Si on souhaite savoir comment est construit le modèle Poincaré, on consultera cette page d’introduction.

Pour un simple aperçu hyperbolique, on peut se limiter à ces deux ou trois pages

1. Premières propriétés des droites

Dans cette page, les premières propriétés s’explorent en manipulant trois figures, puis on aborde les propriétés des droites d’un triangle en finalisant les figures (donc avec des macros). Cela dit, il est prévu une lecture plus rapide où on consulte la figure à construire déjà finalisée.

Puis cette page se termine par la preuve d’un premier théorème absolu, celui dont il est question en introduction.

2. Les cycles hyperboliques

Cette page présente l’extension de la notion de cercle à celle de cycle. Plusieurs figures à manipuler sont proposées. Dans une première lecture, on zappera la partie sur Malfatti qui propose une manipulation n’ayant de sens que si on a lu au préalable des pages d’autres menus.

On peut poursuivre avec une dernière page par une exploration, toujours de manipulation, des possibilités de pavages hyperboliques.

Cette page est aussi un premier - et bien modeste - hommage à Bolyaï qui a abordé la question de la constructibilité des angles et donc des polygones à la règle et au compas et a ainsi montré - intrinsèquement - qu’en géométrie hyperbolique π est quarrable. Une série d’articles autour du mémoire de Bolyaï et des méthodes de construction d’angles donnés est prévue au second semestre de l’année 2022.

L’exploration des pavages consiste à manipuler des figures comme celle-ci (si la figure ne se charge pas entièrement, cliquer une ou deux fois sur l’icône de gauche de l’iframe)

La page se termine par des liens (internes) vers trois pavages dont celui-ci : à chaque tour de M sur le cercle, le pavage passe de P(5,4) de pentagones orthogonaux, à P(4,5) de carrés à 72°.

Complément possible : si un lecteur habitué à la géométrie dynamique s’interroge sur la faisabilité de changer la figure à chaque tour - en fait si le nombre de tours est pair ou impair - il pourra consulter le dernier onglet du parcours 5.

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Si la géométrie hyperbolique est, d’une certaine façon, une sorte d’extension des possibles de la géométrie euclidienne, la géométrie elliptique est toute autre, comme une sorte de contraction, où (presque) tout est possible. Ce qui, finalement, n’est pas si simple que cela ...

1. C’est pour cela qu’il est conseillé de commencer par cette page d’introduction au modèle utilisé qui présente, entre autre, la droite elliptique dans le modèle de Klein.

2. On poursuit l’exploration de la géométrie elliptique par la page consacrée à l’orthogonalité et au pôle d’une droite. L’essence même de la géométrie elliptique est contenue dans cette courte page. Comme pour le cas hyperbolique, on propose soit de finaliser les figures (c’est le plus intéressant mathématiquement parlant) ... si on a pris le temps de découvrir un peu les macros, soit simplement de consulter les figures déjà finalisées.

3. On peut terminer cette première exploration par cette page très courte sur la polaire d’un point qui, même si elle ne présente que deux figures, réserve tout de même quelques belles surprises ... de nature cognitive.

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Ayant déjà vu le modèle de la géométrie elliptique, il peut être alors intéressant de consulter la page consacrée à un modèle borné de la géométrie euclidienne, modèle DE pour Disque Euclidien.

En effet les droites elliptiques et les droites euclidiennes de ces deux modèles sont quasiment les mêmes : un arc de cercle coupant le cercle du modèle en deux points diamétralement opposés.

La seule différence est que dans le cas elliptique les deux points du cercle sont identifiés, alors que dans le cas euclidien ce sont les deux points à l’infini de la droite. Et cette seule différence, un seul point sur une infinité , change tout.

Dans cette illustration, on est dans le modèle DE, les droites passant par M, N et P sont orthogonales à la droite (AB), elles sont donc parallèles et ont les deux mêmes points à l’infini. Ces 4 droites sont aussi des droites elliptiques dans le modèle de Klein. Outre que les droites passant par M, N et P ne sont plus orthogonales à (AB), ces trois droites ont un point commun : le point sur le cercle équateur, les deux points « euclidiens à l’infini » étant identifiés à un unique point elliptique.

Cette page sur le modèle DE est intéressantes pour les illustrations que l’on y propose des figures usuelles que chacun connaît, mais dans un modèle euclidien original.

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C’est mentionné dans la première page sur les propriétés des droites hyperboliques, puis réactivé dans les pages suivantes, mais il peut être intéressant de présenter ici, l’importance de la notion de faisceau de droites utilisée dans ce site.

La démarche retenue, pour le moment, en attendant un futur menu Bachmann qui sera relativement consistant, est clairement celle - proche de ce qui se trouve dans les programmes de géométrie du collège - d’îlots de consistance (les hauteurs sont en faisceau, les médiatrices sont en faisceau etc) sans que ces consistances soient véritablement reliées à une axiomatique claire.

Axiomatique de Bachmann

Ici l’axiomatique sous-jacente, même si elle n’est pas encore détaillée, est bien établie (ce qui pourrait être délicat à construire pour le collège, même si des collègues ont proposé plusieurs approches). Elle est basée sur les symétries et plus précisément sur deux propriétés des tri-symétries : la composée de trois symétries orthogonales d’axes concourants est une symétrie orthogonale, et la composée de trois symétries orthogonales ayant une perpendiculaire commune est une symétrie orthogonale. Ce sont les deux principaux axiomes de cette axiomatique (sur 5 axiomes, avec deux autres d’incidence et un de non dégénérescence pour éviter des situations trop marginales).

Le premier cas est associé à la notion de droites en « faisceau à centre » et le second à la notion de droites en « faisceau à axe », le centre ou l’axe étant le point de concours ou la perpendiculaire commune.

A cette notion de droites en faisceau est aussi associée la notion de faisceau de droites : deux droites a et b définissent un faisceau, c’est l’ensemble des droites c telles que a, b et c soient en faisceau.

Caractérisation des géométries par leurs types de faisceaux

La géométrie euclidienne

En géométrie euclidienne, il est facile de montrer que l’on a deux types de « droites en faisceau » :
• les droites concourantes : celles qui sont en faisceau à centre
• les droites qui ont une perpendiculaire commune : celles qui sont en faisceau à axe.

Dans ce contexte on montre - c’est même une caractérisation de la géométrie euclidienne - que

• si des droites ont une perpendiculaire commune, elles en ont une infinité. Cela justifie aussi l’existence des rectangles ;
• et dans ce cas, elles n’ont pas de point commun. On dit qu’elles sont parallèles.

Les droites remarquables d’un triangle (médianes, médiatrices, hauteurs, bissectrices) sont toutes en faisceaux à centre.

La géométrie hyperbolique

Dans ce contexte, la géométrie hyperbolique est une géométrie dans laquelle les faisceaux à axe euclidiens se scindent en deux types faisceaux distincts :
• ceux où les droites ont une perpendiculaire commune (et alors il n’y en a qu’une seule)
• ceux où les droites n’ont ni point commun, ni perpendiculaire commune. Bachmann les appellent « sans support », ce sont les (nouvelles) droites parallèles.

Dans ce contexte, on a alors cette propriété, qui a été longtemps un obstacle cognitif historique, la géométrie hyperbolique est non connectable : deux droites n’ont pas nécessairement un point ou une perpendiculaire commune : ce sont les droites parallèles, alors que les parallèles euclidiennes sont connectables. C’est cet obstacle cognitif alors insurmontable qui a fait conclure à Saccherri en 1733 que la géométrie hyperbolique ne pouvait exister. Il avait pourtant été très loin sur les propriétés hyperbolique, et avait conclu que dans le cas qui nous occupe ici, la perpendiculaire commune à deux droites devait être renvoyée à l’infini ... « ce qui nuit à la nature de la droite ».

Comme on le présente dans la page sur les cycles hyperboliques, cette géométrie est beaucoup plus riche que la géométrie euclidienne. Ainsi, si aux médiatrices concourantes correspondent un cercle – le cercle circonscrit –, quand les médiatrices sont en faisceau à axe, il leur correspond un autre cycle circonscrit – une équidistante – et quand elles sont parallèles, il leur correspond un troisième type de cycle circonscrit, l’horicycle.

La géométrie elliptique

On a vu que la richesse de la géométrie hyperbolique s’explique par le passage de deux à trois types de faisceaux de droites. La géométrie elliptique est d’une certaine façon beaucoup plus simple, mais aussi bien plus déconcertante, bien loin de nos réflexes mathématiques.

Plus simple, car, comme on le présente.dans la page sur le pôle d’une droite, on passe de deux types de faisceaux à un seul : tout faisceau à centre est un faisceau à axe, et il n’y a pas de parallèle. On y voit que deux droites ont toujours une seule perpendiculaire commune : la droite de leurs pôles, mais aussi un point de concours : le pôle de leur perpendiculaire commune.

Plus déconcertante, car - on le voit dans la page sur la polaire d’un point - toute droite est aussi un cercle. Et donc il existe des cas où trois points sur un cercle peuvent être alignés alors, qu’à l’inverse, trois points alignés sont toujours sur un cercle, de centre le pôle de la droite. On voit que quand tout est possible, cela devient parfois moins simple...

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Les trilatères sont l’extension naturelle des triangles : trois droites qui ne sont pas en faisceau. Un trilatère peut être sans sommet, avec un ou deux sommets ou être un triangle. C’est donc une extension très large des triangles.

Bien entendu il ne va pas être question de médianes ou de médiatrices, mais on peut parler des hauteurs d’un trilatère.

1. Cette page aborde les premières propriétés des trilatères. Comme c’est un deuxième parcours, et que cela fait vraiment sens de finaliser soi-même les premières figures, celles-ci nécessitent l’utilisation des macros (présentation dans un cadre euclidien). Et les premières figures n’ont pas d’alternatives finalisées.

Détail sur la lecture de cette page :
• Il est intéressant de faire la première figure
• Pour une première lecture on peut sauter la figure sur Malfatti.
• Il est intéressant de faire la figure sur les hauteurs d’un trilatère même si cette figure est ensuite complétée plus loin par le triangle orthique d’un trilatère.

2. Une deuxième page aborde la question plus délicate des bissectrices d’un trilatère. Pour une première approche, on se limitera au début de la page. On réservera la lecture de la construction de Malfatti (on l’aura compris une sorte de fil rouge du site) à une seconde lecture. D’ailleurs un parcours Malfatti sera proposé en fin d’article. Pour aller un peu plus loin sur les trilatéres, il vaut mieux aborder la page suivante.

3. Le menu DP se termine par une page sur le plongement projectif du disque de Poincaré. C’est une page assez courte, sans technicité, avec une seule figure d’illustration, qui explique - et illustre surtout - la question du plongement sur le thème des hauteurs d’un trilatère.

Cette page a été ajoutée car
• d’une part, dans le menu PS on sera amené à utiliser le modèle hyperbolique de Klein-Belttrami (KB), qui est entièrement projectif.
• d’autre part, elle présente simplement une approche plus globale de la relation entre triangle projectif et trilatère hyperbolique.

On peut par exemple conseiller de consulter cette page avant d’aborder la deuxième partie du menu PS traitant de la conjugaison avec KB.

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Dans ce deuxième parcours elliptique, on va être à nouveau surpris - éventuellement très surpris - et, pourtant, avec un peu d’habitude, on peut trouver que tout ceci est certes bizarre, mais terriblement logique, et avec la pratique, à l’image d’une langue étrangère, on finit par « penser elliptique » assez naturellement ... Voyons cela.

1. Tout d’abord on commence par la notion de segment. Ce n’est pas compliqué, mais c’est subtil car si le segment elliptique est toujours connexe, sa représentation dans le modèle peut ne pas l’être.

La même page aborde la notion de triangle elliptique avec cette propriété que l’axiome de Pasch n’est pas vérifié en géométrie elliptique ... dont voici le compte-rendu d’un étudiant dans une des formations présentées en introduction.

2. La page suivante aborde le thème des milieux et de leurs applications. Il y a une différence entre les milieux de deux points et le milieu d’un segment.

En effet, deux points ont deux milieux, deux médiatrices, chaque médiatrice étant la polaire du milieu qu’elle ne contient pas, les deux milieux et le pôle de la droite formant un triangle tripolaire ... cette dernière propriété étant, au final (abordée seulement plus loin) une caractérisation de la géométrie elliptique.

Un triangle, comme triplet de points, a alors 6 milieux réunis par trois sur 4 droites des milieux. Beaucoup de choses intéressantes, originales, et, comme dit plus haut, « terriblement logiques » ... même si parfois cela peut être un peu éprouvant comme en témoignait cet étudiant :

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1. Une première page prend le temps d’étudier les symétries orthogonales pour voir que ce ne sont que des symétries centrales et d’étudier algébriquement, la question du triangle tripolaire.

2. Le cercle elliptique, là encore - comme le segment - est un objet connexe alors que sa représentation dans le modèle peut ne pas l’être. Deux cercles peuvent avoir 4 intersection et donc un triangle 4 cercles circonscrits. On y voit nettement plus clair en manipulant soi-même la figure dont voici une copie d’écran.

3. Enfin, le menu ELL se termine par une page sur les polygones réguliers. C’est une très belle page qui réserve quelques surprises dont voici un aperçu.

(la figure est un peu lourde, si nécessaire la recharger une ou deux fois par la première icône de l’iframe)

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Il est présenté - en reprenant le texte de Hilbert - dans cette page. On voit une nouvelle fois - car on a déjà rencontré ce problème dans le deuxième parcours sur les bissectrices de trilatère - qu’il y a une différence entre la notion intrinsèque de droite et la notion utilisée en géométrie dynamique de « droite définie par deux points ». Hilbert défini en général les droites de sa géométrie indépendamment des points qui pourraient la définir.

Or ici - c’est-à-dire pour la géométrie dynamique - selon la position des points par rapport à une ellipse qui est centrale dans le modèle, il y a trois cas possibles : soit les deux points sont à l’extérieur de l’ellipse, soit ils sont tous les deux à l’intérieur, soit l’un est à l’intérieur et l’autre à l’extérieur. La construction de la droite de Hilbert dans deux premiers cas relève de la simple géométrie. Dans le troisième cas, la situation est -étonnamment- si complexe à résoudre, que nous avons été amenés à programmer la construction ... ce qui alourdit fortement les figures finales.

L’essentiel de la partie « droites de Hilbert » du menu étudie des configurations de Hilbert dans chacun des trois cas (une page par cas). On y étudie en détail des cas particuliers qui arrivent néanmoins à des résultats assez surprenants comme ci-dessous - extrait du premier cas - avec un triangle de Hilbert équilatéral (côtés de même longueur) ayant ses médianes et ses hauteurs concourantes, mais pas en le même point.

Tout ceci est fait sans aucune technicité mathématique, mais avec un peu de programmation en Blockly.

Le deuxième cas apporte son lot de premières propriétés, « signatures » de cette géométrie, comme celle de pouvoir mener par un point M deux perpendiculaires différentes à deux droites parallèles : ci-dessous ABC est un triangle de Hilbert d’orthocentre H. La droite (euclidienne mais aussi de Hilbert) (NP) est parallèle à (AC) et la perpendiculaire à (NP) issue de M n’est pas la même droite que la perpendiculaire à (AC) ...

On s’intéressera ensuite au troisième cas, qui est le plus général, mais aussi le plus délicat à réaliser. On laisse le lecteur découvrir ce qui est est fait.

Dans une première lecture, on peut ne pas aborder la partie sur les angles, et aller directement à l’orthogonalité, et dans ce cadre, se limiter, tout d’abord, à la page d’introduction car on y montre que par un point A, il peut parfois passer trois perpendiculaires à une droite donnée (BC) , deux hilbertiennes (de pieds M et N) et une euclidienne (de pied hA1) ...

... puis ensuite se contenter d’aller seulement sur la page traitant des triangles bi-orthocentriques ... page qui elle aussi réserve quelques belles surprises non arguésiennes ...

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Cette page interlude entre le modèle de Hilbert et celui de Moulton est construite autour de figures illustrant très précisément - et de manière dynamique bien entendu - la critique que Moulton a apportée au modèle de Hilbert.

Cette page est construite en trois parties. Même la première partie, sur la critique elle-même, peut -être réservée à une seconde lecture, tant cela n’est pas essentiel à une première approche d’appropriation.

Toutefois, cette page a été rédigée avec minutie pour une approche plus approfondie, car elle explique peut-être que les deux modèles, de Hilbert et de Moulton, n’aboutissent pas aux mêmes propriétés : ce que l’on vient d’illustrer à l’onglet précédent (les trois perpendiculaires issues d’un point) ne peut exister dans le modèle de Moulton. Ainsi, ces deux géométries ne sont pas les mêmes, ce qui pose cette question :

Les axiomes de cette géométries sont-ils trop larges pour permettre qu’il y ait deux types de géométrie non arguésienne ?

La troisième partie montre une autre particularité de cette géométrie : en les points de l’ellipse, il existe deux orthogonalités différentes selon l’orientation des droites.

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Parce qu’il est beaucoup plus simple de implémenter, la géométrie dynamique permet d’aller bien plus loin dans l’exploration de ce modèle.

La première page sur les droites fait un tour d’horizon des (non) propriétés des droites de cette géométrie ...

En miroir des trois cas de construction dynamique des droites de Hilbert, cette page commence par une partie un peu technique pour montrer que l’on peut créer un unique objet pour tous les cas, y compris celui des droites verticales dans le repère. Puis on illustre une série de « non propriétés affines » de ces droites, en terminant par la non constructibilité des coordonnées, par le fait qu’il n’y a pas de relation de Chasles.

La deuxième page est consacrée aux angles dans le plan de Moulton. La première partie arrive assez simplement à des résultats intéressants. En première lecture, on peut se limiter à cette première partie.

La suite de cette page aborde en détail la question de l’angle en un point de l’axe des ordonnées, puisque c’est le point critique de Moulton sur le modèle de Hilbert. Une fois que l’on entre dans cette problématique, on s’amuse à quelques constructions amusantes.

La page sur l’orthogonalité, même si elle est assez courte et ne contient que deux figures, est probablement une des plus exaltantes de cette partie Moulton, car elle propose des explorations tout à fait inattendues et ceci sans aucune technicité, contrairement aux deux dernières.

Les deux dernières pages s’intéressent, d’abord, aux triangles orthocentriques algébriques, puis aux triangles bi-orthocentriques. La rédaction est bien différente des autres : c’est le choix de faire une analyse exhaustives de cette question des triangles orthocentriques, en particulier par l’usage systématique du calcul formel.

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En seconde lecture, on peut revenir sur la question de la somme des angles d’un triangle dans le modèle de Hilbert.

La première page aborde le cas de deux points dans l’ellipse. Cette page est surtout une belle leçon des possibilités originales d’une approche par la géométrie dynamique.

La seconde page est consacrée à l’étude des possibilités de construire un triangle de somme 180° avec un seul sommet à l’intérieur de l’ellipse.

Toujours dans le modèle de Hilbert, on peut revenir sur l’orthogonalité, dans cette page HOrtho 2 sur le régionnement extérieur (à l’ellipse). La suivante, HOrtho 3 n’est pas encore finalisée.

On peut, en fin d’exploration de ce menu, revenir sur la page interlude de la critique de Moulton pour voir les illustrations de cette critique, et même explorer les triangles orthocentriques avec deux sommets sur l’ellipse. C’est assez marginal, mais ce qui est écrit fait (vraiment) réfléchir.

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Le menu consacré à la pseudosphère se décline en trois parties. Une première partie de « géométrie intrinsèque des surfaces » dans laquelle on calcule effectivement les objets que l’on va utiliser directement sur la surface. Parce que ces calculs sont organisés pour une utilisation en géométrie dynamique et ne se retrouvent pas nécessairement dans la littérature dédiée à la surface, on a choisi de donner toutes les formules utilisées, même si cela peut parfois alourdir le texte. C’est de cette partie que traite ce premier onglet.

On commence tout naturellement par une présentation de la surface et des droites. Et tout de suite, on aborde la façon de placer un point sur une des feuilles adjacentes à la feuille principale.

Ensuite on aborde le milieu de deux points et la symétrie centrale car on s’aperçoit que traiter le premier permet (par les calculs) de traiter immédiatement le second. On peut alors manipuler des figures comme celle-ci sur l’intersection des médianes :

La troisième page traite de l’orthogonalité. On y aborde donc les hauteurs, les médiatrices, mais aussi la perpendiculaire commune.

Pour les cycles, ils sont traités sur deux pages, d’abord le cercle avec le calcul intrinsèque associé comme cet exemple :

Puis une autre page aborde la construction des équidistantes et des horicycles dans une démarche qui prépare comme une transition vers la suite, car on revient à des constructions géométriques, sans aucun calcul. Dans l’illustration suivante par exemple, il s’agit d’un triangle avec ses médiatrices, la perpendiculaire commune des médiatrice et l’équidistante (courbe verte) qui passe par les trois sommets du triangle. On commence à avoir de très belles figures.

La page se poursuit par la construction des traces de tout horicycle sur la surface, et en conséquence, la construction de droites parallèles.

Ce qui termine cette première partie sur la géométrie intrinsèque, même si la dernière page est plus géométrique.

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Comme on le verra en détail dans cette page interlude, Beltrami utilisait ce qu’il appelait un « disque limite » (DL dans l’onglet suivant) pour linéariser les géodésiques de la pseudosphère.

Klein, travaillant sur une généralisation de résultats de Cayley, était alors imprégné de considérations métriques et projectives, a vu très rapidement que cet outil intermédiaire était en réalité un vrai modèle de géométrie hyperbolique, et en particulier de la totalité du plan hyperbolique. On notera KB ce modèle.

Cette page présente donc ce modèle pour lequel les KB-droites sont les cordes du cercle. Le modèle est non conforme, construit sur des considérations projectives, rappelées dans cette page. Le KB-cercle est une ellipse euclidienne, de même la KB-équidistante est un arc de conique et le KB-horicyle une ellipse tangente au cercle horizon, dont voici une représentation :

Toutes ces constructions sont transformées en macro-constructions pour pouvoir être utilisées dans la suite du menu, présentée à l’onglet suivant.

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Deux pages sont consacrées à la conjugaison, une sur le principe, avec application directe, et une seconde où on réalise des figures qu’il serait difficile (voire impossible) de réaliser sans elle.

La réalisation d’une figure par conjugaison, est très simple dans son principe : partant d’objets sur la pseudosphère, typiquement un triangle ou un cercle, on les envoie, par la projection de Beltrami sur KB. On fait la construction que l’on souhaite réaliser dans KB et on renvoie la figure sur la pseudosphère.

Ensuite, il y a quelques ajustements à faire, en particulier selon l’intervalle de la longitude retenu. Voici une illustration sur la perpendiculaire commune à trois médiatrices qui est dans KB bien entendu, mais en dehors de la pseudosphère. Malgré cela, la conjugaison permet alors de construire l’équidistante sur la pseudosphère.

L’image de la pseudosphère est l’intérieur de l’ellipse rose qui passe par le centre Odl et le seul point à l’infini de la pseudosphère, le point Idl. C’est donc une petite partie du plan hyperbolique ... ce qui a posé problème sinon à Beltrami, en tout cas à ses contemporains.

La page d’applications est l’occasion de quelques belles réalisations. On commence par quelque chose de classique :

Puis on s’amuse à des choses plus extraordinaires. Ci-dessous, un triangle - deux points données sur la pseudosphère, le troisième construit depuis KB - ayant une équidistante qui s’enroule à l’infini sur « la corne de la pseudosphère » pour reprendre le terme de Coxeter lui-même. Une vue de face, et une vue de dessus.

D’autres belles surprises sont aussi proposées dans cette page.

Une dernière page du menu PS propose quelques illustrations dynamiques du mémoire de Beltrami. En réalité il n’y a que quelques points du mémoire qui sont abordés, dont au moins un dans lequel les illustrations proposées sont effectivement éclairantes. Mais on pourrait faire bien plus ... cela sera probablement fait un jour car ce mémoire est passionnant ...

Par exemple, Beltrami retrouve un résultat essentiel pour parvenir à la consistance de la géométrie hyperbolique (équivalente à celle de la géométrie euclidienne). Montré indépendamment par Lobatchevsky et Bolyaï, c’est celui sur la distance constante entre deux cordes de deux horicycles concentriques. Là encore la conjugaison permet la construction des traces des horicycles sur la pseudosphère.

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Avec tout ce qui a déjà été fait dans les autres menus hyperboliques, les figures réalisées dans ce menu ne présentent pas vraiment de difficultés, à part peut-être la construction de la surface elle-même. Et pourtant ce menu est mon préféré, ne serait-ce que pour la beauté des polygones sur la surface et la possibilité, surprenante dans un premier temps, de ces (débuts) de pavages autour d’un point.

Le menu commence par présenter la construction de la surface (la seule chose délicate à réaliser en pratique) et le passage vers KB et retour.

La page suivante est consacrée aux droites et aux droites remarquables d’un triangle. La méthode de construction est efficace. On arrive assez rapidement à ces figures par exemple

Ensuite une page présente deux exemples de figures sur les trilatères.

Dans ces deux premières pages, on ne propose pas beaucoup de figures. En effet, elles sont assez simples à réaliser, et sont proposées à la construction individuelle - dans un article de blog (voir le parcours dédié) - avec les macros adaptées qui permettent de réaliser soi-même plusieurs figures classiques assez facilement.

Le reste du menu est consacré à des pavages sur la surface, au sens de polygones autour d’un point (début de pavages).

Avec des pentagones orthogonaux

Ou des triangles équilatéraux à 45°

Et bien d’autres constructions surprenantes (ci-dessous extrait d’un P83)

Ce menu est tout simplement merveilleux ...

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La pseudosphère elliptique, même si la forme extérieure ressemble à la PS, est un modèle différent des deux précédents car il est borné : sur la PSE on ne peut atteindre aucun point à l’infini.

Cela a une conséquence immédiate : l’enroulement sur la PSE n’est pas une bijection avec la partie qu’elle représente du plan hyperbolique, alors que c’était le cas des deux autres modèles.

Il n’ a que deux pages sur ce modèle, elles ont été ajoutées à la fin du menu sur la PSH. La première page présente (rapidement) la nappe et la construction des droites. On arrive très vite à des constructions comme les médianes.

La seconde page aborde la construction de figures sur les trilatères répartis sur trois feuilles pour être plus facilement visibles. La encore, cela produit de très belles figures, surprenantes mais facilement compréhensibles. A titre d’exemple, voici le cercle inscrit d’un trilatère réparti sur 4 tours de la PSE car p=0,25.

De nombreuses autres belles illustrations sont proposées dans ces deux pages. On laisse au lecteur le plaisir de les découvrir.

On l’aura compris, j’ai ressenti beaucoup de bonheur à réaliser ces figures dynamiques et ces illustrations sur les modèles pseudosphériques.

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Ce menu propose deux modèles de géométrie euclidienne. Tout d’abord le Disque Euclidien (DE) avec quelques figures spécifiquement euclidiennes.

La figure originale de ce modèle est dans la page suivante : Voir l’infini de près. Le principe est le suivant. On construit, par une propriété géométrique une parabole tritangente à un triangle. Or, en géométrie projective, une parabole est une conique qui rencontre l’infini en un seul point (car elle est tangente à l’infini). Or ici l’infini est le cercle limite du modèle, ce qui permet de voir « de près » ce point de contact. Dans l’illustration suivante, F est un point du cercle circonscrit. La droite verte est la droite de Steiner associée à F. Alors la parabole de foyer F, de directrice cette droite de Steiner, est tritangente au triangle. Et comme c’est une parabole, on voit le contact à l’infini.

Enfin, une troisième page DE aborde la construction de Malfatti et la présente dans ce modèle. On en parle plus en détail dans l’onglet suivant.

La page suivante aborde un modèle 3D, celui de la sphère épointée.

Les deux derniers items sont consacrés à des modèles de géométries finies, à commencer par des configurations standards comme celle-ci :

L’item suivant est un peu plus conceptuel et passionnant, puisqu’il arrive à un modèle hyperbolique fini (d’incidence) dont les représentations des droites sont des triangles : dans la figure ci-dessous, par le point M, il passe toujours trois parallèles à la droite (AB) ... qui est le triangle ABI.

Ce menu MODELE a été construit pour de multiples raisons, mais surtout pour arriver à cette figure.

Signalons tout de même que cette définition de plan hyperbolique fini ne rentre pas dans la définition des plans hyperboliques métriques pour lesquels, par un point n’appartenant pas à une droite, il passe deux - et seulement deux - droites parallèles à une droite donnée.

Par ailleurs, on peut préciser que pour l’axiomatique qui sous-tend le travail proposé ici - l’axiomatique de Bachmann - les seuls plans finis que l’on obtient sont nécessairement euclidiens.

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La construction de Malfatti n’a absolument rien d’essentiel en mathématique. Elle a été retenue ici un peu par hasard comme fil rouge : au début c’était juste une forme de défi personnel de parvenir à réaliser sa construction dans les premiers modèles des géométries standards, sans utiliser aucune particularité euclidienne comme la cocyclicité par exemple ... mais finalement c’est devenu rapidement facile avec les différentes macros

Le problème de Malfatti (1803) : Il s’agit de construire trois cercles, inscrits chacun dans un angle d’un triangle, et tels qu’ils soient tous les trois deux à deux tangents.

Voici les liens sur les pages où cette figure est présente. Et pour les lecteurs plus pressés, avec une illustration statique de chaque situation. Juste pour le plaisir de partager de belles figures ...

1 : une lecture absolue de la construction euclidienne et sa visualisation dans le modèle du disque euclidien.

2. La construction sur la sphère épointée (dernière figure de la page)

3. Aspect hyperbolique : version du triangle (avant les constructions sur les horicycles)

4. Version du TRILATERE hyperbolique, avec deux galeries de présentation, la première sur les possibilités de la construction (6 illustrations), la seconde sur les étapes de cette construction (14 illustrations) car, bien entendu, la lecture absolue proposée est pertinente aussi pour les trilatères.

5. Pour le moment la construction elliptique proposée n’est qu’une version « sphérique ». Elle reste différente de la version DE car les DE-cercles ne sont plus des cercles euclidiens.

Une vraie version elliptique dynamique devrait ressembler à cela, ici dans une version réalisée avec CaRMetal. La difficulté est de réaliser les quadrisectrices dynamiques continues. Non encore réalisé avec DGPad.

6. Deux versions de trilatère sur la pseudosphère (dans un article de Blog)

une jolie vue de dessus

et une version « 3 vues » avec un cercle multi-feuille

7. Une version de trilatère sur la PSH

8. Une version dans les modèles KE et KH (dernière section de l’article)

Comme c’est trop fun, voici une version à manipuler directement dans cette page

Dans cette même page, on propose aussi une version « totalement elliptique » avec les cercles de Malfatti de tous les côtés du triangle (n’a de sens qu’en géométrie elliptique car elle est bornée). Cela donne une figure superbe dont voici une illustration

9. Complément … de seconde lecture peut-être : la figure de Malfatti sert aussi dans cette page sur le Saggio de Beltrami pour illustrer - dans KB - la notion de centre idéal (au sens de Beltrami c’est-à-dire extérieur au disque limite) d’une « circonférence géodésique » qui s’avère être une équidistante.

Le point Mo1 est le « centre idéal » de l’équidistante passant par Mp1, en pratique c’est le pôle de l’axe de l’équidistante en question.

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Dans le menu DGPad on présente quelques solutions techniques utilisées pour résoudre, dans les figures, des questions inhérentes à la géométrie dynamique.

Voici un bref aperçu, non pas du contenu lui-même mais des problématiques soulevées

1. Continuité et déterminisme

Dans cette page on rappelle pourquoi le déterminisme des figures - indispensable dans un cahier des charges d’utilisation scolaire - n’est pas totalement compatible avec la notion de continuité, et en particulier de continuité dynamique de certaines intersections. Pas pour les plus simples, mais déjà la question se pose pour l’intersection de deux arcs de cercles, c’est-à-dire pour les droites hyperboliques du disque de Poincaré et les droites elliptiques, donc le cœur des préoccupations de ce site.

La page se poursuit par la présentation des différentes façons de résoudre cette question.

2. Rupture maitrisée du déterminisme

Autant la page précédente était en lien direct avec des considérations techniques nécessaires aux figures du site, autant celle-ci est plus une page de réflexion sur ce qu’est - ce que peut devenir - la géométrie dynamique avec les outils contemporains. On y apprend ainsi à rompre le déterminisme d’une figure, et à le rétablir quand c’est nécessaire, instantanément, dans la même figure.

Le déterminisme en géométrie dynamique veut qu’une figure revienne à sa position initiale quand ses éléments de base y reviennent. Une rupture archétypique est le thermomètre à mémoire tel que schématisé ici :

3. Extension de la virtualisation des définitions

Dans cette même page, on donne quelques exemples pédagogiques de l’utilisation de ce « thermomètre à mémoire », puis on poursuit la réflexion pour montrer que l’on peut modifier en profondeur la perception même des objets mathématiques de base.

Le carré de la figure suivante est de centre O, passant par A (manipulable) mais passant aussi par B (manipulable), de même pour C ou D. On peut même déplacer son centre.

Cela interroge sur la nature même d’un objet mathématique en géométrie dynamique, quand cet objet devient autant informatique que mathématique.

4. Le temps dans DGPad

Dans la page précédente, on garde seulement trace de l’intervention de l’utilisateur sur une figure, mais il s’agit surtout d’une trace du temps, pas une mesure. Dans cette figure on aborde une mesure du temps dans les figures : la géométrie dynamique devient de la cinématique dynamique en quelque sorte.

En réalité, l’auteur de DGPad a produit les deux premières figures de cette page pour que je puisse transposer le processus décrit sur la pseudosphère pour faire tourner un point, continument sur son horicycle, en parcourant plusieurs feuilles. Finalement, cela n’est pas vraiment immédiat, mais cela devrait être réalisable ... Disons que j’ai été un peu conquis par les possibilités d’étendre le menu PSH aux pavages ... à suivre …

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Pour apprendre à pratiquer plus systématiquement les macros, on peut commencer par les deux modèles euclidiens bornés.

1. Article sur les macro du modèle DE, disque euclidien.

2. Article surles macros du modèle de la sphère épointée.

Puis poursuivre vers les macros hyperboliques. Celles de DP sont déjà dans l’article sur l’exploration des pavages (voir plus loin). Celle de KB va servir aux macros de PS par conjugaison et surtout de PSH, car pour ce modèle il n’y a pas d’autres possibilités.

3. Article sur les macros du modèle hyperbolique KB.

Dans cet article, on donne quelques détails pour réaliser cette figure qui vérifie une propriété absolue sur les points de contact des cercles exinscrits sur un coté du triangle : le point K, milieu de B et C est aussi milieu des points de contact hI et hM et des points de contact hN et hP.

4. Article sur la réalisation de figures sur la PSH.

C’est le modèle qui offre le meilleur rapport « investissement/qualité de la production » car les figures sont plutôt faciles à produire et très belles. C’est donc un article très détaillé qui présente tout ce qu’il faut savoir faire pour finaliser des figures : la surface est donnée en préalable, avec trois points déjà posés dessus et ses macros. Mais il faut bien entendu savoir faire des figures dans KB par exemple (point précédent). Pour les plus utilisateurs expérimentés, une pseudosphère hyperbolique avec un trilatère est aussi proposée. On est très accompagner pour réaliser les figures, et on peut par exemple faire ceci :

L’article se termine par un petit challenge - proposé avec toutes les macros nécessaires associées : réaliser une partie de troncature de pavage, soit réaliser ceci :

Contrairement à ce que l’on pourrait croire, ce n’est pas très long, la figure initiale est bien avancée et les macros adaptées sont déjà finalisées.

5. Articles sur la réalisation de figures sur la pseudosphère (PS)

Deux articles sont proposés sur la pseudosphère.

Tout d’abord, un article sur l’utilisation des macros intrinsèques, c’est-à-dire utilisant les formules - développées dans le corps du menu PS - de la géométrie des surfaces.
Des figures spécifiques, et surtout une ré-organisation des macros sont présentées en détail. Les constructions sont accompagnées de nombreuses illustrations. On refait des figures classiques, mais on va aussi parfois plus loin. L’article se termine par exemple par un enroulement original d’horicycle comme ceci :

Ensuite un article traite de l’utilisation de la conjugaison avec KB. Bien entendu, il faut d’abord avoir pratiqué les macros de KB comme vu un peu plus haut. Cet article présente en détail la construction du cercle inscrit et des cercles exinscrits, car ces figures n’ont pas été développées dans l’approche intrinsèques.

L’article se poursuit par des figures sur les trilatères, et se termine par une présentation rapide du modèle KH afin d’aborder un point bien particulier à propos du milieu de deux points dans KB et KH.

6. Articles sur la réalisation de figures non arguésiennes

On aborde là des concepts moins simples, clairement pas réservé à une première lecture, mais tout aussi passionnants. On a vu qu’il y a deux modèles de géométrie non arguésienne et donc deux articles, avec leurs lots de macro-constructions.

Le premier porte sur le modèle de Hilbert. Ce n’est pas le plus simple, mais comme c’ést historiquement le premier ... Les démarches d’utilisation des macros sont très détaillées, comme dans le cas de la PSH, et les objectifs de réalisation de figures sont modestes, pour rester dans des constructions réalistes. On propose par exemple de réaliser la construction de Pappus, avec tous les points de base à l’extérieur de l’ellipse.

Le second article est consacré à la réalisation de figures dans le plan de Moulton.

Si le modèle est élémentaire, l’utilisation de ses macros nécessite un mixte en leurs utilisations immédiates et la gestion générale de l’interface de DGPad, ce qui n’est pas du tout le cas dans beaucoup d’autres modèles. C’est la raison pour laquelle, là aussi, les objectifs de réalisation sont encore modestes.

On les a organisés autour du thème des médianes, en commençant par cette figure toute simple.

Cet article se termine par une figure spéciale préparée pour construire soi-même les hauteurs d’un triangle de Moulton parce que c’est trop amusant de jouer avec ...

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1. Triangle équilatéral d’angle 72° et pentagone régulier associé.

Cet article reprend une figure sur les cercles circonscrits elliptiques pour s’apercevoir qu’il y a une piste pour construire un premier pentagone régulier un peu particulier. Il utilise des résultats trigonométriques (qui ne sont que ceux de la géométrie sphérique). On aboutit ainsi à cette figure

2. Tangentes à un cercle elliptique (issue d’un point extérieur)

Juste parce que c’est un exercice classique sur le coniques

et que la conique peut aussi être une ellipse dans un cas particulier.

3. Polygones réguliers étoilés

C’est typiquement l’article qui complète une page de menu, car la figure proposée est trop lourde pour être avec d’autres. Ici on peut afficher 8 polygones étoilés différents dans une même figure.

Si la figure se charge partiellement (elle peut s’arrêter parfois juste avant une grosse partie avec des booléens et elle s’affiche alors bizarrement), relancer simplement la page ou même seulement la figure avec l’icône de l’iframe (parfois il est nécessaire de le faire deux fois).

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1. Exploration des pavages P(3,k) pour k=7, 8, 9 de DP

Il s’agit bien d’explorer ces pavages, en déplaçant (comme dans la page de DP dédiée aux pavages), deux points (centre et taille) pour faire coïncider heuristiquement les cotés des triangles et ainsi « simuler » un pavage.

L’article se termine par un vrai pavage, pour lequel les articles associés (sur Bolyai) ne sont pas encore rédigés.

2. Jouer avec les pavages dans KB

Les pavages de KB sont bien moins jolis que ceux de DP, mais on a choisi de les finaliser (4 d’entre eux) car dans le menu PSH, on ne pouvait pas mettre, même la génération 1, sur la PSH. Là, en finalisant cette génération 1, on voit bien qu’ils ne peuvent pas entrer dans l’équidistante correspondant à la PSH dans KB.

Cet article s’appelle JOUER car après la présentation de la méthode de construction (géométrique, ce sont des pavages constructibles à la règle et au compas), on propose à l’utilisateur de les construire en quelques clics seulement grâce à des macros construites à cet effet. C’est suffisamment merveilleux pour qu’on s’y amuse une fois, ceci d’autant que l’on propose de faire deux pavages différents avec la même figure, elle aussi préparée pour cela.

3. Troncatures de pavages dans KB.

L’article précédent prépare à celui-ci. L’article commence par présenter une construction algébrique du KB-Milieu de deux points (ce qui n’avait pas été fait dans la page sur les macros de KB).

Puis on poursuit par des troncatures. Je ne résiste pas à vous en présenter une, celle de P54. On peut déplacer le centre du cercle pendant la double animation. Là encore, si la figure se charge partiellement la relancer avec l’icône de l’iframe (parfois il faut le faire deux fois).

Puis on va plus loin (avec des figures plus longues à charger) pour la troncature de P38.

L’article se termine sur la réalisation des troncatures pour lesquelles le polygone central est régulier. La construction n’est plus géométrique, mais programmée. Par exemple ici sur P54, le décagone est régulier, son coté est le même que celui du carré (l’autre polygone, lui, par construction, est toujours régulier).

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1. Pentagone orthogonal sur la PS

Cet article est surtout l’occasion présenter en détail la façon dont on peut construire les différents cercles de pavage sur les surfaces pseudosphériques une fois que l’on connait son rayon (qui est donné ici, des articles sur les constructions de triangles rectangles hyperboliques suivront). On y présente plusieurs figures. Voici une vue de face et une vue de dessus.

Dans l’article, on voit clairement qu’il n’est pas possible de placer plusieurs pentagones orthogonaux autour d’un point et qui restent sur la pseudosphère, d’où la grande surprise (pour moi en tout cas) de s’apercevoir que c’est possible sur la PSH ... ce qui a abouti au menu PSH tel qu’il est.

2. Construction de Malfatti de trilatères sur la pseudosphère

Cet article aurait pu être un item du menu PS. On a choisi d’en faire un article, peut-être pour y ajouter de nombreuses illustrations comme celle-ci ...

Dans cette illustration, on voit dans KB, en haut à droite, que les contacts avec le cercle qui se déploie sur 3 feuilles restent sur la feuille principale, puis deux illustrations de face et une vue de dessus.

On retiendra qu’on présente deux méthodes de réalisation, une conjugaison standard complète, depuis la PS, et un simple transfert de la figure KB vers PS, qui permet d’affiner un peu plus, en manipulation directe, les enroulements de cercles ou des équidistantes.

3. Remplir les polygones sur PS et PSH et divertissements associés

Sous prétexte d’expliquer comment sont remplis les polygones dans les pavages sur la PSH, cet article est une formation à l’utilisation des expression-programmes de DGPad (en bref, du JavaScript dans les expressions). Pour cela une partie présente le concept sur des exemples standards euclidiens, puis une partie présente le thème de l’article, et dans une dernière partie « divertissement » on plaque les exemples euclidiens sur la PSH. Ce qui donne des figures dynamiques comme celles-ci.

Avant cela, un préambule explique comment faire ce remplissage, sur l’exemple de la PS, par Blockly. Un article un peu sérieux, mais qui peut être parcouru par son aspect fun.

4. Changement d’origine dans la projection sur KB

Cet article permet de déployer les feuilles autour de la feuille principale grâce à une modification de l’horicycle image de la pseudosphère que l’on peut rendre arbitrairement grande dans le disque limite de Beltrami.

Après une présentation de cette nouvelle situation, on s’intéresse à des constructions à partir de triangles répartis sur 5 feuilles car 5 feuilles sont facilement visible dans KB.

C’est alors l’occasion de réaliser quelques figures assez extraordinaires sur les cycles circonscrits à un triangle réparti sur 5 feuilles, comme ce cercle enroulé sur 102 feuilles de la pseudosphère (nécessitant tout de même 21 000 segments !)

Là aussi, grand plaisir de réaliser ce type de figures.

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Actuellement, quatre articles traitent de cette approche si profonde, et si différente de tout le reste du site, proposée par Daniel Perrin, mathématicien bien connu des enseignants ... disons d’un certain âge : ses ouvrages sur les groupes, ou sur la géométrie algébrique nous ont tous accompagnés. Ce que l’on illustre dans ces articles ne sont que quelques points de la partie 4 du livre donné en premier lien de sa page.

A terme, quand un certain nombre d’article seront rédigés, le tout devrait migrer dans un nouveau menu de la barre des menus ...

Pour situer le point de vue de Daniel Perrin, voici deux extraits de sa présentation générale.

et ensuite, plus précisément

On se doute bien que cette approche est parfois un peu plus ésotérique que tout le reste du site. Ce n’est assurément pas pour une première lecture sur les GNE, mais ce point de vue, en particulier sa grande efficacité, mérite vraiment qu’on s’y arrête. Il est préférable d’avoir déjà vu la page sur le modèle KB du menu PS et d’avoir un peu parcouru la géométrie elliptique.

• On commence par une présentation des deux modèles KE (pour Klein Elliptique) et KH (Klein Hyperbolique) et on construit les premières droites remarquables d’un triangle.

Question figure, rien de bien spectaculaire, c’est même un peu austère.

• Le deuxième article se consacre aux cercles. Comme les cercles sont des coniques, les figures sont plus intéressantes. Aprés des généralités sur les cercles l’article se termine par les cercles circonscrits d’un triangle (chaque triangle en a 4), et les cercles exinscrits d’un triangle dont voici une illustration dans KH.

• Un troisième article s’intéresse au cas particulier des « cercles-paraboles » (frontière entre l’ellipse et l"hyperbole) C’est donc encore un peu ésotérique, mais aussi un peu décoiffant, et donc assez sympathique. Voici un exemple, sur KE.

• Le quatrième article est consacré à une première approche sur les notions de longueur, distance et angles.

Là encore rien de spectaculaire question figures, tout est dans l’illustration des concepts proposés. Elles sont très simples, peu lourdes. Il y a ainsi 9 figures dynamiques en ligne dans cette page pour manipuler les différents concepts présentés.

Très heureux d’enfin avoir commencé à illustrer de manière dynamique cette somme de connaissances exposée par Daniel Perrin de manière si profonde. Même si j’aurais dû faire cela depuis quelques années déjà, il vaut mieux tard que jamais ...

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