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Quelques réflexions sur l’utilisation des fonctions avec GéoplanW
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Le point de départ de cette réflexion est une série d’utilisations en classe de 1ère (S, STI ) de GeoplanW pour présenter les notions de tangente à une courbe représentative d’une fonction (parabole et hyperbole en particulier). Selon les années, j’ai utilisé 2 méthodes différentes pour représenter la fonction. Je me suis alors aperçu que leur "impact" pédagogique n’était pas le même sur mes élèves.

J’aimerai "comparer", ici, différentes méthodes utilisables avec Geoplan afin d’obtenir :

1. la courbe Cf représentative d’une fonction f

2. un point M mobile sur cette courbe cf.

Au travers de cette étude, je souhaite faire apparaître quelques implications pédagogiques des choix faits.
J’appelle f la fonction carrée qui servira ici d’exemple.
Voici 3 méthodes différentes pour réaliser les points 1 et 2 ci-dessus.

1ère méthode : on crée directement la courbe représentative sans avoir besoin de créer la fonction. Puis on crée M.

2ème méthode : on crée tout d’abord la fonction puis sa courbe représentative. Puis on crée M.

3ème méthode : on crée tout d’abord le point M puis la courbe représentative de la fonction comme lieu du point M.

Bien que je n’ai jamais utilisé la 3ème méthode avec mes élèves, je l’inclus tout de même dans ce comparatif afin d’être plus complet.

Je tenterai de tirer quelques conclusions de cette étude.

1ère méthode : on crée directement la courbe représentative sans avoir besoin de créer la fonction.

Création avec GeoplanAvantagesInconvénients
1ère étape : créer la courbe représentative de la fonction



Créer Ligne Courbe Graphe d’une Fonction
Création rapide qui ressemble à l’usage que l’élève fait d’une calculatrice graphique. Cette méthode n’aide pas l’élève à dissocier la courbe représentative et la fonction elle-même.
On doit utiliser la variable X et non l’habituel x, ce qui crée des erreurs qui, même si elles sont formatrices (lecture des consignes), parasitent un peu le travail.
2ème étape : créer l’abscisse du point M qui sera mobile sur cette courbe.



On crée un réel (xM par exemple) qui sera l’abscisse de ce point :
Créer Numérique Variable réelle libre
Les confusions citées en inconvénients peuvent être l’occasion d’éclaircir le statut des différents objets : abscisse, point.
Il sera très utile de demander un affichage de xm (créer Affichage Variable Numérique déjà définie) et de piloter xm au clavier en observant cet affichage. Cette observation est à faire avant toute création du point M, afin de bien faire comprendre que c’est en modifiant (on dit "en pilotant" dans Geoplan) son abscisse que l’on "fait bouger" le point M.
Ceci est peu naturel pour l’élève : j’ai constaté chez certains élèves des confusions entre xm et M lors de ces créations : mais peut-être n’était-ce que la matérialisation "grâce " à Geoplan de confusions déjà existantes.
3ème étape : créer le point M qui sera mobile sur cette courbe.



Créer Point Point repéré dans le plan
On pourra ensuite Piloter le point M via xm, au clavier.
Si, en plus, on demande un affichage des coordonnées de M (créer Affichage Coordonnées d’un point) on est proche de la fonction Trace de la calculatrice (avec en plus la possibilité de régler le pas d’avancement de l’abscisse (piloter Modifier les paramètres de pilotage au clavier)
Si l’on change la définition de la fonction, il faut changer la définition de M et celle de la courbe cf.


En conclusion :
la 1ère méthode de construction de la courbe est rapide, proche de celle utilisée avec une calculatrice.

Vous pouvez télécharger un exemple de figure Geoplan ayant été construite avec cette 1ère méthode :

Geoplan - 972 octets
methode1.g2w

(Attention, si Geoplan n’est pas installé sur votre ordinateur le navigateur vous montrera uniquement le texte de cette figure).
Pour installer Geoplan-geospace se reporter à la conclusion.

Cliquer sur l’icône ci-dessous pour voir une vidéo de la création avec la 1ère méthode :

AVI - 1.2 Mo
Vidéo 1ère méthode

Vous voyez ci-dessous une visualisation de la figure obtenue grâce à l’applet java GeoplanJ. En cliquant sur la figure vous pouvez modifier la position de M à l’aide des flèches du clavier

2ème méthode : on crée tout d’abord la fonction puis sa courbe représentative.

Création avec GeoplanAvantagesInconvénients
1ère étape : créer la fonction



créer Numérique Fonction numérique
Cette méthode traduit exactement la phrase mathématique : "Soit f la fonction définie par f(x)=x² ".
Cependant après cette création, les élèves ne voient pas la courbe : c’est perturbateur mais aussi formateur (du moins je l’espère). On pourra utiliser l’icône pour voir le rappel des objets construits (sic !) et constater que la fonction est connue de Geoplan.
Le "non-tracé" de la courbe étonne d’autant plus l’élève qu’il a devant lui un écran "graphique" où il aura certainement déjà fait apparaître un repère (grâce à l’icône par exemple).
2ème étape : tracer la courbe représentative



créer Ligne Courbe
Graphe d’une Fonction prédéfinie
L’élève doit expressément demander le tracé de la courbe représentative : ce qui devrait l’aider (à terme) à dissocier la fonction de sa courbe représentative. Ici la démarche est plus longue que celle de la méthode 1.
3ème étape : il suffit de reprendre les étapes 2 et 3 de la première méthode

Le fait d’avoir défini la fonction f peut être exploité ici pour définir l’ordonnée par f(xM) et non xM^2.
Ceci permet de faire fonctionner y=f(x) d’une part.
D’autre part, cette méthode assure une meilleure "adaptabilité" du fichier : c’est à dire que le changement de la définition de la fonction n’influe pas sur le positionnement de M sur Cf .
Dans le cas où l’on a choisi de définir l’ordonnée par f(xm), on perd un peu de vue la définition de f.
Les élèves utilisent naturellement xM^2 plutôt que f(xM).
La raison est peut-être du côté de l’usage préalable de la calculatrice. Seuls quelques modèles de calculatrices, comme les TI formelles par exemple, permettent une définition de fonction du type Y1=f(x).

En conclusion : cette méthode de construction de la courbe est plus longue. Elle donne l’occasion de rencontrer des situations qui questionnent les représentations des élèves.

Vous pouvez télécharger un exemple de figure Geoplan ayant été construite avec cette 2nde méthode :

Geoplan - 1002 octets
methode2.g2w

(Attention, si Geoplan n’est pas installé sur votre ordinateur le navigateur vous montrera uniquement le texte de cette figure).
Pour installer Geoplan-geospace se reporter à la conclusion.

Cliquer sur l’icône ci-dessous pour voir une vidéo de la création avec la 2nde méthode :

AVI - 1.7 Mo
Vidéo 2ème méthode

Vous voyez ci-dessous une visualisation de la figure obtenue grâce à l’applet java GeoplanJ. En cliquant sur la figure vous pouvez modifier la position de M à l’aide des flèches du clavier :

3ème méthode : on crée tout d’abord le point M puis la courbe représentative de la fonction comme lieu du point M.

Création avec GeoplanAvantagesInconvénients
1ère étape : créer le point mobile M



créer Numérique
Variable réelle libre dans un intervalle


On peut ensuite créer M comme ci-dessus ( voir la 1ère méthode ou bien la 2nde méthode).
Il faut impérativement que l’abscisse xM soit définie comme Variable réelle libre dans un intervalle sinon il est impossible de construire ensuite le lieu de M.
2ème étape : piloter M en laissant une trace de M



Tout d’abord, il faut sélectionner le point M pour qu’il laisse une trace : Afficher Sélection trace
On retrouve le tracé ponctuel de la courbe, un peu à la manière de ce qui se fait à la main avec bien sûr beaucoup plus de précision si l’on a pris soin de choisir un petit pas de pilotage (0.1 par défaut). La visibilité du travail final se perd plus aisément.
Le lieu ainsi construit ne peut être conservé par la suite : l’icône est devenue et il faut encore cliquer sur cette dernière icône pour pouvoir à nouveau utiliser les menus et poursuivre le travail.
3ème étape : obtenir une courbe "non éphémère"



créer Ligne Courbe Lieu d’un point
La notion de lieu n’est peut-être pas encore abordée et ce n’est pas du tout le but de ce travail : donc il peut y avoir parasitage du travail par cette nouvelle notion.
Cela risque de prendre un peu plus de temps car la notion étant nouvelle, il ne faut pas "brader" sa présentation.

En conclusion : cette 3ème méthode de construction de la courbe fait appel à la notion de lieu d’un point qui est peu familière aux élèves. Il faut être attentif, me semble-t-il, à ce que cette nouvelle notion ne "parasite" pas le travail.

D’autre part, on commence par créer un point mobile sur la courbe : la démarche est donc inverse de celle des deux premières méthodes.

Vous pouvez télécharger un exemple de figure Geoplan ayant été construite avec cette 3ème méthode :

Geoplan - 1.4 ko
methode3L.g2w

(Attention, si Geoplan n’est pas installé sur votre ordinateur le navigateur vous montrera uniquement le texte de cette figure).
Pour installer Geoplan-geospace se reporter à la conclusion.

Cliquer sur l’icône ci-dessous pour voir une vidéo de la création avec la 2nde méthode :

AVI - 1.2 Mo
Vidéo 3ème méthode

Vous voyez ci-dessous une visualisation de la figure obtenue grâce à l’applet java GeoplanJ. En cliquant sur la figure vous pouvez modifier la position de M à l’aide des flèches du clavier :

Conclusions :

Le choix de la méthode est à considérer en tenant compte de plusieurs critères. Voici ceux que je retiendrai :

* Y aura-t-il réutilisation avec les élèves de Géoplan en analyse lors de plusieurs séances ?.

Si oui, il me semble qu’il vaut mieux éviter la méthode 1 qui ,quoique rapide, entretient des confusions qu’il faut absolument lever si l’on veut que Géoplan devienne un outil utilisable en autonomie par les élèves.

* Les concepts mathématiques en jeu sont-ils déjà connus des élèves, ou bien sont-ils en construction, voire en gestation. Dans ce dernier cas, il me semble qu’il faut éviter la 3ème méthode qui apporte un concept nouveau ou peu maîtrisé risquant de parasiter l’attention des élèves.

Ma préférence va à la 2nde méthode : elle permet d’évoquer la distinction courbe / fonction qui est faite par le logiciel et non "imposée" par le professeur.

Il est absolument nécessaire de bien séparer les étapes et d’en visualiser les conséquences. Par exemple :

* création de l’abscisse xM,

* affichage de xM,

* pilotage au clavier de xm en visualisant les valeurs grâce à l’affichage

* création de M

* visualisation de la mobilité de M grâce au pilotage de xM

On peut réinvestir ces constructions dans diverses situations :

* introduction de la tangente à la courbe comme position limite d’une sécante :

* construction d’une tangente à un point M d’une courbe représentative de fonction (utilisation du nombre dérivé en 1ère) :

et un exemple de fiche élève utilisant ce qui précède :

PDF - 93.9 ko

* introduction de la notion de limite (observation de l’évolution des coordonnées d’un point M mobile sur la courbe).

* visualisation de la notion d’asymptote.

Installation éventuelle de Geoplan-Geospace afin de visualiser les figures proposées en exemple :

(cependant toutes les figures fonctionnent avec une ancienne version de GeoplanW)

*
récupérer Geoplan-Geospace sur le site de l’académie d’Amiens (cette dernière version de Geoplan est gratuite)

* décompresser l’archive dans un répertoire temporaire et copier les fichiers dans un dossier (GG par exemple)

* il reste à associer les figures G2W et G3W à cette version de Geoplan-Geospace.


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