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Trois ensembles de bouliers virtuels, pour la GS, le CP et le CÉ1
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Mis en ligne le 24 juin 2016, par Alain Pauty, Luc Tiennot

Auteurs :

  • Alain Pauty, École Pablo Picasso, St-Pierre, Académie de la Réunion et IREM (Institut de recherches sur l’enseignement des mathématiques), Université de la Réunion.
  • Luc Tiennot, LIM (Laboratoire d’informatique et de mathématiques) et IREM (Institut de recherche sur l’enseignement des mathématiques), Université de la Réunion

Pour nous, le boulier est seulement un des artéfacts utilisés dans certaines étapes de notre progression pour les apprentissages numériques à l’école.
Lorsque nous avons été sollicités pour participer au projet « le boulier chinois à l’école », en 2013, ce qui nous semblait le moins évident était de réfléchir à l’utilisation du boulier dès la maternelle, pour des raisons que nous explicitons ci-dessous. Nous avons donc été conduits à proposer un premier ensemble de didacticiels avec un « boulier » adapté à la GS dont il n’existe pas de modèle matériel. Nous proposons aussi deux autres ensembles de didacticiels, correspondant à des bouliers de plus en plus traditionnels et amenant au boulier chinois, adaptés au CP et au CÉ1.
Les didacticiels ont été développés par Alain Pauty à partir de nos échanges.

Cet article peut être librement diffusé à l’identique dans la limite d’une utilisation non commerciale suivant la licence CC-by-nc-nd

Quelques mises au point, nos choix didactiques

Qu’appelons-nous artéfact ?

On connaît le sens courant de ce nom, lié à un objet ou à un phénomène d’origine humaine.
Dans un contexte didactique, le terme artéfact peut avoir des acceptions légèrement différentes suivant les chercheurs, mais toujours liées à un objet créé par un être humain. Voir, par exemple, dans ce numéro, Gueudet et Bueno-Ravel 2016.

Pour nous, dans un contexte didactique, un artéfact est toujours un objet correspondant à un concept ou un objet mathématique précis, identifié par l’enseignant, et dont l’utilisation facilite l’appréhension de ce concept ou de cet objet. Ainsi, le boulier traditionnel, qu’il soit asiatique ou européen, est clairement un artéfact de la numération décimale de position, notre numération, dont l’apprentissage relève du cycle 2.

Notre progression pour les apprentissages numériques aux cycles 1 et 2

Les apprentissages numériques dans ces cycles comprennent successivement la construction du nombre au cycle 1 et la construction du sens de la numération au cycle 2.

Les étapes principales en sont successivement :
- la création des unités (où il faudra accepter qu’un objet à calculer ou un graphisme ne représente qu’une quantité unité, indépendamment de sa forme, de sa taille, de son aspect affectif, de son utilisation dans d’autres contextes) ;
- les groupements qui facilitent la perception visuelle (par cinq en fin de cycle 1, puis par dix au CP, puis par dix et récursifs à partir du CÉ1) ;
- les groupements-échanges (où il faudra accepter que les unités discernables disparaissent)
- puis, enfin, notre numération de position de base dix.

Des jetons, des coquillages, des graines constituent un matériel à calculer habituel de la première étape ; les configurations de doigts et les mains, celui de la deuxième étape ; la monnaie, les masses marquées, celui de la troisième étape et les bouliers classiques, européens ou asiatiques, celui de la dernière étape.

Les nouveaux programmes, depuis la rentrée 2015-16, du cycle 1 (BO 2015, p.16), désormais identifié à la maternelle, font clairement référence aux travaux de chercheurs et à l’expérience de pédagogues ou de formateurs spécialistes du cycle 1 sur ce qu’il est important de construire avant le cycle 2 et rappellent opportunément que

« cette construction ne saurait se confondre avec celle de la numération et des opérations qui relèvent des apprentissages de l’école élémentaire ».

De plus,

« La maîtrise de la décomposition des [petits] nombres est une condition nécessaire à la construction du nombre, »

compétence dont nous connaissons l’importance et que nous avons prise en compte pour concevoir le boulier GS.

Nous proposons trois ensembles de didacticiels, utilisables à chacun des niveaux, de la GS au CÉ1, permettant de s’approprier le fonctionnement du boulier chinois, en accord avec les programmes numériques de la rentrée 2015 pour la GS et de la rentrée 2016 pour le cycle 2.

Lors de la dernière année du cycle 2, le CÉ2 à partir de la rentrée 2016-17, et dans les classes suivantes, le registre numérique des entiers s’étend au delà de 100, puis au cycle 3 de « nouveaux » nombres, les nombres décimaux (non entiers) sont introduits comme fractions décimales et donc comme un nombre entier de dixièmes, centièmes, etc. Les principes généraux du fonctionnement du boulier chinois étant peu à peu construits de la GS au CÉ1, ils peuvent être appliqués à un plus grand nombre de tiges (pour les grands entiers) ou transposés à des affectations différentes des tiges (avec les décimaux non entiers, la tige la plus à droite ne représente plus le chiffre des entiers, mais celui des dixièmes, centièmes, etc.

Représentation analogique ou représentation codée ?

Nous considérons qu’il existe deux types de représentations graphiques ou écrites du nombre (Brissiaud 2003) : les représentations analogiques, qui ne nécessitent aucun codage-décodage : chaque objet, physique ou graphisme (barre, point, doigt), représente une unité et les représentations codées qui nécessitent, comme leur nom l’indique, la connaissance d’un code. Ce code recouvrant à la fois un lexique (ce que représente chaque signe) et, pour les plus intéressantes de ces représentations, une syntaxe (quelles sont les règles d’agencement de ces signes et les quelles sont les significations associées).

À la première catégorie, appartiennent les représentations digitales, ou configuration de doigts ; les constellations (des dés à jouer, des dominos, du mah-jong) ; les carrés, munis d’une diagonale, utilisés par certains joueurs de carte pour décompter les points. Les deux premières sont très utilisées dans les premiers apprentissages numériques. Ne nécessitant pas de travail de décodage, elles « parlent » immédiatement, que ce soit à l’émetteur ou au récepteur. Par contre, elles ne sont guère envisageables pour représenter des grands nombres.

La deuxième catégorie comprend ce qu’on peut appeler des numérations. Ces numérations écrites utilisent un petit nombre de signes élémentaires éventuellement combinés pour former des « chiffres » (deux signes pour la numération maya à 20 « chiffres » et celle dite mésopotamienne, à 60 « chiffres », dix signes pour la nôtre qui comporte autant de signes que de chiffres ), pouvant être mémorisés.

Toutes permettent de représenter un grand registre numérique, voire tous les entiers naturels et utilisent un système de groupement.

Pour certaines la position du signe dans le nombre ne joue pas sur sa valeur, c’est le cas de la numération égyptienne, et elles ne peuvent prétendre à représenter tous les entiers puisqu’il faudrait inventer puis se rappeler d’un nombre infini de signes. Pour d’autres, la numération de position permet, en théorie, de représenter tous les nombres avec un lexique suffisamment réduit pour pouvoir être appris et une syntaxe bien connue et remarquablement efficace.

Une représentation intermédiaire ?

Il existe une représentation intermédiaire, entre représentation analogique et représentation codée, qui utilise un code élémentaire et d’origine clairement anthropique, pour des raisons anatomiques évidentes, le groupement par cinq.

L’élève de grande section auquel on montre les doigts d’une main et deux doigts de l’autre main, si on lui a permis de construire des stratégies de dénombrement efficaces, reconnaître sept, non en énumérant les doigts un à un, mais parce qu’il sait qu’une main a cinq doigts et qu’il suffit donc de surcompter à partir de ce nombre, ou, encore mieux, s’il est déjà rentré dans le calcul, qu’il y a sept doigts parce que cinq et deux, c’est sept.

Comme le savaient certains pédagogues et comme nous l’ont montré les neurosciences, ce qu’il faut ajouter à un ou des groupement(s) de cinq est toujours nécessairement inférieur à 5 et peut donc être perçu visuellement par reconnaissance globale. Comme le font les pédagogues québécois, nous appellons subitisation (en place du subitizing des psychologues des apprentissages) cette faculté.

Ce groupement par cinq, et son origine anthropique (voir, par exemple, dans ce numéro, Tournès 2016), est présent dans la numération romaine (le I est une mnémonique du doigt et le V de la main, tandis que deux V accolés par leurs sommets forment un X et représentent la quantité correspondante). Il l’est aussi dans la numération maya et les vingt chiffres de leur numération vigésimale de position : l’extrémité du doigt laisse une trace ponctuelle et le tranchant de la main laisse une trace allongée représentant un groupement-échange de 5.

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Les chiffres de la numération maya avec leurs groupements-échanges quinaires

Cette règle, présente dans beaucoup de numérations, est connue sous le nom de « jamais plus de quatre » pour signifier que, dès qu’il y a cinq signes représentant l’unité, on les remplace (groupement-échange) par un signe, que nous nommerons quinaire, par analogie avec le vocabulaire employé pour décrire les bouliers asisatiques, de même nous appellerons groupement-échange quinaire l’action correspondante.

Le graphisme du carré et d’une de ses diagonales, employé pour marquer les scores dans certains jeux de cartes, est, lui, un simple groupement quinaire.

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Marque de joueur et son groupement quinaire

Abaques ou bouliers ?
Lorsqu’un fabricant de matériel pédagogique a proposé, il y a quelques années, des bouliers formés de tiges plastiques verticales sur lesquelles on pouvait enfiler un nombre variable de billes percées et a appelé ce matériel abaque, probablement par attraction de l’anglais abacus (boulier), il ne savait probablement pas que cette appellation aurait autant de succès et les enseignants francophones continuent souvent à appeler « abaques » ces bouliers. Pour nous, le terme « abaque » a une signification plus étendue et un boulier est un « abaque à boules ».

Dans ce numéro de MathémaTICE, abaque a le sens donné par Tournès, 2016.

Intérêt du boulier pour les apprentissages numériques

Nous avons déjà dit que le boulier, en tous cas dès qu’il a au moins deux tiges, ce qui est le cas de ceux que nous proposons à partir du CP, est un artéfact de la numération de position. Ce qui caractérise celle-ci c’est le fait que le même signe a une signification différente en fonction de sa position dans le nombre. Il n’est donc pas question de repérer les ordres par la couleur des boules, comme pourraient le suggérer certains matériels du commerce, car alors on peut jeter tiges et socles et on ne dispose que d’un artéfact du groupement échange. Par contre, disposer de boules de couleurs différentes présente un intérêt pour les calculs : cela permet de faire apparaître les deux termes d’une somme, par exemple ; comme nous le verrons plus loin, cela peut aussi permettre une aide à la subitisation.

Les bouliers asiatiques, qui utilisent une représentation analogique avec quinaires permettent un aspect immédiat à la quantité représentée par le nombre, avec un décodage très simple, une fois que le principe du groupement-échange par cinq est construit. Cette lecture est un peu moins rapide avec un boulier décimal n’utilisant que des unaires. Elle peut être facilitée, comme dans le boulier russe, par des boules de couleur permettant de visualiser les groupements de cinq boules.

L’addition, avec un boulier, se réduit à l’inscription successive des deux termes, accompagnée des groupements-échanges éventuels lors de l’inscription du second. Il n’est donc pas nécessaire de connaître les tables d’addition, dont la restitution prend toujours un certain temps (car, contrairement aux tables de multiplication, les résultats ne sont pas connus par cœur, mais retrouvés, plus ou moins rapidement par l’élève).

Cette restitution est remplacée par des connaissances extrêmement réduites : les compléments à cinq et à dix, et les règles de (dé)groupements-échanges suivantes : cinq unaires égalent une quinaire, deux quinaires d’un ordre égalent une unaire de l’ordre immédiatement supérieur. Ces compétences relèvent seulement de la fin du cycle 1 pour la première et du début du cycle 2 pour la seconde et sont facilement maîtrisées par de jeunes élèves.

Savoir lire ou inscrire les nombres sur le boulier, et pouvoir le faire rapidement, apparaît donc comme un préalable nécessaire pour calculer avec cet instrument. L’élève, en prime, enrichit son imagerie mentale de faits numériques utiles pour le calcul mental non instrumenté, comme les compléments à cinq et à dix. C’est le point de vue que nous avons adopté dans ces didacticiels.

Nous avons choisi d’insister sur trois aspects : un boulier utile pour la construction du nombre en GS, une progression vers le boulier chinois pour le CP et un entraînement à l’inscription ou à la lecture rapide d’un nombre sur le boulier chinois, avec 3 tiges, pour le CÉ1. Nous pensons que les compétences développées dans les trois logiciels que nous présentons permettent, d’une part, de créer des images mentales pertinentes pour les premiers apprentissages numériques et, d’autre part, d’acquérir une rapidité dans l’utilisation du boulier chinois qui donnera envie aux élèves et aux maîtres d’utiliser cet outil pour faire des additions et, évidemment, des soustractions.

Nous sommes plus réservés sur l’utilisation, dans le cadre scolaire, du boulier pour les autres opérations, évidemment possible, mais plus coûteuse en temps, sauf cas simples comme les multiplications dont un des facteurs est du type 11, 12, 101, 1010,... qui ont de plus le mérite de faire comprendre, à partir de la fin du cycle 3 cette fois, le fonctionnement des machines à calculer mécaniques, très utilisées jusqu’au milieu du siècle précédent ou d’illustrer l’algorithme écrit utilisé par les écoliers français, et quelques autres, de calcul d’un produit à partir des produits partiels dans une multiplication posée en colonnes.

Nous sommes par ailleurs convaincus que le calcul instrumenté ne peut se réduire à l’utilisation de la calculette dans nos classes, même si celle-ci a évidemment son domaine d’utilisation et que des instruments tels que le boulier méritent d’y prendre place.

Les variables didactiques des bouliers matériels

Tous les bouliers sont formés de tige(s), représentant les différents ordres, sur lesquelles coulissent des boules (en fait, des perles). Au moins des boules unaires, c’est-à-dire des boules dont chacune représente une unité.

Tous les bouliers peuvent être analysés au moyen des variables didactiques suivants :

- Base $b$ sous-jacente (où $b$ est un entier supérieur ou égal à deux) : nous ne connaissons que des bouliers dont la base sous-jacente est la base dix (l’équivalent de dix unaires peut être échangé contre une unaire de l’ordre immédiatement supérieur) et nous appellerons de tels bouliers des bouliers décimaux, indépendamment du nombre de boules (unaires, et, éventuellement quinaires) présentes sur chaque tige.

- Registre numérique : c’est un intervalle d’entiers, de 0 à $b^t-1$, où $t$ est le nombre de tiges, lorsque tous les groupements-échanges possibles ont été réalisés. Il convient évidemment de l’adapter au registre numérique fréquenté dans les différents niveaux des cycles 1 et 2. Par exemple, trois tiges permettent d’inscrire les nombres de 0 à 999 et sont donc adaptées au CÉ1, vers la fin d’année on pourra ajouter une quatrième tige pour inscrire 1000 et quelques nombres suivants.

- Présence de quinaires : c’est une variable booléenne, valant « vrai » pour les bouliers chinois ou le soroban japonais et « faux » pour les bouliers européens, et en particulier russes.

- Unicité de la représentation : c’est encore une variable booléenne, valant « vrai » pour le soroban japonais et « faux » pour le boulier chinois où quinze, par exemple, peut être représenté, même fugacement au cours d’un calcul, par deux quinaires et cinq unaires de la tige unité,

Quinze comme deux quinaires et cinq unaires de la tige des unités

ou, plus canoniquement, soit par une unaire de la tige des dizaines et cinq unaires de la tige des unités,

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Quinze comme une unaire de la tige des dizaines et cinq unaires de la tige des unités

soit par une unaire de la tige des dizaines et une quinaire de la tige des unités.

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Quinze comme une unaire de la tige des dizaines et une quinaire de la tige des unités

Remarquons que cette représentation, la plus économique en terme de boules activées, qui est la présentation usuelle d’un résultat sur le boulier chinois, est la seule possible, même au cours d’un calcul, sur un soroban. Cet aspect minimaliste ne surprendra pas ceux qui connaissent les jardins japonais !

Sur le site de la Commission Inter-IREM MathEnPoche, on trouve la page http://cii.sesamath.net/lille/exos_... qui propose l’exercice 1 permettant de visualiser ces trois inscriptions de 15 sur le boulier chinois.

Les didacticiels

Tous les didacticiels peuvent être téléchargés sur le site de l’IREM de la Réunion, en suivant le lien donné en bibliographie.

Ces didacticiels sont conçus pour l’entraînement individuel des élèves Pour un usage collectif, la vidéo-projection permettra évidemment de disposer d’un boulier vertical agrandi et donc aisément visible de tous.

Un ensemble de bouliers en grande section

Ces bouliers GS sont conçus pour amener l’élève à conceptualiser progressivement le principe du groupement quinaire. Il n’est pas question, pour nous, comme pour les actuelles IO, de numération à l’école maternelle, et ces bouliers n’ont donc qu’une tige.

Les principaux aspects numériques travaillés sont :
- la subitisation, pour les petits nombres (domaine de 1 à 5) ;
- l’utilisation des groupements quinaires permettant de préparer le passage du groupement par dix au groupement-échange par dix, ce dernier relevant du CP.

L’élève est conduit à appréhender les nombres par le calcul sur les quantités perçues par subitisation. Pour faciliter celle-ci, les boules unaires sont de deux couleurs différentes par groupes de deux ou de trois.

L’élève devra :
- lire un nombre, donné par la position de boules par rapport à la butée d’activation, et l’écrire en chiffres ;
- inscrire, par déplacement des boules, un nombre donné en chiffres.

La rapidité exigée incite à sortir des stratégies de comptage, dont la pratique, si elle est systématique au cycle 2, empêche les élèves d’entrer dans le calcul. 
La répartition des boules par groupes de couleur devrait favoriser le phénomène de subitisation et amener les élèves à calculer sur les quantités perçues à partir des décompositions et des recompositions additives des petits nombres.

Ce didacticiel est bâti sur une progression sur trois bouliers à difficulté croissante sur des domaines de nombres de 1 à 5, puis de 1 à 10 :

- Le boulier GS-1 : 12 niveaux sur un boulier décimal avec butée excentrée à gauche ;

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Réponse exacte (5) sur ce boulier GS
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Réponse erronée (7 au lieu de 8) sur ce boulier GS

- Le boulier GS-2 : 12 niveaux sur un boulier décimal avec butée centrale et cinq boules de chaque côté ;

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4 comme 1 et 3 sur ce boulier
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4 comme 2 et 2 sur ce boulier
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4 comme 3 et 1 sur ce boulier

- Le boulier GS-3 : 8 niveaux sur un boulier décimal, dont cinq boules unaires sont groupées, avec butée centrale.

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9 comme un groupement de 5 et 4 sur ce boulier

Deux types d’activités sont proposées sur chacun de ces bouliers :
- de l’écriture chiffrée vers l’inscription sur le boulier ;
- de l’inscription sur le boulier vers l’écriture chiffrée.

Le passage d’un niveau au suivant nécessite l’obtention de dix points dans le temps imparti.
Un mode apprentissage permet de se familiariser avec la représentation d’un nombre. Les boules se déplacent à la souris vers une position permise et l’écriture chiffrée du nombre correspondant s’affiche.

Un boulier pour le CP

Ce didacticiel permet la transition entre le boulier de grande section et le boulier chinois. Il s’inscrit dans une démarche d’apprentissage de la numération.
Il cherche à favoriser la construction du principe de groupement-échange, lequel mène à la compréhension et à l’utilisation des quinaires, puis pour le dernier, de l’échange de deux quinaires contre une unaire de l’ordre supérieur.

Il est bâti sur une progression de vingt niveaux répartis sur huit bouliers de complexité croissante pour aboutir au boulier chinois traditionnel :
- le boulier CP-1 (décimal avec aide à la subitisation) alterne la traduction de l’écriture chiffrée vers la représentation sur le boulier et l’inverse sur les registres numériques 1 à 9, puis 1 à 99 ;

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Une réponse erronée (18 au lieu de 19) sur le boulier CP-1

- le boulier CP-2 (décimal) sur le registre numérique 1 à 99 ;
Il n’y a plus d’aide colorée à la subitisation. Celle-ci doit s’opérer en s’aidant de la disposition spatiale des boules, activées ou non, comme sur le boulier chinois.

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Une réponse exacte sur le boulier CP-2

- le boulier CP-3 (décimal à 6 objets par tige, un groupement de cinq unaires, d’une part, et cinq unaires indépendantes, d’autre part) sur les registres numériques 1 à 59 et 1 à 99 ;

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Une réponse exacte sur le boulier CP-3

- les bouliers CP-4 à CP-7 (décimaux à 6 objets par tige avec progression jusqu’au groupement-échange quinaire) sur le registre numérique 1 à 99 ;

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Le boulier CP-7, l’élève n’a pas encore répondu

- le boulier 8 (décimal à 7 boules par tige, donc un boulier chinois) sur le registre numérique 1 à 99.

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Le boulier CP-8, l’élève n’a pas encore répondu

Selon nous, les deux premiers bouliers permettent d’introduire la règle et de fixer le fonctionnement de la position des chiffres dans la numération décimale de position (le chiffre des dizaines s’écrit à gauche de celui des unités), chaque boule de gauche pouvant être échangée contre 10 boules de droite. Nous recommandons la découverte des différentes façons de représenter dix sur chacun des bouliers en passant par le « mode apprentissage ».

Le passage d’un niveau au suivant nécessite l’obtention de vingt-et-un points dans le temps imparti. La vitesse a été réglée pour favoriser le fait que le joueur réussisse en calculant et non pas en comptant un à un.

L’alternance des couleurs des boules du premier boulier aide à la subitisation, le temps que l’élève acquière la conviction qu’il n’y a jamais plus de cinq boules d’un côté de la barre d’activation.

Un mode apprentissage permet de se familiariser avec la représentation d’un nombre. Les boules se déplacent à la souris vers une position permise et l’écriture chiffrée du nombre correspondant s’affiche.

Un boulier pour le CÉ1

Nous proposons un seul type de boulier à ce niveau : le boulier chinois avec trois tiges.

Ce didacticiel est bâti sur une progression à difficulté croissante sur le registre numérique des nombres de 0 à 999, alternant les traductions de l’écriture chiffrée vers l’inscription sur le boulier et l’inverse sur un boulier à trois tiges avec butée centrale, avec cinq boules unaires en bas et deux boules quinaires en haut sur chaque tige.

Des compteurs d’ordre et le compteur intermédiaire peuvent être ajoutés ou retirés par le professeur en passant par le menu « différencier ».

Un mode apprentissage permet de se familiariser avec la représentation d’un nombre sur ce boulier. Les boules se déplacent à la souris vers une position permise et l’écriture chiffrée du nombre correspondant s’affiche.

Il s’agit :
- de lire un nombre, donné par la position des boules par rapport à la butée d’activation, et de l’écrire en chiffres ;
- de représenter, par déplacement des boules, un nombre donné en chiffres.
Les principaux aspects numériques travaillés sont :
- la numération de position (registre de 1 à 999) ;
- l’utilisation des groupements-échanges pour représenter les nombres.
Le passage d’un niveau au suivant nécessite l’obtention de vingt-et-un points dans le temps imparti.
Un mode apprentissage permet de se familiariser avec la représentation d’un nombre. Les boules se déplacent à la souris vers une position permise et l’écriture chiffrée du nombre correspondant s’affiche.

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Le boulier CÉ1 : un boulier chinois à trois tiges

Conclusion

Les bouliers font partie des artéfacts intéressants dans le cadre d’une progression sur les apprentissages numériques à l’école primaire, aussi bien dans les classes qu’en formation d’enseignants. Dans cet article, nous présentons des didacticiels pouvant être librement utilisés par des enseignants ou des formateurs partageant nos choix didactiques. Ces choix ont été mûris à partir de nombreux stages de formation continuée sur les apprentissages numériques en cycles 1 et 2, d’expérimentations, d’analyses de séquences de classes, et d’échanges entre formateur et enseignants de terrain, rendus possibles par l’existence d’une véritable formation continuée, qui permettait ce type de rencontres, et un IREM local particulièrement dynamique.

À l’heure de la mise en place des nouveaux programmes de mathématiques, qui disent clairement ce que signifient les apprentissages numériques aux différents cycles de l’école primaire, nous espérons que la reprise d’une réelle formation continuée associant enseignant de terrains, formateurs ou chercheurs sur des projets tel que celui-ci, telle qu’elle se pratique au travers des recherches-actions des animateurs dans les IREM, permettra l’application effective de ces programmes ambitieux.

Nous souhaitons enfin aux enseignants et formateurs autant de plaisir à utiliser ces didacticiels que nous en avons eu à les élaborer et que nos collègues et leurs élèves en ont à les utiliser.

Références

BO (2015). Bulletin officiel spécial n°2 du 26 mars 2015, ministère de l’Éducation nationale, Paris.

Brissiaud, R. (2003). Comment les enfants apprennent à calculer, Retz, Paris.

Gueudet, G. et Bueno-Ravel, L. (2016). Perspectives didactiques sur le boulier : un questionnement renouvelé. MathémaTICE 51.

Page du site de l’IREM de la Réunion : http://irem.univ-reunion.fr/spip.ph... (visité le 30 mai 2016).

Page du site de la commission Inter-IREM MathEnPoche http://cii.sesamath.net/lille/exos_... (visité le 30 mai 2016).

Tournès, D. (2016). Perspectives historiques sur les abaques et bouliers. MathémaTICE 51.


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