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Une expérimentation bien menée ouvre des pistes de démonstration
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Le but essentiel de l’article est de montrer que dans certains cas, l’expérimentation, la démarche d’investigation [1] METTENT SUR LA PISTE
d’une démonstration.

Ce texte est donc "brut de décoffrage".

Le fignolage (indispensable) est laissé à la fin de l’article... aux
lecteurs.

Voici l’énoncé :

Deux droites D1 et D2 se coupent en P. A est un point du plan non situé sur D1 ou D2. On donne un angle dont la mesure est a (entre 0 et 180°).

On veut construire tous les triangles isocèles possibles AMN (AM=AN) tels que la mesure de l’angle en A soit a et tels que M soit sur D1 et N sur D2.

On commence par construire (avec un logiciel de géométrie dynamique [2]) 2 droites D1 et D2 se coupant en P, le point A et un angle xOy dont on fait apparaître la mesure (commande mesure d’angle). On désigne par p (entre 0 et 180°) la mesure du secteur angulaire formé par D1 et D2 et qui contient A et on fait aussi apparaître sa valeur.

p et a sont des paramètres dont la valeur change si on fait varier D1 ou D2 (pour p), x ou O ou y (pour a).

Notre problème exige la prise en compte de 4 contraintes : M sur D1, N sur D2, AMN isocèle, d’angle a en A.

Une méthode très générale en mathématiques consiste à lever (provisoirement) une de ces contraintes. Levons la contrainte « N est sur D2 ».

Nous avons alors à construire un triangle isocèle AMN, M sur D1, mesure de l’angle en A égale à a.

La commande « point sur objet » permet de placer M sur D1 : il est mobile sur cette droite.

La façon la plus économique de construire (avec Cabri) un triangle AMN isocèle en A et de mesure a, consiste à utiliser la fonction « rotation ». On désigne successivement M (le point à transformer), A (centre de rotation) et la valeur affichée de a (l’angle). Cabri construit un point que nous désignons par N1. Nous faisons apparaître le « triangle » AMN1. Pour faire apparaître le second triangle possible AMN2, le plus simple est de construire le symétrique de N1 par rapport à (AM). Voici la figure :

Quand on saisit M à la souris et qu’on le déplace sur D1, N1 et N2 se déplacent dans le plan, en conservant les propriétés de la figure. Si on fait varier a, la figure se restructure… A aussi est modifiable.

L’expérimentation commence : on essaye de déplacer M pour que N1 ou N2 se trouvent sur D2. Cela paraît possible une fois pour chaque point.

L’observation de N1 et N2 laisse entrevoir qu’ils se déplacent en ligne droite : on le confirme par la commande « Lieu » (on désigne N1 ou N2, points dont on cherche le lieu, puis M, le point dont ils dépendent. Les droites apparaissent en rouge.

Voici la figure dynamique finale sur laquelle le lecteur peut expérimenter, en faisant varier tous les paramètres : p, a, A…

figure Cabri - 3.5 ko
télécharger la figure Cabri2

Le points N1 et N2 évoluent chacun sur une des droites rouges. On les voudrait AUSSI sur D2. Ils se trouvent donc à l’intersection (si elle existe) de D2 avec l’une des 2 droites rouges.
On peut aller plus loin que ce sentiment et le vérifier : on prend 2 points sur lieu, on trace la droite par ces points et on vérifie avec « l’oracle de Cabri » que le point courant appartient bien à la droite.

On peut alors expérimenter à propos de l’intersection de ces droites : se coupent-elles toujours ? Dans quels cas sont-elles parallèles distinctes ? Confondues ?

Cette expérimentation donne aussi d’excellentes idées de démonstration.

Que représentent les deux droites rouges ? Comment sont-elles construites (M est sur D1 ; on passe de M à N1 ou N2 par une transformation. Donc N1 et N2 sont sur…).

Je m’arrête là. Je lance aux lecteurs un appel à mettre en forme la démonstration esquissée, ainsi que l’indispensable discussion : nous publierons une synthèse de ces envois dans le prochain numéro. A vos claviers !


notes

[1Certains préfèrent parler d’investigation plutôt que d’expérimentation, car disent-ils, « on expérimente sur des processus naturels et on pratique l’investigation sur des modélisations.

[2Nous utilisons Cabri Géomètre, mais les choses ne diffèrent guère avec d’autres logiciels de cette catégorie.

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