Mathématice, intégration des Tice dans l'enseignement des mathématiques  

Script et Tracenpoche
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Mis en ligne le 29 décembre 2006, par Jean-Philippe Vanroyen

Quelques mots sur la genèse de Tracenpoche (Tep)...

Tracenpoche a constitué une réponse à un besoin de l’association Sésamath, besoin auquel ne répondaient pas les logiciels de géométrie dynamique existants.

Voir La saga de Tracenpoche

A cela, deux raisons principales et complémentaires :

  1. L’intégration et la communication des outils entre eux. Pour pouvoir faire communiquer en profondeur un outil avec un autre (par exemple Tracenpoche et Mathenpoche ou bien Tracenpoche et Instrumenpoche), il est souvent nécessaire de les développer conjointement ou pour le moins de bien se mettre d’accord sur les cahiers des charges de développement.
    Le choix de la technologie utilisée, Flash, a découlé directement de ce partenariat natif.
  2. La sous-utilisation évidente de la géométrie dynamique par les professeurs de mathématiques, en dépit des programmes officiels, peut aussi s’expliquer par une difficulté de mise en place, à la fois technique et pratique. Difficulté liée aux outils, à leur paramétrisation, à la récupération des travaux d’élèves... Tracenpoche a été pensé dès le départ pour une utilisation dans la version réseau de Mathenpoche, permettant une utilisation intuitive et très efficace. Par ailleurs, le "succès" de Mathenpoche est aussi de nature à amener par ce biais plus d’enseignants à utiliser la géométrie dynamique.

Tirant des leçons de nos précédents logiciels, E. Ostenne et moi-même avons senti, dès le début du développement de Tracenpoche, la nécessité d’y implémenter un script « dynamique », au sens où celui-ci est mis à jour en temps réel lorsqu’on déplace à la souris des objets de la figure. A quoi tient cette nécessité, qu’apporte au juste un script « dynamique », est-ce vraiment essentiel ?

Eh bien pour le dire directement : le script dynamique est d’un intérêt majeur pour l’enseignement de la géométrie dynamique. Ce script dynamique n’est pas toujours nécessaire bien entendu, mais s’avérera extrêmement utile pour certaines activités.

Nous allons tenter d’expliquer pourquoi, en montrant à quoi tient l’intérêt pédagogique de ce script, même s’il n’est pas question de prétendre faire le tour de cette question dans un simple article. Il s’agit simplement de souligner quelques points essentiels à nos yeux.

Précisons tout de suite que l’on peut masquer cette zone script, afin d’adapter l’outil au niveau des élèves et à leur familiarité avec le logiciel. C’est à l’enseignant de déterminer le moment où ses élèves sont prêts à travailler avec le script plutôt que seulement avec les boutons (qui permettront à terme de tout construire sans passer par le script). Aucun logiciel ne peut, ni ne pourra jamais, se substituer à l’enseignant dans ce qui restera toujours la tâche et la responsabilité d’un jugement, portant sur la mise en place d’une progression pédagogique adaptée aux élèves.

Donc nous voulions implémenter ce script car il présente selon nous de grandes vertus pédagogiques. De quelles vertus d’agit-il ? Voici un exemple concret qui me semble essentiel à titre d’activité préparatoire à la géométrie dynamique, et qui montre bien en quoi ce script peut être si utile.

Lorsque mes élèves de seconde découvrent pour la première fois Tep, je leur demande de construire un point C appartenant à une droite (AB).
La plupart trace d’abord la droite à l’aide du bouton « construire une droite ». Puis la plupart utilisent le bouton « construire un point » afin de placer un point C graphiquement très proche de la droite. On obtient neuf fois sur dix une figure comme ci-dessous.

On peut donc remarquer que la procédure suivie est identique à la procédure sur le papier.

A ce moment, j’insiste fortement sur les deux points suivants :

- Si l’on déplace le point A, alors il est clair que le point C n’appartient pas à la droite (AB).
Ce qui signifie que la figure perd ses propriétés initiales lors du déplacement de A. Elle n’est donc pas dynamique. Une figure dynamique, ce serait donc une figure qui conserve ses propriétés initiales lors du déplacement des objets de la figure. Dans cette optique, la construction n’est donc pas correcte. Ce point est important car il permet de découvrir un premier élément caractéristique de la géométrie dynamique.
- Dans la figure 1, le point C n’appartient pas à la droite (AB). Ce qui signifie que même d’un point de vue statique, cette figure est fausse !
En effet, un zoom donne la figure suivante :

Nous pouvons poser la question au logiciel. Pour cela, on utilise la fenêtre analyse :

A,B,C alignés ? non

Tracenpoche répond non. Donc les points ne sont pas alignés.

On peut demander alors aux élèves de tenter d’obtenir l’alignement. Il est réellement très difficile à obtenir, pour ne pas dire impossible dans la plupart des cas (sauf lorsque la droite est verticale ou horizontale).
Et même si, par hasard, l’on obtient trois points alignés, le déplacement du point A cassera l’alignement : la figure n’est pas dynamique.

L’élève doit comprendre ici qu’une figure correctement construite ne perd pas ses propriétés initiales à l’occasion d’un déplacement des objets de la figure.

La méthode de construction suivie par l’élève n’est donc pas satisfaisante, et on en revient au problème initial :
Construire un point C appartenant à une droite (AB)

On peut faire remarquer que sur le papier un codage spécial montre que le point C n’est pas un point quelconque mais bien un point de la droite :

Le point n’est pas représenté par une croix mais un trait seulement.
De même en géométrie dynamique, un point appartenant à une droite n’est pas un point comme les autres mais un « pointsur ». Les élèves découvrent alors le bouton et construisent la figure correcte :

La zone analyse du logiciel confirme :

A,B,C alignés ? oui

Et la figure est bien dynamique. Le point C "reste" sur la droite (AB) en cas de déplacement de cette droite.

Le point C a ainsi un statut particulier. C’est un point, certes, mais il n’a pas la même nature que les
points A et B. On découvre ici un concept très important : chaque type d’objet se décline en sous-types. Par exemple une droite « perpendiculaire », ce n’est pas la même chose qu’une simple droite.
Il est donc nécessaire, à partir de l’énoncé, d’indiquer au logiciel le type et le sous-type de l’objet que l’on veut construire sur la figure. Cela est évident pour nous sans doute, mais ça ne l’est pas toujours pour les élèves, surtout s’ils ne sont pas familiarisés avec ce type de logiciel.
Cette petite et modeste activité préparatoire à la géométrie dynamique me semble donc essentielle.

Venons-en donc au script, à partir de l’insuffisance de ce que nous apprend la figure.

Pour un observateur extérieur, un premier coup d’œil montre que les figures (1) et (4) sont semblables et que rien ne les différencie.
Mais dans la figure (1), s’il déplace le point A, alors le point C apparaît comme un point libre qui se trouvait par hasard proche de la droite.
Par contre, dans la figure (4), il apparaît que le point C appartient à (AB), puisqu’il accompagne dynamiquement le déplacement de cette droite. En réalité, il semble appartenir à (AB).

Je dis semble car on peut toujours imaginer que ce ne soit pas le cas (une figure dynamique dans laquelle C appartient « presque » à la droite (AB) ), ou que, bien qu’appartenant à (AB), il n’ait pas été défini comme tel.... Ce dernier point est plus subtil.

Voici un exemple l’illustrant :

C’est un grand classique. L’analyse ou le déplacement de la figure montre que les points C, F et E sont alignés.
Mais contrairement à ce que l’on pourrait croire, F est défini comme l’intersection de la médiatrice de [AB] et le segment [CE]. Et la question ici concerne la nature de AFB.

Ci-dessus, les points C, F et E sont également alignés. Mais ici, les points F et E sont les troisièmes sommets des triangles équilatéraux, et la question concerne bien à présent l’alignement des points.

Par conséquent, nous avons sous les yeux deux figures aux « propriétés dynamiques » identiques (lorsqu’on déplace les objets, le comportement des objets constitutifs de la figure est semblable)
mais de constructions (de définition) fort différentes.

Pour un énoncé donné, on peut ainsi distinguer la hiérarchie suivante des figures obtenues par l’élève :

- figure statique fausse (figure 1, analogue à une figure sur cahier non codée)
- figure statique exacte mais non dynamique (analogue à une figure sur cahier codée)
- figure vérifiant les propriétés dynamiques de l’énoncé (les points sont effectivement alignés mais le point C n’a pas du tout été défini comme un pointsur. S’il y a alignement, c’est pour d’autres raison, et il peut être accidentel).
- figure dynamique correcte (l’alignement constaté est dynamique et correspond à l’énoncé, il traduit essentiellement la propriété du point C, sa définition).

Ainsi j’irai jusqu’à dire qu’une figure n’est dynamique que dans la mesure où elle respecte un énoncé préalable. Par exemple, si l’élève choisit des boutons au hasard et qu’il clique un peu partout sur l’écran, il obtient une figure comportant de nombreux objets mobiles, et dont les propriétés ne changent pas lorsqu’il déplace les objets de sa figure, mais cela ne constitue pas pour autant, à mes yeux, une figure dynamique, parce qu’il ne lui correspond aucun énoncé préalable. La figure n’a pas été pensée mais fabriquée aléatoirement, on ne sait pas à quelle situation géométrique elle correspond.

Pour construire une figure complexe comme la figure 5, par exemple, une figure seule, proposée comme modèle, ne suffirait pas, l’élève aurait besoin de l’énoncé lui correspondant.

Avec Tep, si l’élève construit sa figure à l’aide des boutons, le script se « construit », de manière bien visible, parallèlement à la figure. Il n’est rien d’autre qu’une version formelle "spartiate" et algorithmique de l’énoncé, et il constitue l’essence de la figure dynamique, qui n’est quant à elle qu’une représentation particulière de cet énoncé. C’est cela que l’élève peut comprendre très concrètement, ou même en quelque sorte intuitionner naturellement, dès les premières activités de géométrie dynamique.

Ainsi par exemple le script facilite grandement le traitement des erreurs de construction, c’est-à-dire des erreurs de lecture ou d’interprétation de l’énoncé. C’est un fait que lorsqu’un élève aide son camarade, il lit systématiquement le script de la figure ! Il le fait naturellement, et il a raison sur le plan de la démarche mathématique même : on apprend toujours beaucoup plus d’une figure complexe en analysant son script qu’en la manipulant directement. C’est bien le script qui lui permet de penser ce qui ne va pas dans la figure de son camarade, de comprendre en quoi elle ne correspond pas à l’énoncé.

De même, si l’élève ne s’y retrouve plus dans sa figure, le script constitue pour lui une aide essentielle pour découvrir ses erreurs, et il est bien plus pratique, en cas de modification de la figure, pour comprendre ce qui a changé, que la manipulation tâtonnante de la figure. En fait il est même fondamental sur le plan pédagogique : sans le script, l’élève a tendance à effacer entièrement sa figure pour la recommencer complètement. Il ne peut pas comprendre ce qui ne va pas, repérer la partie de l’énoncé qu’il a mal lue.

Pour revenir à l’activité initiale proposée, le script est :


A = point( 4.93 , -1.4 ) ;
B = point( -4.7 , -2.5 ) ;
d = droite( A , B ) ;
C = pointsur( d , 0.47 ) ;

C’est la lecture du script qui enlève toute ambiguïté quant au statut du point C, grâce à la fonction « pointsur » qui a construit le point C. Grâce au script on connaît parfaitement les modalités de construction de la figure, parce qu’il en est la définition logique et mathématique.

Au final l’élève s’aperçoit que la figure n’est qu’une représentation donnant une forme à un concept (ici le concept d’appartenance d’un point à une droite), forme qui en elle-même ne renseigne pas sur la nature de la figure. Il ne peut pas faire l’économie de retourner à l’énoncé, ou ici au script. Il ne peut pas s’en tenir à ce que lui « montre » la figure.

Bien que, sur la figure, le point C aie la même apparence qu’un point libre, le script indique immédiatement sa nature géométrique.

Que se passe t-il maintenant avec des logiciels comme Cabri ?

Après avoir cliqué sur le bouton « point libre », et en cliquant près de la droite (AB), Cabri redéfinit automatiquement le point en « pointsur ».
Autrement dit il intervient sur le script à la place de l’élève. Littéralement il pense pour lui, prenant en charge le concept « appartenir à une droite », parce qu’il a deviné que c’est ce que l’élève essayait de faire, à la souris, en cliquant près de la droite... C’est typiquement ce qu’il ne faut pas faire lorsqu’on veut amener l’élève à penser la figure, au lieu de la dessiner à tâtons.
D’ailleurs il n’y a pas de script montrant la nature différente de ce point, hormis l’info-bulle qui disparaît une fois le point construit.

Il n’y a ainsi, dans ces conditions, plus aucun problème, et l’activité initiale prend 30 secondes !

Pour autant, il me semble que des concepts très importants de géométrie dynamique sont alors totalement occultés. Et pour des jeunes élèves découvrant la géométrie dynamique, je ne suis pas certain que ce soit une bonne chose. Plus précisément, dans ce cas, ce genre d’outil ne me semble pas adapté.

Dans Tracenpoche au contraire on trouve une figure et son script correspondant.
Il contient des commandes dont la syntaxe est presque toujours la suivante :

nom_objet = nature_objet (paramètres de l’objet) options d’affichage de cet objet

Elle montre clairement comment l’objet est défini.

En construisant un objet à l’aide du script, on doit donc répondre successivement aux questions suivantes :

- qu’est-ce que je veux construire ?
- quel est son nom ?
- quelles sont ses propriétés ?
- et enfin, et cela seul est facultatif, quelle est l’apparence de mon objet ?

Cette syntaxe a le mérite d’imposer une rigueur à l’élève, en ce sens que le protocole de définition, c’est-à-dire de construction, est rigoureusement décrit.
L’implicite n’est pas permis, c’est là un choix strictement volontaire, et en fait un choix pédagogique, ce que je tente de montrer ici (mais aussi relevant d’une conception de la pensée mathématique, qui fera peut-être l’objet d’un autre article).

La maîtrise du script, de par son aridité formelle, n’étant pas immédiatement accessible à l’élève, il peut fort heureusement également construire des objets à l’aide des boutons, et à chaque construction d’un objet, l’énoncé correspondant apparaît dans le script. Mais comme il est parfois plus pratique de modifier le script qu’user des boutons, pour agir sur l’objet afin par exemple de modifier son nom, ou sa couleur, l’élève se familiarise peu à peu avec le script.
Graduellement le script devient un moyen de plus en plus utilisé par l’élève pour construire et/ou modifier la figure.
J’ai ainsi personnellement constaté que, peu à peu, certains élèves travaillaient et réfléchissaient sur leurs figures en utilisant régulièrement le script. Par exemple le copier-coller est à lui seul très intéressant pédagogiquement.

J’ai également remarqué, et je l’ai dit plus haut, que lorsqu’un élève aide son camarade à construire sa figure, il regarde (étudie) toujours à la fois le script et la figure.

Mais je voudrais revenir sur ce qui me semble essentiel, à savoir l’apprentissage d’une pensée mathématique, en insistant sur deux points, l’abstraction et la mise en œuvre du raisonnement.

- l’abstraction :

Par exemple, si chaque élève a sous les yeux une figure différente de son voisin, chacun d’eux peut aisément se convaincre qu’il s’agit bien de la même figure puisqu’il lui correspond le même script. Ce point, qui peut nous sembler évident, n’en est pas moins important dans l’apprentissage de la géométrie : il faut distinguer une configuration particulière de la définition logique de la figure.

En ce sens l’élève intériorise ou intuitionne la différence entre l’essence de la figure, son concept, et sa représentation particulière accidentelle. En allant au script il cesse, peu à peu, de se focaliser sur la figure, pour élaborer une pensée abstraite saisissant un énoncé, en s’aidant du comportement dynamique de la figure concrète. Celle-ci n’est alors rien d’autre qu’un support pédagogique pour élaborer une pensée mathématique.
On peut penser que bien des élèves n’ont pas besoin de ce support et cet apprentissage-là, ceux dont les capacités d’abstraction sont déjà correctement développées, grâce à un apprentissage sérieux des mathématiques les années précédentes, ou grâce peut-être à un don naturel. Pour eux la géométrie papier, traditionnelle, a fait depuis longtemps ses preuves. Mais alors comment faire avec les autres ? Et est-on certain que les « bons » élèves ont vraiment compris ce qu’ils font si bien ?

- le raisonnement :

Lorsqu’on réfléchit sur une figure, pour résoudre un problème de géométrie, on forme des phrases dans notre esprit, on récapitule les propriétés de la figure et on échafaude des raisonnements, je veux dire que l’on parle tout seul, mais tout bas, en silence. « La pensée est un dialogue intérieur et silencieux de l’âme avec elle-même », disait Platon, dont on connaît la formation mathématique (et la mise en garde placée à l’entrée de son Académie !).
Mais le langage utilisé, langage ordinaire, recèle bien des difficultés, et peut même parfois constituer un obstacle pour raisonner sur un problème. Toute une tradition logique et épistémologique traite de cette question, en particulier depuis le XIXième siècle. Il ne s’agit pas de l’exposer ici. Mais il me semble que le script constitue, dans cette optique, un bon apprentissage à l’utilisation d’un langage plus rigoureux, plus fiable, et finalement plus pratique pour le raisonnement de l’élève, qui s’en aperçoit lui-même, bien qu’à première vue il soit aride et formel. A chaque construction d’objet, on lit sa définition correspondante. Toute l’essence de la figure se trouve dans le script, et la figure n’est plus alors qu’une relation entre des propositions, représentée dans un cas particulier « visible ».
C’est en ce sens que le script, en apprenant à construire correctement des figures dynamiques, apprend en même temps à raisonner sur elles, et plus largement à raisonner mathématiquement, c’est-à-dire formellement. C’est là un résultat paradoxal mais essentiel à mes yeux de l’utilisation de la géométrique dynamique, si concrète à première vue.


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