Mathématice, intégration des Tice dans l'enseignement des mathématiques  
Sommaire > Articles à paraître dans les numéros à venir > MathALEA - Vers une évaluation par contrat de (...)

MathALEA - Vers une évaluation par contrat de confiance 2.0

Moteur de recherche

1. Introduction

Depuis 2018, nous développons un générateur d’exercices à données aléatoires : MathALEA.

Il ne s’agit pas d’un exerciseur comme peuvent l’être MathEnPoche ou J3P, car les réponses de l’élève ne sont pas saisies et analysées. MathALEA génère des énoncés et leurs corrections puis laisse l’élève comparer son travail à un écrit de référence (un peu comme le fait l’excellent Pyromaths initié par Jérôme Ortais ou le très bon DocAlea d’Olivier Jaccomard).

Il y a, pour l’instant, plus de 150 exercices disponibles et une équipe de 3 programmeurs travaille à faire grandir cette base de données (Rémi Angot, Jean-Claude Lhote et Sébastien Lozano).

Les exercices peuvent être utilisés de différentes manières :

  • vidéoprojetés au tableau ;
  • sous forme d’un diaporama chronométré ;
  • partagés par une URL et lisibles sur smartphone, tablette ou ordinateur ;
  • récupérés en format PDF ;
  • récupérés en format LaTeX ;
  • utilisés en lien avec des demandes d’évaluation sous SACoche.

2. Inspirations pédagogiques

Commençons par rassurer nos Inspectrices et Inspecteurs. Nous savons pertinemment que faire des mathématiques c’est résoudre des problèmes. Un élève montre l’étendue de ses compétences lorsqu’il fait preuve d’initiatives face à un problème nouveau.

Bien que MathALEA propose une base de données de problèmes (voir par exemple cette sélection), il nous semble surtout efficace pour travailler les savoir-faire techniques. Comme le disent les programmes 2018 du cycle 4, pour qu’un élève puisse être en capacité de résoudre des problèmes cela « suppose de disposer d’automatismes (corpus de connaissances et de procédures automatisées immédiatement disponibles en mémoire) » et nous pensons que notre outil peut aider au travail de ces automatismes.

Nous allons dans cette partie vous résumer les approches pédagogiques qui nous ont poussés à développer cet outil.

La boucle évaluative

Grâce au travail de diffusion mené par l’ICEM34 et le CRAP-Cahiers Pédagogiques puis grâce aux lectures des ouvrages de Sylvain Connac, nous avons été sensibilisés à la nécessité de faire évoluer nos pratiques d’enseignants du second degré.

C’est devenu un pléonasme de parler de classe hétérogène et nous ne reviendrons pas ici sur tous les travaux qui ont motivé les pédagogies différenciées (Burns, Perrenoud...). Mais tous les professeurs en activité savent la grande complexité de mettre en place des pédagogies différenciées. Nous avons donc opté pour une personnalisation des apprentissages alternant les temps d’enseignement (toute la classe est face à la même situation didactique au même moment) et les temps d’apprentissages (chaque élève avance à son rythme sur un travail personnalisé avec ou sans entraide).

À ce sujet, nous conseillons aux collègues qui souhaiteraient développer de nouvelles manières d’enseigner face aux différences de niveaux dans leur classe de se rapprocher de l’ICEM ou de lire un livre de Sylvain Connac, en commençant peut-être par « La coopération entre élèves » chez Canopé.

De fait, si nous acceptons que chaque élève puisse avoir un temps d’apprentissage qui lui est propre alors il nous faut mettre en place une boucle évaluative « qui autorise les élèves à reprendre leurs entrainements suite à une évaluation non réussie, notamment en sollicitant des camarades identifiés comme ressources. » (Article du Café Pédagogique)

Concrètement, cela signifie qu’un élève peut refaire des exercices sur un thème donné puis demander à repasser une partie d’une évaluation antérieure pour montrer les progrès réalisés. Nous avons donc besoin d’un outil qui nous génère différentes versions des exercices d’entrainement puis différentes versions de l’évaluation et nous verrons que MathALEA sait faire cela.

Par ailleurs, libérer du temps pour la personnalisation des apprentissages demande une nouvelle organisation pédagogique de la classe. Ce n’est pas le propos de l’article, mais pour nous, cela se met en place à l’aide des pédagogies de la coopération dont vous pouvez retrouver une mise en application concrète dans le livre « Osez les pédagogies coopératives au collège et au lycée » écrit par des enseignants du collège Lucien-Vadez de Calais dont le professeur de mathématiques Guillaume Caron. C’est cette envie de développer la coopération dans nos classes qui est à l’origine de la création coopmaths.fr dont MathALEA est un outil.

Expliciter les attendus

Tout le monde a pu constater la présence de plus en plus importante du mot « explicite » dans la communication institutionnelle. Sans tomber dans les excès d’une pédagogie qui serait instructioniste, il nous parait important de bien mettre en avant les techniques qui nous paraissent indispensables pour développer des automatismes.

Avec MathALEA, nous pouvons organiser un rituel de classe autour d’une sélection d’exercices vidéoprojetés au tableau. Ces mêmes exercices sont alors laissés en lien sur le cahier de texte en ligne pour que l’élève puisse les refaire autant de fois qu’il le souhaite, et enfin, ce sont toujours ces mêmes exercices qui seront donnés en évaluation.

Exemple de lien de révision

Évaluation correspondante (avec 2 sujets différents pour éviter que nos élèves louchent trop sur la copie du voisin...) :

Évaluation générée avec MathALEA

C’est une pratique courante que de dire aux élèves la liste des exercices du manuel qu’il faut savoir faire pour l’évaluation, mais cela nous parait encore plus efficace avec MathALEA, car l’élève peut générer autant d’énoncés différents qu’ils le souhaitent avant de s’autocorriger puis de retrouver en évaluation exactement les mêmes exercices.

L’évaluation par contrat de confiance

En 2003, André Antibi avait mis en évidence la notion de constante macabre c’est-à-dire le fait que l’on se sente obligé, pour être crédible, de mettre un certain pourcentage de mauvaises notes, même dans les classes de bon niveau. (Article du Café Pédagogique)

Il a alors proposé l’Évaluation Par Contrat de Confiance. L’enseignant communique aux élèves une liste de questions déjà traitées et corrigées en classe (cours, exercices...) en annonçant clairement : « Au contrôle, vous aurez à traiter exactement certaines de ces questions et, sur 4 points sur 20 environ, un exercice ne figurant pas sur la liste ».

Redonner un exercice 100% identique à un exercice, déjà réalisé en classe, questionne et malgré les arguments tout à fait convaincants d’André Antibi, nous optons plutôt pour une part de l’évaluation avec des exercices générés par MathALEA et annoncés à l’avance aux élèves. Il nous parait important aussi de toujours mettre dans une évaluation un exercice nouveau avec plus ou moins de prises d’initiative pour rappeler aux élèves que faire des mathématiques ne doit pas se résumer à la maitrise d’une liste de savoir-faire.

3. Présentation de MathALEA

Il s’agit donc de générer des exercices à données aléatoires. Cependant, chaque professeur qui prépare une fiche d’exercices ou une évaluation sait très bien que les valeurs numériques ne sont pas choisies complètement au hasard.

Scénarisation d’un exercice

Prenons un exemple basique en classe de 6e. Lorsque nous demandons aux élèves de réaliser une division euclidienne, diviser par 2 ou diviser par 7 n’est pas tout à fait la même chose et nous savons qu’une erreur classique peut être la mauvaise gestion d’un 0 dans un quotient. Nous avons donc développé cet exercice où il faut poser une division euclidienne avec une fois sur quatre avec une « table simple » (2, 3, 4 ou 5), deux fois sur quatre avec une table moins maitrisée de tous (6, 7, 8 ou 9) et une fois sur quatre avec un quotient contenant un 0.

Pour un même exercice, il y a bien souvent plusieurs niveaux de difficulté. Pour les programmeurs amateurs que nous sommes, le choix des variables informatiques revient à faire un choix de variables didactiques et c’est une pratique assez intéressante pour un professeur que d’expliciter ses choix didactiques.

Toujours sur cet exercice basique de division euclidienne. Sous l’énoncé, vous pouvez cliquer sur « Paramètres » et choisir le niveau 2 de difficulté qui est explicité en laissant la souris survoler le champ texte. Dans le niveau 2, le diviseur a 2 chiffres. Une fois sur deux, la division est par 11, 12, 15 ou 25 ; une fois sur quatre par 13, 14, 21, 22, 23 ou 24 et un 0 dans le quotient ; une fois sur quatre, le diviseur est un multiple de 10 et il y a un 0 dans le quotient.

Pour la plupart des exercices, nous proposons un paramétrage qui permet d’affiner le niveau de difficulté et de choisir le nombre de questions.

Dans tous les cas, les exercices sont programmés avec un scénario et l’aléatoire est très contrôlé. Prenons un nouvel exemple avec cet exercice sur la distributivité simple en 3e. Il y a le cas classique k(ax+b) qui apparaitra 2 fois sur 5, nous y avons ajouté les cas (ax+b) × k, k(ax+b) +c et kx(ax+b) qui apparaitront chacun une fois sur 5. À chaque nouvel génération de cet exercice vous retrouverez ces mêmes types de questions garantissant un niveau de difficulté relativement stable et l’assurance que l’élève rencontrera les différents cas de figure.

Utilisation de MathALEA

Il est à noter qu’au fur et à mesure que vous choisissez des exercices et que vous les paramétrez, les réglages se sauvegardent dans l’URL. Vous pouvez alors copier l’URL ou cliquer sur le bouton « Copier le lien vers les exercices sélectionnés ». Vous pouvez ensuite garder ce lien dans vos favoris ou le partager sur un cahier de texte en ligne.

L’usage le plus courant que nous avons de MathALEA est de vidéoprojeter une sélection d’exercices comme un rituel en classe sur le travail de la technique. Les boutons de zoom sont prévus pour adapter la taille d’affichage et faciliter la lecture par tous les élèves.

À noter que ce site a été développé en HTML/JS et qu’il a été pensé pour être tout à fait lisible sur tous les écrans ce qui peut permettre aux élèves de refaire des exercices et de lire les corrections depuis leur smartphone.

4. Générer un PDF ou un fichier LaTeX

Notre objectif premier était de préparer différentes versions d’une même évaluation. Cela peut être pratique pour limiter la copie entre voisins, mais aussi pour permettre à un élève de refaire une partie d’une évaluation sans refaire exactement le même exercice avec les mêmes nombres.

Autant le dire tout de suite, il n’y a et il n’y aura jamais de version Word ou LibreOffice de ces exercices, car nous ne savons pas le faire. Pour cela, regardez plutôt le travail d’Olivier Jaccomard avec DocAlea.

Ici, les exercices sont générés en LaTeX ce qui est très pratique pour les afficher en ligne ou pour créer un PDF.

Mais, nous allons tout de suite vous rassurer, vous n’êtes pas obligés de connaitre le LaTeX ou d’installer un nouveau programme sur votre ordinateur. Vous pouvez même produire un PDF depuis le navigateur de votre smartphone !

Pour cela, lorsque vous avez choisi et paramétré vos exercices, vous pouvez cliquer sur le bouton « Version LaTeX ».

Vous avez alors accès à davantage de paramètres pour modifier la consigne d’un exercice, son nombre de colonnes, l’espacement... En bas à droite s’affiche alors le code LaTeX pour que les adeptes de ce langage (ce magnifique langage qui permet des documents d’une beauté rare 🤓) puissent le récupérer et l’insérer dans leurs propres documents.

Cependant, tous les professeurs n’utilisent pas LaTeX. Le LaTeX est un véritable langage de programmation qui permet de composer des documents scientifiques de qualité, mais il n’est pas forcément très accessible (même si le travail de l’IREM de Lyon facilite grandement son apprentissage).

Pour pouvoir écrire en LaTeX, il faut apprendre un langage, installer un éditeur et une distribution. Ensuite, pour transformer un fichier LaTeX en PDF, il faut effectuer ce qu’on appelle une compilation et les premières ne sont pas toujours très simples.

Pour rendre accessible MathALEA à tous les collègues, nous avons décidé de nous appuyer sur un service en ligne. Grâce à la compilation dans le nuage, il est inutile d’installer de nouveaux programmes sur votre ordinateur et vous pouvez l’utiliser depuis n’importe où (depuis un poste en établissement, un smartphone, une tablette...).

Sur MathALEA, nous avons ajouté un bouton « Compiler sur Overleaf.com ». Pour pouvoir l’utiliser, il vous suffit de vous créer un compte gratuit sur ce site (pourvu que leur modèle économique ne change pas...) et vous obtenez instantanément un fichier PDF prêt à être distribué.

Dans les réglages ci-dessus, nous avons choisi le texte qui apparaitra en en-tête et nous avons choisi d’avoir 3 versions de la série demandée. Nous obtiendrons alors un document comme celui-ci :

À noter que les thèmes sont en fait un jeu de couleurs (Nombres en orange, Géo en bleu, Grandeurs en jaune, Gestion en violet et Algo en vert). Si cet en-tête ne vous convient pas, vous pouvez choisir quelque chose de plus sobre avec l’option « Style classique ».

Enfin, sur Overleaf, vous avez la possibilité de modifier la fiche. Un clic sur une flèche entre les 2 fenêtres permet de passer du PDF au code LaTeX pour essayer de modifier.

5. Personnaliser une évaluation et récupérer les demandes faites sous SACoche

Comme, nous vous le disions, notre point de départ fut le besoin de mettre en place une boucle évaluative. Dans ce précédent article, nous présentons une possibilité de personnaliser les évaluations grâce à un script Python. Le grand inconvénient de cette solution reposait dans l’obligation de bien maitriser le LaTeX et de savoir exécuter du Python sur son ordinateur.

Avec MathALEA, nous avons maintenant une solution bien plus abordable. Dans la rubrique MathALEA > Évaluation à la carte, il suffit de saisir sur chaque ligne le nom, le prénom de l’élève et les identifiants des exercices que vous souhaitez lui faire faire. S’il n’existe pas d’exercice à données aléatoires pour un item donné, le script peut aller piocher dans le répertoire correspondant à cet item un fichier LaTeX au hasard.

Pour cette fonctionnalité comme pour les autres, nous pouvons imaginer qu’une communauté d’utilisateurs vienne enrichir la base de données des exercices statiques ou aléatoires.

Depuis peu, MathALEA peut aussi s’intéger dans SACoche. Pour cela, il faut se rendre dans le menu Évaluation > Interfaçage avec un module externe de SACoche.

Il faut enregistrer l’URL suivante : https://coopmaths.fr/mathaleasacoche.php.

Ensuite, une fois que vous avez récupéré les demandes de nouvelles évaluations faites par les élèves et créé une évaluation avec ces demandes, il suffit de cliquer sur l’icône Générer un énoncé (module externe).

MathALEA s’ouvre alors dans SACoche avec les identités des élèves et leurs demandes d’évaluation.

Il ne reste plus qu’à cliquer sur Valider, compiler la fiche générée puis distribuer à chaque élève la feuille créée suivant ses propres demandes.

À l’heure actuelle, cela nécessite que votre référentiel corresponde à celui utilisé par MathALEA. Nous prévoyons de vous permettre de renseigner avec quels exercices aléatoires de MathALEA (ou quels exercices statiques déposés sur le site) vous voulez qu’un item de votre référentiel puisse être évalué. Cela nécessite un peu de développement, mais devrait arriver très prochainement.

6. Fonctionnalités supplémentaires

Numéro de série

Vous avez la possibilité de contrôler l’aléatoire grâce à un numéro de série qui apparait dans les paramètres et à la toute fin de l’URL (&serie=...). Cela permet de retrouver exactement les mêmes données et peut être pratique pour diverses raisons :

  • si une séance de cours a été interrompue et vous voulez continuer la même série ;
  • pour partager des énoncés identiques sur plusieurs postes ;
  • pour partager un lien qui permette aux élèves de refaire à la maison exactement la même version ;
  • ...

Diaporama chronométré

Cela ne remplacera pas l’excellent Mathsmentales.net de Sébastien Cogez qui nous a inspirés, mais il est possible d’afficher les questions sous la forme d’un diaporama chronométré ce qui peut être pratique pour travailler les automatismes de manière rythmée.

Dans MathALEA > Diaporama, vous pouvez choisir un exercice et paramétrer le nombre de questions, la durée pour une question et éventuellement le niveau de difficulté de l’exercice.

Voici, par exemple, un classique exercice de développement en classe de 3e.

Géométrie dynamique

Pour afficher des figures géométriques dans la version web de MathALEA, nous avons eu recours à MathGraph32 que les lecteurs de MathémaTICE doivent bien connaitre. Nous avons fait ce choix, car cet excellent logiciel est facilement contrôlable en Javascript. Cela nous permet de créer des exercices comme ceux-ci où l’on a la possibilité de déplacer certains points.

7. Un projet libre, ouvert, collaboratif et toujours en développement

Au moment de l’écriture de cet article, il y a un peu plus de 150 exercices disponibles. Tout le programme du collège n’est pas encore couvert et le chantier du lycée n’a même pas commencé. Mais il s’agit ici, nous l’espérons, que du début de ce projet.

Tout est programmé en Javascript et le code sous licence CC-By-SA est entièrement disponible sur Github. Vous avez également un wiki sur lequel est détaillée la programmation d’un exercice.

Nous sommes une équipe de 3 programmeurs et nous avons une petite communauté de testeurs du site coopmaths.fr qui nous aide à améliorer les exercices. Nous sommes prêts à accueillir et accompagner tous les collègues qui voudraient nous rejoindre.

Pour nous aider, vous pouvez tester des exercices et nous faire des retours. Vous pouvez faire des scénarios d’exercices (notamment en précisant comment seraient choisies les valeurs numériques) ou vous pouvez rejoindre l’équipe de programmation. Pour se lancer dans la programmation, nul besoin d’être un expert. Le moteur est prêt, de nombreuses fonctions facilitent le travail et nous sommes prêts à vous accompagner.

Le développement suit son cours. Nous avons prévu d’ajouter un grand nombre d’exercices et nous réfléchissons à implémenter de nouvelles fonctionnalités : une meilleure intégration dans SACoche, l’ajout d’une banque d’exercices statiques et d’autres idées que vous ne manquerez pas de nous suggérer.

8. Comparaison avec d’autres outils, convergences et différences

MathALEA n’est évidemment pas le premier outil qui génère des exercices de mathématiques de manière aléatoire. Nous allons étudier ici ce qui le distingue des services déjà existants.

Exerciseurs

Commençons par évoquer la grande famille des exerciseurs : Mathenpoche, J3P, les excellentes applications de Christophe Auclair... Ces outils très pratiques et efficaces permettent à l’élève de saisir directement sa réponse ce qui est impossible dans MathALEA.

Bien que très répandus et très utilisés par les enseignants, ces outils peuvent présenter de petits inconvénients. Tout d’abord, ils nécessitent d’avoir un appareil électronique par élève (ou par binôme) ce qui n’est pas toujours possible. D’autre part, l’écart entre ce que l’élève ferait en évaluation sur feuille et ce qu’il peut faire sur l’ordinateur et parfois important. Les cases à remplir, l’espace manquant ou en trop peut parfois gêner le travail et ne se transfère pas toujours de manière évidente en évaluation sur feuille.

MathALEA propose à l’élève de travailler sur feuille et ainsi ne change pas la nature de l’activité de l’élève.

Générateurs de feuilles d’exercices aléatoires

Il existe également plusieurs outils qui permettent de générer des fiches d’exercices à données aléatoires prêtes à être imprimées comme Pyromaths et DocAlea qui ont été des sources d’inspiration.

Là où DocAlea permet à tous les professeurs de créer leurs propres exercices directement dans le traitement de texte, Pyromaths (en Python) et MathALEA (en JS) demandent de la programmation. Le fait de devoir programmer peut être un frein, mais c’est aussi un avantage, car il permet d’utiliser des fonctions et librairies existantes, notamment en calcul formel, ce qui facilite la rédaction d’exercices.

Le Javascript permet à MathALEA d’offrir des fonctionnalités impossibles avec DocAlea ou Pyromaths :

  • permettre aux élèves de retrouver en ligne les exercices et corrections (et d’en générer de nouveaux, même sur leur smartphone) ;
  • utiliser la géométrie dynamique dans les exercices avec l’intégration de MG32 ;
  • intégrer MathALEA dans SACoche pour générer une évaluation à partir des demandes des élèves ;
  • paramétrer les exercices ;
  • proposer aux collègues plus de 150 exercices à choisir d’un simple clic.

DocAlea nous parait être l’outil idéal pour un professeur qui veut rendre aléatoires ses propres documents alors que MathALEA s’adresse aux élèves et aux professeurs qui veulent choisir un exercice dans une bibliothèque (...ou qui veulent les programmer).

Générateurs de feuilles d’exercices statiques

Thomas Castanet développe depuis de nombreuses années le serveur d’exercices Chingatome en s’appuyant aussi sur des sources en LaTeX. Il propose une imposante collection d’exercices sans commune mesure avec notre outil. Plutôt que de s’appuyer sur un service de cloud comme Overleaf.com, il maintient son propre serveur LaTeX qui s’occupe pour vous de la compilation. Les exercices y sont de qualité et suivent une même ligne éditoriale. La différence avec MathALEA réside dans le fait que les énoncés ne sont pas aléatoires même si récemment Thomas Castanet a ajouté pour le niveau lycée la possibilité de créer des QCM en prenant au hasard un énoncé d’exercice parmi une trentaine de disponibles

Stéphane Montégu propose le service en ligne domaTeX. Là encore, la banque de données d’exercices est assez impressionnante et très bien classée. Le site est très ergonomique et propose une personnalisation de la fiche d’exercices par simple glisser-déposer. Comme pour Chingatome les exercices y sont statiques et la compilation est réalisée en ligne. À noter que c’est le seul outil non libre évoqué dans cet article. Ce très beau logiciel a demandé un long et couteux développement que l’auteur souhaite financer avec un modèle économique proposant différentes formules payantes.

Générateurs d’activités mentales

Comme nous l’avons vu, MathALEA peut être utilisé au vidéoprojecteur pour mettre en activité une classe avec un exercice statique ou en affichant les questions les unes après les autres avec un chronomètre (comme ici pour la résolution d’équations-produits).

Par le passé, le site du « Matou Matheux » était beaucoup utilisé pour ses activités mentales. Comme la technologie Flash est devenue obsolète, l’excellent site mathsmentales.net a pris le relais et grandement amélioré le concept avec une très grande collection d’exercices paramétrables couvrant tout le programme du collège.

Pour les activités mentales, le site de Sébastien Cogez parait plus adapté, plus robuste et plus complet. La seule différence que peut apporter MathALEA est la possibilité d’imprimer une fiche d’exercices reprenant exactement le même générateur que celui utilisé en vidéoprojection.

Serveur d’exercice à faire en ligne ou à imprimer

Dans la famille des serveurs d’exercices en ligne, le plus ancien et le plus important est sans doute WIMS. MathALEA est un nain à côté de WIMS qui propose des exercices en ligne avec saisie des résultats, une version imprimable des exercices, la gestion de classes virtuelles...

À vrai dire, WIMS propose tellement de choses, de l’école primaire à l’Université, avec tant d’exercices, que nous ne nous sommes sans doute pas assez penchés sur lui.

La relative petite taille de MathALEA peut être un avantage. Nous nous sommes concentrés sur un petit nombre de fonctionnalités et nous avons une certaine unité entre les exercices qui sont tous validés par la même équipe et rangés suivant un référentiel commun.

Bibliographie


Réagir à cet article
Vous souhaitez compléter cet article pour un numéro futur, réagir à son contenu, demander des précisions à l'auteur ou au comité de rédaction...
À lire aussi ici
MathémaTICE est un projet
en collaboration avec
Suivre la vie du site Flux RSS 2.0  |  Espace de rédaction  |  Nous contacter  |  Site réalisé avec: SPIP  |  N° ISSN 2109-9197