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Quelques apports du T.N.I en classe : comparaison de deux configurations
Moteur de recherche

 Préambule : une manière particulière de faire cours

Dans mes différentes classes [1], chaque élève va à son rythme. Je n’ai donc, en ce mois de novembre, que quelques binômes d’élèves qui font les mêmes exercices, les autres travaillant chacun à une notion différente, voire à un chapitre différent.

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Photo de Ben Grey, certains droits réservés, cc by-sa.
Source : http://www.flickr.com/photos/ben_grey/4832655997/

Pour gérer cela, rien de tel que l’informatique. J’ai donc un triplet vidéoprojecteur-portable- tablette graphique, qui ne sert quasiment qu’à cela : je projette sur un mur blanc un tableur (qui contient quelques macros), qui fait défiler la liste des travaux par élève.

Il me sert éventuellement pour expliquer une notion : pour cela, j’utilise le logiciel Interwrite car il me permet d’écrire en écriture manuscrite, donc plus rapidement qu’avec un clavier. D’autre part ce logiciel permet d’écrire des pages de grande longueur : inutile de changer de page quand on a plus de place. Enfin, outre les habituels outils de tracé, le logiciel permet de sauvegarder au format pdf : c’est commode pour la mise en ligne, car la plupart des ordinateurs des familles permettent de lire ce format.

J’utilise d’autre part un autre triplet vidéoprojecteur-portable-TNI . Ce dispositif sert essentiellement aux élèves : logiciel de géométrie, tableur, recherche sur Internet…

 Pourquoi deux dispositifs ?

Il ne s’agit pas des mêmes besoins :

- le tableau interactif est plus vite pris en main que la tablette graphique ( un TNI, hélas !, est plus cher qu’une tablette).
- Dans ma classe, il sert uniquement aux élèves, pas au professeur.

Comme mes élèves ne travaillent pas sur les mêmes exercices, il est extrêmement rare qu’il y ait « embouteillage » : le fait que deux élèves aient à faire deux exercices différents sur le TNI n’est arrivé qu’une fois depuis la rentrée. C’est d’ailleurs pourquoi, dans mes fiches d’exercices, je prévois de plus en plus un exercice faisable à la main , en dépannage.

Le cas le plus courant : deux ou trois élèves sont sur le même exercice d’introduction à une nouvelle notion. Dans ce cas, je les mets en travail de groupe , sur le TNI. Les autres continuent leur petit bonhomme de chemin (sur des notions qui n’ont en général rien à voir), mais jettent un coup d’œil sur le travail fait au tableau, ce qui, mine de rien, leur permet de mieux apprivoiser les logiciels mis en œuvre.

 Quelle utilisation pédagogique du TNI ?

Essentiellement, j’utilise le TNI dans quatre domaines :

 Un logiciel de géométrie, pour conjecturer

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Photo de Jody Sticca, certains droits réservés, cc by-nc-nd.
Photo de Jody Art, certains droits réservés .
Source : http://www.flickr.com/photos/jody_art/2326686782/

L’avantage d’un tel dispositif n’est plus à démontrer : avec un logiciel de géométrie dynamique, un élève conjecture en cinq minutes ce qu’il ferait sur papier en une heure. Essentiellement parce qu’il n’est plus nécessaire de refaire une autre figure pour voir quelles propriétés sont conservées.

Cette année, ayant essentiellement des cinquièmes et des quatrièmes, je fais utiliser Tracenpoche, par exemple, pour conjecturer :
- les propriétés de la symétrie centrale (égalité des longueurs, parallélisme, égalité des angles, égalité des aires) (5ème).
- les propriétés d’un parallélogramme (égalité des longueurs, des angles, parallélisme, milieu des diagonales) (5ème).
- Les propriétés des parallélogrammes particuliers (5ème).
- les propriétés des angles alternes-internes (5ème).
- L’inégalité triangulaire (5ème).
- La somme des angles dans un triangle (5ème).
- Les propriétés de la médiatrice (5ème).
- Le théorème de Pythagore (4ème).
- Les trois propriétés de la droite des milieux (4ème).
- …

Comme on le constate, le TNI est fortement mis à contribution dans ce domaine.

Manipuler à la souris, devant l’écran de l’ordinateur, avec vidéoprojection de l’ensemble, serait évidemment une alternative possible. Mais alors, il y a moins de collaboration dans le travail : celui qui tient la souris a tendance à tout faire : raisonnement, idée, et mise en œuvre. Alors que le stylo du tableau numérique change plus facilement de main. D’autre part, la manipulation à la souris, même si elle se voit à l’écran, ne « parle » pas aussi bien aux autres élèves que la manipulation directe au stylo, sur l’écran projeté.

Les élèves, quand ils arrivent à un tel exercice, utilisent donc le logiciel de géométrie sur le TNI, devant la classe. Ils sont autonomes, mais leur travail est visible par chacun, ce qui permet aux autres élèves de regarder de temps en temps ce qu’ils font, et par là même, d’apprendre un peu, mine de rien.

 Un logiciel de construction géométrique, pour (ré)apprendre à construire

Certains élèves n’ont pas assimilé comment construire une figure à partir d’un énoncé, ou ont oublié comment on traçait une parallèle, une médiatrice, etc. Ceci est essentiellement fait en 5ème, avec Instrumenpoche. Je conçois donc des exercices et des vidéos (en utilisant l’outil film du logiciel Interwrite) pour :
- Apprendre à construire la médiatrice d’un segment, une médiane dans un triangle, une hauteur…
- Rappeler comment on construit des parallèles (équerre et compas), et trouver d’autres méthodes dérivées de la symétrie axiale ou du parallélogramme (compas)

L’un des intérêts de l’utilisation d’un logiciel virtuel de tracé géométrique pour l’élève est le sentiment de pouvoir facilement effacer, revenir en arrière, essayer, etc. : l’écran reste propre, contrairement à la feuille de papier sur laquelle on a gommé des tracés plusieurs fois. On encourage ainsi un comportement psychologique essentiel dans notre enseignement, à mon avis : la démarche de recherche et de tâtonnement, sans crainte de l’échec, par curiosité pure.

Un autre avantage, cette fois-ci pour le professeur, est de restreindre les options : comment inciter un élève à reporter des longueurs au compas, sinon en interdisant la règle graduée ? Comment inciter l’élève à réinvestir les notions du parallélogramme pour tracer une parallèle, sinon en interdisant l’utilisation de la règle ?

Vu l’habileté nécessaire pour manipuler les outils, le TNI est ici bien plus pratique qu’une vulgaire souris.

 Un tableur, pour les calculs.

Le calcul littéral, et la nécessité de l’utiliser, est un des écueils majeurs du programme de mathématiques du collège.

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Les programmes de calcul sont un des moyens que j’utilise pour convaincre les élèves.

Et quoi de plus commode qu’un tableur pour pouvoir faire essayer un programme de calcul plusieurs dizaines de fois ?

Je fais donc utiliser un tableur, par exemple, pour :
- Comprendre la nécessité d’utiliser des parenthèses pour changer les priorités des opérations (quelle est la différence entre A1+A2*A3 et (A1+A2)*A3, en changeant comme ils veulent les valeurs…)
- Vérifier la formule de distributivité.
- Comparer des programmes de calculs : sont-ils équivalents, juste égaux pour certaines valeurs , jamais égaux ?

Un autre avantage du tableur est la rapidité avec laquelle on peut représenter des données : il est bien plus facile de comprendre les avantages et les inconvénients d’une représentation des données (circulaire, histogramme…) si on peut basculer rapidement de l’une à l’autre, sans avoir à les tracer longuement sur le papier.

Donc, certains de mes exercices utilisent le tableur pour :
- étudier différentes représentation des données,
- comprendre la proportionnalité, et aborder la caractérisation par « je multiplie par.. », et la droite passant par l’origine.

Là encore, l’avantage du système du TNI est la prise en main, et le côté « public » de la démonstration.

 Internet, pour apprendre à chercher.

Dans notre travail, il devient essentiel de savoir chercher que de savoir tout court : de nos jours, qui n’a pas enrichi ses connaissances par Internet ?

Il est donc devenu essentiel, à mon avis, d’apprendre à nos élèves à trouver une information, plutôt que de rester dans une posture d’échec quand on ne connaît pas son cours, par exemple. Il est étonnant de voir le nombre d’élèves qui n’ont pas le réflexe de consulter leur cahier de cours quand ils ont une démonstration à faire et qu’ils ne se souviennent plus des propriétés qu’ils pourraient utiliser !

C’est pourquoi, quand un élève est « bloqué », qu’il n’a pas une information (typiquement, une information sur une notion de 5ème sur le parallélogramme, par exemple, alors qu’il est en 4ème), au lieu de lui fournir l’information manquante, je l’envoie chercher sur Internet (au même titre que je l’enverrais chercher dans un dictionnaire pour un mot qu’il ne comprend pas) ; mais là encore, cela se passe devant les autres, pour leur montrer l’intérêt d’une telle banque de données : que l’élève cherche publiquement, sur le TNI, est plus mobilisateur pour la classe que s’il le faisait devant un écran.

Á ce titre, d’ailleurs, le fait que Sésamath soit bien référencé permet d’obtenir l’information plus rapidement.

 Conclusion

Objectivement, les apports du TNI ne me semblent pas être là où on le croit : la plupart des utilisations décrites dans cet article pourraient se faire sans TNI, avec simplement un vidéoprojecteur, et, éventuellement une tablette graphique. C’est d’ailleurs pourquoi j’encourage vivement les collèges à s’équiper en tablette : on peut en retirer 90% des avantages du numérique, à moindre coût (une tablette sans fil Bluetooth coûte environ entre 160 et 200 €).

En revanche, le TNI apporte une manipulation plus aisée, et permet de mieux montrer aux élèves à la fois les manipulations des logiciels et les aspects mathématiques des exercices à travers ces mêmes logiciels.

Concernant les logiciels eux-mêmes, en revanche, l’avantage pédagogique de l’informatique est indéniable, notamment comme outils d’exploration de nouvelles notions.

 Annexe : « photographie » d’une séance de la classe de 4 ème B.

Pour une question de commodité, j’ai regroupé les exercices en fin de document. La « photographie » que voici représente l’ensemble des activités menées en parallèle par les élèves de la classe, le mardi 8 novembre 2010. L’activité proposée à chaque élève est accessible d’un clic sur son prénom.

 Quelques remarques préliminaires.

  • leur qualité pédagogique est médiocre, suivant le contexte : certains conjecturent, d’autres appliquent des propriétés élémentaires, d’autres encore les réinvestissent dans des problèmes plus complexes.
  • Pour tous les exercices, les résultats ou des indications sont donnés en fin de document (ils ne sont pas dans cette annexe). En effet, chaque élève avançant sur des notions différentes, il est impossible de les guider en même temps. Pour palier ce problème, je donne les résultats, et l’élève m’appelle s’il ne trouve pas le résultat au bout de deux tentatives. Cette semi-autonomie a un inconvénient : elle m’oblige parfois à trop simplifier les démarches de recherche. Il y a donc un gros travail d’amélioration à faire, sur ce point.
  • Je commence à insérer d’autres types d’exercices :
    • Des exercices « impossibles » à résoudre : par exemple : « ABC est un triangle, AB=4, BC=3, calculer AC ». Pour faire comprendre la nécessité de certaines données.
    • Des exercices « diagnostiques » : chaque question n’est à traiter qu’une fois, et, en fonction du résultat, je renvoie à une activité différente (exemple : addition de deux nombres relatifs en 4ème).
      - J’utilise aussi l’ordinateur avec le tableur : notion de formule, graphiques, etc. ou avec Internet : un élève qui ne se rappelle plus une notion des années précédente peut se déplacer et faire sa recherche sur Internet.
  • Vous trouverez les documents complets ici : http://scolamath.free.fr, ainsi qu’un article expliquant la méthode différenciée dans MathémaTICE. Attention à mettre des garde-fous si vous utilisez cette méthode : rendez obligatoire un certain nombre d’exercices. Un cours étant correctement complété par l’élève (il est validé par le professeur), imposez de le faire recopier dans le cahier de cours : les textes à trous ne sont pas efficaces pour retenir les notions.
  • Enfin, une grande partie des exercices sont inspirés des manuels Sésamath  : leur qualité, fruit d’une réflexion collaborative large et approfondie, n’a pas d’égal, à mon avis.

 Activités menées par chaque élève (le détail est dans les onglets qui suivent) :

  • Marion se penche sur l’exercice conjecturant deux propriétés de la droite des milieux dans un triangle, sur TNI, avec Tracenpoche.
  • Julien et Alexandre (dans le même chapitre) apprennent (sur feuille) à démontrer en plusieurs étapes (il aurait été possible d’utiliser un exercice Mathenpoche de 4ème pour cela, mais ceci est proposé en DM via Labomep).
  • Laurie révise les notions de classement des nombres relatifs (notion mal assimilée par la classe l’année précédente).
  • Eva conjecture (dans le même chapitre) la multiplication des nombres relatifs.
  • Jordan (dans le même chapitre) applique la règle des signes sur des fractions et retravaille le sens.
  • Kévin, Florentin, Sylvain et Sarah (dans le même chapitre) travaillent sur des calculs fractionnaires un peu complexes (cela me permet de réinvestir les techniques opératoires sur les fractions vues au premier chapitre).
  • Thomas, Manuel et Erwan (dans le même chapitre) conjecturent sur la manière de transformer une expression comportant un « - (moins) » suivi de parenthèses entourant un calcul.
  • Anastasia (dans le même chapitre) conjecture sur la manière de transformer une expression comportant un « + » suivi de parenthèses entourant un calcul.
  • Axelle s’entraine pour le contrôle de fin de chapitre (en effet, j’utilise des macro-commandes qui me permettent de générer autant de sujets différents que je veux. Deux avantages : je peux autoriser un élève à repasser un contrôle autant de fois qu’il le désire ; je peux proposer un exemple de sujet intégré au cours, sur lequel l’élève peut s’entrainer, en connaissant les résultats).
  • Sandra, Océane, et Nicolas doivent conjecturer le théorème de Pythagore . Ils avaient le choix entre un exercice sur feuille ou avec Ttracenpoche sur un deuxième portable, non relié au TNI, mais avec vidéoprojection (c’est cette deuxième solution qu’ils ont choisi).
  • Coralie et Clémence doivent conjecturer la réciproque du théorème de Pythagore, sur feuille.
  • Lise travaille sur la notion de très grands et de très petits nombres, et sur la commodité de l’écriture scientifique (à venir dans le cours suivant).
  • Tiphaine s’entraine sur le contrôle de fin de chapitre consacré aux puissances.
  • Jessy, dans le cadre du chapitre sur la proportionnalité, s’entraine sur les pourcentages.

Finalement, en synthétisant :

  • 4 élèves travaillent sur ordinateur, et, pour cette séance, uniquement sur un logiciel de géométrie.
  • La classe travaille sur 5 chapitres : 3 élèves sur le chapitre sur la droite des milieux dans un triangle, 12 sur les nombres relatifs, 5 sur le théorème de Pythagore, 2 sur les puissances, et 1 sur la proportionnalité.

 Détail des travaux proposés aux différents élèves.

Marion

Exercice n°1 - Un triangle et deux milieux

Remarque : si vous ne pouvez pas utiliser d’ordinateur, construisez plusieurs triangles ABC quelconques et différents (au moins 4), et les milieux I de [ AB ] et J de [ BC ]. Faites ensuite les questions ii. (en mesurant) et iii.
  • 1. Conjecture avec TracenPoche
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    Conjecture avec Tracenpoche
    • a) Construction de la figure :
      • Construis un triangle ABC [2].
      • En utilisant le bouton
        PNG - 1.1 ko
        ico

         [3], place le point I milieu de [ AB ] et le point J milieu de [ BC ].

      • Trace la droite (IJ) [4].
    • b) Conjecture :
      • À l’aide du bouton
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        ico2

         [5], fais apparaître les longueurs des segments [ IJ ] et [ AC ].

      • Déplace les sommets du triangle et note, ci-dessous, les longueurs IJ et AC pour quatre triangles différents.
IJ .......... .......... .......... ..........
AC .......... .......... .......... ..........
      • Que remarques-tu ?
        ..........................................................................................
      • Déplace les sommets du triangle. Comment semblent être les droites (IJ) et (AC) ?
        ..........................................................................................
      • Dans la fenêtre Analyse, saisis : « position ( IJ , AC ) = » puis appuie sur la touche F9. Déplace à nouveau les sommets du triangle. Qu’indique Tracenpoche ?
        ..........................................................................................

Cours n°1

Cours à compléter, à montrer au professeur puis, s’il est validé, à recopier intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier (PENSER à AVOIR une MARGE).

Chapitre …… : la droite des milieux dans un triangle

I) Si une droite passe par les milieux…

Propriété n°1

Si, dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés, alors

.............................. ..............................

Exemple n°1 :

SWB est un triangle. On a, en centimètre : SW = 7, SB = 3 et WB = 5. Z est le milieu de [SW]. O est le milieu de [SB].
- 1°) Faire une figure.
- 2°) Que peut-on dire de (ZO) ? Justifier.

1°)

2°)D’après l’énoncé, on sait que : Z est .............................. et O est ..............................

Or :
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................

Donc : (ZO) ...............................

Propriété n°2

Si, dans un triangle, un segment joint les milieux de deux côtés, alors

.............................. ..............................

Exemple n°2 :

JLG est un triangle. On a, en centimètre : JL = 8, JG = 4 et LG = 3. X est le milieu de [JL]. V est le milieu de [JG]. Que peut-on dire de XV ? Justifier.

D’après l’énoncé, on sait que : X est .............................. et V est ...............................

Et que : .............................. = ...............................

Or :
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................

Donc : XV= ...............................

Julien et Alexandre

Exercice n°16 - Comment s’organiser quand la solution d’une démonstration n’est pas évidente ?

Voici un problème dont la solution n’est pas évidente :

« ABC est un triangle isocèle en A. La hauteur issue de A, coupe [BC] en I. J est le milieu de [AB]. K est le milieu de [AC]. Quelle est la nature de AJIK ? Démontrez-le. »

La méthode ci-dessous aide à trouver une démonstration correcte. Répondez à chaque question.

  • 1. Faire une figure à main levée.
  • 2. Faire un brouillon de recherche, en partant de la question posée :
    • a) Quelle semble être la nature du quadrilatère AJIK  ?
    • b) Trouver des propriétés apprises : Trouvez deux propriétés qui permettent de démontrer que le quadrilatère a bien la nature indiquée.
    • c) Les données sont-elles dans l’énoncé ? Pour chaque propriété, indiquer quelles sont les données nécessaires à leur application (par exemple, pour la propriété : « Si un quadrilatère a deux diagonales qui se coupent en un même milieu, alors c’est un parallélogramme », il faut avoir un milieu commun à deux diagonales).
    • d) Quelles données faut-il obtenir pour utiliser la propriété que vous avez choisie ? Figurent-elles dans l’énoncé ?
  • 3. Rédiger la démonstration complète et conclure.

Cours n°3

Cours à compléter, à montrer au professeur puis, s’il est validé, à recopier intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier (PENSER à AVOIR une MARGE).

II) Comment démontrer…

Exemple :

« ABCD est un rectangle. E est le symétrique de C par rapport à B. (DE) coupe (AB) en I. Que peut-on dire de I ? »

1. On fait une figure à main levée ou à la règle :

2. On cherche :

  • a) On propose une réponse à la question posée : I semble être ...............................
  • b) On donne des propriétés qui permettraient de répondre :
    n°1 : « Si, dans un triangle,...............................................................
    .......................................................................................... »
    n°2 : « Si un quadrilatère est un parallélogramme .........................................................
    .......................................................................................... »
    n°3 : « Si un point est le centre de symétrie d’un segment, alors il est ............................... »
  • c) On choisit une des propriétés, en fonction des données de l’exercice : la n°..............................
  • d) Si les données ne figurent pas dans l’exercice, on essaie de les prouver en trouvant une ou plusieurs propriétés qui les démontrent :
    « Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés opposés sont .............................. ».
    « Si un point est le centre de symétrie d’un segment, alors il est .............................. ».
  • e) On vérifie que les données nécessaires sont bien là : « E est le .............................., et ABCD est un ...............................

3. On rédige, à l’envers :

On sait que : E est le ..............................

Or : un point est le centre de symétrie d’un segment, alors il est ..............................
.......................................................................................... »

Donc : B est le ..............................

D’autre part, ABCD est un ..............................

Or : Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés opposés sont ..............................

Donc : ..............................

On sait donc que B est .............................. et que (BI) est .............................. à (CD).

Or :
..........................................................................................
..........................................................................................

Donc : I est ..............................

Laurie

Exercice n°1

Classer les nombres relatifs suivants par ordre croissant :

+ 8,18 + 7,89 + 4,93 + 6,56 + 8,33 + 4,51
− 1,11 − 9,74 − 6,93 + 5,72 − 4,72 − 4,53

Exercice n°2

Classer les nombres relatifs suivants par ordre décroissant :

− 3,54 + 1,78 − 1,83 − 1,69 − 7,67 + 3,14
− 6,98 − 4,39 − 4,25 + 5,38 + 3,32 − 7,74

Éva

Exercice n°9 - Conjecture sur le produit

  • A. Voici une table de multiplication :
    • 1. Recopie-la sur ton cahier et complète la partie qui concerne le produit de deux nombres positifs (en haut à droite).
    • 2. D’après le résultat de l’exercice n°8, complète la partie qui concerne le produit d’un nombre négatif par un nombre positif (en bas à droite).
    • 3. Observe les régularités dans cette table de multiplication et complète-la entièrement, en expliquant tes choix.
  • B. Application sur quelques exemples :
    • 1. En t’aidant de la table, donne le résultat pour chaque calcul suivant :
A = (– 5) × 4 B = 3 × (– 2)
C = 5 × (– 4) D = (– 1) × (– 3)
    • 2. En t’inspirant de ce qui précède, propose un résultat pour les calculs suivants :
E = (– 9,2) × 2 F = 1,5 × (– 8)
G = (– 3,14) × 0 H = (– 1,2) × (– 0,1)
    • 3. Vérifie ces résultats à la calculatrice.
    • 4. Propose une règle qui permet, dans tous les cas, de calculer le produit de deux nombres relatifs.

Cours n°4

Cours à compléter, à montrer au professeur puis, s’il est validé, à recopier intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier (PENSER à AVOIR une MARGE).

I) Négatif multiplié par positif

Propriété n°4

« − » × « + » −> « .............................. ».

Si on multiplie un nombre négatif par un nombre positif, on obtient un nombre

.............................. ..............................

Exemple n°7 :

A = (−3,5) × 5 = ..............................
B = 7 × (−8,2) = ..............................

II) Négatif multiplié par négatif

Propriété n°5

« − » × « − » −> « .............................. ».

Si on multiplie un nombre négatif par un nombre négatif, on obtient un nombre

.............................. ..............................

Exemple n°8 :

C = (−3,5) × (−5) = ..............................
D = (−7) × (−8,2) =..............................

Jordan

Exercice n°23

Pour chaque fraction, trouve l’écriture la plus simple possible :

Exemple : $\frac{-2}{+9} = -\frac{2}{9}$

  • a. $-\frac{+4}{+5}$
  • b. $-\frac{-1}{-5} $
  • c. $\frac{7}{-3}$
  • d. $-\frac{-8}{11} $
  • e. $-\frac{1}{-10} $
  • f. $-\frac{5}{-15}$

Exercice n°24

Calcule les expressions suivantes :

  • A = $\frac{11}{2-5}$
  • B = $\frac{-6-3}{2+7} $
  • C = $\frac{-2-(-4)}{6-7}$

Exercice n°25 - Températures

Il fait 0°C et la température chute de deux degrés toutes les heures.

  • a) Combien de temps faudra-t-il pour que la température atteigne – 10°C ?
  • b) Quelle sera la température dans huit heures ?

Kévin

Exercice n°29

Montrer obligatoirement la rédaction au professeur.

Voici une expression : $A = +\frac{-6}{5} - \frac{+6}{-7} $

  • 1. Simplifiez chaque fraction, comme dans l’exercice n°23, en faisant en sorte que le dénominateur de chaque fraction soit toujours positif.
  • 2. Réduisez au même dénominateur.
  • 3. Effectuez le calcul et simplifiez le résultat si c’est possible.

Exercice n°30

Calcule en détaillant, en vous inspirant de l’exercice n°29 (rappel 4 = ) :

  • $A = +\frac{-9}{3} - \frac{-5}{-4} + \frac{-8}{-4} $
  • $B = +\frac{-2}{4} - \frac{-9}{-6} + \frac{-4}{-2} $
  • $C = +\frac{-8}{5} - (-3) - \frac{-3}{-2} $
  • $D = +\frac{-9}{9} + \frac{-6}{-8} - \frac{-4}{-5} $
  • $E = -(-5) + \frac{-3}{-4} + \frac{-8}{-9} $
  • $F = +\frac{-9}{9} - \frac{-4}{-7} - \frac{-4}{-5} $

Exercice n°31

Voici une expression :
$A = \frac{\frac{-7}{3} + \frac{-1}{6}}{\frac{2}{-5}-\frac{7}{-6}} $

  • 1. Simplifiez chaque petite fraction, comme dans l’exercice n°23
    ($\frac{-7}{3}=-\frac{7}{3} ; \frac{2}{-5}=-\frac{2}{5}$), en faisant en sorte que le dénominateur de chaque fraction soit toujours positif.
  • 2. Réduisez au même dénominateur les deux fractions situées au-dessus de la grande barre. Faite de même avec celles situées en dessous de la grande barre.
  • 3. Effectuez les additions et les soustractions.
  • 4. Finissez le calcul.

Thomas

Exercice n°34 - Un cas particulier de la distributivité

Le but de cette activité est de simplifier une expression ayant un signe « – » devant une parenthèse ou un crochet ouvrant.

Première partie : On considère l’expression : A = 4 – 8 – 5 – (– 5 + 2).

  • a. Calcule cette expression en détaillant et en respectant les priorités de calcul.
  • b. On désire avoir une expression égale à A, sans parenthèses, et sans faire de calcul.
    • 1. Complète : on peut écrire A sous la forme :
      A = 4 – 8 – 5 + (– ..........) × (– 5 + 2)
    • 2. Rappelons la formule de distributivité de 5ème : k×(a+b)=..............................
    • 3. Développe A en distribuant le facteur – 1 comme dans la formule de distributivité, puis effectue les produits. Tu obtiens ainsi une écriture simplifiée de A :
      A=4 – 8 – 5+ ....................
    • 4. Compare-la avec l’expression de départ et complète :
      –5 devient .........., c’est-à-dire l’o......... de –5
      +2 devient .........., c’est-à-dire l’o......... de ..........
    • 5. Plus généralement, si a est un nombre quelconque, + a devient .......... et – a devient ..........
    • 6. Complète la phrase ci-dessous :
      « Soustraire une série de t......... revient à ad........ les .......... de chaque .......... »

Deuxième partie : On considère cette fois une formule : B=2L-p-(+p-L).

  • a. Si L=3 et p=2, que vaut B (rappel : « 2L » veut dire 2×L) ? Détaillez vos calculs ci-dessous :
    B = ..........×..........-..........-(+..........-..........)
    B= ..........×..........-..........-(..........)
    B=..........-..........-(..........)
    B=..........-..............................
    B=..............................
    B=..........
  • b. On veut une autre formule qui donne le même résultat, sans parenthèses dedans.
    • 1. En appliquant la règle découverte dans la première partie, complétez :
      B=2L-.................... p ....................
    • 2. Vérifiez pour L=3 et p=2, que B donne bien le même résultat :
      B=..........×..........-..................................................
      B=..........-..................................................
      B=..................................................
      B=..............................
      B=..........

Cours n°6

Cours à compléter, à montrer au professeur puis, s’il est validé, à recopier intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier (PENSER à AVOIR une MARGE).

III) Signe « - » devant une série de termes

Propriété n°8

Soustraire une série de termes c’est
..............................

les .............................. de ces termes.

Exemple n°11 :

Sans calculer, appliquer la règle découvertes ci-dessus, aux calculs ci-dessous :

A = − (−5+7− (−8)) = − ( –5 +..........+..........) = ..........

B = − (5+(−7) –(−8)) = − (+........................................) = ..........

C = 9 – (−3+2) − (7+(−9) –(−8))
C = 9 .......... − (..................................................)
C = 9 ....................

Anastasia

Exercice n°37 - Un cas particulier de la distributivité

Le but de cette activité est de simplifier une expression ayant un signe « + » devant une parenthèse ou un crochet ouvrant.

Première partie : On considère l’expression : A = 4 – 8 – 5 + (– 5 + 2).

  • a. Calcule cette expression en détaillant et en respectant les priorités de calcul.
  • b. On désire avoir une expression égale à A, sans parenthèses, et sans faire de calcul.
    • 1. Complète : on peut écrire A sous la forme :
      A = 4 – 8 – 5 + (+ ..........) × (– 5 + 2)
    • 2. Développe A en distribuant le facteur + 1 comme dans la formule de distributivité, puis effectue les produits. Tu obtiens ainsi une écriture simplifiée de A :
      A=4 – 8 – 5 ........................................
    • 3. Compare-la avec l’expression de départ et complète :
      –5 devient ..........
      +2 devient ..........
    • 4. Plus généralement, si a est un nombre quelconque, + a devient .......... et – a devient ..........
    • 5. Complète la phrase ci-dessous :
      « Additionner une série de t......... revient à ad........ chaque .................... »

Deuxième partie : On considère cette fois une formule : B=2L-p+(+p-L).

  • a. Si L=3 et p=2, que vaut B (rappel : « 2L » veut dire 2×L) ? Détaillez vos calculs ci-dessous :
    B = ..........×..........-..........+(+..........-..........)
    B= ..........×..........-..........+(..........)
    B=..........-..........+(..........)
    B=..........+..............................
    B=..............................
    B=..........
  • b. On veut une autre formule qui donne le même résultat, sans parenthèses dedans.
    • 1. En appliquant la règle découverte dans la première partie, complétez :
      B=2L-.................... p ....................
    • 2. Vérifiez pour L=3 et p=2, que B donne bien le même résultat :
      B=..........×..........-..................................................
      B=..........-..................................................
      B=..................................................
      B=..............................
      B=..........

Cours n°7

Cours à compléter, à montrer au professeur puis, s’il est validé, à recopier intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier (PENSER à AVOIR une MARGE).

III) Signe « + » devant une série de termes

Propriété n°9

Aditionner une série de t............................. revient à

ad............................ chaque ..............................

Exemple n°12 :

Sans calculer, appliquer la règle découverte ci-dessus, aux calculs ci-dessous :

A = + (−5+7− (−8)) = + ( –5 +..........+..........) = ..........

B = + (5+(−7) –(−8)) = + (+........................................) = ..........

C = 9 + (−3+2) + (7+(−9) –(−8))
C = 9 .......... + (..................................................)
C = 9 ....................

Axelle

Entraînement au brevet

Exercice n°41 (1 pt)

Classer les nombres relatifs suivants par ordre croissant :

─3,76 + 2,27 ─8,68 ─2,68
─5,27 + 6,95 ─7,82

..........................................................................................
..........................................................................................

Exercice n°42 (2,25 pt)

Calculer l’expression suivante :

A = ( ─8 –(─4)×(─2) –6×(─5))– (─3 – 7 ÷ (─5) + 2 ÷ (─2) 

..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................

Exercice n°43 (2 pt)

a, b et c sont des nombres positifs quelconques. En appliquant les règles de signe devant parenthèses, simplifiez au mieux l’expression suivante :

B = ─ ( a + (─b) ─ c) ─ (─ a + b ─ (─c)) + ( ─a ─ (─b) + c).

..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................

Sandra

On fera au choix l’exercice 6 (papier) ou 7 (ordinateur).

Exercice n°6 - Avec des ciseaux

  • 1. Sur une feuille non quadrillée, construis un triangle rectangle quelconque, puis, sur chacun des côtés, dessine un carré. Ensuite, découpe chaque carré en s’inspirant du dessin ci-dessous :

  • 2. En s’inspirant du découpage du dessin, recouvre le grand carré avec tous les morceaux des petits carrés.
    À ton avis, peut-on refaire cette manipulation pour n’importe quel triangle rectangle ? ..............................
  • 3. Refaites la même manipulation avec un triangle qui n’est pas rectangle.
    Que constatez-vous ?
    ..........................................................................................
    ..........................................................................................
    ..........................................................................................
  • 4. Complétez : « Si un triangle est rectangle, la somme des aires des carrés construits sur les deux petits côtés est égale à .............................. »

Exercice n°7 - Avec TracenPoche (inspiré de Sésamath (http://manuel.sesamath.net/)

  • 1. Construis un triangle ABC rectangle en A. Pour cela :
    • a. Place deux points A et B puis construis le segment [AB] et la perpendiculaire à [AB] passant par A ( ).
    • b. Place un point C sur cette perpendiculaire ( ).
    • c. Construis les segments [BC] et [AC] ( ).
  • 2. Fais apparaître les mesures des côtés du triangle ABC ( ).
  • 3. Complète le tableau suivant pour des triangles rectangles ABC différents (tu déplaceras les points A, B et C).
    Calcule ensuite AB² + AC² et BC² pour chacun de ces triangles : tu donneras des valeurs arrondies au centième.
Triangle 1 Triangle 2 Triangle 3 Triangle 4 Triangle 5 Triangle 6
AB ....... ....... ....... ....... ....... .......
AC ....... ....... ....... ....... ....... .......
AB²+AC² ....... ....... ....... ....... ....... .......
BC ....... ....... ....... ....... ....... .......
BC² ....... ....... ....... ....... ....... .......
  • 4. Que remarques-tu ?
    ..........................................................................................
    ..........................................................................................
  • 5. Dans la fenêtre Analyse, saisis les expressions ci-contre puis appuie sur la touche d’analyse .
  • 6. Déplace maintenant les points A, B et C et observe les résultats affichés dans la fenêtre Analyse.
    Quelle conjecture peux-tu faire ?
    ..........................................................................................
    ..........................................................................................
  • 7. Rédige cette conjecture sous la forme : « Si... alors... . ».
    ..........................................................................................
    ..........................................................................................
    ..........................................................................................
    ..........................................................................................
    ..........................................................................................
    ..........................................................................................
    ..........................................................................................

Cours n°1

Cours à compléter, à montrer au professeur puis, s’il est validé, à recopier intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier (PENSER à AVOIR une MARGE).

I) Le théorème de Pythagore

Propriété n°2

Si un triangle est ..............................,

alors le carré de l’hypoténuse est égal à la ..............................

des .............................. des deux autres côtés.



Dans le triangle ABC, le carré de l’hypoténuse est : ..............................
Le carré d’un des côtés de l’angle droit est :..............................
Le carré de l’autre côté de l’angle droit est : ..............................

Le théorème de Pythagore se traduit donc par l’égalité :
.............................. = .............................. + ..............................

Rappel : a²=a×a ( par exemple : 5² = 5 × ....... = .......)

Exemple MODELE n°1 :

ABC est un triangle rectangle en B. AB mesure 6 cm. BC mesure 8 cm. Calculer AC.

Réponse :

ABC est un triangle rectangle, donc le .............................. de son hypoténuse est égal à la .............................. des .............................. des deux autres côtés.

Ici, l’hypoténuse est : ..............................

..............................² = ..............................² + ..............................²
..............................× ..............................= ..............................×..............................+..............................×..............................
..............................=..............................+..............................
.............................. = ..............................

On cherche le nombre qui, multiplié par lui même, vaut .............................. C’est ..............................

Donc .............................. mesure .............................. cm.

Exemple MODELE n°2 :

YDU est un triangle rectangle en U. YD mesure 5,2 cm. YU mesure 4,8 cm. Calculer DU.

Réponse :

YDU est un triangle rectangle, donc le .............................. de son hypoténuse est égal à la .............................. des .............................. des deux autres côtés.

Ici, l’hypoténuse est : ..............................

..............................² = ..............................² + ..............................²
..............................× ..............................= ..............................×..............................+..............................×..............................
..............................=..............................+..............................
.............................. = ..............................

On cherche le nombre qui, multiplié par lui même, vaut .............................. C’est ..............................

Donc .............................. mesure .............................. cm.

Coralie

Exercice n°17

Dans chacun des cas ci-dessous :

  • Identifie le plus long côté du triangle EFG.
  • Calcule, d’une part, le carré de la longueur de ce côté.
  • Calcule, d’autre part, la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
  • Compare les résultats obtenus et conclus sur la nature du triangle.
1. EF = 4,5 cm ; FG = 6 cm ; EG = 7,5 cm. 2. EF = 3,6 cm ; FG = 6 cm ; EG = 7 cm.
3. FG =64 mm ; EF = 72 mm ; EG = 65 mm. 4. EF = 3,2 dam ; FG = 25,6 m ; EG = 19,2 m.

Exercice n°18

Rédige une « réciproque » du théorème de Pythagore, en t’inspirant de l’exercice n°17.

Cours n°2

I) La réciproque du théorème de Pythagore

Propriété n°2

Si, dans un triangle, le carré du côté le plus long est égal à la .............................. des .............................. des deux autres côtés, alors, ce triangle est ..............................

Exemple MODELE n°3 :

« Soit un triangle GEQ tel que GE= 7,2, GQ= 6,5, EQ= 9,7. Quelle est la nature de GEQ ? Justifiez. »

Réponse :

Dans le triangle GEQ, le côté le plus long est ..............................
Le carré du côté le plus long est :
..............................=.............................. = ..............................
La somme des carrés des deux autres côtés est :
..............................+..............................=..............................+..............................=..............................

On constate que les résultats des deux calculs ..............................
Donc, d’après la .............................., le triangle GEQ ..............................

Exemple MODELE n°4 :

« Soit un triangle CQO tel que CQ= 2,3, CO= 2,4, QO= 0,7. Quelle est la nature de CQO ? Justifiez. »

Réponse :

Dans le triangle CQO, le côté le plus long est ..............................
Le carré du côté le plus long est :
..............................=..............................=..............................
La somme des carrés des deux autres côtés est :
..............................+..............................=..............................+..............................=..............................

On constate que les résultats des deux calculs ..............................
Donc, le triangle CQO ..............................

Lise

Exercice n°14 - Une nouvelle écriture d'un nombre

  • 1. Des nombres de plus en plus grands
    • a. À l’aide de ta calculatrice, détermine la valeur du produit suivant : 32 768 × 15 625.
    • b. Détermine, sans utiliser ta calculatrice, l’écriture décimale de 327 680 × 156 250 (pense à utiliser le résultat précédent).
    • c. Vérifie le résultat obtenu ci-dessus à l’aide de ta calculatrice. Obtiens-tu le même résultat ?
    • d. Détermine, toujours sans utiliser ta calculatrice, l’écriture décimale de 327 680 000 × 1 562 500.
    • e. Vérifie le résultat obtenu ci-dessus à l’aide de ta calculatrice. Obtiens-tu le même résultat ?
  • 2. La notation scientifique des grands nombres
    • a. Effectue les calculs suivants à l’aide de la calculatrice et écrit le résultat : A = 9 620 000 000 + 9 870 000 000 ; B = 262 144 × 3 906 250 ;
      Trop de chiffres composent ces nombres pour que la calculatrice les affiche tous. Dans ce cas, la calculatrice affiche le produit d’un nombre par une puissance de 10. Il s’agit ici de l’écriture scientifique du résultat.
    • b. Que vaut A d’après la calculatrice ? Que veut dire l’affichage ? Vérifie à la main que ce que tu penses est juste.

Exercice n°15 - L'infiniment petit

Les experts de la physique rencontrent bien souvent dans leurs recherches des objets (que l’on appelle particules) invisibles à l’œil nu. Pour les mesurer, ils utilisent des unités spécifiques aux petites mesures.

  • a. Si c’est possible, recherche au C.D.I. ou sur Internet à quoi correspondent : un micromètre, un nanomètre, un picomètre et un femtomètre. Quelles abréviations correspondent à ces unités ?
  • b. Un cheveu mesure environ 80 micromètres de diamètre. Convertis cette mesure en mètres.
  • c. Le virus du SIDA mesure approximativement 100 nanomètres. Convertis cette mesure en mètres.
  • d. L’une des petites particules qu’étudient les physiciens est le proton dont la mesure est approximativement 0,8 femtomètres. Convertis cette mesure en mètres.
  • e. En micro-électronique, on utilise des composants appelés transistors. De nos jours, les plus petits transistors mesurent 0,065 micromètres. Sont-ils plus petits ou plus grands que le virus du SIDA ?

Exercice n°16

  • 1. Voici un nombre : 789,5. On veut l’écrire sous forme scientifique.
    • a. Donner le résultat décimal de chacun des nombres suivants :
      $7,895 \times 10^{-4}$
      $7,895 \times 10^{-3}$
      $7,895 \times 10^{-2}$
      $7,895 \times 10^{-1}$
      $7,895 \times 10^{0}$
      $7,895 \times 10^{+1}$
      $7,895 \times 10^{+2}$
      $7,895 \times 10^{+3}$
      $7,895 \times 10^{+4}$
    • b. Quel nombre parmi la liste précédente est égal à 789,5 ?
  • 2. Voici un nombre : 0,0657. On veut l’écrire sous forme scientifique.
    • a. Donner le résultat décimal de chacun des nombres suivants :
      $6,57 \times 10^{-4}$
      $6,57 \times 10^{-3}$
      $6,57 \times 10^{-2}$
      $6,57 \times 10^{-1}$
      $6,57 \times 10^{0}$
      $6,57 \times 10^{+1}$
      $6,57 \times 10^{+2}$
      $6,57 \times 10^{+3}$
      $6,57 \times 10^{+4}$
    • b. Quel nombre parmi la liste précédente est égale à 0,0657 ?
  • 3. Procéder de la même manière pour mettre sous forme scientifique (c’est-à-dire avec un seul chiffre différent de 0 avant la virgule) les nombres suivants :
a. 409,8 b. 0,0078 c. 3156,2
d. 0,78 e. 32 f. −789,2 g. −0,000876
  • 4. D’une manière générale,
    • a. si la partie numérique du nombre est plus petite que 1, quel sera le signe de l’exposant de la puissance de 10 de la forme scientifique ?
    • b. si la partie numérique du nombre est plus grande que 1, quel sera le signe de l’exposant de la puissance de 10 de la forme scientifique ?

Tiphaine

Entrainement au brevet

Exercice n°25 (2 points)

Donner le résultat sous la forme d’un nombre entier ou de l’inverse d’un nombre entier :

  • 1. $9^2$ = ..............................=..............................
  • 2. $4^{─3}$ = ..............................=..............................

Exercice  n°26 (3 points)

  • 1. $ 10^3 \times 10^1$=10 ..............................=10..............................
  • 2. =$ \frac{10^{53}}{10^9}=$..............................=10..............................
  • 3. $ {(10^6)}^5$ =10..............................=10..............................

Exercice n°27 (4 points)

  • A. Ecrire les nombre suivants en écriture scientifique :
    • 1. $942,5 \times 10^9$=..............................
    • 2. $58,25 \times 10^{─2}$=..............................
    • 3. $0,00596 \times 10^5$=..............................
    • 4. $0,0386 \times 10^{─9}$=..............................
    • 5. $319 \times 10^3$=..............................
    • 6. $629 \times 10^{─9}$=..............................
  • B. Encadrer le nombre de la question 4 par deux puissances de 10 consécutives :
    ..........................................................................................

Exercice n°28 (1 point)

On veut fabriquer des sacs en plastique biodégradable issus de la culture de céréales. En France la surface de cultures en céréales est de $9 \times 10^{10}$ m². D’autre part, 5,1 m² de céréales produisent 8 kg de plastique. Un sac plastique pèse 5 g. Sachant que les français $18 \times 10^9$ sacs par an, calculez la surface cultivable nécessaire pour satisfaire les besoins en sac plastique (évidemment, vous devrez expliquer votre démarche).
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................

Jessy

Exercice n°9 (Sésamath)

Les trois questions sont indépendantes.

  • a. Julien obtient une réduction de 15 % sur un vélo valant 158 €.
    Quel est le montant de la réduction obtenue par Julien ?
  • b. Patrick a obtenu une réduction de 27 € sur une console de jeu qui valait 225 €.
    Quel pourcentage de réduction a-t-il obtenu ?
  • c. Saïd a obtenu une baisse de 45 € sur un appareil photo, soit une baisse de 30 % du prix initial.
    Quel était le prix initial de l’appareil photo ?

Exercice n°10 (Sésamath)

Luc a placé un capital de 1 500 € à sa banque le 1er janvier 2007 à un taux d’intérêts annuel de 6 %. Cela signifie que chaque année la banque rajoute au capital 6 % de ce capital.

  • 1. Quel sera le capital de Luc le 01/01/2008 ?
  • 2. Quel sera le capital de Luc le 01/01/2009 ?
  • 3. Quel pourcentage de son capital de départ Luc aura-t-il gagné en deux ans ?

notes

[1J’enseigne dans un petit collège rural (350 élèves), dans des classes classiques de 20 à 27 élèves (hétérogénéité, difficulté de lecture pour certains, mais aussi, parfois un ou deux élèves avec un an d’avance). Le public est poli, avec peu de souci de discipline (c’est certainement ce qui m’a permis d’explorer d’autres méthodes d’enseignement). En revanche, la moitié des élèves de chaque classe ne font pas, à la maison, les devoirs demandés, et c’est ainsi qu’ils accumulent des lacunes.
Au bout d’une année, avec une méthode de pédagogie différenciée, le rapport du nombre de chapitres fait pour les plus rapides sur le nombre de chapitre faits pour les plus lents est de trois.

[2

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note1

plusieurs fois.

[3

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note2

puis

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.

[4

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puis

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[5

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