Les mathématiciens grecs antiques sont allés très loin dans la géométrie que l’on appelle maintenant la géométrie euclidienne. Mais ils n’ont pas réellement finalisé de trigonométrie.
S’ils l’avaient fait, ils auraient probablement inventé la trigonométrie rationnelle [1].

Avant toute chose, il convient de préciser ce que l’on entend par trigonométrie. Éthymologiquement, trigonométrie vient du grec trigonos = triangle, et de metron = mesure. La géométrie est la mesure de la Terre, la trigonométrie est la mesure du triangle.
On considère ici que la trigonométrie est l’étude des relations entre les côtés et les angles d’un triangle.

Cette étude s’exprime via une mesure des côtés et via une mesure des angles.

La notion de longueur est fondamentale lorsqu’il s’agit de mécanique avec des problèmes de trains qui se croisent et les lois horaires sous-jacentes. Wildberger propose de lui substituer la notion d’aire qui, elle, est fondamentale en agriculture et dans le foncier. Classiquement on définit comme une notion de base la longueur et on en déduit des généralisations en dimensions supérieures : aire en dimension 2 (comme produit de longueurs), volume en dimension 3 etc. En trigonométrie rationnelle on inverse l’ordre d’introduction des notions en prenant pour notion fondamentale la quadrance (une aire comme le sont le produit scalaire et le déterminant en algèbre linéaire) et en déduisant de celle-ci la longueur qui est la racine carrée de la quadrance.
Dans le même ordre d’idée, plutôt que de considérer comme fondamentale la mesure classique d’angle pour mesurer l’écart entre deux directions, on lui préfère une autre mesure égale au carré du sinus de la mesure classique, cette mesure étant appelée « ouverture ». [2]
La formulation de la propriété de Pythagore en termes de quadrance permet d’éviter le passage à la racine carrée. L’utilisation de l’ouverture permet d’éviter le passage par les formules trigonométriques.
On peut résumer la trigonométrie rationnelle par cette question « jusqu’où peut-on aller, en géométrie, sans utiliser de racine carrée (et de nombres irrationnels) ? ».

Le choix des fonctions trigonométriques est le fruit d’une nécessité liée à la navigation : il fallait savoir faire correspondre les arcs et les cordes dans un cercle et pour cela on a établi dès le début du moyen-âge des tables de sinus. Faire de la trigonométrie sans fonction trigonométrique, cela peut paraître un peu fou, mais Wildberger fait remarquer que ces deux choix transforment n’importe quel problème de géométrie [3] (même non euclidienne ou sur un corps fini) en un exercice sur les fractions rationnelles. Et en cela c’est intéressant non seulement d’un point de vue théorique (car on travaille en valeur exacte) mais aussi d’un point de vue pratique (car on évite les calculs informatiques avec les flottants, qui sont une source potentielle d’erreurs). La trigonométrie rationnelle peut objectivement être utile dans certains contextes. Mais doit-elle supplanter la trigonométrie classique ?

Les deux scripts suivants on le même effet :

C’est ce qui permet d’estimer que les quadrances sont moins naturelles que les longueurs, au sens où personne ne sait estimer correctement un rapport d’aires au seul regard alors que les longueurs, non seulement s’additionnent quand on va tout droit, mais sont plus faciles à évaluer avec les yeux.

De même les deux scripts suivants ont le même effet :

Cela permet d’estimer que finalement les ouvertures sont également moins naturelles que les angles, parce qu’il n’y a pas de formule simple, en trigonométrie rationnelle, pour calculer l’ouverture correspondant au cumul de deux ouvertures.

Du point de vue des mesures, l’idée la plus naturelle consiste clairement à prendre une mesure des côtés additive le long d’une droite, à savoir la longueur, et à prendre une mesure des angles additive le long d’un cercle, à savoir la mesure d’angle habituelle. On bénéficie alors de la relation de Chasles pour les longueurs algébriques et pour les angles. Et on aboutit alors (avec un point de vue « moderne » ou contemporain) à la trigonométrie classique. Mais celle-ci contient des éléments de blocage pour les mathématiciens grecs, en particulier l’usage de nombres irrationnels. Le cas élémentaire du triangle rectangle isocèle pose déjà problème, les côtés adjacents à l’angle droit ayant pour longueur √(0,5), qui n’est pas un nombre rationnel (autrement dit ce n’est pas un nombre pour les grecs, qui sont convaincus que tous les nombres sont des fractions). Pour des angles moins élémentaires, le problème se complique encore... Cela n’engage pas à développer une théorie.
Faire tous les calculs avec des nombres rationnels permet de tirer parti d’algorithmes performants. En particulier, elle permet des calculs exacts qui évitent d’avoir à se soucier du fait qu’en Python le triple de 0,1 n’est pas égal à 0,3 : il suffit d’utiliser le module fractions de Python pour faire la plupart des calculs de façon exacte.

La trigonométrie rationnelle peut donc être intéressante à tester en cycle 4 (voire 3) comme source d’énoncés motivant le calcul de fractions (au même titre que la programmation en Fractran ou le calcul de probabilités mais allant plus rapidement à la division de fractions).

Si l’on veut ne pas sortir du cadre des nombres rationnels dans le triangle rectangle, compte tenu du théorème de Pythagore, on peut prendre comme mesure du côté le carré de sa longueur.
Pour mesurer les angles, on peut utiliser le carré du sinus de la mesure classique de l’angle, autrement dit le carré du quotient $\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ dans tout triangle rectangle possédant cet angle.

On appelle quadrance et ouverture (spread en anglais) ces nouvelles mesures.

• quadrance([AB]) = AB²

• ouverture($\widehat{ABC}) = sin² (\widehat{ABC})$)

L’ouverture peut varier de 0 (angle fermé) à 1 (angle droit).

On peut alors vérifier que leur utilisation permet de travailler uniquement avec des nombres rationnels (du moins dans le triangle rectangle. Comme on le verra plus loin, il y a une objection dans le triangle général). C’est la base de la trigonométrie rationnelle.

En trigonométrie rationnelle, la propriété de Pythagore peut s’énoncer ainsi :

Propriété de Pythagore

Si le triangle ABC est rectangle en B (c’est-à-dire si l’ouverture en B vaut 1), alors :

b = a + c

$\widehat{A} +\widehat{C} = 1$

Un des intérêts de la trigonométrie rationnelle est qu’elle permet de travailler avec des nombres rationnels et sans utiliser de formules trigonométriques compliquées (sin, cos, tan et formules inverses). Par exemple le célèbre triangle 3-4-5 devient, en trigonométrie rationnelle, le triangle 9-16-25 et si ses mesures d’angle classiques ne sont pas des fractions, il en est tout autrement pour ses ouvertures qui valent respectivement 0,36 ; 0,64 et 1.

Les élections présidentielles de 2022 s’annoncent « débridées ». On n’est pas à l’abri d’une nomination de Nickos Aliagas au poste de ministre de l’Education Nationale. Et de voir la trigonométrie rationnelle renverser la trigonométrie classique au nom de la grécophilie.

Que deviendraient alors les exercices de trigonométrie donnés aux élèves de cycle 4 ? C’est ce que l’on va anticiper ici.

Commençons par les instruments de géométrie contenus dans le cartable des élèves. Deux instruments seraient différents :

• la règle graduée (à quadrances) dont voici deux versions (avec des unités de quadrance différentes) :

ou

• le rapporteur (à écarts) dont voici deux versions :

ou

Pour cumuler les quadrances et les ouvertures, qui ne sont pas additives (on n’a pas la relation de Chasles), on peut recourir à des nomogrammes pour basculer en trigonométrie classique avant de revenir en trigonométrie rationnelle.

Voici ces outils, au format pdf, pour impression sur A3 ou gravure par laser :

Comme on l’a vu dans les exercices précédents, dans un triangle rectangle l’utilisation de quadrances rationnelles et d’ouvertures rationnelles assure de travailler uniquement avec des nombres rationnels (on n’obtient ni quadrances ni ouvertures irrationnelles).

Est-ce encore vrai dans un triangle quelconque ? [5]
Presque, mais pas tout à fait (malheureusement a-t-on envie de dire...).

La loi des sinus est :

$\dfrac{sin(\widehat{A})}{BC} = \dfrac{sin(\widehat{B})}{AC} = \dfrac{sin(\widehat{C})}{AB}$

 Traduite en trigonométrie rationnelle, elle devient la loi des ouvertures :

$\dfrac{\widehat{A}}{a} = \dfrac{\widehat{B}}{b} = \dfrac{\widehat{C}}{c}\quad$ ou $\quad \dfrac{A}{a} = \dfrac{B}{b} = \dfrac{C}{c}$

NB : par abus de langage, on assimile un angle à sa mesure. En trigonométrie rationnelle on assimile donc un angle à son écart.
Les angles qui apparaissent dans les triples égalités ci-dessus ont une signification différente selon que l’on est en trigonométrie classique trois lignes plus haut) ou en trigonométrie rationnelle (une ligne plus haut).

Cette loi ne fait pas sortir du rationnel. Mais c’est plus délicat pour le théorème d’Al-Kashi.

Théorème d’Al Kashi

Pour tout triangle ABC, on a :

$AB^2 = BC^2 +AB^2 -2BC.AB.cos(\widehat{C})$

On en déduit :

$2BC.AC.cos(\widehat{C}) = BC^2 +AC^2 – AB^2$

Ce théorème peut être traduit en termes de quadrance et d’ouverture sous forme de la loi croisée :

$4.a.b.(1- \widehat{C})= (a+b-c)^2$

Soit ABC un triangle tel que a, b, c sont rationnels. Alors $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$ sont rationnels et on peut les calculer à l’aide d’une fonction rationnelle (de la forme P(x)/Q(x) où P et Q sont des polynômes) que l’on va préciser.

$\widehat{C} =\dfrac{4.a.b - (a+b- c)^2}{4.a.b}$

$\widehat{C}$ est une fonction rationnelle de a, b, c.

En revanche c n’est pas une fonction rationnelle de a, b, $\widehat{C}$. Si on applique la formule dans ce sens, il peut apparaître des racines carrées [6].

Cette nouvelle trigonométrie a-t-elle droit de cité dans les nouveaux programmes ?
On laisse le lecteur se faire sa propre opinion.