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La trigonométrie rationnelle

La géométrie au secours des fractions ?
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Mis en ligne le 17 mars 2020, par Alain Busser, Patrice Debrabant

En 2005, Norman Wildberger, professeur à Yale, présente une formulation alternative de la trigonométrie qui peut se déployer en utilisant exclusivement des nombres rationnels. Dans son élan, il propose de substituer cette nouvelle trigonométrie à la trigonométrie classique.
Doit-on lui donner raison ?

Pour commencer, voici une petite vidéo (33 min quand-même) pour se faire une idée de la chose (on peut se contenter d’en visualiser quelques minutes en première lecture) :

L’histoire des maths selon Wildberger

Les mathématiciens grecs antiques sont allés très loin dans la géométrie que l’on appelle maintenant la géométrie euclidienne. Mais ils n’ont pas réellement finalisé de trigonométrie.
S’ils l’avaient fait, ils auraient probablement inventé la trigonométrie rationnelle [1].

Avant toute chose, il convient de préciser ce que l’on entend par trigonométrie. Éthymologiquement, trigonométrie vient du grec trigonos = triangle, et de metron = mesure. La géométrie est la mesure de la Terre, la trigonométrie est la mesure du triangle.
On considère ici que la trigonométrie est l’étude des relations entre les côtés et les angles d’un triangle.

Cette étude s’exprime via une mesure des côtés et via une mesure des angles.

La notion de longueur est fondamentale lorsqu’il s’agit de mécanique avec des problèmes de trains qui se croisent et les lois horaires sous-jacentes. Wildberger propose de lui substituer la notion d’aire qui, elle, est fondamentale en agriculture et dans le foncier. Classiquement on définit comme une notion de base la longueur et on en déduit des généralisations en dimensions supérieures : aire en dimension 2 (comme produit de longueurs), volume en dimension 3 etc. En trigonométrie rationnelle on inverse l’ordre d’introduction des notions en prenant pour notion fondamentale la quadrance (une aire comme le sont le produit scalaire et le déterminant en algèbre linéaire) et en déduisant de celle-ci la longueur qui est la racine carrée de la quadrance.
Dans le même ordre d’idée, plutôt que de considérer comme fondamentale la mesure classique d’angle pour mesurer l’écart entre deux directions, on lui préfère une autre mesure égale au carré du sinus de la mesure classique, cette mesure étant appelée « ouverture ». [2]
La formulation de la propriété de Pythagore en termes de quadrance permet d’éviter le passage à la racine carrée. L’utilisation de l’ouverture permet d’éviter le passage par les formules trigonométriques.
On peut résumer la trigonométrie rationnelle par cette question « jusqu’où peut-on aller, en géométrie, sans utiliser de racine carrée (et de nombres irrationnels) ? ».

Le choix des fonctions trigonométriques est le fruit d’une nécessité liée à la navigation : il fallait savoir faire correspondre les arcs et les cordes dans un cercle et pour cela on a établi dès le début du moyen-âge des tables de sinus. Faire de la trigonométrie sans fonction trigonométrique, cela peut paraître un peu fou, mais Wildberger fait remarquer que ces deux choix transforment n’importe quel problème de géométrie [3] (même non euclidienne ou sur un corps fini) en un exercice sur les fractions rationnelles. Et en cela c’est intéressant non seulement d’un point de vue théorique (car on travaille en valeur exacte) mais aussi d’un point de vue pratique (car on évite les calculs informatiques avec les flottants, qui sont une source potentielle d’erreurs). La trigonométrie rationnelle peut objectivement être utile dans certains contextes. Mais doit-elle supplanter la trigonométrie classique ?

« Rationnel » ne signifie pas « naturel »

Les deux scripts suivants on le même effet :

C’est ce qui permet d’estimer que les quadrances sont moins naturelles que les longueurs, au sens où personne ne sait estimer correctement un rapport d’aires au seul regard alors que les longueurs, non seulement s’additionnent quand on va tout droit, mais sont plus faciles à évaluer avec les yeux.

De même les deux scripts suivants ont le même effet :

Cela permet d’estimer que finalement les ouvertures sont également moins naturelles que les angles, parce qu’il n’y a pas de formule simple, en trigonométrie rationnelle, pour calculer l’ouverture correspondant au cumul de deux ouvertures.

Du point de vue des mesures, l’idée la plus naturelle consiste clairement à prendre une mesure des côtés additive le long d’une droite, à savoir la longueur, et à prendre une mesure des angles additive le long d’un cercle, à savoir la mesure d’angle habituelle. On bénéficie alors de la relation de Chasles pour les longueurs algébriques et pour les angles. Et on aboutit alors (avec un point de vue « moderne » ou contemporain) à la trigonométrie classique. Mais celle-ci contient des éléments de blocage pour les mathématiciens grecs, en particulier l’usage de nombres irrationnels. Le cas élémentaire du triangle rectangle isocèle pose déjà problème, les côtés adjacents à l’angle droit ayant pour longueur √(0,5), qui n’est pas un nombre rationnel (autrement dit ce n’est pas un nombre pour les grecs, qui sont convaincus que tous les nombres sont des fractions). Pour des angles moins élémentaires, le problème se complique encore... Cela n’engage pas à développer une théorie.
Faire tous les calculs avec des nombres rationnels permet de tirer parti d’algorithmes performants. En particulier, elle permet des calculs exacts qui évitent d’avoir à se soucier du fait qu’en Python le triple de 0,1 n’est pas égal à 0,3 : il suffit d’utiliser le module fractions de Python pour faire la plupart des calculs de façon exacte.

La trigonométrie rationnelle peut donc être intéressante à tester en cycle 4 (voire 3) comme source d’énoncés motivant le calcul de fractions (au même titre que la programmation en Fractran ou le calcul de probabilités mais allant plus rapidement à la division de fractions).

Quadrance et ouverture

Si l’on veut ne pas sortir du cadre des nombres rationnels dans le triangle rectangle, compte tenu du théorème de Pythagore, on peut prendre comme mesure du côté le carré de sa longueur.
Pour mesurer les angles, on peut utiliser le carré du sinus de la mesure classique de l’angle, autrement dit le carré du quotient $\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ dans tout triangle rectangle possédant cet angle.

On appelle quadrance et ouverture (spread en anglais) ces nouvelles mesures.

  • quadrance([AB]) = AB²
  • ouverture($\widehat{ABC}) = sin² (\widehat{ABC})$)

L’ouverture peut varier de 0 (angle fermé) à 1 (angle droit).

On peut alors vérifier que leur utilisation permet de travailler uniquement avec des nombres rationnels (du moins dans le triangle rectangle. Comme on le verra plus loin, il y a une objection dans le triangle général). C’est la base de la trigonométrie rationnelle.

En trigonométrie rationnelle, la propriété de Pythagore peut s’énoncer ainsi :

Propriété de Pythagore

Si le triangle ABC est rectangle en B (c’est-à-dire si l’ouverture en B vaut 1), alors :

b = a + c

$\widehat{A} +\widehat{C} = 1$

Un des intérêts de la trigonométrie rationnelle est qu’elle permet de travailler avec des nombres rationnels et sans utiliser de formules trigonométriques compliquées (sin, cos, tan et formules inverses). Par exemple le célèbre triangle 3-4-5 devient, en trigonométrie rationnelle, le triangle 9-16-25 et si ses mesures d’angle classiques ne sont pas des fractions, il en est tout autrement pour ses ouvertures qui valent respectivement 0,36 ; 0,64 et 1.

Et si l’on passait à la trigonométrie rationnelle en 2022 ?

Les élections présidentielles de 2022 s’annoncent « débridées ». On n’est pas à l’abri d’une nomination de Nickos Aliagas au poste de ministre de l’Education Nationale. Et de voir la trigonométrie rationnelle renverser la trigonométrie classique au nom de la grécophilie.

Que deviendraient alors les exercices de trigonométrie donnés aux élèves de cycle 4 ? C’est ce que l’on va anticiper ici.

Commençons par les instruments de géométrie contenus dans le cartable des élèves. Deux instruments seraient différents :


  • la règle graduée (à quadrances) dont voici deux versions (avec des unités de quadrance différentes) :

ou


  • le rapporteur (à écarts) dont voici deux versions :

ou

Pour cumuler les quadrances et les ouvertures, qui ne sont pas additives (on n’a pas la relation de Chasles), on peut recourir à des nomogrammes pour basculer en trigonométrie classique avant de revenir en trigonométrie rationnelle.

Voici ces outils, au format pdf, pour impression sur A3 ou gravure par laser :

PDF - 35.5 ko

Passons maintenant aux exercices.

Exercice 1

Voici un exercice du manuel Sesamaths cycle 4 :

Sa version en trigonométrie rationnelle serait la suivante :

Exercice 49b

Construis un triangle ABC tel que AB = 20 uQ (unités de quadrance), $\widehat{BAC}=0,2$ uE (unités d’écart) et $\widehat{CBA}=0,8$ uE.

  1. Ce triangle est-il rectangle ? Pourquoi ?
  2. Calcule les quadrances AC et BC.

Résolution

On construit le triangle ABC à l’aide de la règle à écarts et du rapporteur à quadrances.

1. On sait que $\widehat{BAC}=0,2$ uE (unités d’écart) et $\widehat{CBA}=0,8$ uE.

0,2 + 0,8 = 1.

Or, si un triangle possède deux angles dont la somme des écarts est égale à 1, alors ce triangle est rectangle.

Donc le triangle ABC est rectangle en C.

2. On sait que le triangle ABC est rectangle en C.

Donc $\dfrac{CB}{AB}=\widehat{A}$

D’où $\quad \dfrac{CB}{20}=0,2$

Donc $\quad CB = 20 \times 0,2 = 4$ uQ.

De la même façon, on démontre que $\quad AC = 20 \times 0,8 = 16$ uQ.

Exercice 2

Voici un autre exercice très classique :

Sa version en trigonométrie rationnelle est la suivante :

Exercice 43b

Calculer la quadrance de l’hypoténuse du triangle RIO.

Résolution

On sait que le triangle RIO est rectangle en R.

Donc $\dfrac{OR}{IO}=\widehat{I}$

D’où $\quad \dfrac{9}{IO}=\dfrac{21}{100}$

Donc $\quad IO = 9 \div \dfrac{21}{100} = 9 \times \dfrac{100}{21}= \dfrac{300}{7}$ uQ.

Exercice 3

Voici un troisième exercice :

Sa version en trigonométrie rationnelle est la suivante :

Exercice 41b

Calculer la quadrance BN.

Résolution

On sait que le triangle BON est rectangle en B.

Donc $\dfrac{OB}{ON}=\widehat{N}$

D’où $\quad \dfrac{9}{ON}=\dfrac{47}{200}$

Donc $\quad ON = 9 \div \dfrac{47}{200} = 9 \times \dfrac{200}{47}= \dfrac{1800}{47}$ uQ.

On sait que le triangle BON est rectangle en B.

Donc, d’après la propriété de Pythagore : $\quad BN +BO = ON$

D’où $\quad BN = ON - BO = \dfrac{1800}{47} - 9 = \dfrac{1800}{47} - \dfrac{423}{47} = \dfrac{1377}{47} $ uQ.

Exercice 4

En classe de 1ère (plus précisément, en enseignement scientifique), lelivrescolaire.fr propose cet exercice :

En voici la traduction trigo rationnelle :

Une montagne empêche de mesurer la quadrance AB. Calculez-la à l’aide des données.

Résolution

Remarque : dans cet exercice de niveau lycée, on va être plus précis et en trigonométrie rationnelle on ne parlera pas d’angle (entre deux demi-droites) mais d’écart entre droites.

Dans un triangle, la somme des 3 angles est égale à 180 degrés. L’équivalent en trigonométrie rationnelle est la loi des 3 ouvertures qui dans le triangle ABM’ s’écrit $(0,18+0,375+B)^2=2(0,18^2+0,375^2+B^2)-4\times 0,18 \times 0,375 \times B$, où B désigne l’ouverture entre les droites (AB) et (BM’).

L’ouverture en B est donc $\frac{3 \sqrt{615}}{200} + \frac{21}{50}$ (obtenu en résolvant l’équation ci-dessus).

Comme on l’a évoqué plus haut, on obtient une valeur exacte, mais qui n’est plus rationnelle. [4]

Le quotient de 2304 par ce nombre est $\frac{4300800}{169} - \frac{153600 \sqrt{615}}{169}$. D’après la loi des ouvertures (voir plus bas), c’est aussi le quotient de la quadrance AB par 0,375. Ce qui donne la quadrance AB, en multipliant $\frac{4300800}{169} - \frac{153600 \sqrt{615}}{169}$ par 0,375 :

$\frac{1612800}{169} - \frac{57600 \sqrt{615}}{169}$

Cette valeur s’arrondit à 1091, ce qui donne une valeur approchée de la distance demandée dans le manuel de 1ère : environ 33 km.


L’insinuation inévitable de l’irrationnel

Comme on l’a vu dans les exercices précédents, dans un triangle rectangle l’utilisation de quadrances rationnelles et d’ouvertures rationnelles assure de travailler uniquement avec des nombres rationnels (on n’obtient ni quadrances ni ouvertures irrationnelles).

Est-ce encore vrai dans un triangle quelconque ? [5]
Presque, mais pas tout à fait (malheureusement a-t-on envie de dire...).

La loi des sinus est :

$\dfrac{sin(\widehat{A})}{BC} = \dfrac{sin(\widehat{B})}{AC} = \dfrac{sin(\widehat{C})}{AB}$

 Traduite en trigonométrie rationnelle, elle devient la loi des ouvertures :

$\dfrac{\widehat{A}}{a} = \dfrac{\widehat{B}}{b} = \dfrac{\widehat{C}}{c}\quad$ ou $\quad \dfrac{A}{a} = \dfrac{B}{b} = \dfrac{C}{c}$

NB : par abus de langage, on assimile un angle à sa mesure. En trigonométrie rationnelle on assimile donc un angle à son écart.
Les angles qui apparaissent dans les triples égalités ci-dessus ont une signification différente selon que l’on est en trigonométrie classique trois lignes plus haut) ou en trigonométrie rationnelle (une ligne plus haut).

Cette loi ne fait pas sortir du rationnel. Mais c’est plus délicat pour le théorème d’Al-Kashi.

Théorème d’Al Kashi

Pour tout triangle ABC, on a :

$AB^2 = BC^2 +AB^2 -2BC.AB.cos(\widehat{C})$

On en déduit :

$2BC.AC.cos(\widehat{C}) = BC^2 +AC^2 – AB^2$

Ce théorème peut être traduit en termes de quadrance et d’ouverture sous forme de la loi croisée :

$4.a.b.(1- \widehat{C})= (a+b-c)^2$

Soit ABC un triangle tel que a, b, c sont rationnels. Alors $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$ sont rationnels et on peut les calculer à l’aide d’une fonction rationnelle (de la forme P(x)/Q(x) où P et Q sont des polynômes) que l’on va préciser.

$\widehat{C} =\dfrac{4.a.b - (a+b- c)^2}{4.a.b}$

$\widehat{C}$ est une fonction rationnelle de a, b, c.

En revanche c n’est pas une fonction rationnelle de a, b, $\widehat{C}$. Si on applique la formule dans ce sens, il peut apparaître des racines carrées [6].

Conclusion

Cette nouvelle trigonométrie a-t-elle droit de cité dans les nouveaux programmes ?
On laisse le lecteur se faire sa propre opinion.

Pour aller plus loin :


notes

[1Des études archéologiques semblent montrer que les mathématiciens babyloniens ont inventé la trigonométrie rationnelle plus de 1000 ans avant les Grecs antiques (qui sont eux passés à côté).

[2Plus précisément, on peut considérer que l’ouverture renvoie à un objet géométrique qui n’est pas tout à fait un angle (mais une classe d’équivalence d’angles, un angle et son supplémentaire étant assimilés) et que par abus de langage le terme « écart » désigne à la fois l’objet géométrique et sa mesure, selon l’abus de langage traditionnel. On peut parler d’angle entre deux demi-droites alors qu’on doit parler d’écart entre deux droites.

[3Ou presque. Il y a tout de même des exceptions, et elles sont importantes fondamentalement !

[4C’est un peu gênant pour la « cohérence » de la théorie.

[5On a vu dans l’exercice 4 de la partie précédente que la réponse était non.

[6Pour les inconditionnels du rationnel, le ver est dans le fruit.

[7Dès que les coordonnées des sommets d’un triangle sont décimales (ou même rationnelles), les quadrances et ouvertures sont des fractions. Il suffit donc qu’un logiciel de géométrie dynamique gère les fractions, pour pouvoir y faire de la trigonométrie rationnelle.

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