Le principe est de prendre une bande rectangulaire et de la transformer en couronne. La première figure est faite avec une bande de largeur minimale. Pour la deuxième figure la bande est 10 fois plus large et la couronne ressemble plus à un disque.

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L’exemple traité ici est fait à partir d’une bande de 22 éléphants jaunes de long pour produire un réseau de polygones réguliers concentriques à 22 cotés. La démarche de construction se fait par rapport aux éléphants jaunes et se généralise aux autres couleurs.
Propriétés attendues de la transformation
Chaque groupe de 22 éléphants jaunes de même taille doit être stable par rotation d’angle $\frac{2\pi}{22}$. Ces éléphants correspondent aux 22 sommets d’un polygone régulier.
Les éléphants jaunes de taille différente, alignés sur une demi-droite issue du centre du pavage, doivent être homothétiques. Le rapport R de l’homothétie générant cet alignement est un réel strictement positif à choisir pour donner une forme harmonieuse à l’éléphant, si R est trop petit l’éléphant sera aplati, si R est trop grand, l’éléphant sera trop allongé.
En conséquence les éléphants jaunes doivent être générés en composant des rotations de centre O et d’angle $\frac{\pi}{11}$ avec des homothéties de centre O et de rapport R.
Utilisation de la fonction exponentielle
Étant donné que l’on passe d’une bande à une couronne, il est plus intéressant d’utiliser les coordonnées polaires pour la transformation ou bien encore les nombres complexes sous forme exponentielle.
Quitte à changer de repère, les vecteurs laissant invariant le pavage du plan peuvent être choisi sous la forme $kai + \frac{l\pi}{11}j$ avec k et l entiers. Les points de coordonnées $(x+ka , y+\frac{l\pi}{11})$ correspondent alors aux mêmes parties anatomiques d’éléphants jaunes.
On considère dans le plan complexe l’application $e^{z}$ et on vérifie qu’elle convient pour courber la bande en couronne.
Soit $M(x+ka,y+\frac{l\pi}{11})$ et $M’(x+k’a, y+\frac{l’\pi}{11})$ deux points correspondant à une même partie anatomique d’éléphant jaunes dans le plan, leurs images respectives N et N’ ont pour affixes $ e^{(x+ka + i(y+\frac{l\pi}{11}))}$ et $ e^{(x+k’a + i(y+\frac{l’\pi}{11}))$. On montre alors en utilisant le module et l’argument que $\frac{ON’}{ON} = e^{(a(k-k’))}$ et $(ON’,ON) = (l-l’) \frac{\pi}{11}$.
Cela signifie que le point N’ est l’image de N par la similitude de centre O d’angle $(l-l’) \frac{\pi}{11}$ et de rapport $ e^{(a(k-k’))}$. C’est-à-dire encore que N’ est l’image de N par composée de l-l’ rotations de centre O et d’angle $\frac{\pi}{11}$ avec k-k’ homothéties de centre O et de rapport $e^{a}$. Ce qui justifie a postériori le choix de la fonction exponentielle.
Activités scolaires autour du pavage en réseau de polygones réguliers concentriques
Lycée : Étude des similitudes transformant les éléphants jaunes en éléphants verts. (La similitude de centre O, d’angle $\frac{\pi}{22}$ et de rapport $e^{\frac{a}{2}}$ transforme les éléphants jaunes en éléphants verts mais l’exposé aurai été plus fastidieux du fait que les vecteurs de translation ne sont plus orthogonaux.)