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MathBridge, un pont (européen) entre lycée et université
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Le taux d’échec dans les premières années d’université en science est très élevé. Le niveau des étudiants est très hétérogène et le socle commun des compétences, censé être acquis au lycée est souvent chancelant, sur des points qui diffèrent d’un étudiant à l’autre. Des cours de remédiation tout public sont largement inefficaces et peu motivants car pas assez ciblés. Un étudiant aura par exemple besoin de revoir les fractions, tandis qu’un autre nécessiterait d’approfondir les systèmes d’équations linéaires ou la géométrie du triangle.

Le projet Européen Math-Bridge met en place des outils informatiques et du contenu pédagogique qui permettront à un étudiant dans les premières années d’université scientifique, d’identifier ses faiblesses en mathématiques et d’y remédier de manière individualisée. Le système aura, pour chaque étudiant, un modèle de ses compétences et de leur degré de maîtrise, lui proposant du contenu pédagogique (cours, exemples, exercices) adapté à celles-ci et l’amenant à un ensemble de compétences visées, en construisant un parcours pédagogique adapté. Les réponses aux exercices d’auto-évaluation permettent aux compétences de l’étudiant et à leur modélisation par le système, d’évoluer, en étant mieux acquises ou au contraire en s’érodant.

Math-bridge

Les faiblesses dans les compétences peuvent parfois venir de très loin, comme par exemple la distribution de la multiplication par rapport à l’addition ou la maîtrise de la proportionnalité, les identifier précisément peut être difficile pour l’étudiant, puis l’avouer devant un enseignant est humiliant, tandis que travailler ses bases avec un système informatique peut être vécu comme moins pénalisant et plus constructif.

Le projet pourra être utilisé

- par les enseignants pour élaborer un cours en proposant un parcours pédagogique type, ou
- par les étudiants, nouveaux arrivants ou en formation continue, pour consolider leurs acquis jusqu’à certaines compétences visées par un cours donné, ou bien
- en exploration libre pour s’auto-former.

Du point de vue des universités, l’ontologie des compétences mise en place dans le projet, pourra normaliser les compétences requises et visées par des unités d’enseignement, facilitant la mobilité des étudiants et automatisant leur vérification. Le contenu pédagogique sera disponible pour plusieurs langues européennes, français, allemand, anglais, espagnol, hollandais, hongrois et finlandais. Il s’appuie sur les banques de matériel des différents partenaires que le projet va traduire :

- Mathe-online (Autriche),

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Mathe-Online


- VEMA Universités de Kassel et Paderborn (Allemagne),

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VEMA


- WIZMO de l’OUNL Université Ouverte des Pays-Bas

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Open University Netherlands


- Tampere University of Technology (Finlande)

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- Le Active Math DFKI, Université de Saar (Allemagne).

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Modèle de ressources, l’ontologie

Le contenu pédagogique contenu dans ces cours en lignes et ces exercices est mis à un format commun, tronçonné en éléments de petite taille (de l’ordre du paragraphe), reliés les uns aux autres dans une ontologie (multilingue) des objets éducatifs, c’est-à-dire que chaque objet est d’un certain type, placé dans une hiérarchie, et a certaines propriétés propres à son type ou héritées de ses ancêtres. Par exemple un exercice est relié à des notions requises et à des compétences visées qu’une réussite à l’exercice contribuera à valider ou qu’un échec érodera. Cette organisation s’appuie sur les recommandations du Programme International pour le Suivi de l’Acquis des élèves PISA.

Il y a 3 dimensions dans l’organisation des compétences mathématiques :
- Le processus cognitif en œuvre dans la compétence (un verbe) : estimer, reconnaitre, se souvenir, résoudre, appliquer ; représenter, interpréter, illustrer, résumer, généraliser ; analyser, comparer, différencier, organiser, classer ; modéliser, décoder, transformer, encoder, faire des hypothèses, combiner, inférer ; communiquer, décrire, expliquer, argumenter, prouver ; réfléchir, planifier, chercher, détecter des erreurs, ordonner.
- Le niveau de complexité de la compétence : élémentaire, simple, combinée, complexe. Et chaque ressource se voit attribuer une difficulté (comparative et subjective), de très facile à très difficile, ces deux paramètres étant combinés, un exercice pouvant-être à la fois classé comme difficile pour une compétence simple et facile pour la même compétence au niveau complexe.
- Le domaine de compétence qui est une ontologie en soi :

  • Nombres et calculs
  • Logique et fondations
  • Algèbre et théorie des nombres
  • Mathématiques discrètes
  • Géométrie et topologie
  • Analyse
  • Équations différentielles
  • Statistiques et probabilités
  • Mathématiques appliquées
  • Histoire des mathématiques, épistémologie

et des sous-domaines, 400 en tout à ce jour dans notre ontologie.

Sont ainsi formalisés les domaines mathématiques, sous forme de théories, contenant une hiérarchie de concepts, appelés symboles (allant du symbole "+" à la théorie des ensembles), qui sont les briques de base du domaine des compétences visées.

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Théorie des ensembles
Exemple de sous-domaines autour de la théorie des ensembles.
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Fonctions
Sous-domaines autour de la notion de fonction.

Le type des objets de savoir eux-même est organisé en différents types de méta-données, mis en relation les uns avec les autres avec des connecteurs tels que "pour" (un exemple "pour" une notion) ou "prérequis" :
- Définition d’un symbole, d’un concept
- Exemple d’un concept
- Exercice pour une compétence relativement à des concepts
- Axiome concernant un concept
- Assertion relative à des concepts, avec des sous-types : lemme, théorème, propriété, corolaire...
- Preuve d’une assertion
- Texte stylé (introduction, conclusion, motivation)...
- Méthode et algorithme

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Cette notion de symbole permet d’être souple dans les théories couvertes, le logarithme par exemple, est associé à un symbole, qui sera suivant le contexte représenté par ln ou log, et dont une définition pourra être la primitive de $x\mapsto\frac1x$ dans un contexte, ou bien la réciproque de l’exponentielle dans un autre contexte.

Active Math

L’outil principal qui manipule cet ensemble de ressources éducatives est ActiveMath. Il propose et visualise du contenu adapté à l’étudiant ou à l’enseignant, dans sa langue et dans son environnement culturel. Les notations mathématiques changent d’un pays à un autre, par exemple la division est posée différemment dans différents pays.

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Cet outil permet de construire un cheminement pédagogique menant d’un ensemble de notions à un autre, en agrégeant automatiquement du matériel pédagogique associé à l’ensemble des notions rencontrées sur ce chemin. Ainsi un enseignant voulant préparer un cours sur une notion visée, pour un public donné défini par ses compétences acquises, peut sélectionner parmi le matériel proposé pour mettre en place sa stratégie pédagogique.

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Méthode pour l’étude d’une fonction

L’outil permet ensuite de restituer aux élèves ces ressources de manière cohérente et structurée sous la forme d’un livre pour l’élève en question, en présentant, à l’un, un cours intermédiaire sur une notion qui n’est pas acquise et à l’autre, un court rappel car cette notion lui est acquise. Cette modélisation des compétences acquises évolue en fonction des résultats aux exercices qui jalonnent le cheminement pédagogique.

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LeActiveMath
Livre de notions de base : leçon sur les fonctions affines
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Théorème, Preuve, Théorème, Preuve laissée en exercice interactif

Raisonneur
Un aspect intéressant des activités proposées est l’utilisation de raisonneurs (dans un nombre limité de théories), par exemple en logique ou en calcul de dérivées ou de primitives, l’activité de l’élève est décomposée en étapes successives et le raisonneur peut déduire, d’une erreur type donnée par l’élève, quelle est l’étape qu’il a manqué.

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Raisonneur en logique
La tâche à réaliser est décomposée en étapes. Une erreur de l’étudiant est analysée pour identifier l’étape manquée.

Conclusion

Le projet, commencé en mai 2009, se terminera en janvier 2012. Le budget du projet, cofinancé par la communauté européenne, est de 3,6 M€. Le coordinateur est l’Institut Allemand de Recherche en Intelligence Artificielle (DFKI), représenté par Dr Erica Melis. Le partenaire français est l’université Montpellier 2, représentée par Christian Mercat.

L’université Montpellier 2 est responsable de l’évaluation de l’efficacité pédagogique du projet : des cohortes d’étudiants préparant la même unité d’enseignement seront exposés à l’outil dans divers contextes et leur réussite
à l’examen sera corrélé à leur utilisation pour tenter de déterminer dans quelle mesure le projet leur a été profitable ou non.

Bien qu’étant adressé d’abord à des étudiants des premières années de l’université, il serait intéressant de tenter l’expérience sur des élèves de lycée. Si vous êtes intéressé(e), contactez moi.

Je me dois de finir sur une note éthique et politique. Ce projet est le résultat de la gestion de la pénurie des moyens qui est la notre à l’université, face à la massification de l’enseignement supérieur, particulièrement dans les écoles d’ingénieur. Cette conjoncture de compétition (déloyale à mon sens) fait que le gros de nos troupes est formé d’étudiants peu motivés, qui ont une piètre estime d’eux-même et de notre travail, qui requièrent beaucoup d’efforts de notre part et changent énormément notre métier. Nous travaillons dans une sorte de schizophrénie en étant censés enseigner des mathématiques supérieures à des étudiants dont la maitrise des mathématiques de base est chancelante.

Loin de moi de penser que dans un avenir raisonnable un enseignant pourra être remplacé avec profit par une machine, aussi subtilement programmée soit-elle. Cependant, nous sommes confrontés à des étudiants qui ont de grosses lacunes et qu’on a du mal à faire travailler (pour progresser il faut déjà se mettre au travail), des étudiants souvent démotivés car ne sachant pas par quels bout commencer, si bien qu’un outil comme Math-Bridge peut permettre d’atteindre deux objectifs, à la fois aux retardataires d’identifier de manière autonome leurs lacunes en essayant d’y remédier, de réviser leurs bases, et aux bons élèves de prendre un peu d’avance sur le rythme très lent du cours général destiné à la moyenne de la promotion. Car c’est un autre aspect du système universitaire français actuel qu’il est difficile de garder motivés les bons élèves, ceux qui ont choisi d’aller à l’université, et il y en a heureusement, spécialement ceux se destinant au métier d’enseignant, qui ont un projet pédagogique à long terme.

Le projet Math-Bridge ne scie donc pas la branche sur laquelle l’enseignant chercheur est assis, dans une dynamique vers un enseignement sans enseignants, mais est là pour permettre d’enseigner des mathématiques supérieures à l’université.


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