Cette partie est déjà présente dans le paragraphe 5 d’un autre article : Mesures historiques d’Hipparque

- Schéma 8
- D’après un article de Jacques GISPERT sur :
http://astronomia.fr/2eme_partie/planetes/lune/lune.php
Ce schéma montre le Soleil, la Terre sur son orbite, et la Lune sur son orbite autour de la Terre. Pour simplifier, les orbites sont dessinées circulaires. La direction SE est celle d’une étoile, située à l’infini, et prise pour repère. La direction TE′ repère la même étoile vue de la Terre, et SE et TE′ sont parallèles, puisque l’étoile est infiniment loin.
Pour étudier les phases de la Lune, il convient de calculer l’angle que font les directions de la Lune et du Soleil, vues de la Terre. Si nous prenons comme point de repère les pleines lunes, on considérera la position de l’anti Soleil, qui est notée S′.
L’angle qui nous intéresse est $\widehat{\text{S′TL}}$. On peut écrire :
$$\widehat{\text{E′TS′}} + \widehat{\text{S′TL}} = \widehat{\text{E′TL}}$$
donc :
$$\widehat{\text{S′TL}} = \widehat{\text{E′TL}} - \widehat{\text{E′TS′}}$$
$\widehat{\text{E′TL}}$ est l’angle que la Lune a parcouru depuis l’instant où elle était dans la direction de l’étoile E′, dans le temps $t$. Or elle fait un tour complet par rapport à cette étoile dans le temps de sa révolution sidérale, que nous noterons $T_{\text{L}}$. À chaque seconde, elle parcours donc $\omega_L = \dfrac{2\pi}{T_{\text{L}}}$. Dans le temps $t$, elle parcourt donc un angle $t$ fois plus grand, et donc :
$$\widehat{\text{E′TL}} = \dfrac{2\pi t}{T_{\text{L}}}$$
On peut dire exactement la même chose pour le Soleil, en considérant les points E′ et S′. La période à considérer est celle de la Terre autour du Soleil, donc $T_{\text{T}} = 365,242 2 \text{ jours}$. On a alors :
$$\widehat{\text{E′TS′}} = \dfrac{2\pi t}{T_{\text{T}}}$$
Il vient par substitution :
$$\widehat{\text{S′TL}} = \widehat{\text{E′TL}} - \widehat{\text{E′TS′}} = \dfrac{2\pi t }{ T_{\text{L}}} - \dfrac{2\pi t}{T_{\text{T}}}$$
Enfin, les phases de la Lune sont périodiques, et reviennent identiques au bout d’un temps qui est la lunaison, ou mois lunaire. Soit $\theta$ cette période. Dans le temps $t$, la Lune aura progressé de :
$$\widehat{\text{S′TL}} = \dfrac{2\pi t}{\theta}$$
Il nous reste à égaler les deux expressions de $\widehat{\text{S′TL}}$ :
$$\widehat{\text{S′TL}} = \dfrac{2\pi t}{\theta} = \dfrac{2\pi t}{T_{\text{L}}} - \dfrac{2\pi t}{T_{\text{T}}}$$
On peut simplifier par $2\pi t$ ; il vient :
$$\dfrac{1}{\theta} = \dfrac{1}{T_{\text{L}}} - \dfrac{1}{T_{\text{T}}}$$
Remplaçons les périodes connues par leurs valeurs :
$$\dfrac{1}{\theta} = \dfrac{1}{27,32} - \dfrac{1}{365,242 2} = 0,036 6 - 0,002 7$$
d’où
$$\theta= 29,528 7\text{ jours} = \text{29 j 12 h 41 min}$$
|
Voir l’animation GEOGEBRA https://www.geogebra.org/m/VxsApSr3

- Schéma 9
- auteur Fabrice Vanolli, https://www.geogebra.org/u/vanolli
Retenons : La lunaison $\theta$ est égale à 29,528 7 jours = 39 j 12 h 41 min.
Si l’on appelle $t$ le temps écoulé depuis la pleine lune :
$$
\widehat{S’TL}\approx \dfrac{2\pi t}{\theta}\quad\quad \textbf{(1)} \text{ avec } S’ \text{ l’anti-Soleil, mesure exprimée en radians}
$$
Si l’on appelle $t$ le temps écoulé depuis la nouvelle lune :
$$
\widehat{STL}\approx \dfrac{2\pi t}{\theta}\quad\quad \textbf{(2)} \text{mesure en radians}
$$
$$
\widehat{STL}\approx \dfrac{360 t}{\theta}\quad\quad \textbf{(2bis)} \text{mesure en degrés}
$$