Les mathématiques de la Saint-Valentin

théorie arithmétique de l’effeuillage des ~~amoureux~~ pâquerettes

Article mis en ligne le 6 janvier 2014

dernière modification le 25 avril 2021

par Alain Busser

Pour essayer de deviner les sentiments de l’être cher, la méthode classique consiste à compter modulo 5, les pétales d’une marguerite (ou d’une pâquerette). On va voir que cette méthode est peu risquée...

Note : Le présent article porte uniquement sur la répartition statistique du nombre de pétales, et pas sur leur forme ; par coïncidence, ce dernier sujet est traité dans cet autre article du même numéro.

Gédéon voudrait faire un ~~bébé~~ câlin à Marguerite ; mais il a peur qu’elle lui dise non... Ne connaissant aucune méthode scientifique pour sonder l’esprit de Marguerite, il va alors arracher méthodiquement ~~les vêtements de Marguerite~~ les « pétales » d’une marguerite, qui, quant à elle, ne lui avait pourtant rien fait...

Au moment où il arrache le premier pétale, il prononce la phrase « elle m’aime » ; ensuite, il répète le cycle « un peu, beaucoup, passionnément, à la folie, pas du tout » de période 5. Ainsi, le résultat final dépend du nombre total de pétales modulo 5, selon la correspondance suivante :

N modulo 5	verdict
0	à la folie
1	pas du tout
2	un peu
3	beaucoup
4	passionnément

On risque donc a priori la grosse ~~veste~~ déception du « pas du tout » avec une probabilité de 0,2. Mais pas a posteriori, parce que le nombre de pétales d’une marguerite est en général un nombre de Fibonacci. Dans cet article, on va donc étudier la répartition modulo 5 de la suite de Fibonacci.

Fibonacci modulo 5

Suite de Fibonacci

En CoffeeScript, l'affectation simultanée permet de calculer aisément la suite de Fibonacci :

[a, b] = [1, 1] N = 69 for n in [2..N] [a, b] = [b, a+b] alert "Le terme d'indice #{N} de la suite de Fibonacci est #{a}; il est congru à #{a%5} modulo 5"

Modulo 5

Comme a+b a le même reste modulo 5, que (a modulo 5)+(b modulo 5), on peut faire tous les calculs directement modulo 5; on définit ainsi la suite de Fibonacci dans Z/5Z :

[a, b] = [1, 1] N = 69 for n in [2..N] [a, b] = [b, (a+b) % 5] alert "Le terme d'indice #{N} de la suite de Fibonacci modulo 5 est #{a}"

D'éventuelles (ir)régularités apparaîtront mieux si on affiche la liste des termes modulo 5 :

suite = [0, 1, 1] N = 25 for n in [2..N] suite[n] = (suite[n-1]+suite[n-2]) % 5 alert suite

C'est magique ! Compte-tenu du fait qu'il n'y a que 5 élements dans Z/5Z, il est surprenant que la période de la suite de Fibonacci modulo 5 soit aussi grande que 20:

1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0

Les nombres de Fibonacci sont donc bien équirépartis modulo 5. Cependant, comme une marguerite à 21 pétales est écartée à vue, on doit aller jusqu'à 4181 pétales pour avoir à nouveau un nombre congru à 1 modulo 5, et des marguerites à 4181 pétales sont assez rares ...

Une question intéressante est celle de la période de la suite de Fibonacci modulo d'autres nombres premiers que 5...

Voici un algorithme permettant de calculer la période :

[a, b] = [1, 2] p = 5 N = 0 until a is 1 and b is 1 N++ [a, b] = [b, (a+b) % p] alert "Modulo #{p}, la période est #{N+1}"

Il donne les résultats suivants, à comparer avec le nombre de vecteurs non nuls en dimension 2 sur Z/pZ, qui est p²-1:

modulos	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	39	127
périodes	3	8	20	16	10	28	36	18	48	14	30	76	56	256

Un nombre figurant en bas de ce tableau s’appelle une période de Pisano. La découverte de ces périodes est attribuée à Joseph Louis Lagrange.

Des prolongements

La période de Pisano modulo p est un diviseur de $p^2-1$. Elle n’est égale à $p^2-1$ dans le tableau ci-dessus, que pour $p=2$ ou $p=3$. Cela est dû à ce que modulo 2 et 3, le polynôme $x^2-x-1$ est non seulement irréductible, mais primitif. En effet, le corps à 9 éléments a un groupe multiplicatif engendré par $x$ modulo $x^2-x-1$ dans Z/3Z (construction classique d’un corps fini). Une question intéressante est alors de savoir quels sont les nombres premiers $p$ modulo lesquels le polynôme $x^2-x-1$ est non seulement irréductible, mais également primitif. Pour cela, Xcas est pratique : On essaye de créer un corps de dimension 2 par exemple modulo 7, en imposant le polynôme $x^2-x-1$ comme générateur, avec GF(7,x^2-x-1,['x','G']) ; Xcas proteste en répondant que le polynôme n’est pas primitif : Warning x^2-x-1 is irreducible but not primitive. You could use x^2+x+3 instead ; cette recherche, plus rapide que la boucle CoffeeScript ci-dessus, ne donne pas beaucoup de valeurs de $p$ pour lesquelles $x^2-x-1$ est primitif [1]...
Une première question est déjà celle de l’irréductibilité de $x^2-x-1$ modulo $p$. Or il s’agit ici d’un trinôme, et la réponse est au programme de première : Le trinôme est réductible si et seulement si son discriminant est positif. Seulement il n’y a pas de relation d’ordre modulo $p$ donc la condition "est positif" doit être remplacée par "possède une racine carrée". Comme les spécialistes de la théorie des nombres aiment bien les expressions compliquées, ils disent "est un résidu quadratique"... Au fait, le discriminant de $x^2-x-1$ est $(-1)^2-4 \times 1 \times (-1)=5$. Le polynôme est donc irréductible si et seulement si 5 n’est pas un résidu quadratique modulo $p$. Mais d’après la loi de réciprocité quadratique, cela revient à dire que $p$ n’est pas un résidu quadratique modulo 5, ce qui est assez facile à vérifier en faisant la liste des résidus quadratiques modulo 5, qui sont 0, 1 et 4. Autrement dit,
- ou bien $p=5$, et on a vu que la période est 20 ; dans ce cas, on possède une forme explicite pour la suite de Fibonacci modulo 5 ; le terme général étant $(n+1)\times 3^n$ modulo 5 ;
- ou alors $p$ est congru à 1 ou 4 modulo 5, et alors la suite de Fibonacci modulo $p$ est somme de deux suites géométriques (par exemple, modulo 11, son terme général est $10 \times 4^n +2 \times 8^n$). Dans ce cas, la période divise $p-1$ (par exemple, modulo 11, la période est 10). Elle ne peut donc être aussi grande que $p^2-1$ ;
- ou enfin $p$ est congru à 2 ou 3 modulo 5 et la période est un diviseur de $p^2-1$ et peut très bien, comme le montrent les exemples ci-dessus, être un diviseur propre de $p^2-1$... Dans ce cas, puisque 5 n’est pas un carré modulo $p$, on fait comme avec les nombres complexes, en imaginant un nombre $i$ tel que $i^2=5$ modulo $p$, et on construit le corps à $p^2$ éléments comme ensemble des $a+bi$ où $a$ et $b$ sont éléments de Z/pZ et où $i^2=5$ ; là encore la suite de Fibonacci est somme de deux suites géométriques mais à termes "complexes". Par exemple, modulo 7, son terme général est $(4+5i)(4+4i)^n+(4+2i)(4+3i)^n$. Or $(4+4i)^{16}=1$ et de même pour son conjugué $(4+3i)^{16}=1$ : Comme somme de deux suites géométriques de période 16, la suite de Fibonacci est aussi de période 16 (modulo 7). Il ne semble pas exister de nombre premier $p$ congru à 2 ou 3 modulo 5, pour lequel la suite de Fibonacci a période $p^2-1$, hormis 2 et 3 eux-mêmes.
- Le script qui permet de vérifier les affirmations ci-dessus :
  class N constructor: (@a,@b) -> toString: -> "#{@a}+#{@b}i" plus: (z) -> new N((@a+z.a)%7,(@b+z.b)%7) fois: (z) -> new N((@a*z.a+5*@b*z.b)%7,(@a*z.b+@b*z.a)%7) p = new N 1, 0 r = new N 4, 4 t = [p] for n in [1..16] p = p.fois r t.push p alert t

Un problème est lié à celui étudié ici.

Ainsi, il s’est avéré finalement que la marguerite cueillie par Gédéon comportait au total 55 pétales ce qui a laissé à Gédéon l’impression que Marguerite l’aime « à la folie » ; tout ém~~oustillé~~u, Gédéon rejoint alors Marguerite dans le champ de marguerites ; il est temps de jeter ~~du riz~~ un voile pudique sur nos deux amoureux. Disons simplement que le comportement de Gédéon rappelle un peu celui d’un lapin qui venait à passer dans ce champ de marguerites.... Or justement, lorsque Fibonacci a inventé sa suite, c’était pour modéliser la démographie des lapins. Mais bizarrement, il ne considérait pas que les lapins se reproduisent à une vitesse effrénée. Au contraire, il faisait les deux hypothèses un peu étranges que voici :

De chaque portée, il ne reste qu’une seule lapine qui survivra assez longtemps pour enfanter à son tour ;
par contre, une fois nées, les lapines sont immortelles...

Pour faire des hypothèses plus raisonnables, on va donc considérer un quadruplement des lapines à chaque génération et une limite de leur durée de vie de 4 ans (soit 8 fois le temps d’enfanter si elles ont une portée tous les 6 mois). Autrement dit, au lieu de $u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}$, on va considérer la suite $v_{n}=v_{n-1}+3 v_{n-2}-2v_{n-8}$. On peut la tester en remplaçant le CoffeeScript d’un des cadres ci-dessus par

suite = [0, 1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217]
N = 25
for n in [9..N]
suite[n] = (suite[n-1]+3*suite[n-2]-2*suite[n-8])
alert suite

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On constate alors un triplement approximatif à chaque génération. Pour le vérifier, on va essayer d’approcher $v_{n}$ par une suite géométrique et chercher sa raison $r$ : Elle est nécessairement solution de $r^{n}=r^{n-1}+3r^{n-2}-2r^{n-8}$, qui, par division par $r^{n-8}$, donne $r^8=r^7+3 r^6-2$ : D’après Xcas, la plus grande raison possible est environ 2,3 et la "nouvelle suite de Fibonacci" diverge encore plus vite que l’ancienne.