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Géotortue : expérimentation en 5ème et pistes à explorer
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Mis en ligne le 11 décembre 2015, par Julien Pavageau

La Tortue Logo a déjà été évoquée dans plusieurs articles de MathémaTICE. Ils sont tous répertoriés dans cette brève datant de mai 2015 qui contient également de nombreux liens dont plusieurs sont repris et illustrés dans cet article.

Cet article peut être librement diffusé à l’identique suivant la license CC-by-nd : http://creativecommons.org/licenses/by-nd/3.0/fr/legalcode

Introduction

Le nouveau programme de cycle 4, même s’il semble faire la part belle à Scratch, vient confirmer l’intérêt d’utiliser un logiciel de type Géotortue car on peut y lire :

Réalisation de figure à l’aide d’un logiciel de programmation pour consolider les notions de longueur et d’angle.

Voici pour commencer, à titre d’information, une petite sélection de ce type de logiciel (cliquez pour agrandir) [1] :
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De gauche à droite :
- Blockly : développé par Google. La programmation de la tortue se fait à l’aide de la souris en déplaçant des blocs. Il est utilisé par Une Heure de Code, en particulier dans "Code avec Anna et Elsa" (2ème copie d’écran) qui peut être une bonne entrée en matière. MicroAlg, qui propose depuis peu une tortue, s’appuie également dessus sans pour autant enfermer l’élève dans l’utilisation des blocs.
- Scratch : développé par le MIT. On doit pouvoir, en prenant soin de bien choisir son "lutin", l’utiliser pour réaliser la plupart des activités présentées dans la suite de l’article.
- Tortue-logo.fr : utilisable en ligne avec un simple navigateur, il peut être une bonne alternative pour ceux qui ne souhaitent pas ou ne veulent pas utiliser Java qui est indispensable pour Géotortue.

Géotortue, quant à lui, a été développé au sein de l’IREM Paris-Nord qui propose de nombreuses activités. Pour le télécharger, il suffit de se rendre sur le site officiel maintenu par son développeur principal Salvatore Tummarello. Pour ma part, j’utilise le fichier jar qui ne nécessite aucune installation (à condition qu’une version suffisamment récente de l’environnement java soit présente sur le poste) et que j’ai simplement placé au collège sur le serveur pédagogique dans un espace accessible à tous les utilisateurs.
Si je me suis tourné vers ce logiciel c’est d’une part en raison du choix du langage LOGO, dans lequel je suis tombé tout petit [2] et qui a été spécialement conçu dans un but éducatif. Pour en savoir plus, je ne saurais trop vous conseiller la lecture de cet article complet sur le sujet de l’équipe de l’IREM Paris-Nord. D’autre part, l’ergonomie et les fonctionnalités de Géotortue, que je m’efforcerai de souligner dans la suite de l’article, viennent compléter et enrichir le choix de ce langage de programmation. A titre d’exemple, on pourra constater dans la copie d’écran ci-dessous (voir les zones n°5 et n°7) que la syntaxe du LOGO est très parlante et que Géotortue lui apporte une coloration qui aide à différencier les commandes, les procédures, les boucles, les variables...

Dans le compte rendu ci-dessous, vous pourrez constater que la progression proposée ici par l’IREM de Paris-Nord, que j’ai expérimentée dans mes classes de 5ème en 2014-2015 [3], permet de travailler de nombreuses notions autour des angles. D’autres pistes à explorer seront évoquées dans une deuxième partie, dont certaines permettent de travailler plus spécifiquement des notions de longueur (la trigonométrie en particulier).

Expérimentation en 5ème pendant l’année scolaire 2014-2015

1ère séance : La course de bateau

Toutes les fiches élèves présentes dans cette partie de l’article proviennent de la progression proposée ici par l’IREM de Paris-Nord que j’ai complétée par d’autres activités que l’on trouve . Sous chacun de ces PDF, vous trouverez un lien vers l’article complet rédigé par l’équipe de l’IREM que ne saurait remplacer mon modeste retour d’expérience.

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Fiche n°1 "Prise en main"
http://www-irem.univ-paris13.fr/site_spip/spip.php?article4

Depuis la présence du mode "Bac à sable" qui s’ouvre par défaut (bouton n°1 sinon), il est complètement envisageable, dans un premier temps, de laisser les élèves prendre en main seuls le logiciel. C’est l’une des raisons d’être de cette première fiche qui avait aussi pour rôle de me laisser un peu de temps pour gérer les petits problèmes techniques que l’on rencontre souvent lors des premières séances au collège (difficultés à se connecter au serveur pédagogique, à naviguer dans son arborescence, ...).
Avant de passer à la fiche n°2, qui est le véritable objectif de cette première séance, il me semble important de montrer comment utiliser de manière pertinente la fenêtre de commande (zone n°7 en mode "Pupitre" auquel on accède à l’aide du bouton n°2). Cette dernière permet en effet de conserver un historique des commandes saisies que l’on peut, après d’éventuelles modifications ou suppressions, ré-exécuter comme bon nous semble (il est aussi possible d’insérer des lignes avec la combinaison maj+entrer ou de faire des couper/copier/coller). On peut donc par exemple s’en servir pour simuler le fonctionnement d’une boucle de répétition ou dans notre cas pour recommencer la figure et ainsi l’améliorer petit à petit sans avoir à tout ressaisir (la présence d’un vg dès la première ligne, pour vider le graphique, est fortement souhaitable).

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Fiche n°2 "Course de bateau"
http://www-irem.univ-paris13.fr/site_spip/spip.php?article43

Dans cette activité, il faut commencer par charger ce fichier contenant les procédures qui vont dessiner les différents trajets (il s’agit ici d’une légère correction du fichier d’origine de l’IREM qui utilise l’ancienne commande "couleur" qui n’est plus reconnue dans la dernière version car elle a été remplacée par la commande "palette RVB").

Cette deuxième fiche est l’occasion de faire un travail très complet sur les angles car les élèves sont amenés à estimer des mesures (activité citée dans le nouveau programme de cycle 3), à utiliser abondamment la notion d’angles supplémentaires (l’angle dont on doit faire tourner la tortue étant le supplémentaire de celui formé par les segments qu’elle trace) puis à faire le lien de manière intuitive avec le parallélisme. Le fait d’avoir à visualiser ces déplacements me semble (re)donner beaucoup de sens à la notion d’angle. C’est un peu moins bon pour les cervicales des élèves qui sont nombreux à faire des contorsions devant leur écran ou pour la crédibilité du professeur qui ne résiste pas au désir de mimer le déplacement de l’animal pour mieux se faire comprendre...

Dans cette activité, c’est la démarche d’essais-erreurs qui est clairement privilégiée [4]. Elle est de plus favorisée par les possibilités de ré-exécution offertes par la fenêtre de commande et trouve tout son sens dans cette situation où le retour graphique de la tortue permet à l’élève de s’autoévaluer. Dans toutes ces activités, il est important de noter que les élèves peuvent travailler avec une grande autonomie et que le professeur peut ainsi consacrer davantage de temps aux élèves qui en ont besoin.
Ainsi, pendant cette première séance, j’ai pu être suffisamment disponible pour encourager les élèves à établir des records de trajets les plus courts. Cela permet d’attirer l’attention sur le calcul de la longueur du trajet et ainsi, d’une part de sensibiliser les élèves sur le fait que deux unités différentes sont utilisées et d’autre part, de les amener vers le trajet souhaité (dans la copie d’élève ci-dessus, on peut supposer, à la lecture des deux premiers essais, que sans cela les trajets ne seraient composés que d’angles droits).
Concernant la trace écrite des élèves, j’ai souvent noté en circulant pendant la séance des incohérences avec le trajet réellement effectué. Il devrait être possible de limiter ces erreurs de copie en invitant les élèves à utiliser le bouton "Ampoule" (voir n°6) dont je n’ai découvert le rôle que récemment. Ce dernier permettant de recopier automatiquement le contenu de la "Fenêtre de commande" dans une nouvelle procédure (placée alors dans la zone n°5), il est ainsi possible d’établir rapidement un historique des différents trajets et ainsi de vérifier facilement que la suite d’instructions aboutit réellement à la figure prévue. Cela prépare aussi le terrain pour la deuxième séance.

remonter pour passer aux deux séances suivantes

2ème et 3ème séance : Le parallélogramme

En plus du travail sur les angles du parallélogramme, les deux activités suivantes permettent d’anticiper le nouveau programme de cycle 4 où on trouve dans les repères de progressivité :

En 5ème, les élèves ... développent de nouvelles compétences ... en utilisant la notion de variable informatique, en découvrant les boucles...

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Fiche n°3 "Le parallélogramme (1)"
http://www-irem.univ-paris13.fr/site_spip/spip.php?article49

A noter qu’il faut remplacer dans la dernière colonne "Pour parallelogramme :L1 :L2 :a" par "pour parallelogramme L1 L2 a" (faute de m’en être rendu compte avant d’effectuer les tirages, ce fut l’occasion d’évoquer avec les élèves l’importance en informatique de respecter rigoureusement la syntaxe...). De même, pour la deuxième figure, il faut s’attendre à devoir préciser, pendant la séance ou dès le début, que la virgule décimale est à remplacer par un point.

Il s’agit ici d’amener progressivement l’élève à établir une procédure qui permette d’automatiser la construction d’un parallélogramme. Lors de cette première séance, j’ai dû intervenir une première fois en plénière pour expliciter la notion de procédure qui leur était inconnue. Pour ce faire, j’ai attendu que les élèves aient pratiquement tous réalisé les deux premières figures avant de leur demander pourquoi ils n’avaient pas simplement saisi "parallelogramme 100 50 40". Ayant pris soin de préparer en cachette la procédure sur mon poste, je leur ai montré au vidéoprojecteur que cela fonctionnait parfaitement. L’effet est garanti et, même si une certaine désillusion se lit sur les visages quand ils constatent que cela ne fonctionne pas sur leur poste, ils finissent par comprendre quel est véritablement le travail qui leur est demandé.

Pour autant, cela ne suffit pas pour que tous les élèves y parviennent. Les quelques uns qui y arrivent ont souvent eu besoin d’un petit coup de pouce de ma part. Je termine donc cette 2ème séance avec une dernière intervention en plénière, où je sollicite les élèves pour que nous établissions ensemble la procédure. En complément, vous trouverez ici le fichier de travail d’un élève où on constate que l’historique de la "Fenêtre de commande" permet de contrôler le travail effectué à condition que son contenu n’ait pas été effacé au fur et à mesure.

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Fiche n°4 "Le parallélogramme (2)"
http://www-irem.univ-paris13.fr/site_spip/spip.php?article49

Le début de cette troisième séance est l’occasion de laisser les élèves revenir seuls sur la procédure parallélogramme, en particulier pour ceux qui n’avaient pas eu le temps de la saisir, puis de l’utiliser sur deux premiers cas simples. Les figures suivantes sont l’occasion d’effectuer des calculs d’angles et de travailler la lecture des codages. Là encore le retour graphique permet à l’élève, soit de valider seul sa démarche, soit d’obtenir des indices sur ses erreurs dans le cas contraire.

Je n’avais pas encore évoqué la motivation des élèves lors de ces activités mais les deux copies d’écran, que j’ai réunies ci-dessous, sont assez révélatrices de l’état d’esprit d’une grande majorité d’entre eux (il reste bien un ou deux irréductibles qui rechignent un peu à la tâche). Ils sont restés très actifs, à l’écoute des compléments d’informations que je pouvais distiller et, dans les deux cas présentés, on constate que les élèves cherchent assez vite à aller plus loin et que certains trouvent même ça "cool" (voir le nom donné par l’élève à son fichier).

remonter pour passer à l’onglet suivant

4ème séance : Les parallélogrammes particuliers

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Fiche n°5 "Quadrilatères (3)"
http://www-irem.univ-paris13.fr/site_spip/spip.php?article50

Il s’agit à présent d’exploiter la procédure parallélogramme pour construire des parallélogrammes particuliers. Il ne faut pas négliger le fait de demander deux exemples par quadrilatères car j’ai eu l’occasion de constater que certains élèves, qui n’avaient pas encore bien compris le rôle de chacune des variables, rencontraient quelques difficultés à proposer un autre carré que le "parallelogramme 90 90 90" (quitte à me proposer, sans l’avoir testé, le "parallelogramme 100 100 100" !).

Sans prétendre que cette approche est miraculeuse, le fait de pouvoir constater que cette tortue, qu’ils ont eux-mêmes programmé pour qu’elle ne sache dessiner que des parallélogrammes, puisse se mettre à réaliser un carré (ou un rectangle...) ne peut que contribuer à ancrer dans l’esprit de nos élèves que les carrés (ou ...) sont bel et bien des parallélogrammes particuliers. Cependant, quand il s’agit de formuler cela à l’écrit, un peu plus bas dans la même fiche, on peut constater que le but n’est pas encore complètement atteint pour certains élèves...

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Fiche n°6 "Quadrilatères (4)"
http://www-irem.univ-paris13.fr/site_spip/spip.php?article50

Cette dernière fiche n’a, par manque de temps [5], été abordée qu’en partie par les élèves. L’essentiel est, de mon point de vue, qu’ils aient eu le temps de se confronter à la figure 1, où l’exploitation des informations écrites est indispensable. Concernant la figure 2, qui permet de travailler les règles de la perspective cavalière, il semble souhaitable d’ajouter sur la fiche, que les élèves sont ici libres de choisir les angles et les longueurs car les quelques uns qui l’on abordée m’ont tous interrogé sur ce sujet.

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D’autres pistes à explorer au collège :

Hexaflexagone en 6ième

Cette activité, comme la plupart de celles présentes dans cette dernière partie, est encore en cours d’élaboration à l’heure où j’écris ces quelques lignes, mais vous pourrez suivre ses évolutions dans cet article du site de mon collège qui lui est entièrement consacré. On y trouve d’ores et déjà cette petite vidéo [6] destinée à présenter l’objet que je souhaite leur faire réaliser et qui explique comment effectuer le pliage.

Cette activité devrait avoir toute sa place en 6ème (ou plus tôt même) avec les nouveaux programmes du cycle 3 puisqu’on peut y lire :

Réaliser, compléter et rédiger un programme de construction.

Réaliser une figure simple ou une figure composée de figures simples à l’aide d’un logiciel.

Une initiation à la programmation est faite à l’occasion notamment d’activités de repérage ou de déplacement (programmer les déplacements d’un robot ou ceux d’un personnage sur un écran [7]), ou d’activités géométriques (construction de figures simples ou de figures composées de figures simples).

Le scénario de l’activité comporte pour l’instant trois étapes :

  1. demander aux élèves de rédiger un programme de construction pour l’hexagone régulier avec comme support une figure où les 6 triangles équilatéraux sont codés
  2. fournir le programme de construction de la figure finale composée de plusieurs hexagones réguliers et la faire réaliser aux élèves sur une demi feuille blanche A4
  3. faire réaliser cette construction sur ordinateur en justifiant le passage à Géotortue par l’apport d’une plus grande précision et par la possibilité offerte par le mode "Coloriage" (bouton n°3).
    En prolongement, sur le modèle de notre petit concours "Si tu gagnes au TRIO alors tu passes PRIO... au self !", j’envisage de lancer un "Si tu codes avec BRIO alors tu passes PRIO..." où le challenge serait de réaliser la procédure composée du moins possible d’instructions. A vos tortues...

Vous trouverez, ci-dessous, une première version de la fiche que j’ai utilisée pour réaliser les étapes 1 et 2, ainsi qu’une production d’élève [8] :

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Compléter une procédure

C’est en cherchant à réaliser des figures pour illustrer des articles pour le site de mon collège que ces deux idées d’exercice ont germé :
- un premier sur les fractales qui était destiné à montrer aux élèves ce que la notion de procédure permet de réaliser.
- un second consacré à la superbe vidéo de Micmaths intitulée "La face cachée des tables de multiplication"
Les activités complètes restent encore à construire mais on peut imaginer les donner en classe sous une forme papier/crayon et ne donner accès à l’ordinateur que dans un deuxième temps pour tester les propositions.

De Von Koch à Cesaro


La détermination de l’angle est abordable dès le niveau 5ème et celle du nombre par lequel il faut diviser la longueur (indispensable seulement si on veut contrôler la taille finale de la figure) n’est envisageable qu’à partir de la 4ème.

La face cachée des tables de multiplication


La détermination des longueurs est un bon exercice de trigonométrie qui devrait pouvoir être encore donné avec le nouveau programme de cycle 4. Pour ce qui est des angles, c’est un peu plus délicat car les notions d’angles inscrits et d’angles au centre semblent disparaitre des programmes du collège. On pourra cependant fournir leurs mesures et justifier leur présence par ce passage du nouveau programme où on peut lire : "La pratique des mathématiques, en particulier les activités de recherche, amène les élèves à travailler sur des notions ou des objets mathématiques dont la maîtrise n’est pas attendue en fin de troisième".

La partie de gauche de la vidéo ci-dessus aide à comprendre le fonctionnement de la procédure et celle droite donne une idée des différentes images que l’on peut obtenir.

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Corriger ou modifier une procédure

Le document Ressources pour la seconde sur l’algorithmique soulignait, en juin 2009 dans ses premières pages, l’intérêt d’analyser, de modifier ou de corriger un algorithme préexistant. Plus récemment, la lettre TIC’Édu Maths N°23 reprenait cette idée et fournissait même un exemple provenant de l’Académie de Strasbourg :

On pouvait même y lire "on imagine que le « crayon » est un petit robot capable de se déplacer, de s’orienter et de tracer un trait sur le sol". "Malheureusement" ce n’était pas de Géotortue qu’il s’agissait alors que l’on trouve dans cette académie, sur l’excellent site m@th-et-tiques d’Yvan Monka, l’activité ci-dessous qui me semble parfaitement utilisable en collège à compter de l’année prochaine :

On appréciera le choix judicieux du symbole " := " qui évite d’avoir à écrire un affreux " x=x+10 " comme c’est malheureusement le cas dans de nombreux langages plus récents (Javascript et Python en particulier). On regrettera par contre le manque d’indentation qui facilite pourtant grandement la lecture des scripts et qui est même indispensable dans d’autres langages (Python au moins). Il ne sera donc pas superflu d’encourager les élèves à le faire "à la main" et pourquoi pas de les inciter également à commenter leurs scripts.

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Et pourquoi pas un EPI ...

Stéphan Petitjean, qui est responsable du groupe de l’IREM Paris-Nord qui travaille sur Géotortue, montre qu’il est possible de reproduire des œuvres d’art. Les constructions proposées sont ambitieuses mais le résultat est particulièrement réussi comme vous pourrez le constater ci-dessous avec cette reproduction d’une œuvre de Vasarely :

Vous trouverez ici toutes les fiches concernant ce projet "Art et Mathématiques" et un compte rendu d’une expérience menée dans le cadre de l’histoire des arts qui devrait pouvoir s’inscrire, à partir de l’an prochain, dans un EPI culture et création artistique ou dans les parcours d’éducation artistique et culturelle.

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... ou des courses de tortues ?

Ce dernier onglet présente des pistes d’activités peut-être moins réalisables avec les élèves (voire pas du tout...) mais il me semblait intéressant de montrer qu’il est possible d’utiliser plusieurs tortues que l’on peut faire se déplacer simultanément ou l’une après l’autre en utilisant l’instruction "à" [9].

Le craps

J’utilise depuis quelques années avec satisfaction cette activité proposée par l’IREM de Lille où les élèves commencent par effectuer de vrais lancers de dés avant de passer à une simulation sur un tableur. Il est peut-être possible de compléter cette activité en utilisant plusieurs tortues comme ci-dessous :

Le placement initial des tortues étant un peu complexe (ou un peu laborieux si on procède une par une) on peut envisager de fournir soit la procédure "jouer" seule et de demander aux élèves d’anticiper le résultat, soit de donner également une première "figure" et de demander aux élèves d’interpréter l’ensemble.
Si l’utilisation d’autant de tortues s’avère trop complexe pour les élèves, il me semble par contre parfaitement envisageable de leur demander d’effectuer une course entre seulement deux tortues dont l’une n’avancerait que lorsque la somme est 2 et l’autre uniquement quand elle est égale à 3. On peut bien évidemment changer les valeurs mais l’intérêt ici est double car cela permet de travailler la notion d’instruction conditionnelle et également de montrer aux élèves que la probabilité de la somme 2 est supérieur à celle de la somme 3 (il est parfois difficile de les convaincre même en utilisant des dés de couleurs différentes).

Course poursuite de tortues

Quelques réalisations, plus difficilement utilisables au collège, pour montrer qu’il est également possible de faire pointer les tortues les unes vers les autres et ainsi de les diriger sans avoir à effectuer des calculs parfois très complexes d’angles [10] :

En modifiant très légèrement l’algorithme précédent, on peut ainsi construire la figure proposée dans l’exercice que l’on trouvait en page 66 de la version 2009 du cahier sésamath 6ème et pourquoi pas, aller jusqu’à réaliser l’hexagone ci-dessous :

Un jeu de PONG

Et pour finir, une petite vidéo réalisée sans trucage mais avec une certaine dose de second degré...

Il faut avouer qu’au delà de la partie programmation, qui est difficilement réalisable par des collégiens, la jouabilité est ici plus que limitée ;-)

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notes

[1Parmi les autres alternatives déjà citées dans MathémaTICE, on trouve en particulier la commande tortue de Géogébra, le module turtle de Python, XLogo, la tortue de Xcas et il y a même l’extension LibreLogo pour LibreOffice writer

[2En 1984, mon enseignante de CM1, Mlle Vinatier, nous faisait découvrir la joie de la programmation de la tortue logo sous TO7. Nostalgie...

[3Nous disposions cette année là de 4h en classe 5ème. Nous avions fait le choix, avec mes collègues, de consacrer 3 heures en classe entière et de se laisser la possibilité d’utiliser la dernière heure pour effectuer des activités en effectif réduit (tâches complexes, géométrie dans l’espace sur des activités de l’IREM de Paris-Nord, géométrie dynamique, tableur, ...). C’est dans ce cadre que j’ai expérimenté la progression avec mes 3 classes de 5ème.

[4La démarche de résolution par essais-erreurs est nettement mise en avant dans les nouveaux programmes des cycles 3 et 4 (voir en particulier les pages 96, 223, 226 et 367).

[5L’algorithmique n’étant pas encore cette année-là au programme, j’ai forcé un peu le rythme pour que ces activités tiennent sur 4 séances. Cette dernière séance, ainsi que la première, auraient probablement mérité que j’y consacre un peu plus de temps et qu’elles soient suivies d’un retour à des activités papier/crayon comme proposé dans la progression de l’IREM.

[6C’était pour moi l’occasion de tester le logiciel Explain Everything avant d’envisager de le faire utiliser sur tablette par mes élèves. Le bilan est très mitigé car, si sa prise en main est effectivement extrêmement rapide, je regrette que la version actuelle sous androïd soit très instable (nombreux plantages et exportation vidéo nettement perfectible).

[7N’y aurait-il pas une petite place pour notre tortue entre les personnages de Scratch et le robot de RobotProg ? A noter concernant ce dernier que, s’il semble plébiscité par les enseignants de technologie, il doit l’être beaucoup moins par les rédacteurs du document Ressources pour la seconde sur l’algorithmique où on peut lire p 7 dans la note 8 : "Nous n’utiliserons pas les organigrammes qui eurent leurs heures de gloire dans l’enseignement de l’informatique...". Pourvu qu’on ne lise pas le même genre d’argument concernant cette vénérable tortue dans ceux de collège...

[8Ce message est destiné à être envoyé à des élèves d’une autre classe (éventuellement de CM dans le cadre d’une liaison école-collège du genre de celle-ci) et pourra avoir pour suite une activité papier/crayon dont le scénario plus élaboré est expliqué dans cette fiche et dans celle-ci.

[9Dans le craps, les tortues se déplacent les unes après les autres pour rendre la procédure plus simple à comprendre mais on pourrait remplacer les lignes 20, 21 et 22 par un déplacement simultané avec "à dé_1 dé_2 dé_1+dé_2+6 ; av l".

[10Pour en savoir plus sur les courbes de poursuites mutuelles, je vous invite à visiter cette page de l’excellent site MATHCURVE.COM

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