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Cercle et tangente
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Les lignes qui suivent proposent quelques activités géométriques mises en oeuvre avec un logiciel de géométrie dynamique. Ces activités mettent en évidence quelques caractéristiques de la géométrie dynamique et montrent en quoi
ce « dynamique » peut apporter un plus indéniable par rapport au support papier seul.

Le choix de la tangente à un cercle n’est pas anodin car le point de contact constitue le point de rencontre entre deux lignes fondamentales en géométrie : le cercle et la droite.

Les activités proposées ont été traitées différemment par les élèves. La première a été traitée par mes élèves de seconde. La seconde a été présentée et commentée par moi-même, puis a été l’objet d’une discussion avec les élèves.
Enfin les élèves ont traité la première question de l’exercice 1.
Tout s’est déroulé en salle informatique, par petit groupe (un élève par poste).

Il est préférable que les élèves disposent d’un support papier les guidant dans leurs activités. Ce support contient des questions simples et immédiates, mais également des questions nécessitant une réflexion et la rédaction d’une démonstration.

La mise à disposition de telles fiches n’a de valeur qu’à titre d’exemple : elles ne doivent pas être reprises telles quelles. Leur contenu final dépend en effet de nombreux facteurs : niveau, compétence des élèves en géométrie dynamique, effectif du groupe etc...

Les activités peuvent être traitées par des élèves de collège.

Au collège, on définit la tangente à un cercle par sa propriété caractéristique la plus accessible :

Soit C un cercle de centre O. Soit H un point du cercle.
La tangente au cercle en H est la droite qui passe par H et qui perpendiculaire au rayon [OH].

Telle qu’elle est donnée, cette définition ne permet pas de comprendre ce qu’est réellement une tangente.

Les deux activités suivantes proposent d’étudier de près les conséquences de cette définition, d’en étudier d’autres propriétés...

Le support papier de l’activité 1 est joint en annexe.

Première activité : Etudions d’abord l’intersection de cette tangente avec le cercle

Les élèves construisent donc cette tangente. Une première question que l’on peut poser aux élèves est la suivante :
En combien de points la tangente coupe t-elle le cercle ?
Voilà une question qui peut paraître simple ...

Oralement, le professeur peut suggérer les démarches suivantes :

- se rapprocher de la figure (de l’écran) et regarder de plus près
- déplacer le point H, dans le cas où la réponse serait plus claire dans une autre configuration.

A priori, il semble bien qu’il n’y ait qu’un seul point d’intersection . Cela semble presque certain, mais la situation va se compliquer ... En effet, le professeur demande de zoomer sur le point H, si du moins les élèves ne l’ont pas déjà fait.

Voilà ce que l’on obtient en zoomant trois fois :

Y aurait-il plusieurs points d’intersection ?

Le doute s’installe soudainement... Ce n’est plus du tout évident : ce que l’on voit maintenant contredit ce que l’on avait pressenti.

Et en effet, même en géométrie dynamique, la figure ne constitue qu’une représentation d’une figure idéale qu’on ne peut pas traduire parfaitement (ce qui n’est pas si évident que cela aux yeux des élèves).

Ces imperfections graphiques présentent un avantage car, bien que ne distinguant pas clairement un seul point d’intersection, l’élève a conjecturé tout de même l’unicité, de sorte que s’impose alors la nécessité d’une autre approche, celle utilisant une démonstration.

La géométrie dynamique se prête en général très bien à la recherche de conjectures et d’invariants dans les figures.comme par exemple la concourance des hauteurs d’un triangle. Mais elle n’a pas seulement pour fonction de découvrir des propriétés constatées sur une figure. Elle peut amener également, comme c’est le cas ici, la nécessité d’établir, à l’aide d’une construction, une propriété conjecturée suite à la manipulation des objets de la figure.

On peut proposer la construction suivante pour démontrer l’unicité du point d’intersection.

Voici une démonstration :

OH est la distance de O à la droite (d). Donc c’est la plus courte distance du point O à la droite (d).
Soit P un point distinct de H sur la droite (d). On a nécessairement, OP > OH. Donc P n’appartient pas au cercle.
( on peut également raisonner par l’absurde en considérant un second point d’intersection P).

Avant de leur faire démontrer ce résultat, on peut leur proposer de construire un point P sur la droite (d) et de mesurer la longueur OP. Le fait que OP semble toujours supérieur au rayon montre que OH semble être la distance minimale de O à (d), ce qui est normal, si les élèves ont bien compris la notion de distance d’un point à une droite. Quand on réalise brusquement que OH est la distance de O à la droite (d), on a presque tout compris.

Il est probable que cette manipulation les aide et les place sur la voie d’une démonstration correcte.

Cette preuve prend donc ici la forme d’une construction à imaginer à partir des définitions posées au départ : au-delà de ce que l’on voit immédiatement de par les données du problème, il y a donc ce que l’on ne voit que parce que l’on a pensé à le voir, à le rendre visible par une construction.

Cette construction, que l’on invente, ne constitue pas encore une preuve mais elle est un pas vers une solution mathématique, et non plus empirique, du problème. On se rapproche de plus en plus d’un raisonnement conceptuel. Et ce sont les concepts qui permettent de révéler la véritable nature de la figure, malgré les pistes au départ évidentes, mais très vite sujettes à caution.

Remarque 1 :

Le déplacement, à l’aide de la souris, du point P sur la tangente est peu précis. On peut améliorer la précision à l’aide d’un montage simple :

Un segment [XY] est construit et P est défini ici comme étant l’intersection du segment [XY] et de la tangente (d). Comme Y est proche de (d), le déplacement à la souris de X induit un déplacement plus petit de P. On vérifie ici plus précisément que l’on a encore OP>OH , rayon du cercle.

Ce genre de mécanisme est très pratique et pourra être souvent réutilisé.
En répétant ce mécanisme à partir de X (X devient à son tour un point d’intersection) alors on obtient un déplacement de P encore plus précis.
Si bien qu’à un moment on ne voit même plus du tout bouger le point P alors que la longueur affichée OP change !

Encore un exemple de la distinction que les élèves doivent bien faire entre la représentation de la figure et la figure elle-même.

La conclusion de cette première activité "le cercle et la tangente ont un seul point commun" pourra conduire à une première généralisation de la tangente à d’autres courbes que le cercle. Philippe Michel la propose ici

Deuxième activité : cette définition n’explique pas dans quelle mesure une tangente peut être considérée comme la position limite d’une sécante.

En géométrie du Collège, la seule courbe dotée de tangente est le cercle, et la définition qu’on en donne est suffisante. Mais chacun sait que cette définition n’est pas généralisable à d’autres courbes. Or, au lycée, on a besoin de cette généralisation, qui donne naissance, en analyse, à la dérivée. Je propose donc aux élèves de Seconde une découverte que permet la géométrie dynamique : la tangente au sens traditionnel peut être obtenue comme "position limite d’une sécante", lorsque le second point d’intersection avec le cercle s’approche du premier (en restant sur le cercle). Cette notion est extrêmement subtile et complexe (elle contient en germe la notion de dérivée), et l’activité proposée n’est qu’une toute première sensibilisation des élèves."

La sécante (MT2) recoupe le cercle en un point T1.
H est le milieu du segment [T1T2].
Le point M permet d’obtenir toute droite passant par T2.
En construisant, manipulant et étudiant cette figure, les élèves doivent répondre aux questions suivantes :

  1. Quelle est la nature du triangle OT1T2 ?
    - Que peut-on conjecturer à propos des droites (OH) et (MB) ? Le démontrer !
  2. Que se passe t-il quand le point T1 se rapproche de T2 ?
    - Dans le cas où les points T1 et T2 sont confondus, où se situe le point H ?
    - Quelle est dans ce cas la nature de la droite (MT2) ?

Remarque 2 :
La représentation mentale de la tangente induite dans cette activité est robuste puisqu’elle correspond à la définition générale d’une tangente à une courbe.
Le déplacement de cette droite permet de bien comprendre qu’à la position limite, là où T1 et T2 sont confondus, H, milieu de [T1T2] , est confondu avec T1 et T2, et est donc sur le cercle. Il s’agit donc bien d’une tangente au cercle C passant par le point M.
Ici, la tangente apparaît comme la position limite de la sécante (T1T2) quand T2 tend vers T1.
L’élève retrouvera cette définition de la tangente en classe de première avec le nombre dérivé en un point A d’une courbe, coefficient directeur de la tangente en A, la tangente étant la position limite d’une sécante (AM) quand M tend vers A.
Cela dit, il n’est pas question ici de proposer cette définition générale d’une tangente. Il s’agit juste de faire remarquer cette propriété géométrique et de faire "manipuler" cette configuration par l’élève. Il me semble alors que la dérivation passera mieux une ou deux années plus tard.

Remarque 3 :
Cette position limite est très difficile à obtenir à la souris.
On peut l’obtenir en entrant directement les coordonnées de M et B dans le script (c’est un des avantages du script).

Troisième activité : construction d’une tangente

Nous cherchons maintenant à construire une tangente
à un cercle passant par un point M extérieur au cercle.

La question peut être ouverte.
Bien entendu, les élèves devront justifier leur construction.

Ce qu’il y a de remarquable dans ces problèmes de construction, c’est le mouvement...

Sur le cahier, une fois toute la construction réalisée, on reste toujours un peu sur sa faim. A quoi bon tout cela, si on ne peut pas s’amuser à vérifier que la construction fonctionne à tous les coups ? En géométrie dynamique, cela ne pose aucun problème. Et pour l’avoir constaté plusieurs fois, il y a réellement une différence, pour l’élève, entre la construction proprement dite et la mise en oeuvre par le mouvement de celle-ci.

La construction en continu [1] de la tangente, obtenue par le déplacement progressif de M, constitue toujours un choc au début. La construction ne montre pas seulement la tangente dans plusieurs configurations différentes (comme c’est le cas sur les différents cahiers des élèves), elle montre également ce qui se passe quand on déplace petit à petit le point M autour du cercle. Je pense que c’est un plus indéniable de la géométrie dynamique, qui s’apparente en quelque sorte davantage à une caméra qu’à une série de diapositives.

J’ai souvent remarqué que, une construction étant réalisée, l’élève manipule immédiatement la figure, sans qu’il soit nécessaire de le lui demander. C’est un fait remarquable. Ce n’est pas toujours le cas pour les calculatrices par exemple. Et il déplace toujours les objets lentement et continuement, jamais de manière saccadée. Clairement, il réfléchit sur la figure à l’aide de légers déplacements continus. Et c’est bien comme ça que l’on procède dans la vie de tous les jours quand on cherche à comprendre le fonctionnement d’un mécanisme.

Et puis élément intéressant et important : la construction du cercle de diamètre [OM] montre l’existence de DEUX tangentes. Rien n’échappe à une construction rigoureuse !

La figure permet également d’étudier ce qui se passe quand le point M est proche du cercle. On utilise ici les légers mouvements continus.
Là encore, le script permet d’affiner les réglages, le déplacement à la souris restant toujours très grossier.

Quand M est très proche du cercle, les deux tangentes sont confondues et on retrouve ici l’unicité de la tangente en un point d’un cercle.

Voilà ce que l’on obtient quand R = 6 et OM = 6,001.

On remarque l’extrême sensibilité des angles ; il est en effet extrêmement difficile à la souris, et même en utilisant le montage vu précédemment d’obtenir deux droites apparemment confondues.

Deux exemples d’exercices

Exercice 1

Soit un cercle C de centre O et de rayon R.
Soit M un point extérieur au cercle C.
Soit (d) une tangente au cercle C passant par le point M. Cette tangente coupe C en H.
La droite (MO) coupe le cercle en C en A et B.

  1. Construire la figure
  2. Mesurer MA, MB et MH et calculer MH². Quelle conjecture peut-on faire ?
  3. Démontrer que MA x MB = MO² - R². Conclure !

Cet exercice se fait normalement sur cahier. Pourquoi de la géométrie dynamique ici ?

Parce-qu’elle permet de rechercher des propriétés de la figure. Le cahier ne s’y prête pas car la configuration est unique et figée. Cette recherche a au moins cela de positif que, à défaut de savoir démontrer un résultat, l’élève aura au moins la satisfaction d’avoir de lui-même trouvé ce qu’il faut démontrer. Je pense même qu’il sera en conséquence davantage motivé pour « démontrer », puisqu’en quelque sorte il s’agit de sa conjecture.

Exercice 2
Soit deux cercles C1 et C2 disjoints de centres respectifs O1 et O2.

Le cercle C1 a un rayon double du cercle C2 .

L’objectif est de construire à l’aide du logiciel une tangente commune à ces deux cercles.

C’est un exercice difficile.
Un logiciel de géométrie dynamique se prête bien à la recherche de ces problèmes de construction car on peut faire des essais, comparer des longueurs et des angles....

Et puis la manipulation de la figure montre immédiatement si une construction est correcte ou non.

Si on ne donne aucune indication, alors cet exercice s’apparente fort à un problème ouvert.

Une première démonstration :

Soit un point P sur le cercle C1 . La tangente (d) en ce point coupe la droite (O1O2) en K.
Si la droite (d) est tangente au cercle C2, alors on appelle R son point de contact.

Analyse :

Les segments [O1P] et [O2R] sont parallèles et on a O1P/O2R = 2 ; donc KO1/KO2 = 2, nécessairement.
Il y aurait donc deux positions possibles pour le point K : entre les points O1 et O2 et à l’extérieur du segment [O1O2].
On s’en rend bien compte quand on déplace le point P sur le cercle et que la tangente (d) se trouve entre les deux cercles.

Synthèse :

Il faut démontrer que ces deux emplacements possibles pour le point K conviennent.

Voyons le cas où K se situe à l’extérieur du segment [O1O2]
Par ce point K, on mène la tangente (d) au cercle C1 , qui le coupe en P.
Soit S le projeté orthogonal de O2 sur (d).
Dans la configuration ci-dessous, on a alors KO2/KO1 = O2S/O1P = 1/2 donc les droites (O2S) et (O1P) sont parallèles.
Donc (O2S) est perpendiculaire à (d) et d’autre part O2S = 1.
Finalement S appartient au cercle C2 et (O2S) est perpendiculaire a (d) .
(d) est donc la tangente en S au cercle C2.

La construction finale est très spectaculaire.

La méthode de construction prend ici tout son sens car sur un cahier, la construction n’est pas dynamique. On ne peut pas la vérifier.

C’est en déplaçant les deux cercles que l’on comprend vraiment à quoi sert une méthode de construction.

Une seconde démonstration :
On généralise cette construction avec deux cercles de rayon quelconque.

Il existe deux homothéties h1 et h2 qui envoient le cercle de centre O1 sur le cercle de centre O2.

Leurs centres appartiennent à la droite (O1O2).

Soit [A1B1] et [A2B2] les diamètres perpendiculaires à cet axe.
Comme l’image d’une droite par une homothétie est une droite parallèle, on en déduit que (A1B1) a pour image (A2B2).
Donc A1 a pour image A2 et B1 a pour image B2 ou
A1 a pour image B2 et B1 a pour image A2.

Dans le premier cas les droites (A1A2) , (B1B2) et (O1O2) sont donc concourantes en J centre de l’homothétie h1.
Dans le second cas les droites (A1B2) , (B1A2) et (O1O2) sont donc concourantes en I centre de l’homothétie h2.

Considérons le point I centre de h2.
Construisons C1 tel que IC1 soit la tangente en C1 au cercle de centre O1.
C1 a pour image un point E2 du cercle de centre O2 et on a nécessairement (O2E2) perpendiculaire à (E2I) puisque (O2E2) est parallèle à (O1C1). Donc E2 est le point de contact de la tangente au second cercle.
Finalement en menant les tangentes passant par I au cercle de centre O1, on obtient les tangentes passant par I au cercle de centre O2.
De même, en menant les tangentes passant par J au cercle de centre O2, on obtient les tangentes passant par J au cercle de centre O1.

Remarque
Soit r1 et r2 les rayons respectifs des deux cercles.
En procédant par analyse-synthèse comme dans la première démonstration, on démontre que :
Si I est barycentre du système (O1,r2) , (O2,r1), alors la tangente passant par I au premier cercle 1 sera également tangente au second.
De même, le second point cherché J est le barycentre de (O1,-r1) , (O2,r1).

En première, figure au programme la construction géométrique du barycentre de deux points A et B.
Cette construction du barycentre de deux points commence justement par la construction des perpendiculaires à (AB) en A et B, puis par reporter sur ces perpendiculaires les coefficients (ici les rayons). Enfin on trace l’équivalent des droites (A1A2) et (A1B2) afin d’obtenir géométriquement le barycentre des eux points A et B.
En fait, il s’agit exactement de la construction de la seconde démonstration.....

La construction finale combinée au mouvement est spectaculaire.
Remarquons enfin que la construction prend en compte les différents cas de figure, comme par exemple quand les cercles se rencontrent ou encore quand l’un est inclus dans l’autre.

Les apports de la géométrie dynamique par rapport à une activité « papier » sont nombreux : on peut déplacer les éléments, zoomer, mesurer, analyser une figure (questionner le logiciel sur la position relative de deux droites par exemple...). De plus, le mouvement donne une dimension supplémentaire à la figure. C’est un peu comme si l’on passe du noir et blanc à la couleur.
Cependant, c’est un outil complexe et difficile à maîtriser et il ne faut pas négliger le temps nécessaire à la prise en main du logiciel par les élèves s’ils ont à faire les manipulations eux-mêmes. L’utilisation régulière du vidéoprojecteur par le professeur est alors très utile car elle familiarise les élèves avec les diverses fonctionnalités.

Je ne pense avoir jamais entendu, lors de telles séances, la sempiternelle question : à quoi ça sert ?
Déjà, rien que pour ça, ça sert à quelque chose.


ps

Bibliographie :

- 1999 Repères. Num. 34. p. 5-12. La tangente est-elle vraiment la droite qui approche le mieux la courbe au voisinage d’un point ?
- 1999 Repères. Num. 35. p. 71-90. Géométrie dans les espaces de paramètres. Une méthode de géométrisation.
- 1999 Repères. Num. 34. p. 95-110. Réflexions inspirées par le sujet du BAC de physique série S 1996.
- 1998 Repères. Num. 30. p. 95-109. Tangente à une courbe : résoudre des problèmes par le mouvement.
- 1997 Repères. Num. 27. p. 5-20. Droites sages et droites folles en Première scientifique.
- 1996 Repères. Num. 24. p. 35-42. Tangente à une courbe et dérivation. Approche ’traditionnelle’ en environnement informatique.
- 1993 Bulletin de l’APMEP. Num. 391. p. 580-590. Introduction progressive en Première de la dérivation et de ses applications.
- 1993 Histoires de problèmes. Histoire des mathématiques. Quand mouvement et géométrie se retrouvent.p. 139-154.
- 1991 Repères. Num. 5. p. 65-82. Quelques difficultés d’apprentissage du concept de tangente.
- 1980 l’Ouvert. Num. 20. p. 22-30. Notion de tangente à une courbe - chez les élèves de seconde.

notes

[1Bien entendu, ce "continu" n’est qu’apparent. Mais le déplacement de toute la figure semble pour notre oeil continu.

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  Script n°12   |   (Texte - 1.4 ko)
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