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Sommaire > N°53 - janvier 2017 > Le terminateur de la lune

Le terminateur de la lune
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Sidereus nuncius
le messager des étoiles

Portrait de Galilée peint en 1636 par Julius Sustermans

Dessins de la lune premier et dernier quartier publiés par Galilée dans Sidereus Nuncius

L’ouvrage qui valut à Galilée le procès pour hérésie

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Table des matières

0) De quoi s’agit-il ?

schéma 1

Le terminateur obtenu parle logiciel atlas virtuel de la lune

Le terminateur lunaire, a été observé pour la première fois à la lunette par Galilée,

Le terminateur, ligne délimitant la partie sombre de la partie éclairée, trace pour notre perception, le contour des différentes phases de la Lune que nous observons depuis la terre. En raison de la faible élévation du Soleil, les reliefs situés dans cette région sont éclairés en lumière rasante et voient leurs profils accentués, bien délimités par leurs ombres grâce à l’absence de diffusion par une atmosphère. (WIKIPEDIA)

Nous allons d’abord essayer d’acquérir des connaissances qui nous permettront avec Cabri 3d et Geogebra de tracer ce terminateur.


1) De la terre on voit environ la moitié de la lune

Le diamètre apparent d’un objet est l’angle sous lequel il nous apparaît.
Ici l’angle $\widehat{LAF}$ , le cône en mauve étant le cône issu de A et tangent à la sphère.
Sa valeur dépend de sa taille réelle et de sa distance. Par exemple prenons la Lune et le Soleil, ces deux astres n’ont pas la même taille et sont situés à des distances différentes par rapport à la Terre. Cependant la Lune et le Soleil ont la même taille apparente. On s’en rend parfaitement compte lors d’une éclipse totale de Soleil, la Lune recouvre entièrement la surface du Soleil. Explication, bien que la Lune soit à peu près 400 fois plus petite que le Soleil, elle est aussi 400 fois plus proche.

schéma 2

schéma 3

On a $\widehat{LAF}= 2 \widehat{LAO}$

$Tan (\widehat{LAO}) = \frac{LO}{AO}$

Appelons r le rayon du cercle de contact, D la distance de l’observateur à l’astre supposé sphérique et $\delta$ le diamètre apparent $\widehat{LAF}$

Pour la lune $\delta \approx 0,5°$

$\tan \frac{\delta }{2}=\frac{r}{D}$

En pratique on peut confondre tan x et x si x est petit, x étant exprimé en radians.

d’où $\frac{\delta }{2} \approx \frac{r}{D}$

=> $ r \approx \frac{\delta D}{2}$

La distance D terre lune est environ 370300 km.

$r\approx 370 300 \times 0,5\times \pi \div 360\approx 1615$ km

Ce rayon est proche du rayon de la lune .

Conclusion : l’observateur terrestre voit pratiquement la moitié de la lune.

2) Le soleil éclaire la moitié de la lune environ

schéma 4

Il arrive lors d’une éclipse que le cône d’ombre de la lune touche la terre, les centres des 2 astres étant alignés avec le centre de la terre.

Le dessin suivant n’est pas bien sûr à l’échelle. Il montre le cône d’ombre de la lune obtenu avec les tangentes extérieures en blanc et le cône de pénombre obtenu par les tangentes intérieures en gris foncé.

schéma 5

L’angle du cône d’ombre de la lune est égal alors au diamètre apparent du soleil soit environ 0,5°.

Le plan de l’orbite de la Lune fait un angle de 5° avec le plan de l’écliptique. L’orbite de la Lune coupe le plan de l’écliptique aux nœuds. Pour pouvoir observer une éclipse, il faut que lors d’une Nouvelle Lune ou d’une Pleine Lune la Lune soit au voisinage immédiat d’un nœud.

Par ailleurs la distance du cône d’ombre de la lune est approximativement égale à la distance terre lune. La distance Terre-Lune varie entre 356 000 km et 407000 km.

Observons les deux schémas suivants :

En marron, le soleil

En mauve, la lune

schéma 6

schéma7

Le demi-angle au sommet du cône d’ombre est 0,25° ou 30 ’

D’où : $ \sin \widehat{bAL}=\frac{bL}{Ab}$

Si Ab = 356 000 km bL $\approx$ 1615 km

Si Ab = 407 000 km bL= 1775 km

Or le rayon de la lune vaut1738 km

En réalité, le diamètre apparent du Soleil varie entre 32,6’ et 31,5’ et celui de la Lune entre 33,5’ et 28,5’.

Conclusion : le soleil va éclairer approximativement la moitié de la lune.

La Lune est sujette à plusieurs oscillations qui ont pour conséquence que, depuis la Terre, on voit un peu plus de la moitié de sa surface. Pour être plus précis, 59 % de la surface lunaire est observable. Ces oscillations portent le nom de librations.

Voir l’animation :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Libration_lunaire#/media/File:Lunar_libration_with_phase2.gif

3) La lunaison

D’après un article de Jacques GISPERT sur :

http://astronomia.fr/2eme_partie/planetes/lune/lune.php

schéma 8

Rappelons d’abord que le mois lunaire sidéral a pour durée :

{{}}27,321 661 547 j = 27 j 7 h 43 m 11, 6 s

On pourra consulter le paragraphe 7 de mon dossier mathematice n° 50 consacré au sujet « les marée et l’établissement du port » .

Ce schéma montre le Soleil, la Terre sur son orbite, et la Lune sur son orbite autour de la Terre. Pour simplifier, les orbites sont dessinées circulaires. La direction SE est celle d’une étoile, située à l’infini, et prise pour repère. La direction TE′ repère la même étoile vue de la Terre, et SE et TE′ sont parallèles, puisque l’étoile est infiniment loin.

Pour étudier les phases de la Lune, il convient de calculer l’angle que font les directions de la Lune et du Soleil, vues de la Terre. Si nous prenons comme point de repère les pleines lunes, on considérera la position de l’anti soleil, qui est notée S′.

Par souci d’allègement, les chapeaux ne seront pas mis sur les angles.

L’angle qui nous intéresse est S′TL. On peut écrire :

E′TS′ + S′TL = E′TL

donc :

S′TL = E′TL - E′TS′

E′TL est l’angle que la Lune a parcouru depuis l’instant où elle était dans la direction de l’étoile E′, dans le temps t. Or elle fait un tour complet par rapport à cette étoile dans le temps de sa révolution sidérale, que nous noterons TL. A chaque seconde, elle parcourt donc ωL = 2π / TL. Dans le temps t, elle parcourt donc un angle t fois plus grand, et donc :

E′TL = 2π t / TL

On peut dire exactement la même chose pour le Soleil, en considérant les points E′ et S′. La période à considérer est celle de la Terre autour du Soleil, donc TT = 365,2422 jours. On a alors :

E′TS′ = 2π t / TT

Il vient par substitution :

S′TL = E′TL - E′TS′ = 2π t / TL - 2π t / TT

Enfin, les phases de la Lune sont périodiques, et reviennent identiques au bout d’un temps qui est la lunaison, ou mois lunaire. Soit θ cette période. Dans le temps t, la Lune aura progressé de :

S′TL = 2π t / θ

Il nous reste à égaler les deux expressions de S′TL :

S′TL = 2π t / θ = 2π t / TL - 2π t / TT

On peut simplifier par 2π t ; il vient :

1 / θ = 1 / TL - 1 / TT

Remplaçons les périodes connues par leurs valeurs :

1 / θ = 1 / 27,32 - 1 / 365,2422 = 0,0366 - 0,0027

d’où θ = 29,5287 jours = 29 j 12 h 41 mn.

4) Projection orthogonale d’une cercle sur un plan

schéma 9

L’espace étant rapporté à un repère orthonormé (O, , , ), soit C le cercle de centre O, de rayon R, dans le plan P contenant l’axe Ox et faisant un angle

avec l’axe Oy.

le cercle C est l’intersection de la sphère de centre O de rayon R. Il a donc pour équations : $ \left\{\begin{matrix} {x^2+} &y^2+ &z^2=R^2 \\ & & z=y\tan \alpha \end{matrix}\right.$

On en déduit $x^2+y^2(1+\tan ^2\alpha )=R^2$

soit $ \frac{x^2}{R^2}+\frac{y^2}{R^2cos^2\alpha }=1$

La projection orthogonale de C sur un plan parallèle à (xoy) est donc une ellipse de demi grand axe R et de demi petit axe $R\cos \alpha $ .

5) Le terminateur avec Cabri 3D

Nous faisons l’hypothèse que le plan de l’équateur lunaire est pratiquement confondu avec le plan de l’écliptique.

Nous allons procéder en plusieurs étapes :

schéma 10

La partie en gris est la partie éclairée de la lune en théorie, mais par un effet de perspective, nous verrons la projection orthogonale de la lune sur le plan marron.

Les rayons visuels qui proviennent du plan marron semblent parallèles du fait de la distance terre lune.

Si O désigne le centre de la lune, (tO) est perpendiculaire au plan marron et par conséquent tous les rayons qui lui seront parallèles seront perpendiculaires au plan marron.

Nous allons donc voir par effet de perspective non le cercle bleu mais sa projection orthogonale sur le plan marron qui n’est rien d’autre qu’une ellipse d’après le paragraphe 4.

schéma 11

Les points f’, g’ , b’ sont les points du terminateur vus en perspective.

schéma 12

En faisant varier e sur le terminateur théorique en bleu, nous obtenons le terminateur vu en perspective en jaune sur le plan marron.

Nous allons rabattre le plan bleu P1 sur le plan de l’équateur lunaire, ce qui nous fournira le moyen de construire le terminateur avec GEOGEBRA .

schéma 13

Explication du schéma

Le point M appartient au terminateur théorique, l’observateur terrestre ne voyant que son projeté orthogonal R sur le plan mauve qui constitue la limite de ce que peut voir l’observateur terrestre.

Le cercle C2 est l’intersection de ce plan avec la lune et constitue la vision du disque lunaire perçu de la terre.

Nous allons rabattre le point K sur le plan de l’équateur lunaire et obtenir ainsi le terminateur sur le plan de l’équateur lunaire.

Nous observons alors une propriété géométrique intéressante en ce qui concerne le point K.

Soit m le projeté orthogonal de M sur le plan de l’équateur lunaire.

Par m traçons la perpendiculaire D5 au plan P1 en bleu.

Soit C5 le projeté orthogonal du cercle C1. Il coupe la droite D2 en un point g.

Par g menons la perpendiculaire D3 au plan P1. Elle coupe le cercle C3 en f.

Par f menons la perpendiculaire D4 à D5. D4 coupe D5 en K.

Par définition, l’angle de phase est l’angle $\widehat{tOe}$ . Par le jeu d’angles à côtés perpendiculaires, $\widehat{mOA}$= 180°-angle de phase ou $\widehat{tOe}$= angle de phase avec e centre du soleil, t centre de la terre et O centre de la lune.

PN et PS désignent le pôle nord et le pôle sud de la lune.

Regardons sur le schéma suivant comment est obtenue la droite D1.

P3 intersecté avec la lune fournit le cercle en vert qui est sur la lune la limite éclairée par le soleil. P3 intersecté avec le plan de l’équateur lunaire fournit la droite D1.

schéma 14

6) Le terminateur avec GEOGEBRA

Exemple :

Détermination de la position du terminateur le 9 septembre 2005 à 21h 21min heure légale soit 19h 21min TU.
Quel est le temps t qui s’est écoulé depuis la dernière Nouvelle Lune (3 septembre 2005 à 20 h 45 min TU) ?

schéma 15

A la nouvelle lune, la lune est en position lune1, lune 2 est la position de la lune le 3 septembre à 20 h 45 TU et quand la lune se trouve en position lune3 29,5 jours se seront écoulés d’après le paragraphe 3 sur la lunaison.

Quel est le temps t qui s’est écoulé depuis la dernière Nouvelle Lune (3 septembre 2005 à 20 h 45 min TU) ?

t = 5j 22h 36min = 5,94j .

L’angle soleil terre lune fait alors [360 x 5,94] / 29,5 = 72,5°

Cette valeur est ce que l’on appelle l’élongation de la lune.

Or la distance terre -lune est très petite par rapport à la distance terre soleil et lune soleil.

De sorte que l’on peut considérer que les droites terre-soleil et lune soleil sont sensiblement parallèles.

schéma 16

L’angle soleil terre lune noté $\alpha_{e}$ que l’on appelle l’élongation de la lune fait = 72,5° donc soleil terre H fait 72,5° (angles correspondants) et donc l’angle soleil lune terre = 180°-72,5° =107,5°

Cet angle est ce que l’on appelle l’angle de phase $\varphi $

Nous avons donc $\varphi + \alpha = 180°$

Nous allons à présent nous référer au schéma 13

Pour une bonne compréhension , se référer toujours au schéma spatial n°13.

schéma 17

L’angle soleil L T fait 72,5° .

Ouvrir le fichier ggb/terminateur_geogebra.ggb pour faire les manipulations.

Avec GEOGEBRA et en respectant les notations précédentes.

Faisons varier le rayon du cercle C<sub5 et demandons à ce que K laisse une trace.

schéma 18

Nous obtenons la moitié du terminateur.

Prenons le symétrique de K par rapport à D0 et qui est parallèle à D2.

schéma 19

Demandons à K et K’1 de laisser une trace lorsque nous faisons varier les cercles de centre L avec le bouton de GEOGEBRA.

schéma 20

Avec l’atlas virtuel de la lune

7) Pourcentage d’éclairement de la lune

schéma21

En jaune le terminateur en projection

schéma22

$\alpha _{e}$ étant l’angle lune terre soleil, c’est à dire l’élongation de la lune, R désignant le rayon de la lune.

D’après l’annexe B relative à la projection orthogonale d’un segment :

$OB=R\cos\alpha _{e}$

Donc $BA=R-R\cos\alpha _{e}=R\left ( 1-\cos {\alpha _{e}}\right )$

Soit en pourcentage : $50\left ( 1-\cos {\alpha _{e}}\right )$ %

angle deg

angle rad

pourcentage d’éclairement

0 0 0
10 0,17453293 0,759612349
20 0,34906585 3,015368961
30 0,52359878 6,698729811
40 0,6981317 11,69777784
50 0,87266463 17,86061952
60 1,04719755 25
70 1,22173048 32,89899283
80 1,3962634 41,31759112
90 1,57079633 50
100 1,74532925 58,68240888
110 1,91986218 67,10100717
120 2,0943951 75
130 2,26892803 82,13938048
140 2,44346095 88,30222216
150 2,61799388 93,30127019
160 2,7925268 96,98463104
170 2,96705973 99,24038765
180 3,14159265 100

schéma 23

Il faut considérer ces résultats comme des approximations ( de bonnes approximations ) car souvenons nous que nous avons considéré le plan de l’équateur lunaire comme pratiquement confondu avec le plan de l’écliptique.

ANNEXE

A) Le texte de Galilée en français avec son commentaire par :

https://cral.univ-lyon1.fr/labo/fc/ama09/sidereus/sidereus_p018-081.pdf

B) Projection orthogonale d’un segment

Posons $\widehat{TVU}=\alpha =$ angle des 2 plans

Théorème : $ab=AB\cos \alpha $

Ce théorème est vrai aussi si $\alpha$ désigne l’angle (AB) avec le plan de projection.

C) La version téléchargeable de cette article docx/le_terminateur_de_la_lune.docx


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