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Boîte à outils GeoGebra pour faire de l’arithmétique
Moteur de recherche
Mis en ligne le 11 juillet 2019, par Hédi Abderrahim

Cet article tient compte des programmes tunisiens, du profil de l’enseignant (de mathématiques) tunisien et des compétences d’un élève tunisien en TICE, en algorithmique et programmation sans que cela signifie que les enseignants français ne peuvent pas en tirer parti (ne serait-ce qu’au niveau de certaines applications du tableur et de certaines commandes du logiciel GeoGebra).

1. Dans quel cadre s’inscrit ce document ?

Exercice déclencheur [1] :
Déterminer toutes les valeurs possibles que peut prendre un entier naturel $b$ compris entre 400 et 500 et tel que $PGCD(240 ; b) = 12$.

Prolongement possible :
$a, d, m$ et $M$ sont quatre entiers naturels non nuls donnés et tels que $d < a$ et $m < M$.
Déterminer toutes les valeurs possibles que peut prendre un entier naturel $b \in [m ;M]$ et tel que $PGCD(a ; b) = d$.

Commentaires : Face à un exercice pareil, on (enseignant ou élève) est tenté de s’aider d’une calculatrice ou d’un logiciel approprié au calcul.
Parmi les idées de résolution possibles, on peut citer :

Méthode 1 : une méthode naïve
Calculer le PGCD de 240 et de chacun des nombres compris entre 400 et 500. On finira par y renoncer même après l’application de certains filtres tels que la parité, la divisibilité par 3, ...

Méthode 2 : une méthode plus élaborée
On commence par réduire la liste de nombres candidats
On a :

$PGCD(240 ; b) = 12$    $\Rightarrow$   $\begin{cases} 240 = 12 a_p       (a_p = 20) \\ b = 12 b_p \\ PGCD(a_p ;b_p) =1 \end{cases}$

D’autre part, on a :
$400 \leq b \leq 500$ donc ${100 \over 3} \leq b_p \leq {125 \over 3}$ ou encore $34 \leq b_p \leq 41$.
Tout ceci implique que $b_p \in [34,41]$ et $PGCD(b_p ;20) =1$.
Donc :
$\Rightarrow   b \in$ { 444, 468, 492 }

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Méthode 3 : la plus à la mode
Élaborer un petit script [2] qui tiendra compte des contraintes de l’exercice et affichera la liste des valeurs permises à $b$.

lien


Introduction


Au cours de son travail quotidien (préparation d’une leçon, d’une activité d’évaluation, . . . ), un enseignant, et même un élève, peut éprouver le besoin de vérifier un calcul ou trouver des valeurs numériques qui conviennent le mieux possible à ses objectifs.

Les outils utilisés en mathématiques varient d’un thème à un autre. Dans ce document et en rapport avec le thème "Arithmétique", nous proposons des commandes propres au logiciel GeoGebra et des programmes que nous avons réalisés avec ce logiciel et nous illustrons le mode d’emploi de ces outils via des exemples.

Il est à noter que ces outils peuvent aider à traiter la partie "Arithmétique" des programmes tunisiens de tous les niveaux (collège et lycée).

• Pour les figures animées, le lecteur est mené vers notre blog personnel : GeoGebra à Gabès.
Ces fichiers sont téléversés dans GeoGebraTube : lien.
• Les fichiers vidéos sont groupés dans notre chaîne youtube : lien


2. Division euclidienne


2.1 Aperçu historique

Le nom de division euclidienne est un hommage rendu à Euclide qui en explique le principe par soustractions successives dans ses Eléments.
Faire une division euclidienne consiste à distribuer équitablement une quantité $D$ entre plusieurs entités $d$, par exemple, comment repartir 74 stylos sur 8 personnes ? L’application de la méthode de soustractions successives, appelée aussi la méthode naïve, consiste à commencer par donner un stylo à chacune de ces huit personnes, ainsi chacune aura un stylo, et il en reste 66 (66 = 74 - 8). On itère jusqu’à il ne sera plus possible de donner 8 stylos. A la dernière distribution, on se rend compte que chacune de huit personnes a eu 9 stylos et qu’il en reste un stock de 2. Ils sont impartageables : on dit que 2 est le reste et que 9 est le quotient : c’est la part de chacune des 8 personnes. Ainsi aux deux entiers 74 et 8 de départ, on a associe deux autres entiers 9 et 2 (2 < 8).

En conclusion : une division euclidienne d’un entier naturel $D$ par un entier naturel $d \neq 0$ est une condensation d’une répétition de $q$ soustraction(s) du nombre $d$ du nombre $D$.

Remarque : une multiplication d’un entier naturel $a$ par un entier naturel $n$ était, aussi, vue comme étant une condensation d’une répétition de $n$ addition(s) du nombre $a$. Ainsi nos quatre opérations actuelles se résumaient en deux seulement.


2.2 A l’ère actuelle

Effectuer la division euclidienne de 74 par 8, c’est écrire que 74 = 8 $\times$ 9 + 2 après s’être assuré que 2 < 8.
Plus généralement, effectuer la division euclidienne de $a$ par $b \neq 0$, c’est trouver deux entiers $q$ et $r$ tels que $a = b \times q + r$ après avoir vérifié que $r < b$.


3. Liste des commandes pratiques


Cette liste ne prétend pas être exhaustive, en particulier, la commande "FacteursPremiers"(Nombre) retourne la liste des facteurs premiers de ce nombre, chacun d’eux est écrit autant de fois que son exposant dans la décomposition.


Liste des commandes utiles

Dans cette partie, $n$ désigne un nombre entier naturel non nul.

Résultat visé
Commande
Exemple et résultat
Nombre de diviseurs de $n$ Diviseurs($<$Nombre$>$) Diviseurs(35)
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Liste des diviseurs de $n$ ListeDiviseurs($<$Nombre$>$) ListeDiviseurs(12)
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Liste des diviseurs communs à $m$ et $n$ Inter($<$Liste$>$,$<$Liste$>$) [3] Inter(a,b)
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Quotient d’une division euclidienne Quotient($<$Dividende$>$,$<$Diviseur$>$) q=Quotient(4578,173)
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Reste d’une division euclidienne Reste($<$Dividende$>$,$<$Diviseur$>$) [4] r=Reste(4578,173)
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Quotient et reste d’une division euclidienne Division($<$Dividende$>$,$<$Diviseur$>$) Division(35,8)
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PGCD de 2 nombres [5] PGCD( $<$Nombre$>$,$<$Nombre$>$ ) [6] g=PGCD(574,1230)
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Décomposition en produit de facteurs premiers Facteurs($<$Nombre$>$) [7]
$1230=2^3×5^2×13$
Facteurs(1230)
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Si $n$ est premier ou non EstPremier[n] [8] a=EstPremier[12589]
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A combien est congru $m$ modulo $n$ ? mod($<$Dividende$>$,$<$Diviseur$>$) c=mod(1320,574)
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Liste des $k + 1$ premiers multiples d’un entier$n$ Séquence(n.i, i, 0, k) [9] Séquence(7i, i, 0, 5)
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PPCM de 2 nombres [10] PPCM($<$Nombre$>$,$<$Nombre$>$) [11] m=PPCM(574,1230)
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Afficher le rang d’un élément dans une liste Position($<$objet$>$,$<$Liste$>$) r=Position(" ?",$\lbrace$2," ?", 5$\rbrace$)
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3.1 Remarques


Remarque 1 : Dans le tableau ci-dessus, $n$ désigne un entier strictement positif.

Remarque 2 : Les commandes sont à écrire dans la zone "Saisie".

Remarque 3 : Les résultats s’affichent dans la fenêtre "Algèbre".

Remarque 4 : Pour déterminer le PGCD de plus que deux nombres, c’est plutôt à la commande "PGCD($<$ListeNombres$>$)" qu’il faut faire appel.

Remarque 5 : D’autres méthodes de calcul du PGCD sont présentées dans la suite de ce document.

Remarque 6 : la commande "Facteurs($<$Nombre$>$)" retourne une matrice de 2 colonnes. La première est la liste des facteurs premiers et la deuxième est la liste de leurs exposants.

Remarque 7 : la commande "EstPremier(n)" retourne "true" si $n$ est premier et "false" si $n$ ne l’est pas (variable booléenne).

Remarque 8 : la commande "Séquence(nxi, i, 0, k)" retourne tous les multiples de $n$ : $nxi$ où $i$ varie de de 0 à $k$.

Remarque 9 : la commande "Inter($<$Liste$>$,$<$Liste$>$)" peut aussi être utilisée pour déterminer les premiers multiples communs à 2 entiers

Remarque 10 : On peut déterminer le reste d’une division euclidienne avec la commande "Elément[Division($<$Dividende$>$, $<$Diviseur$>$),Position] et où on remplacera "Position" par le nombre "2".

Remarque 11 : D’autres méthodes de calcul du PPCM sont présentées dans la suite de ce document.

Remarque 12 : Pour déterminer le PPCM de plus que deux nombres, c’est plutôt à la commande "PPCM($<$Liste Nombres$>$)" qu’il faut faire appel.


4 Le PGCD de deux nombres et quelques méthodes pour sa détermination


4.1 Comment les anciennes civilisations interprétaient le PGCD de deux nombres ?

Dans la tradition grecque, un nombre entier est pris pour une longueur et un couple d’entiers comme un rectangle dont les dimensions sont les termes de ce couple. Leur PGCD est la longueur du côté du plus grand carré permettant de carreler entièrement ce rectangle.
L’algorithme décompose ce rectangle en carrés, de plus en plus petits, par divisions euclidiennes successives, de la longueur par la largeur, puis de la largeur par le reste, jusqu’à un reste nul. Par exemple, Dans le rectangle de dimensions L = 44 par l = 12 représenté ci-dessous, on prend un carré de côté 12 mais il reste un rectangle de côtés 32 et 12, dans lequel on peut encore considérer deux carrés de côté 12 mais il reste un rectangle de côtés 12 et 8, duquel on prend un carré de côté 8 mais il reste un rectangle de côtés 8 et 4, que l’on peut carreler entièrement de 2 carrés de côté 4. Les carrés précédents de côté 12 ou 8 peuvent aussi se carreler en carrés de côté 4.
Ainsi, le rectangle de départ (44-12) peut se carreler en carrés de côté 4. Il n’existe pas de carré plus grand permettant un tel carrelage.


4.2 Illustration graphique

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4.3 Illustration avec les divisions successives

44 = 12×3+8 ∶ 3 carrés de côté 12 et un rectangle 12×8.
12 = 8×1+4 ∶ 1 carré de côté 8 et un rectangle 8×4.
8 = 4×2+0 ∶ 2 carrés de côté 4 et il ne reste rien.


4.4 Quelques méthodes de calcul du PGCD

4.4.1 Méthode 1 : avec la commande PGCD(a,b)
La commande "PGCD(574,1230)" pour déterminer le plus grand commun diviseur de 574 et 1230 affiche 82.

4.4.2 Méthode 2 : le plus grand élément de l’intersection des ensembles des diviseurs
Étapes à suivre
a. La commande "ListeDiviseurs($<$Nombre$>$)" pour déterminer la liste de diviseurs de 574 : $ D_{574} $ ;

b. La commande "ListeDiviseurs($<$Nombre$>$)" pour déterminer la liste de diviseurs de 1230 : $ D_{1230} $ ;

c. La commande "Inter( $<$Liste$>$, $<$Liste$>$)" pour déterminer la liste de diviseurs communs de 574 et 1230 : $ D_c $ ;

d. La commande "Max($<$Liste$>$)" pour déterminer le plus grand élément d’une liste numérique. Dans notre cas, $Max(D_c)$ donne le plus grand commun diviseur de 574 et 1230 : à savoir 82.

4.4.3 Méthode 3 : le dernier élément de l’intersection des ensembles des diviseurs
Cette méthode consiste à reprendre les étapes (a), (b) et (c) de la méthode 2 précédente.
Mais, on peut remplacer dans l’étape (d) la commande "Max($<$Liste$>$)" par la commande "Liste(-1)" qui donne le dernier élément d’une liste. En appliquant cette commande à la liste ordonnée (dans le sens croissant) de diviseurs communs à 2 entiers elle nous retournera leur PGCD. Exemple : Si $D_c$ est la liste ordonnée de diviseurs communs à 574 et 1230, et $d = D_c (-1$), GeoGebra affichera $d$ = 82.

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4.4.4 Méthode 4 : le produit des facteurs communs aux décompositions en facteurs premiers
Étapes à suivre
1. La commande "Facteurs(574)" pour déterminer la décomposition de 574 ;
2. La commande "Facteurs(1230)" pour déterminer la décomposition de 1230 ;
3. On calculera le produit des facteurs communs aux deux décompositions chacun d’eux étant affecté de son plus petit exposant.

4.4.5 Méthode 5 : l’algorithme d’Euclide à l’aide du tableur
Étapes à suivre
a. La commande "Quotient(1230 , 574)" pour déterminer le quotient $q$ de la division euclidienne de 1230 par 574 ;
b. La commande "Reste(1230 , 574)" pour déterminer le reste $r$ de cette même division ;
c. Réitérer les deux étapes précédentes en prenant pour $k^è$ dividende le $(k-1)^è$ diviseur et pour $k^è$ diviseur le $(k-1)^è$ reste jusqu’à l’obtention d’un reste nul.
d. Le PGCD cherché est le dernier reste non nul dans cette suite de divisions euclidiennes.

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4.4.6 Méthode 6 : l’algorithme d’Euclide à partir de la fenêtre "Calcul formel"

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5 Juger la primalité d’un entier naturel et avoir la liste de ses facteurs premiers

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6 Quelques méthodes pour déterminer le PPCM

6.1 Méthode 1 : avec la commande PPCM(a,b)
La commande "PPCM(74,56)" pour déterminer le plus petit commun multiple de 74 et 56 affiche 2072.

6.2 Méthode 2 : le 2ème élément de l’intersection des ensembles des multiples inférieurs (au sens large) au produit de 2 nombres concernés
Étapes à suivre
a. La commande "Séquence(74k, k, 0, 56)" pour déterminer la liste des multiples de 74 inférieurs à 74×56 : $M_{74} $ ;
b. La commande "Séquence(56k, k, 0, 74)" pour déterminer la liste des multiples de 56 inférieurs à 56×74 : $M_{56} $ ;
c. La commande "Inter( $M_{74}, M_{56}$)" pour déterminer la liste des multiples communs à 74 et 56 :$ M_c$ ;
d. La commande "Elément($<$Liste$>$,$<$Position$>$)" pour déterminer l’élément d’une liste donnée qui se trouve à la position dont on fixera le numéro. Dans notre cas, "Elément($M_c$,2) donne le 2ème élément de la "liste " des multiples communs à nos 2 nombres, c’est le plus petit commun multiple de 74 et 56 : 2072.

6.3 Méthode 3 : le 2ème élément de l’intersection des ensembles des multiples inférieurs (au sens large) au produit de 2 nombres concernés (2ème façon)

Cette méthode consiste à reprendre les étapes (a), (b) et (c) de la méthode 2 précédente et à remplacer dans son étape (d) la commande "Elément($M_c$,2)" par la commande "Liste(2)" qui donne le 2ème élément d’une liste. En appliquant cette commande à la liste ordonnée (dans le sens croissant) des multiples communs à 2 entiers elle nous retournera leur PPCM. Exemple : Si $M_c$ est la liste ordonnée des multiples communs à 74 et 56, et $m =M_c$ (2), GeoGebra affichera m = 2072.

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6.3.1 Méthode 4 : le produit des facteurs qui interviennent dans les décompositions de 2 nombres en facteurs premiers
Étapes à suivre
a. La commande "Facteurs(74)" pour déterminer la décomposition de 74.
b. La commande "Facteurs(56)" pour déterminer la décomposition de 56.
c. On calculera le produit de tous les facteurs de deux décompositions chacun d’eux étant pris une seule fois affecté de son plus grand exposant (c’est à faire "manuellement" dans la zone de saisie).

6.3.2 Méthode 5 :
Étapes à suivre
a. On calcule le produit $P$ de nos deux nombres
b. On détermine leur PGCD $d$.
c. Le PPCM cherché est le quotient ${P \over d}$ qu’on peut obtenir à l’aide de la commande "Quotient(P,d)" ou la commande "Elément[Division(P,d),1]".


7. Tableau de congruence et inverse d’un entier a modulo un entier n



7.1 Rappel
$a$ et $n$ étant deux entiers naturels donnés avec $n \geq$ 2. Si $a$ et $n$ sont premiers entre eux alors il existe un seul entier $u \in \{0,1,2,…,n-2,n-1\}$ tel que $a \times u $ = 1, $u$ est appelé l’inverse de $a$ modulo $n$.

7.2 Un outil GeoGebra pour dresser le tableau de congruence et déterminer l’inverse lorsqu’il existe

• Une vidéo :
https://youtu.be/aKf9A-0bKeU

• Deux fichiers .ggb et .html :
http://mongeogebra.com/ggbg/2019/02...

• Un exemple : Résoudre dans Z, l’équation (E) : $43x ≡ 1$ (13)
Ainsi la solution $x_0 \in \{0,1,2,…,11,12\}$ est l’inverse de 43 modulo 13. D’après le fichier .ggb de cette section, $x_0$ = 10 alors $S_Z$ = $10 + 13k$, où $k \in Z$.


8. Identité de Bézout : trouver une solution particulière de l’équation : au+bv=d (d = a ∧ b)

8.1 Rappel de l’identité de Bézout (ou théorème de Bachet-Bézout)

Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs non tous deux nuls et $d$ leur PGCD. Alors, il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que : $au + bv = d$.

8.2 L’algorithme d’Euclide étendu

L’algorithme d’Euclide étendu est une variante de l’algorithme d’Euclide qui permet, à partir de deux entiers $a$ et $b$, de calculer non seulement leur PGCD, mais aussi un couple de coefficients de Bachet-Bézout, c’est-à-dire deux entiers $u$ et $v$ tels que : $ au + bv = PGCD(a,b)$.

• Une vidéo :
https://youtu.be/3NpVarLxC9o

• Deux fichiers .ggb et .html :
http://mongeogebra.com/ggbg/2019/02...

• Un exemple :
On détermine ici le $PGCD$ de 1145 et 500 et les coefficients $u$ et $v$ associés :

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9. Solution particulière d’une équation diophantienne

9.1 Rappel du théorème de Bézout
Deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement s’il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que : $au + bv = 1.$

9.2 Solution particulière d’une équation diophantienne du premier degré

9.2.1 Définition et exemple
On appelle équation diophantienne du premier degré toute équation (E) du type :
$ax + by=c$ où $a, \ b$ et $c$ sont trois entiers relatifs donnés et $x$ et $y$ sont les inconnues (et sont aussi des relatifs).
Une telle équation possède au moins une solution si et seulement si $PGCD(a,b)$ divise $c$.

Exemple :
(E) ∶ $44x + 12y = 20$.
On a $PGCD(44 ;12) = 4$ divise 20 alors (E) possède au moins une solution.

9.2.2 Recherche d’une solution particulière de (E)

Méthode 1 : Une solution apparente
Dans certaines situations, aucun calcul n’est nécessaire, on peut trouver une solution mentalement.

Exemple : on vérifie que (3 ; -2) est une solution particulière de (E) : $5x+7y = 1$.

Méthode 2 : Algorithme d’Euclide à écriture des restes pas à pas

(E) : $44 x+12 y = 20$.
44 = 12 $\times$ 3+8 $\Rightarrow$ 8 = 44 - 12 $\times$ 3 (2)
12 = 8 $\times$ 1+4 $\Rightarrow$ 4 = 12-8 $\times$ 1 (1)
8 = 4×2+0
d’après (1) : 4 = 12-8 (4=44∧12)
d’après (2) : 4 = 12-[44-12×3]
4 = -44 + 12 $\times$ 4
20 = 44 $\times$ (-5) + 12 $\times$ 20 (on a multiplié les 2 membres par 5)
Par suite, le couple (-5 ; 20) est une solution particulière de (E) dans $Z×Z$.

Méthode 3 :
On divise les 2 membres de (E) par 44 ∧ 12 = 4, on sera conduit à une équation (E’) équivalente à (E) et du type : $au’+bv’=c’$ avec $u’ ∧ v’=1$.

(E) ∶ $44x + 12y = 20$

⇔ (E^’ ) ∶ $11x + 3y = 5$

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⇔ 11×(-1)+3×4=1
⇔ 11×(-5)+3×20=5
alors le couple (-5,20) vérifie (E’) par suite c’est une solution particulière de (E).

Voir le sous-paragraphe 8.2 ci-dessus avec a∧b=1 :
http://mongeogebra.com/ggbg/2019/02/02/identbezoutsolutionpartic/

Méthode 4 : à l’aide du tableau de congruence
On a vu que l’équation
(E) ∶ $44x+12y=20$ est équivalente à (E^’ ) ∶ $11x+3y=5$
(E’) ⇔ $3y=5-11x$
⇔ $3y=5+11x’ (x’=-x)$
⇔ $3y≡5 (11)$
En prenant $a$ = 3 et $n$ = 11 dans le tableau de congruence vu à la section "Tableau de congruence et inverse d’un entier $a$ modulo un entier $n$" ci-dessus, le tableau obtenu nous permet de prendre $y≡5$ (11).

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donc $y=11k+9$ avec $k \in Z$ et par suite (en remplaçant dans (E’)), on aura
$x=-3k-2$ alors tout couple du type $(-3k-2,11k+9) $ où $k \in Z$ est une solution particulière de (E’) donc de (E).


notes

[1On a évité de donner à cet exercice un habillage particulier pour ne pas faire perdre de vue notre objectif essentiel qui est la vulgarisation de l’utilisation de certains logiciels et des TICE en général.

[2Dans le système éducatif tunisien, l’algorithmique (l’informatique en général) est une matière à part. Les enseignants de cette matière sont titulaires d’une maîtrise en informatique. A quels points épuisent-ils leurs applications dans le domaine mathématique ? Je ne peux répondre. L’algorithmique s’enseigne à partir de la classe de première et continue en Terminale. Quant au seul langage utilisé, il s’agit encore du Turbo Pascal.

[3Cette commande peut être utilisée pour déterminer les premiers multiples communs à 2 entiers

[4On peut déterminer le reste d’une division euclidienne avec la commande suivante :
"Element[Division($<$Dividende$>$,$<$Diviseur$>$),Position]"

[5D’autres méthodes de calcul du PGCD sont présentées dans la suite de ce document.

[6Pour déterminer le PGCD de plus de deux nombres, c’est plutôt à la commande "PGCD($<$ListeNombres$>$)" qu’il faut faire appel.

[7Cette commande retourne une matrice de deux colonnes. La première est la liste des facteurs premiers et la deuxième est la liste de leurs exposants.

[8Cette commande retourne"true" si $n$ est premier et "false" si $n$ ne l’est pas.

[9Cette commande retourne tous les multiples de $n$ de 0 à $n \times k$.

[10D’autres méthodes de calcul du PPCM sont présentées dans la suite de ce document.

[11Pour déterminer le PPCM de plus de deux nombres, c’est plutôt à la commande "PPCM($<$ListeNombres$>$)" qu’il faut faire appel.

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