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Les nouvelles technologies pour l’enseignement des mathématiques
Intégration des TICE dans l’enseignement des mathématiques

MathémaTICE, première revue en ligne destinée à promouvoir les TICE à travers l’enseignement des mathématiques.

La Géométrie dynamique, un instrument pour la construction de sens sur le concept de position limite
Une étude de cas auprès des lycéens de classe de première scientifique au Cameroun
Article mis en ligne le 3 octobre 2022
dernière modification le 17 novembre 2022

par Nguembou Nana Giscard

L’auteur de cet article, Nguembou Nana Giscard est enseignant de mathématiques du secondaire et il prépare une thèse de doctorat en didactique de mathématiques à l’Université de Yaoundé 1.

L’expérimentation relatée dans l’article s’est déroulée au Collège Vogt à Yaoundé au Cameroun, en avril 2021.

Le travail qui suit montre comment la coordination des fonctionnalités déplacement, zoom et réduction peut faire de l’environnement de géométrie dynamique un milieu propice pour travailler sur la dualité de la limite. L’articulation des formes opératoire et prédicative de la connaissance par les participants, montre que la vision dynamique de la limite par rapport à la vision statique, a un potentiel élevé à faire percevoir la droite comme une position limite.

Introduction

Dans l’enseignement des mathématiques les notions de limite dynamique et limite statique se côtoient. Cette dualité de la limite est souvent une source de difficultés pour la compréhension du concept de limite comme le soutiennent des chercheurs à l’instar de (Dufour, 2019). Cette auteure indique que la limite statique est celle qui consiste souvent à remplacer la variable x par une constante dans l’expression algébrique de la fonction numérique. Dans le cadre de ce travail nous considérons comme limite dynamique, toute « définition » de la limite contenant un ou plusieurs termes renvoyant au déplacement ou au mouvement. Les travaux des chercheurs à l’instar de (Schneider, 1988) présentent amplement les difficultés des lycéens à appréhender le concept de limite ou de position limite lorsqu’il est rattaché au concept de droite tangente. Dans ce travail, nous allons nous attarder sur la difficulté pour le lycéen à comprendre pourquoi, lorsqu’on rapproche un point B sur la courbe vers un point A, on parle de limite ou de position limite de la droite sécante (AB) lorsque le point B arrive en A, alors que rien ne fait obstacle au dépassement du point A par le point B, au vu du moyen par lequel le rapprochement est effectué (Cornu, 1983). Nous allons alors construire deux situations centrées sur le concept de droite tangente et visant la construction des sens sur le concept de position limite par les participants. Car, la théorie des champs conceptuels soutient que, c’est dans l’action que l’apprenant donne du sens au concept objet de l’apprentissage. Vergnaud résume cet aspect de la théorie en ces termes au : « au fond de l’action la conceptualisation » (2001, p.9).‬‬‬‬‬‬‬‬

Aussi, la séance décrite et analysée en partie, s’inscrit dans une séquence d’enseignement visant à faire évoluer les conceptions actuelles des lycéens sur la notion de tangente en classe première. Nous nous sommes rendus à la 8ème séance sur les 13 séances faites. Suites à des phases de formulations et d’institutionnalisations les participants ont vraisemblablement acquis un nouveau langage ou vocabulaire ne figurant pas dans les manuels scolaires. Le but de cette séquence d’enseignement est de proposer au Ministère des Enseignements Secondaires (MINESEC) du Cameroun, une organisation praxéologique centrée l’utilisation de la géométrie dynamique et susceptible de faire de la droite tangente et du cercle tangent de véritables objets d’études en classe de première ou terminale.

Problématisation de l’objet de recherche

1.1 La position limite et la notion d’infini

La notion de position limite est souvent utilisée en classe de première pour introduire la notion de droite tangente. C’est par exemple le cas, dans le manuel scolaire collection CIAM en vigueur au Cameroun où le terme position limite est convoqué de manière à occulter la notion d’infini sur laquelle repose au moins en partie ce concept. En effet, l’aspect infini des suites de droites sécantes, qui donne à la droite tangente le statut d’une limite, n’est pas mis en évidence. Sans doute, à cause de la relative difficulté, de munir l’ensemble des droites d’une topologie, il est difficile de donner une définition formelle de cette notion au niveau de l’enseignement secondaire, comme le soutiennent certain(e)s chercheur(e)s à l’instar de (Schneider, 1992 ; Gantois, 2012). Ainsi, la notion de position limite garde une valeur ostensive dans ce manuel. Cette difficulté à faire vivre la notion d’infini dans l’enseignement de la notion de limite, lorsqu’elle est associée à la notion de droite tangente a déjà été soulevée par la recherche.

Les travaux de (Kuntz, 1997), en prenant appui sur les critiques faites par Henri Lombardi, mettent en évidence la rupture qui peut exister entre les notions de « zoom » et de « position limite », lorsque l’enseignement porte sur la notion de droite tangente. Ils précisent que, le passage de la notion de zoom à la notion de position limite n’a rien d’évident. Le chercheur propose une approche visant à faire percevoir la droite comme une position limite, en se servant du calcul approché. Cette démarche aurait le mérite, de posséder un potentiel élevé par rapport à la technique du zoom, pour faire émerger chez les apprenants, l’idée de suite de droites sécantes infinies, associée à la notion de droite tangente vue comme une position limite. Cette notion de suite de droite sécante infinies, nous semble perceptible dans l’approche que propose de Kuntz. Notamment lorsqu’il dit : « On peut donc proposer une nouvelle définition de la tangente en A : c’est la position limite (lorsqu’elle existe) de la sécante (AMk) quand Mk s’approche indéfiniment de A » (p.10). Dans cette « définition », le terme « indéfiniment » met en évidence l’existence d’une suite de droites sécantes à termes infinis et deux à deux distincts.

Cependant l’approche proposée par (Kuntz, 1997) invite le participant à construire des sens, sur entre autres, le concept de droite tangente et donc de position limite, dans les registres numérique et algébrique. Pourtant, la droite tangente est d’abord un objet géométrique. Dès lors, une approche complètement géométrique aurait un potentiel plus élevé d’activer chez l’apprenant les perspectives locales sur la notion de droite tangente, comme le soutiennent certain(e)s chercheur(e) à l’instar de (Panero, 2018 ; Vandebrouck, 2011). Lesdites perspectives seraient incontournables pour la compréhension de la notion de droite tangente comme le soutient (Tall, 1985), lorsqu’il dit que la droite tangente est un objet global dont la compréhension est locale. Par suite, la recherche d’une technique entièrement graphique, permettant à l’apprenant de percevoir la droite tangente comme une position limite nous semble être, encore d’actualité.

1.2 La droite tangente : un objet premier par rapport à sa pente

Toujours en classe de première, la notion de droite tangente est mobilisée pour introduire le nombre dérivé. Par la suite, le nombre dérivé est lui aussi convoqué pour « définir » la droite tangente suivant une vision algébrique. Cette double dialectique outil-objet au sens de (Douady, 1992, 1986) peut s’ériger en obstacle à l’apprentissage des notions de droite tangente ou de nombre dérivé, comme le soutiennent Certain(e)s chercheur(e)s à l’instar de (Balhan et al., 2015). Ainsi la nécessité de chercher une technique permettant de produire une équation de la droite tangente, de sorte qu’elle soit un objet premier par rapport à sa pente, reste encore d’actualité. Les travaux de (Schneider,1988) reviennent amplement sur les difficultés des apprenants à appréhender la droite tangente comme une position limite

1.3 Quelques difficultés soulevées par la recherche pour rendre opérationnel ce point de vue dans un registre graphique et statique

Plusieurs chercheurs à l’instar (Balhan et al., 2015 ; Gantois, 2012 ; Vivier, 2010), ont mis en évidence les difficultés pour l’apprentissage de la notion de droite tangente vue l’angle de la position limite. Une des explications proposées est décrite par (Schneider,1988), lorsqu’elle dit « cette définition est, elle aussi, purement géométrique, en ce sens qu’elle ne suppose aucun détour par les pentes, mais, contrairement à la perception des élèves, elle évoque plus une possibilité de dépassement qu’une réalisation effective. » (p.327).

Aussi, lorsque le point mobile sur la courbe coïncide avec le futur point de tangence, il devient difficile, voire impossible, de construire la droite tangente à partir d’un point double dans un registre graphique statique. Dès lors, le passage de la droite sécante à position limite, n’est pas opérationnel dans le registre suscité. Par suite, dans le cadre géométrique, ce passage reste alors pour le lycéen une connaissance prédicative et non opératoire au sens de (Vergnaud, 2001). Pourtant, les connaissances acquises sous la forme opératoire seraient susceptibles de favoriser la construction des sens sur les concepts associés, comme le soutient (Vergnaud, 2001) lorsqu’il dit : « au fond de l’action : la conceptualisation » (p.9).
Gantois argumente en disant que : « Finalement, ce qui pose problème chez les élèves est que la limite est pensée dans un univers inadéquat. » (p.137).

Vivier(2010) fait un constat en lien avec les difficultés sus évoquées, lorsqu’il dit : « cette approche C3 par la limite de droites, qui fait, l’unanimité dans les manuels, n’est pas explicitement au programme, n’est pas opérationnelle, ne permet pas de résoudre des problèmes […] » (p.176). Les travaux sus-évoqués mettent le curseur sur les difficultés pour le lycéen à construire des sens sur le concept de position limite dans un registre graphique et statique. Comme nous le verrons plus loin, les environnements de géométrie dynamiques offrent quelques possibilités.

Une technique opératoire de construction de la droite tangente vue sous le prisme de la position limite

La technique consiste à construire un point A fixe sur la courbe, un point B lié à la courbe (c), une droite sécante à (c) passant par les points A et B, de tels sorte que le déplacement du point B vers le point A soit possible (voir la figure 1).

2.1 Le rapprochement inépuisable : la coordination des fonctionnalités zoom et déplacement

Suite à ce premier travail, la construction se poursuit en rapprochant le point B à proximité du point A à l’aide de la fonctionnalité déplacement. La fonctionnalité zoom est ensuite mobilisée pour agrandir à l’écran la distance entre le point B et le point A. Par la suite, on rapproche comme précédemment le point B à proximité du point A. On peut réitérer le processus de rapprochement autant que l’on veut et autant que nécessaire (le rapprochement inépuisable [1] : la vision dynamique de la limite). On choisit de s’arrêter lorsque le rapprochement a atteint un point de saturation. Autrement dit, lorsque la courbe (c) et la droite sécante (AB) se confondent à l’écran, en formant un segment de droite, avec les points A et B bien distincts à l’écran (voir la figure 2). En désignant par n le nième rapprochement du point B vers le point A, et par Br la position occupée par le point B au nième rapprochement vers le point A, on construit ainsi une suite de points (Bn)n de la courbe (c), deux à deux distincts et dont le point A est la position limite des positions occupées par les points Br. Chaque rapprochement du point B vers le point A rapproche la droite sécante de la droite tangente. Ainsi, on obtient un moyen de rapprocher sans cesse et autant que l’on veut, la droite sécante de la droite tangente. Par conséquence, on construit une suite de droites (ABn)n sécantes à la courbe, deux à deux distinctes et dont la droite tangente est la position limite des positions occupées par les droites sécantes ABn.

Une démarche non experte mobiliserait la fonctionnalité déplacement toute seule. Elle conduirait au dépassement du point A par le point B ou à leur superposition. Ce dernier cas fait disparaître la droite tangente de l’écran.

2.2 Le passage de la droite sécante à sa position limite

Au point de saturation, les points A et B sont bien distincts à l’écran. Une possibilité pour les faire coïncider consiste à utiliser la fonctionnalité zoom inverse. Dans la pratique, on effectue des zooms inverses consécutifs entre les points A et B jusqu’à ce qu’ils se superposent. En ce moment la droite sécante est passée à sa position limite qui correspond à la droite tangente (voir la figure 3). La poursuite de zooms inverses renforce l’image de superposition du point B sur le point A. Dès lors, la droite et la courbe forment une intersection dont l’ordre de multiplicité est au moins 2 (une vision statique de la limite).

2.3 La technologie sur la technique mise en œuvre

La fonctionnalité déplacement se comporte comme une rotation centrée en A, lors de chaque rapprochement du point A vers le point B. Pendant que le zoom se comporte comme une homothétie de rapport strictement supérieur à 1, lorsqu’il grossit à l’écran l’écart angulaire entre les droites ou lorsqu’il agrandit la distance entre les points A et B. Le zoom inverse se comporte comme une homothétie de rapport strictement inférieure à 1 lorsqu’il réduit à l’écran la distance entre les points A et B. Par suite, le passage de la droite sécante à sa position limite serait le fruit de la composée de rotation centrée en A et d’homothéties. Par ailleurs, les zooms font varier l’échelle de l’unité de longueur sur les axes. De façon décroissante par le zoom puis de façon croissante par le zoom inverse. Ceci se manifeste soit par l’agrandissement soit par la réduction à l’écran des objets géométriques en jeu. On peut donc repérer l’échelle de départ avant les transformations, et par suite, retrouver cette échelle lors du processus de réduction. Pour cette raison, nous donnons à cette méthode de construction de la droite tangente l’appellation, technique de variation de l’échelle des unités de longueur sur les axes. Les principales étapes de construction de la droite tangente sous le prisme de la limite sont récapitulées en trois étapes illustrées ci-dessus.

Figure 1 :
La courbe (c) de la fonction définie par : x3/3-x2
B le point mobile sur la courbe (c) ; A un point fixe de (c) ; échelle sur les axes : 1/1

Figure 2 :
Le rapprochement du point B vers le point A, a atteint un point de saturation
La coordination des fonctionnalités zoom et déplacement permet de construire la suite de points (Bn)n et le point A est position limite des position occupées par les points Bn. Par la même occasion, elle permet de construire une suite de droites sécantes (ABn)n telle que, la droite tangente est position limite des positions occupées par les droites sécantes (ABn). Échelle : 0,001 x 0,001

Figure 3 :
Superposition du point B sur le point A à l’aide des zooms inverses
A partir du point de saturation, les zooms inverses permettent de faire passer la droite sécante (AB) à sa position limite, qui correspond à la droite tangente.

Cadres théoriques de référence

3.1 La théorie des champs conceptuels

La théorie des champs conceptuels développée par (Vergnaud, 1999, 2001), soutient que le couple schème-situation est un outil central pour permettre à l’apprenant de construire des sens sur les concepts mathématiques. Au regard, des difficultés pour le lycéen à construire des sens sur le concept de position limite, à partir de la forme prédicative des connaissances, nous avons alors choisi de commencer par l’acquisition des connaissances sous la forme opératoire. Dans la perspective de voir le participant construire lui-même des connaissances prédicatives, à partir, des connaissances opératoires. Celles-là qui lui permettent de construire des relations de tangences dans l’environnement GeoGebra. La construction des connaissances prédicatives sur la notion position limite, à partir, des connaissances opératoires ou compétence procédurale, suppose la conceptualisation sur cette notion, par adaptation des schèmes grâce aux composantes invariants opératoires, possibilité d’inférence ou règles d’action. Nous allons alors mettre les participants en activités dans l’environnement GeoGebra, les invitant à construire des relations de tangences par la technique sus-décrite. Afin d’éprouver le potentiel de cette technique à permettre au participant à construire des sens sur le concept de position limite dans l’environnement de géométrie dynamique.

3.2 La théorie des représentations sémiotique

Cette théorie soutient que la conversion au sens de (Duval, 1994) est source d’apprentissage sur les concepts mathématiques. Car, un registre de représentation ne représente que partiellement l’objet mathématique faisant l’objet d’étude. Ainsi, suite au travail du participant dans l’environnement de géométrie dynamique, nous allons l’inviter à produire des équations algébriques des droites tangentes en adoptant vision dynamique de la limite. Autrement dit, en regardant la droite tangente comme une position limite. La découverte d’une stratégie gagnante dans le registre algébrique, nous permettra de conclure que, la technique sus-évoquée a un potentiel élevé de permettre au lycéen de construire des sens sur le concept de position limite.

Technique de collecte de données

Notre technique de collecte de données est le teaching Expériment (TE). Il est centré sur des séances d’enseignement orchestrées par l’enseignant-chercheur. Selon l’objectif visé, celui-ci occasionne des interactions entre les apprenants ou entre les apprenants et lui-même, en vue d’évaluer, d’orienter et de réguler les connaissances construites par les sujets. Ceci dans le but de s’assurer que le sujet surmonte la difficulté annoncée par la recherche et surtout de comprendre et expliquer comment celui-ci y parvient.
Les autres acteurs du (TE) : le chercheur-témoin et deux lycéens volontaires. Le chercheur-témoin participe à l’élaboration des tâches à proposer aux sujets, donne son avis sur l’interprétation des données, dans le but de renforcer l’objectivité du chercheur-enseignant. Les participants ont été choisis en collaboration avec l’enseignant de la classe qui est par ailleurs le chercheur-témoin. Nous avons cherché et trouvé deux volontaires ayant des genèses d’usage développés par rapport au logiciel. Ceci dans le but de faciliter l’instrumentalisation des fonctionnalités à utiliser, pour la construction dynamique de la droite tangente.
Les outils de collecte de données : une caméra à chaque poste, les cahiers des participants, un journal de bord pour des prises de notes avant, pendant et après les séances.
Les instruments de collecte de données : un guide d’observation et un guide d’entretien. Cette technique de collecte de données est propre à la didactique des mathématiques. Elle a principalement été développée à l’école Russe et plus récemment aux États-Unis par (Steffe et al., 2000 ; Steffe & Thompson, 2000) entre autres.

Les situations proposées aux participants

5.1 Situation 1 : la droite tangente vue comme position limite : cas de la courbe d’une fonction trigonométrique

On considère la courbe représentative de la fonction f définie par : f(x) = cos (x). Le point A (π/2 , 0) et B un point lié sur la courbe (c) distinct du point A. (NB : dans cet exercice, en plaçant le point B d’un côté ou de l’autre du point A, on obtient le même résultat, ce qui peut changer dans le cas de certaines fonctions, comme la fonction valeur absolue par exemple)
1. Dans l’environnement Geogebra, Construis la droite sécante (AB).
2. Utilise la coordination des fonctionnalités zoom et déplacement, pour rapprocher le point B vers le A, jusqu’à ce que la courbe et la droite (AB) se confondent à l’écran en formant un segment de droite, avec les points B et A bien distincts à l’écran.
3. A l’aide la fonctionnalité zoom inverse, fais coïncider les points B et A.
4. Trace la droite tangente (T) en A à la courbe (c) à l’aide de la fonctionnalité « tangente » du logiciel.
5. Propose alors une ou plusieurs définitions ou une ou plusieurs propriétés d’une droite tangente ou d’une relation de tangence.
6. Justifie pourquoi la droite tangente est une position limite.
7. Écrire une équation algébrique de la droite tangente à (c) en A en prenant appui sur les définitions ou propriétés de la question 5)

5.2 Situation 2 : la droite tangente vue comme une position limite : le cas du cercle
On considère le cercle (C) dont une équation cartésienne est (x - 3)2 + (y - 5/4)2 = 65/16 , le point A= (5 ; 1) et B un point sur le cercle (C).
1. Écris une équation algébrique de la droite tangente en A, au cercle (C) en adoptant une vision dynamique de la limite.
2. Ecris une équation algébrique de la droite tangente en utilisant la « définition » (3) énoncée dans la situation 1.
3. Déduis de la question 2 que la droite tangente est une position limite.

Les productions du participant X
Pour toutes les tâches proposées, ce participant a engagé une stratégie de résolution. Lesquelles nous permettent de mieux analyser sa construction de sens sur le concept de position limite. Ce qui motive notre choix à analyser ces productions.

Les productions du participant X relative à la situation 1

6.1 Production du participant X dans l’environnement GeoGebra

Le participant X, a construit la droite tangente (T) sans difficultés majeures. Il a donc acquis les connaissances opératoires et nécessaires pour construire la droite tangente (T) en utilisant la technique (t) de variation de l’échelle des unités de longueur sur les axes. Comme le permet la théorie des champs conceptuels, nous présupposons qu’au cours de la résolution des tâches, il y a eu conceptualisation sur la notion de position limite. Pour valider ou invalider cette hypothèse nous analysons ses réponses à la question 5)
Le participant propose la réponse suivante à cette question :
(1).Une droite (T) est tangente à la courbe (c) d’une fonction f, lorsque l’on peut trouver un point B sur (c) et une technique (t), permettant de rapprocher sans cesse et autant que l’on veut la droite sécante (AB) de la droite (T), sans jamais l’atteindre, ni la surpasser (vision dynamique de la position limite ou de la limite).
(2).Une droite (T) est tangente à la courbe (c) lorsqu’elle est la position limite d’une suite (ABn)n de droites sécantes infinies, deux à deux distinctes, avec B un point sur la courbe (c), qui désigne le nième rapprochement du point B vers le point A et Bn la nième position occupée par le point B dans le cadre d’un rapprochement inépuisable de ce point vers le point A (une vision dynamique de la position limite ou de la limite).
(3).Une droite (T) et une courbe (c) sont liées par une relation de tangence en un point de (c), lorsqu’elles forment en ce point une intersection multiple (vision statique de la position limite ou de la limite)

6.2 La coordination des fonctionnalités zoom et déplacement : des outils efficaces pour la construction des sens sur le concept de position limite

6.2.1 La notion d’infini : une notion susceptible de faire émerger l’idée d’une position inatteignable

En référence à la théorie des champs concepts, nous soutenons que les réponses ci-dessus du participant X sont des connaissances prédicatives, construites à partir, des connaissances opératoires, ayant permis au participant de construire la droite tangente à la courbe (c) dans l’environnement GeoGebra. Ces connaissances prédicatives (1) et (2) sont le fruit d’un processus de conceptualisation rendu possible par la première phase de construction de la droite tangente. C’est-à-dire, la phase pendant laquelle le participant a coordonné les fonctionnalités zoom et déplacement pour rapprocher sans cesse et autant qu’il a voulu (vision dynamique de la limite) la droite sécante de la droite tangente. Pendant que la connaissance prédicative (3) serait le fruit d’une conceptualisation provoquée par la superposition des points à la position du point de tangence. Cette superposition arrive grâce aux zooms inverses.

La connaissance prédicative 2) met la notion de position limite en articulation avec plusieurs autres notions mathématiques. Ce qui nous invite à soutenir qu’au cours de la construction de la droite tangente (T), il y’a eu conceptualisation sur le concept de position limite. En effet, le participant X associe à la notion de position limite, la notion d’infini lorsqu’il dit : « […] la position limite d’une suite (ABn)n de droites sécantes infinies […] ». Nous présupposons que la notion d’infini à contribuer à ce que le participant perçoive la droite tangente comme une position limite. C’est-à-dire, une position inatteignable par les termes de la suite de droites sécantes construites dans l’environnement dynamique. Pour valider ou invalider cette hypothèse nous analysons sa réponse à la question 6)

Pour justifier que la droite tangente est une position limite le participant X prend appui sur la connaissance prédicative 1 (souvent désignée par « Théorème en acte »), et construit l’argumentation suivante :


La droite tangente est une position limite parce que nous avons trouvé une technique (t), permettant de rapprocher sans cesse et autant que l’on veut la droite sécante (AB) de la droite (T), sans jamais l’atteindre, ni la surpasser.

Dans cette argumentation l’expression « rapprocher sans cesse et autant que l’on veut, sans jamais l’atteindre » induit la notion d’infini. Ce qui nous nous invite à soutenir que cette notion a contribué à ce que le participant perçoive la droite tangente comme une position inatteignable, mais que l’on peut approcher autant que l’on veut, par la suite de droites construites dans l’environnement GeoGebra. Autrement dit, la notion d’infini a contribué à ce que le participant perçoive la droite tangente comme une position limite.

La technique (t) a permis au participant de mettre en articulation la notion d’infini avec d’autres notions mathématiques pour construire des connaissances prédicatives sur le concept de position limite. Par suite, nous soutenons que la coordination des fonctionnalité zoom et déplacement a fait de l’environnement de géométrique un milieu propice pour la construction des sens géométriques sur le concept de position limite. Car, dans ce milieu le participant X est arrivé à percevoir, la droite tangente comme une position limite.

6.2.2 Le rapproche inépuisable : un moyen de faire émerger la notion d’infini

La phrase soulignée dans le cadre ci-dessus montre que le participant X, aurait bien compris que c’est la technique (t) mise en œuvre qui donne au rapprochement le statut de rapprochement inépuisable. C’est-à-dire, une technique permettant de rapprocher sans cesse et autant que l’on veut la droite sécante de la droite tangente. Ce qui nous invite à soutenir que c’est la technique mise en œuvre qui a fait émerger la notion d’infini chez le participant. A son tour la notion d’infini a fait émerger l’idée de position inatteignable et donc de position limite.
Nous présupposons que celui-ci tenterait de modéliser cette technique en vue de trouver une technique algébrique (t’) à mettre en œuvre pour produire une équation de la droite tangente, en la regardant comme une position limite associée à la technique (t’).
Afin d’évaluer la pertinence des connaissances prédicatives construites par le participant X dans l’environnement GeoGebra, nous l’invitons à produire une équation algébrique de la droite en la regardant comme une position limite.

Production du participant X dans le registre algébrique

Étape 1 : la position limite d’une suite de points

Étape 2 : la droite tangente comme position limite d’une suite de droites sécantes.

Analyse a posteriori
Le participant X a mobilisé les connaissances prédicatives (1) et (2) pour produire avec succès une équation algébrique de la droite tangente en la regardant comme une position limite. Ce qui nous permet de soutenir que les schèmes de constructions de la relation tangence développés dans l’environnement GeoGebra, ont été efficaces pour le développement des nouveaux schèmes permettant au participant de produire une équation algébrique de la droite tangente.

7.1 Le point tangence : une position limite dans le registre algébrique

Dans le cadre algébrique le participant est arrivé a trouvé une technique (t) lui ayant permis de construire les coordonnées du point B, de sorte que le point A soit position limite des positions occupées par les points Bn.
En effet

aussi .

Ce travail du participant X, nous invite à soutenir que les connaissances opératoires et prédicatives construites sur le concept de position limite, dans l’environnement de géométrie dynamique, seraient efficaces, pour la construction des connaissances opératoires et prédicatives sur le même concept le cadre algébrique.

Puisque, le paramètre n prend des valeurs dans l’ensemble IN des entiers naturels non nuls. Il peut donc prendre un nombre infini de valeur deux à deux distinctes. Par conséquence, la technique mise en œuvre par le participant X pour construire les coordonnées du point B, induit un rapprochement inépuisable de ce point vers le futur point de tangence A. Ce qui nous invite à soutenir que le participant X a bien compris que c’est la technique mise en œuvre, pour rapprocher le point B vers le futur point tangence A, qui donne au rapprochement, le statut de rapprochement inépuisable (induisant la notion d’infini). Par suite, donne au point A le statut de point inatteignable, et donc, le statut de position limite.
Ainsi le participant X est arrivé à associer convenablement la notion d’infini à la notion de position limite dans le cadre algébrique, notamment dans le cas d’une suite points qui converge.

7.2 Position limite et perspective locale

Comme déjà dit plus haut, le participant X est arrivé à mettre en œuvre une technique algébrique lui ayant permis de construire les coordonnées du B, de sorte que le futur point de tangence A soit, la position limite des positions occupées par les points Bn. Ce travail montre que le participant a mis en fonctionnement et articulation les perspectives locales et ponctuelles sur la notion de fonction et sur la notion de droite tangente. Les schèmes lui ayant lui ayant permis de mener à bon port cette tâche repose sur des schèmes antérieurs, si l’on se réfère à la théorie des champs conceptuels. Puisque la situation proposée au participant dans le cadre algébrique est inédite, nous soutenons alors que ces schèmes antérieurs ont été développés au moins en partie dans l’environnement de géométrie dynamique. Dans ce cas, la coordination des fonctionnalité zoom et déplacement serait une technique à potentiel local élevé, par rapport aux techniques actuelles mises en œuvre par le participant pour travailler sur la notion de droite tangente.

7.3 La droite tangente : une position limite dans le registre algébrique

Dans le cadre algébrique, le participant X est arrivé à trouver une technique qui permet de donner à la droite tangente le statut de, la position limite d’une suite de droites sécantes à la courbe. Pour y arriver, il a mobilisé et adapté les connaissances prédicatives (1) et (2) conceptualisées dans l’environnement de géométrie dynamique. Ce qui nous invite à soutenir que la coordination des fonctionnalités déplacement et zoom est une technique modélisable en vue de faire percevoir la droite comme une position inatteignable par une suite de droites sécantes dûment construites. Autrement dit, cette coordination est une technique modélisable dans l’optique de faire percevoir la droite tangente comme une position limite dans le registre graphique.

Production du participant X relative à la tâche (1) situation 2

Étape 1 : la position limite d’une suite de points

Étape 2 : la position limite d’une suite de droites sécantes

8.1 Unicité de la Position limite d’une suite de points du cercle

Dans le cas du cercle, le participant X est arrivé à produire les coordonnées du point B de sorte que le point soit la position limite des positions occupées par la suite des points Bn. Il utilise une technique qui lui propose deux candidats possibles à donner aux coordonnées du point Bn. Face à cette situation, le participant utilise sa compréhension de la notion de position limite dans le cadre algébrique, pour disqualifier un candidat. Sa conduite nous invite à soutenir que la compréhension de la notion de position par le participant intègre l’unicité de la position limite. C’est-à-dire, pour lui, la position limite d’une suite de points du cercle qui converge est unique. Puisque le participant n’avait pas encore travaillé sur une suite de points du cercle qui converge. Ce dernier aurait alors adapté ses schèmes antérieurs qu’il aurait composé avec des découvertes en situation pour construire convenablement les coordonnées du Bn. Nous soutenons alors que ces schèmes antérieurs se sont développés au moins en partie dans l’environnement de géométrie dynamique. Car, pour lui, désigne en premier ressort, le nième rapprochement du B vers le point A et Bn la nième position occupée par le point B dans le cadre d’un rapprochement inépuisable de ce point vers le point de tangence. Ainsi la coordination des fonctionnalités déplacement et zoom serait un bon outil pour faire travail le participant sur l’unicité de la droite tangente en un point du cercle.

8.2 Position limite et développement des perspectives locales sur le cercle

L’itinéraire cognitif mis œuvre par le participant pour construire les coordonnées de la suite de points (Bn)n nous invite à déduire qu’il a mis en articulation et en fonctionnement les perspectives locales, ponctuelles et globale le sur le cercle et/ou sur la droite tangente. Car, lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes, les termes de la suite se rapprochent de plus en plus vers le futur point de tangence, en restant sur le cercle. Ce qui met en évidence l’aspect local intégré dans la compréhension de la notion de position limite par le participant. Dans la construction des coordonnées du point Bn, le participant a mis en relation le point Bn et le Point A. Ce révèle l’aspect ponctuel intégré dans la compréhension de la notion de position limite par ce dernier. Par ailleurs, le rapprochement inépuisable du point Bn vers le point A impliqué le rapprochement inépuisable de la droite sécante (ABn) vers la position de la droite tangente (T). Ce qui révèle l’aspect global intégré dans la compréhension de la notion de position limite par le participant.

Les schèmes ayant permis au participant de penser localement la notion droite tangente dans le cas du cercle se sont développés à partir des schèmes antérieurs. Puisqu’auparavant le participant n’a pas effectué un travail local sur la notion de droite tangente au cercle alors, nous soutenons que les schèmes antérieurs sus-évoqués se sont développés dans l’environnement de géométrie dynamique. Dans ce cas, nous soutenons que la coordination des fonctionnalités déplacement et zoom serait une technique à potentiel local élevé par rapport à la technique proposée par le point de vue de la dérivation ou celles actuellement utilisées par les lycéens pour construire la droite tangente au cercle.

8.3 La droite tangente vue comme position limite dans le cas du cercle.

Dans le cas du cercle, le participant X est arrivé à mettre œuvre une technique lui ayant permis faire percevoir la droite tangente comme une position limite. Pour y arriver, ce dernier a mobilisé les connaissances prédicatives (1) et (2) construites en situation dans l’environnement de géométrie dynamique. Ces deux connaissances prédicatives prennent appui sur la notion d’infini pour faire émerger l’idée de position inatteignable, mais que l’on peut approcher sans cesse et autant que l’on veut.

La réussite du participant à faire percevoir la droite tangente comme position limite dans le cas du cercle renforce notre interprétation selon laquelle, il aurait bien compris que c’est le choix de la technique à mettre en œuvre, qui donne au rapprochement le statut de rapprochement inépuisable. Le rapprochement inépuisable (induit la notion d’infini) à son tour fait émerger l’idée de position non atteignable, mais que l’on peut approcher sans cesse et autant que l’on veut. La mise en évidence d’une telle position a permis à chaque fois au participant de faire percevoir la droite tangente comme position limite.

Ainsi, les connaissances prédicatives (1) et (2) construites par le participant dans l’environnement de géométrie dynamique, sont utilisés avec pertinence par celui-ci pour faire percevoir la droite tangente au cercle comme la position limite d’une suite de droites sécantes au cercle.

Les productions du participant X relative à la situation 2 ; Production du participant X relative à la tâche (2) situation 2


Production du participant X relative à la tâche (3) de la situation 2


Je ne vois pas comment je pourrais déduire de la question (3) que la droite tangente est la position limite. En revanche je crois pouvoir le faire à l’aide de la question (2).

Vision dynamique de la limite et position limite.

Le participant X, est arrivé à produire une équation algébrique de la droite tangente au cercle au point A, en prenant appui sur le théorème-en-acte (3). Cependant il a des difficultés à faire percevoir la droite tangente au cercle comme une position limite en prenant appui sur ce théorème-en-acte qui est une vision statique de la limite construite par le participant dans l’environnement de géométrie dynamique. Pourtant il a réussi lors de la résolution de la tâche (1) relative à la situation (2), à faire percevoir la droite comme une position limite lorsqu’il a pris appui sur les théorèmes-en-acte (1) et (2). Ce qui nous invite à soutenir que les visions dynamiques de la limite (1) et (2), ont un potentiel plus élevé par rapport la vision statique de limite (3), à faire percevoir la droite tangente au cercle ou à la courbe d’une fonction2, comme une position limite.

Conclusion

Notre travail visait avant tout à donner aux participants des occasions de construire des sens sur le concept de position limite relativement au cadre algébrique et dans l’environnement de géométrie dynamique. En se référant aux travaux antérieurs et aux constatations empiriques, il ressort que les lycéens ont des difficultés à appréhender la notion de position limite, en particulier lorsqu’elle est rattachée à la notion de droite tangente. Nous nous sommes attardés sur la difficulté pour les lycéens à comprendre pourquoi lorsqu’on déplace un point B sur la courbe vers le futur point de tangence A, on parle de position limite de la droite sécante (AB) lorsqu’on arrive au point A (Cornu, 1983). Pourtant, rien ne fait obstacle au dépassement du A par le point B au vu du moyen mis en œuvre pour rapprocher le point B du point A. ‬‬‬‬‬‬‬‬

Partant du constat selon lequel la connaissance sous la forme prédicative ne semble pas porter beaucoup de fruits, nous avons tenté de proposer un autre itinéraire cognitif. Nous faisons acquérir aux participants la connaissance sous la forme opératoire. C’est-à-dire, nous leur donnons la possibilité de mettre œuvre une technique leur permettant de rapprocher sans cesse et autant qu’ils le souhaitent, le point B du A, sans jamais l’atteindre, ni le surpasser. La coordination des fonctionnalités déplacement et zoom de l’environnement de géométrie dynamique est convoquée à cet effet. Nous avons par la suite, invité les participants à construire eux-mêmes les connaissances prédicatives à partir des connaissances opératoires acquises dans l’environnement de géométrique dynamique.

Ensuite, de produire une équation algébrique de la droite en la regardant comme une position limite. Les participants ont réalisé ces tâches avec succès grâce à la médiation de l’enseignant. Les adaptations faites par les participants dans le registre algébrique, pour construire la suite de points (Bn)r dont le A est position limite des positions occupées par les points Bn, ont permis de soutenir que ceux-ci ont compris que, le nœud de la compréhension réside dans la technique mise œuvre pour rapprocher. Autrement dit, les participants ont compris que c’est la technique dûment choisie, qui fait du rapprochement un rapprochement inépuisable (sous-tendu par la notion d’infini). Et c’est ce rapprochement inépuisable qui permet de faire percevoir le point de tangence comme un point inatteignable. Mais, que l’on peut approcher sans cesse, et autant que l’on veut. C’est alors que la situation permet de renforcer l’idée de position limite, voire de la faire émerger.

Dans l’environnement de géométrie dynamique la technique induisant le rapprochement inépuisable est mise en œuvre grâce à la coordination des fonctionnalités déplacement et zoom. Dans le registre algébrique, la technique repose sur la non dénombrabilité de l’ensemble IN ou des rationnels ou des irrationnels présents dans des intervalles non vides de IR.

A la suite de la résolution de la tâche (2) relative à la situation (2), en adoptant la vision statique de la limite1, le participant X affirme qu’il a des difficultés à déduire que la droite tangente est une position limite. Ce qui nous a invité à soutenir que, par rapport à la vision statique, les visions dynamiques construites dans l’environnement de géométrie dynamique par les participants, ont un potentiel très élevé, à faire percevoir la droite tangente comme une position limite. Aussi, le travail algébrique des participants ont permis de soutenir que les visions dynamiques de la limite, par rapport à la vision statique, ont un potentiel local très élevé.

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