ c’est-à-dire avec un point « propre », à l’intérieur du cercle horizon, et un point « impropre » soit à l’extérieur. Il s’avère que, contrairement au cas non arguésien, ici c’est très simple à réaliser car la conique de référence est un cercle.

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Le dernier onglet de cette barre est consacrée à la définition de la polarité. Toutefois, pour une illustration dynamique plus riche, la première section de cette page revient sur la question d’une droite idéale propre associée à une droite idéale. C’est une spécificité de la géométrie dynamique de pouvoir changer les objets initiaux des figures, ce qui donne constructions très différentes. Dans la page précédente, la demi-rotation était une donnée initiale, ce qui détermine entièrement la droite idéale propre associée à une droite idéale donnée. Dans cette section la demi-rotation est construite, en particulier en se donnant un point idéal M (manipulable) de la droite idéale propre, elle aussi à construire.

Dans cette figure, les points M et u sont manipulables, les points N et v_ie sont construits.

Pour ce qui est de la polarité, Bachmann reprend le principe des droites idéales propres préalables aux droites idéales : il commence par définir une polarité primitive, qui est juste une extension naturelle de l’orthogonalité de la géométrie (dans nos illustrations, l’orthogonalité hyperboliques). Puis depuis cette première polarité, on passe au cas général :

Puis, après des commentaires sur ce que l’on obtient dans le cas hyperbolique - on laisse le lecteur découvrir ce qu’il en est - on aborde, rapidement, les conclusions de Bachmann : il obtient bien la généralisations des travaux de Dehen comme c’était l’objectif initial.

Comme on le présente au tout début de ce menu, arrivée à maturité en 1959, cette axiomatique est l’aboutissement ultime de l’approche algébrique que Klein avait mise en place en 1872. Mais, après une période de foisonnement autour des fondements de la géométrie – l’école de Hilbert (1899) – après les lettres de noblesse données aux géométries non euclidiennes par Poincaré (1901), elle arrive trop tard dans la structuration des savoirs pour avoir un véritable impact, au point qu’elle passe pour ainsi dire inaperçue en dehors de l’Allemagne, en particulier en France où elle est à peu près inconnue.

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Ce menu propose deux modèles de géométrie euclidienne. Tout d’abord le Disque Euclidien (DE) avec quelques figures spécifiquement euclidiennes.

La figure originale de ce modèle est dans la page suivante : Voir l’infini de près. Le principe est le suivant. On construit, par une propriété géométrique une parabole tritangente à un triangle. Or, en géométrie projective, une parabole est une conique qui rencontre l’infini en un seul point (car elle est tangente à l’infini). Or ici l’infini est le cercle limite du modèle, ce qui permet de voir « de près » ce point de contact. Dans l’illustration suivante, F est un point du cercle circonscrit. La droite verte est la droite de Steiner associée à F. Alors la parabole de foyer F, de directrice cette droite de Steiner, est tritangente au triangle. Et comme c’est une parabole, on voit le contact à l’infini.

Enfin, une troisième page DE aborde la construction de Malfatti et la présente dans ce modèle. On en parle plus en détail dans l’onglet suivant.

La page suivante aborde un modèle 3D, celui de la sphère épointée.

Les deux derniers items sont consacrés à des modèles de géométries finies, à commencer par des configurations standards comme celle-ci :

L’item suivant est un peu plus conceptuel et passionnant, puisqu’il arrive à un modèle hyperbolique fini (d’incidence) dont les représentations des droites sont des triangles : dans la figure ci-dessous, par le point M, il passe toujours trois parallèles à la droite (AB) ... qui est le triangle ABI.

Ce menu MODELE a été construit pour de multiples raisons, mais surtout pour arriver à cette figure.

Signalons tout de même que cette définition de plan hyperbolique fini ne rentre pas dans la définition des plans hyperboliques métriques pour lesquels, par un point n’appartenant pas à une droite, il passe deux - et seulement deux - droites parallèles à une droite donnée.

Par ailleurs, on peut préciser que pour l’axiomatique qui sous-tend le travail proposé ici - l’axiomatique de Bachmann - les seuls plans finis que l’on obtient sont nécessairement euclidiens.

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La construction de Malfatti n’a absolument rien d’essentiel en mathématique. Elle a été retenue ici un peu par hasard comme fil rouge : au début c’était juste une forme de défi personnel de parvenir à réaliser sa construction dans les premiers modèles des géométries standards, sans utiliser aucune particularité euclidienne comme la cocyclicité par exemple ... mais finalement c’est devenu rapidement facile avec les différentes macros

Le problème de Malfatti (1803) : Il s’agit de construire trois cercles, inscrits chacun dans un angle d’un triangle, et tels qu’ils soient tous les trois deux à deux tangents.

Voici les liens sur les pages où cette figure est présente. Et pour les lecteurs plus pressés, avec une illustration statique de chaque situation. Juste pour le plaisir de partager de belles figures ...

1 : une lecture absolue de la construction euclidienne et sa visualisation dans le modèle du disque euclidien.

2. La construction sur la sphère épointée (dernière figure de la page)

3. Aspect hyperbolique : version du triangle (avant les constructions sur les horicycles)

4. Version du TRILATERE hyperbolique, avec deux galeries de présentation, la première sur les possibilités de la construction (6 illustrations), la seconde sur les étapes de cette construction (14 illustrations) car, bien entendu, la lecture absolue proposée est pertinente aussi pour les trilatères.

5. Pour le moment la construction elliptique proposée n’est qu’une version « sphérique ». Elle reste différente de la version DE car les DE-cercles ne sont plus des cercles euclidiens.

Une vraie version elliptique dynamique devrait ressembler à cela, ici dans une version réalisée avec CaRMetal. La difficulté est de réaliser les quadrisectrices dynamiques continues. Non encore réalisé avec DGPad.

6. Deux versions de trilatère sur la pseudosphère (dans un article de Blog)

une jolie vue de dessus

et une version « 3 vues » avec un cercle multi-feuille

7. Une version de trilatère sur la PSH

8. Une version dans les modèles KE et KH (dernière section de l’article)

Comme c’est trop fun, voici une version à manipuler directement dans cette page

Dans cette même page, on propose aussi une version « totalement elliptique » avec les cercles de Malfatti de tous les côtés du triangle (n’a de sens qu’en géométrie elliptique car elle est bornée). Cela donne une figure superbe dont voici une illustration

9. Complément … de seconde lecture peut-être : la figure de Malfatti sert aussi dans cette page sur le Saggio de Beltrami pour illustrer - dans KB - la notion de centre idéal (au sens de Beltrami c’est-à-dire extérieur au disque limite) d’une « circonférence géodésique » qui s’avère être une équidistante.

Le point Mo1 est le « centre idéal » de l’équidistante passant par Mp1, en pratique c’est le pôle de l’axe de l’équidistante en question.

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Dans le menu DGPad on présente quelques solutions techniques utilisées pour résoudre, dans les figures, des questions inhérentes à la géométrie dynamique.

Voici un bref aperçu, non pas du contenu lui-même mais des problématiques soulevées

1. Continuité et déterminisme

Dans cette page on rappelle pourquoi le déterminisme des figures - indispensable dans un cahier des charges d’utilisation scolaire - n’est pas totalement compatible avec la notion de continuité, et en particulier de continuité dynamique de certaines intersections. Pas pour les plus simples, mais déjà la question se pose pour l’intersection de deux arcs de cercles, c’est-à-dire pour les droites hyperboliques du disque de Poincaré et les droites elliptiques, donc le cœur des préoccupations de ce site.

La page se poursuit par la présentation des différentes façons de résoudre cette question.

2. Rupture maitrisée du déterminisme

Autant la page précédente était en lien direct avec des considérations techniques nécessaires aux figures du site, autant celle-ci est plus une page de réflexion sur ce qu’est - ce que peut devenir - la géométrie dynamique avec les outils contemporains. On y apprend ainsi à rompre le déterminisme d’une figure, et à le rétablir quand c’est nécessaire, instantanément, dans la même figure.

Le déterminisme en géométrie dynamique veut qu’une figure revienne à sa position initiale quand ses éléments de base y reviennent. Une rupture archétypique est le thermomètre à mémoire tel que schématisé ici :

3. Extension de la virtualisation des définitions

Dans cette même page, on donne quelques exemples pédagogiques de l’utilisation de ce « thermomètre à mémoire », puis on poursuit la réflexion pour montrer que l’on peut modifier en profondeur la perception même des objets mathématiques de base.

Le carré de la figure suivante est de centre O, passant par A (manipulable) mais passant aussi par B (manipulable), de même pour C ou D. On peut même déplacer son centre.

Cela interroge sur la nature même d’un objet mathématique en géométrie dynamique, quand cet objet devient autant informatique que mathématique.

4. Le temps dans DGPad

Dans la page précédente, on garde seulement trace de l’intervention de l’utilisateur sur une figure, mais il s’agit surtout d’une trace du temps, pas une mesure. Dans cette figure on aborde une mesure du temps dans les figures : la géométrie dynamique devient de la cinématique dynamique en quelque sorte.

En réalité, l’auteur de DGPad a produit les deux premières figures de cette page pour que je puisse transposer le processus décrit sur la pseudosphère pour faire tourner un point, continument sur son horicycle, en parcourant plusieurs feuilles. Finalement, cela n’est pas vraiment immédiat, mais cela devrait être réalisable ... Disons que j’ai été un peu conquis par les possibilités d’étendre le menu PSH aux pavages ... à suivre …

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Pour apprendre à pratiquer plus systématiquement les macros, on peut commencer par les deux modèles euclidiens bornés.

1. Article sur les macro du modèle DE, disque euclidien.

Exemple élémentaire d’illustration, le théorème du pivot :

2. Article surles macros du modèle de la sphère épointée.

Puis poursuivre vers les macros hyperboliques et elliptiques, qui ont été mises à jour en janvier 2024.

3. Article sur les macros du modèle hyperbolique DP.

La MAJ de ces macros comprend en particulier trois types de cercles pour faire plus rapidement des constructions avec des données trigonométriques : on dispose par exemple de la construction d’un cercle par son centre et ch(R) le cosinus hyperbolique de son rayon. La MAJ a aussi été faite après la rédaction du menu Bachmann. On dispose ainsi d’une macro Cycle par pinceau et point qui construit le cycle indépendamment que ce soit un cercle ou une équidistante.

On s’amuse à y construire - après des figures simples bien entendu - les premières générations du pavage P(7,3) - constitué de heptagones ayant des angles de 120°- dont on sait qu’il est non constructible. Pour que les constructions soient ludiques, on peut utiliser des figures déjà largement avancées et simplement les finaliser. Voici la génération 3 (un peu longue à faire bien entendu).

Mais généralement dans la littérature, les pavages sont nommés par les fractions d’angle des triangles utilisés et ainsi, si on partage chaque triangle intérieur de l’heptagone en deux triangles rectangles, P(7,3) se note souvent alors P(2,3,7).

C’est alors le pavage associé au groupe simple à 168 éléments de la quartique de Klein, présenté sous cette forme

4. Article sur les macros du modèle elliptique.

Les macros du modèle elliptique ont été très largement reprises et optimisées, en particulier après la réflexion provoquée par la rédaction des modèle KE et KH (voir plus loin). Cela n’a aucun rapport, mais c’est fortement inspirant pour des simplifications. Par ailleurs, comme pour les macros de DP, une utilisation plus systématique des nombres complexes simplifie grandement les macros.

La lecture de ces deux articles (les macros de DP et celle de ELL) permet aussi d’entrer plus profondément dans la pratique du logiciel DGPad, beaucoup de points de détails d’utilisation sont illustrés.

C’est en particulier le cas pour réaliser des polygones réguliers dynamiques comme celui-ci (octogone étoilé P_8_3)

Comme dans le cas de l’article sur les macros de DP, pour des figures complexes comme la précédente, on peut utiliser des figures déjà partiellement réalisées pour éviter les parties un peu plus techniques, si on le souhaite.

Dans la dernière partie de l’article, on détaille comment sont réalisées certaines figures. Par exemple les macros algébriques sont bien plus simples que les macros géométriques. Ci-dessous on compare les longueurs obtenues en une ligne algébrique et la longueur par la construction de l’angle issu du pôle (qui demande une trentaine d’objets). L’optimisation est présente dans quasiment toutes les macros.

5. Article sur les macros du modèle hyperbolique KB.

Dans cet article, on donne quelques détails pour réaliser cette figure qui vérifie une propriété absolue sur les points de contact des cercles exinscrits sur un coté du triangle : le point K, milieu de B et C est aussi milieu des points de contact hI et hM et des points de contact hN et hP.

6. Article sur la réalisation de figures sur la PSH.

C’est le modèle qui offre le meilleur rapport « investissement/qualité de la production » car les figures sont plutôt faciles à produire et très belles. C’est donc un article très détaillé qui présente tout ce qu’il faut savoir faire pour finaliser des figures : la surface est donnée en préalable, avec trois points déjà posés dessus et ses macros. Mais il faut bien entendu savoir faire des figures dans KB par exemple (point précédent). Pour les plus utilisateurs expérimentés, une pseudosphère hyperbolique avec un trilatère est aussi proposée. On est très accompagner pour réaliser les figures, et on peut par exemple faire ceci :

L’article se termine par un petit challenge - proposé avec toutes les macros nécessaires associées : réaliser une partie de troncature de pavage, soit réaliser ceci :

Contrairement à ce que l’on pourrait croire, ce n’est pas très long, la figure initiale est bien avancée et les macros adaptées sont déjà finalisées.

7. Articles sur la réalisation de figures sur la pseudosphère (PS)

Deux articles sont proposés sur la pseudosphère.

Tout d’abord, un article sur l’utilisation des macros intrinsèques, c’est-à-dire utilisant les formules - développées dans le corps du menu PS - de la géométrie des surfaces.
Des figures spécifiques, et surtout une ré-organisation des macros sont présentées en détail. Les constructions sont accompagnées de nombreuses illustrations. On refait des figures classiques, mais on va aussi parfois plus loin. L’article se termine par exemple par un enroulement original d’horicycle comme ceci :

Ensuite un article traite de l’utilisation de la conjugaison avec KB. Bien entendu, il faut d’abord avoir pratiqué les macros de KB comme vu un peu plus haut. Cet article présente en détail la construction du cercle inscrit et des cercles exinscrits, car ces figures n’ont pas été développées dans l’approche intrinsèques.

L’article se poursuit par des figures sur les trilatères, et se termine par une présentation rapide du modèle KH afin d’aborder un point bien particulier à propos du milieu de deux points dans KB et KH.

8. Articles sur la réalisation de figures non arguésiennes

On aborde là des concepts moins simples, clairement pas réservé à une première lecture, mais tout aussi passionnants. On a vu qu’il y a deux modèles de géométrie non arguésienne et donc deux articles, avec leurs lots de macro-constructions.

Le premier porte sur le modèle de Hilbert. Ce n’est pas le plus simple, mais comme c’est historiquement le premier ... Les démarches d’utilisation des macros sont très détaillées, comme dans le cas de la PSH, et les objectifs de réalisation de figures sont modestes, pour rester dans des constructions réalistes. On propose par exemple de réaliser la construction de Pappus, avec tous les points de base à l’extérieur de l’ellipse.

Le second article est consacré à la réalisation de figures dans le plan de Moulton.

Si le modèle est élémentaire, l’utilisation de ses macros nécessite un mixte en leurs utilisations immédiates et la gestion générale de l’interface de DGPad, ce qui n’est pas du tout le cas dans beaucoup d’autres modèles. C’est la raison pour laquelle, là aussi, les objectifs de réalisation sont encore modestes.

On les a organisés autour du thème des médianes, en commençant par cette figure toute simple.

Cet article se termine par une figure spéciale préparée pour construire soi-même les hauteurs d’un triangle de Moulton parce que c’est trop amusant de jouer avec ...

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1. Triangle équilatéral d’angle 72° et pentagone régulier associé.

Cet article reprend une figure sur les cercles circonscrits elliptiques pour s’apercevoir qu’il y a une piste pour construire un premier pentagone régulier un peu particulier. Il utilise des résultats trigonométriques (qui ne sont que ceux de la géométrie sphérique). On aboutit ainsi à cette figure

2. Tangentes à un cercle elliptique (issue d’un point extérieur)

Juste parce que c’est un exercice classique sur le coniques

et que la conique peut aussi être une ellipse dans un cas particulier.

3. Polygones réguliers étoilés

C’est typiquement l’article qui complète une page de menu, car la figure proposée est trop lourde pour être avec d’autres. Ici on peut afficher 8 polygones étoilés différents dans une même figure.

Si la figure se charge partiellement (elle peut s’arrêter parfois juste avant une grosse partie avec des booléens et elle s’affiche alors bizarrement), relancer simplement la page ou même seulement la figure avec l’icône de l’iframe (parfois il est nécessaire de le faire deux fois).

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1. Exploration des pavages P(3,k) pour k=7, 8, 9 de DP

Il s’agit bien d’explorer ces pavages, en déplaçant (comme dans la page de DP dédiée aux pavages), deux points (centre et taille) pour faire coïncider heuristiquement les cotés des triangles et ainsi « simuler » un pavage.

L’article se termine par un vrai pavage, pour lequel les articles associés (sur Bolyai) sont présentés plus loin dans cet onglet.

2. Jouer avec les pavages dans KB

Les pavages de KB sont bien moins jolis que ceux de DP, mais on a choisi de les finaliser (4 d’entre eux) car dans le menu PSH, on ne pouvait pas mettre, même la génération 1, sur la PSH. Là, en finalisant cette génération 1, on voit bien qu’ils ne peuvent pas entrer dans l’équidistante correspondant à la PSH dans KB.

Cet article s’appelle JOUER car après la présentation de la méthode de construction (géométrique, ce sont des pavages constructibles à la règle et au compas), on propose à l’utilisateur de les construire en quelques clics seulement grâce à des macros construites à cet effet. C’est suffisamment merveilleux pour qu’on s’y amuse une fois, ceci d’autant que l’on propose de faire deux pavages différents avec la même figure, elle aussi préparée pour cela.

3. Troncatures de pavages dans KB.

L’article précédent prépare à celui-ci. L’article commence par présenter une construction algébrique du KB-Milieu de deux points (ce qui n’avait pas été fait dans la page sur les macros de KB).

Puis on poursuit par des troncatures. Je ne résiste pas à vous en présenter une, celle de P54. On peut déplacer le centre du cercle pendant la double animation. Là encore, si la figure se charge partiellement la relancer avec l’icône de l’iframe (parfois il faut le faire deux fois).

Puis on va plus loin (avec des figures plus longues à charger) pour la troncature de P38.

L’article se termine sur la réalisation des troncatures pour lesquelles le polygone central est régulier. La construction n’est plus géométrique, mais programmée. Par exemple ici sur P54, le décagone est régulier, son coté est le même que celui du carré (l’autre polygone, lui, par construction, est toujours régulier).

4. Les articles sur le mémoire de Bolyaï (et applications)

Le mémoire « La science absolue de l’espace », de Janos Bolyaï, est illustré à travers deux articles. Le premier (lien ci-dessus) illustre la première partie, sur les horicycles et horisphères, dont voici quelques une des propriétés :

et ensuite les calculs

5. Le second article traite de la constructibilité des segments et de la quadrature du cercle (hyperbolique)

On continue sur le calcul de l’angle de parallélisme

Mais l’essentiel de la fin du mémoire est sur la constructibilité des segments ou des angles, dont la réalisation de la quadrature du cercle :

6. Construction des cercles de pavage

Une application des calculs de Bolyaï permet de réaliser simplement des figures comme celles-ci :

L"article en contient plusieurs autres ...

7. Pavages sur des horicycles

Il y a une seule façon de construire ces pavages, mais il y a au moins deux façons de les dessiner, comme ceci, centré sur l’orthogonalité :

ou comme cela, centré sur les triangles

Cet article contient plusieurs autres figures dynamiques manipulables en ligne.

8. Le nombre d’or dans des triangles hyperboliques

Petit article « de vacances » pour jouer. Il s’agit de montrer ces relations

Cela se fait dans le modèle de Klein-Beltrami.

9. Les quadrilatères de Saccheri et Lambert - Théorème de Engel

Premier article d’une (future) série sur les caractérisations de Leibmann. C’est un article de trigonométrie hyperbolique, avec cette subtile figure de Engel :

10. Le corps des extrémités dans la construction hyperbolique de Hilbert

Merveilleux article sur un résultat de Hilbert que Robin Hartshorne dans son ouvrage « Geometry : Euclid and Beyond » présente comme « un tour de force de Hilbert, que de construire un corps à partir de la géométrie d’un plan hyperbolique », et qui plus est, en dehors du contexte de continuité (même si les illustrations sont proposées dans le disque de Poincaré).

Avec cette conséquence de la construction, spécifiquement dans un modèle réel, donc toujours celui du disque de Poincaré :

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1. Pentagone orthogonal sur la PS

Cet article est surtout l’occasion présenter en détail la façon dont on peut construire les différents cercles de pavage sur les surfaces pseudosphériques une fois que l’on connait son rayon (qui est donné ici, des articles sur les constructions de triangles rectangles hyperboliques suivront). On y présente plusieurs figures. Voici une vue de face et une vue de dessus.

Dans l’article, on voit clairement qu’il n’est pas possible de placer plusieurs pentagones orthogonaux autour d’un point et qui restent sur la pseudosphère, d’où la grande surprise (pour moi en tout cas) de s’apercevoir que c’est possible sur la PSH ... ce qui a abouti au menu PSH tel qu’il est.

2. Construction de Malfatti de trilatères sur la pseudosphère

Cet article aurait pu être un item du menu PS. On a choisi d’en faire un article, peut-être pour y ajouter de nombreuses illustrations comme celle-ci ...

Dans cette illustration, on voit dans KB, en haut à droite, que les contacts avec le cercle qui se déploie sur 3 feuilles restent sur la feuille principale, puis deux illustrations de face et une vue de dessus.

On retiendra qu’on présente deux méthodes de réalisation, une conjugaison standard complète, depuis la PS, et un simple transfert de la figure KB vers PS, qui permet d’affiner un peu plus, en manipulation directe, les enroulements de cercles ou des équidistantes.

3. Remplir les polygones sur PS et PSH et divertissements associés

Sous prétexte d’expliquer comment sont remplis les polygones dans les pavages sur la PSH, cet article est une formation à l’utilisation des expression-programmes de DGPad (en bref, du JavaScript dans les expressions). Pour cela une partie présente le concept sur des exemples standards euclidiens, puis une partie présente le thème de l’article, et dans une dernière partie « divertissement » on plaque les exemples euclidiens sur la PSH. Ce qui donne des figures dynamiques comme celles-ci.

Avant cela, un préambule explique comment faire ce remplissage, sur l’exemple de la PS, par Blockly. Un article un peu sérieux, mais qui peut être parcouru par son aspect fun.

4. Changement d’origine dans la projection sur KB

Cet article permet de déployer les feuilles autour de la feuille principale grâce à une modification de l’horicycle image de la pseudosphère que l’on peut rendre arbitrairement grande dans le disque limite de Beltrami.

Après une présentation de cette nouvelle situation, on s’intéresse à des constructions à partir de triangles répartis sur 5 feuilles car 5 feuilles sont facilement visible dans KB.

C’est alors l’occasion de réaliser quelques figures assez extraordinaires sur les cycles circonscrits à un triangle réparti sur 5 feuilles, comme ce cercle enroulé sur 102 feuilles de la pseudosphère (nécessitant tout de même 21 000 segments !)

Là aussi, grand plaisir de réaliser ce type de figures.

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Actuellement, cinq articles traitent de cette approche si profonde, et si différente de tout le reste du site, proposée par Daniel Perrin, mathématicien bien connu des enseignants ... disons d’un certain âge : ses ouvrages sur les groupes, ou sur la géométrie algébrique nous ont tous accompagnés. Ce que l’on illustre dans ces articles ne sont que quelques points de la partie 4 du livre donné en premier lien de sa page.

A terme, quand un certain nombre d’article seront rédigés, le tout devrait migrer dans un nouveau menu de la barre des menus ...

Pour situer le point de vue de Daniel Perrin, voici deux extraits de sa présentation générale.

et ensuite, plus précisément

On se doute bien que cette approche est parfois un peu plus ésotérique que tout le reste du site. Ce n’est assurément pas pour une première lecture sur les GNE, mais ce point de vue, en particulier sa grande efficacité, mérite vraiment qu’on s’y arrête. Il est préférable d’avoir déjà vu la page sur le modèle KB du menu PS et d’avoir un peu parcouru la géométrie elliptique.

• On commence par une présentation des deux modèles KE (pour Klein Elliptique) et KH (Klein Hyperbolique) et on construit les premières droites remarquables d’un triangle.

Question figure, rien de bien spectaculaire, c’est même un peu austère.

• Le deuxième article se consacre aux cercles. Comme les cercles sont des coniques, les figures sont plus intéressantes. Après des généralités sur les cercles l’article se termine par les cercles circonscrits d’un triangle (chaque triangle en a 4), et les cercles exinscrits d’un triangle dont voici une illustration dans KH.

• Un troisième article s’intéresse au cas particulier des « cercles-paraboles » (frontière entre l’ellipse et l"hyperbole) C’est donc encore un peu ésotérique, mais aussi un peu décoiffant, et donc assez sympathique. Voici un exemple, sur KE.

• Le quatrième article est consacré à une première approche sur les notions de longueur, distance et angles.

Là encore rien de spectaculaire question figures, tout est dans l’illustration des concepts proposés. Elles sont très simples, peu lourdes. Il y a ainsi 9 figures dynamiques en ligne dans cette page pour manipuler les différents concepts présentés.

• Le cinquième article traite d’un outil spécifiquement développé par Daniel Perrin, il s’agit du spin de trois points.

Là encore un article assez conceptuel autour des cas d’égalité des triangles. Sur un corps quelconque, les conditions euclidiennes usuelles ne suffisent pas, il faut un invariant supplémentaire : le spin.

Cet article est particulièrement illustré. Il se poursuit par la formule dite « de Al-Kashi », version Daniel Perrin bien entendu, et de ses conséquences.

Très heureux d’enfin avoir commencé à illustrer de manière dynamique cette somme de connaissances exposée par Daniel Perrin de manière si profonde. Même si j’aurais dû faire cela depuis quelques années déjà, il vaut mieux tard que jamais ...

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