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Sommaire > N°22 - Novembre 2010 > Géométrie dynamique et Vidéoprojection

Géométrie dynamique et Vidéoprojection
Quelques exemples d’utilisation
Moteur de recherche

 Introduction générale

On peut distinguer deux grandes façons d’intégrer de la géométrie dynamique dans notre enseignement.
La première consiste à faire travailler les élèves sur ordinateur : le travail est généralement individuel et a lieu souvent en classe lors de TP. La seconde consiste à utiliser le vidéoprojecteur comme support pour les différentes activités traitées en classe. Comme nous le verrons, cette dernière manière n’implique pas nécessairement une passivité des élèves ; bien au contraire, des échanges et discussions animées naissent naturellement autour de la situation projetée.
Il faut noter aussi qu’une utilisation régulière du vidéoprojecteur familiarise les élèves avec le logiciel utilisé, surtout si on demande à un élève de manipuler le logiciel devant la classe. Le travail en solo en salle informatique s’en trouvera ainsi facilité.

En ce qui concerne l’utilisation du vidéoprojecteur pour la géométrie dynamique, on peut distinguer :

  • des constructions permettant d’interroger oralement les élèves
  • des constructions illustrant des points du cours.
  • des constructions accompagnant les activités préparatoires aux grandes notions du programme.
  • des constructions accompagnant la correction d’exercices et de problèmes.

L’objectif de cet article est de présenter quelques exemples couvrant les quatre points précédents. Il n’y a certes rien de bien nouveau.... Malgré tout peut-être que chacun y trouvera une ou deux activités nouvelles pour lui.
J’ai utilisé GeoGebra, Tracenpoche et GeoSpace pour élaborer ces exemples.
Mais la plupart des exemples en 2D peuvent être élaborés avec les autres logiciels. Je laisse aux lecteurs courageux le soin de construire ces activités avec leur logiciel favori, et je pense en particulier à l’excellent CarMetal.

On trouvera également dans cet article quelques vidéos. Comme nous le verrons, il est parfois nécessaire de réfléchir précisément avant la séance à la
manière dont nous allons utiliser la construction : en effet l’ordre dans lequel on manipule les différents éléments, ainsi que le discours explicatif l’accompagnant, peuvent avoir une grande importance. Pour cela rien de tel qu’une vidéo !

On peut tout à fait reprendre ces exemples tels quels afin de les utiliser en classe (c’est quand même le but de l’article). Mais on peut également les adapter pour en créer une version personnelle. Certains lecteurs désireront sans doute comprendre comment ces constructions ont été créées... C’est dans ce but que j’ai écrit un petit paragraphe technique pour certains exemples (j’ai joint également quelques didacticiels certaines les constructions). Pour ceux qui veulent étudier GeoGebra, vous pouvez télécharger le didacticiel suivant :

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Je termine cette brève introduction en remerciant tous ceux qui ont travaillé pour faire en sorte qu’une telle revue en ligne puisse exister, avec tous ses avantages : images, figures dynamiques et vidéos !

 Interroger les élèves

Coordonnées d’un point, d’un vecteur, longueur d’un segment


Voici une activité toute simple. Elle consiste à projeter un segment [AB] (ou un point A, ou encore un vecteur AB), puis à demander aux élèves sa longueur. Ils doivent alors appliquer le théorème de Pythagore de tête. Il me semble que c’est une excellent exercice avant de passer à l’application de la fameuse formule donnant la longueur d’un segment :
$AB= \sqrt{(xB-xA)^{2} + (yB-yA)^{2}}$
On peut également demander les coordonnées des points A et B, du vecteur AB...

Grâce à la souris et à l’aimantage des points sur la grille, on peut créer instantanément autant de configurations que l’on souhaite, si bien qu’il est possible d’interroger une bonne partie (voire tous les élèves) de la classe.
Ce principe peut être utilisé pour de nombreuses notions : images, antécédents, équations de droites etc.

Technique

On peut introduire de l’aléatoire et générer des nouvelles configurations de la manière suivante.
On commence par créer deux entiers générés aléatoirement :
xA= AléaEntreBornes[-5,5]
yA=AléaEntreBornes[-5,5]
Puis on crée le point A=(xA,yA)
Enfin la commande CTRL+R (menu affichage // Recalculer tout) demande à GeoGebra de reconstruire la figure. Il générera donc de nouveaux nombres aléatoires et donc des configurations différentes à chaque appui de CTRL+R !
Cette astuce peut être utile quand on interroge les élèves sur des notions simples.

Nature des quadrilatères


Les points A,B,C et D sont des points libres.
La figure est codée correctement automatiquement !.

Cette activité permet de faire de l’oral de manière efficace.
L’objectif est, pour chaque figure, de questionner les élèves sur la nature du quadrilatère, en leur demandant de justifier leur réponse, grâce aux codages. Ainsi, dans l’image ci-dessus, ABCD est un losange car c’est un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires.
D’autre part, quand ABCD est un rectangle, la figure code les angles droits, les diagonales égales, et les diagonales qui ont le même milieu : il y a donc surabondance d’information. C’est à l’élève d’isoler les informations nécessaires et suffisantes pour conclure à la nature du quadrilatère.
Cette activité force donc l’élève à réfléchir sur les grands théorèmes des quadrilatères, qu’il a parfois tendance à apprendre trop mécaniquement (quand il les apprend...).

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Créé avec GeoGebra

Technique

Le codage qui apparaît par magie n’est pas simple à mettre en place. Néanmoins l’idée est simple.
Prenons l’exemple du codages des diagonales.
Sur la figure est construite la diagonale [AC], un segment s1 [AI], un segment s2 [IC]. Ces deux segments sont codés comme s’ils étaient égaux.
Par ailleurs on définit une variable a valant AI-IC.
Ceci fait, on utilise l’affichage conditionnel des segments s1 et s2 : s1 et s2 seront affichés (à noter qu’ils sont toujours construits) si et seulement si a est égal à 0. Au final quand I sera le milieu de [AC], alors les segments codés égaux apparaîtront !

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 Support de cours

Cercle trigonométrique et radians

L’enroulement de la droite graduée sur le cercle trigonométrique est ce qui est préconisé pour l’introduction de la mesure en radians d’un angle. L’animation ci-dessus est très utile car cet enroulement est difficile à visualiser quand on dispose seulement d’un tableau et d’une craie.
Cette animation a été déposée sur le GUM de GéoGébra, en utilisation libre pour les collègues :
http://www.geogebra.org/en/upload/index.php?&direction=0&order=&directory=french/TRIGO
ainsi que d’autres et parmi de nombreuses contributions de bénévoles.
A noter que l’enroulement fonctionne encore pour des valeurs supérieures à 2pi et pour des valeurs négatives. Au final cela donne une construction extrêmement utile pour ce point délicat du cours.

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Technique

Cette figure est assez complexe. Pour comprendre comment elle a été réalisée, il faut utiliser le menu Affichage/Navigation dans les étapes de construction ou encore le menu Affichage/Protocole de construction.
On pourra remarquer que l’animation est basée sur des équations paramétriques :
Courbe[cos(a t) - a (1 - t) sin(a t), sin(a t) + a (1 - t) cos(a t), t, 0, k] , où a représente le nombre de radians et k le pourcentage de la courbe paramétrée construite.
Comme k varie entre 0 et 1, la courbe paramétrée se construit peu à peu, ce qui donne la simulation de l’enroulement.
Le point M’ s’affiche seulement lorsque k est égal à 1 (Dans les propriétés du point, voir l’onglet avancé : condition pour afficher l’objet)

Loi binomiale et loi normale

Le diagramme de la loi binomiale B(n ;p) est représenté. Il s’agit bien d’un histogramme puisque les rectangles ont tous la même largeur. Le lien dynamique entre les paramètres n et p et la représentation graphique permet d’obtenir très rapidement les différentes allures des distributions de la loi binomiale.
J’ai ajouté sur ce graphique la loi normale afin d’illustrer le fait que celle-ci constitue une bonne approximation de la loi binomiale pour des paramètres m et sigma bien choisis. On obtient une convergence en loi pour m = np et sigma2 = np(1-p).

Ces graphiques sont d’autant plus utiles qu’on demande rarement aux élèves la construction du diagramme d’une loi binomiale. En outre un curseur k donne la probabilité P(X=k) et permet bien d’illustrer le fait que cette probabilité est égale à l’aire du rectangle correspondant. Ce dernier point est fondamental car c’est lui qui permet de " passer du discret au continu " : les différentes allures en forme de courbe en cloche suggèrent empiriquement l’idée d’approcher l’aire des rectangles par l’aire sous la courbe de Gauss.

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Technique

Le tracé de la courbe de la loi normale ne pose pas de problème.
En revanche, celui du diagramme de B(n ;p) est plus délicat car il utilise les séquences permettant de construire trois séries de segments composant le diagramme. Pour les explications, voir ci-dessous l’exemple sur les suites récurrentes.

Suite récurrente un+1 = f(un)

Selon moi il est indispensable de commencer par détailler la construction des premiers termes de la suite u. Les élèves commencent donc par faire la construction sur leur cahier pendant que le professeur s’aide de la figure suivante pour progresser en même temps que les élèves. Pour cela, il suffit de construire la figure pas à pas à l’aide du menu Affichage/Navigation dans les étapes de construction.
Ici, il suffit de cliquer sur les flèches de la barre de navigation présente sous la figure.

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Une fois la construction comprise, alors on pourra utiliser la construction suivante qui permet d’étudier la convergence de u en fonction de u_0. Ce fichier permet également de changer la fonction f.

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Technique

La première construction ne présente pas de difficulté majeure. Il faut juste penser à créer les textes u0, u1 etc et les attacher aux points.

La seconde est plus délicate car elle utilise la commande Séquence : voir le didacticiel sur GeoGebra signalé dans l’introduction.

Symétrie centrale


La construction ci-dessus permet d’étudier l’image d’un triangle ABC par une symétrie centrale de centre O en utilisant successivement deux résultats. Tout d’abord le symétrique de ABC est l’ensemble des symétriques de M avec M qui parcourt ABC. Et ensuite le symétrique de ABC s’obtient en faisant faire un demi-tour du triangle ABC autour de O. Enfin on remarque qu’il suffit de construire les symétriques des sommets de ABC pour obtenir le triangle image.

La vidéo suivante montre qu’en quelques sorte il existe un scénario pour ce genre d’animation, scénario qu’il faut mettre au point et respecter lors de la présentation aux élèves afin de garder la cohérence de l’ensemble.

Angle inscrit

Il s’agit simplement d’illustrer le théorème de l’angle inscrit.
Pour cela nous désirons que le point D laisse une trace quand l’angle ADB est égal à l’angle ACB modulo Pi, c’est à dire quand CI=DI avec I milieu de [AB].
Le problème réside dans le fait que ces deux longueurs ne seront jamais égales pour le logiciel, puisque pour lui un nombre a est égal à un nombre b si l’écart entre a et b est inférieur à 10^(-15)...
Il faut donc demander la trace du point D quand CI est approximativement à DI.
Si nous choisissons une approximation à 0,1 près alors la trace obtenue sera grossière comme le montre l’image ci-dessus.
Une égalité à 0,01 degré près donne une meilleure trace des points D mais il est très difficile d’obtenir les points D correspondants puisqu’il est difficile de "tomber" à l’aide de la souris qui se déplace sur des pixels sur un point D tel que CI=DI à 0,01 près. C’est un dilemme !

La solution consiste à aimanter, sans que cela soit perceptible, le point D sur le cercle circonscrit au triangle ABC : nous réglons ainsi notre problème et obtenons facilement une trace bien circulaire. Le point D reste un point libre, mais il se "collera" au cercle s’il en est suffisamment proche. Le point D appartenant au cercle, on aura alors l’égalité logicielle CI=DI, et le point D correspondant laissera une trace.

Technique

A ma connaissance, GeoGebra ne permet pas la construction de telles figures utilisant l’aimantation d’objet sur d’autres. Seuls CarMetal et Tracenpoche le permettent.
Voici un didacticiel pour Tracenpoche :

 Supports pour des activités

Courbe représentative d’une fonction

f(x) = x^2 – 2x - 8

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On commence par construire quelques points de la courbe de la fonction f.

Ensuite, à l’aide du tableur de GéoGébra, on construit le tableau de valeurs.
A partir de ce tableau, on construit tous les points (une centaine) correspondants : la courbe représentative apparaît alors mais n’est pas encore construite.

En dernier, on construit la courbe de f à l’aide de GéoGébra : f(x)=x^2-2x-8 et on vérifie qu’elle passe par tous les points précédents et contient en réalité une infinité de points, dont les points précédents.

Pour terminer, le point mobile M(xM ;yM) permet de travailler les équivalences suivantes :

xM a pour image yM par f ssi f(xM)=yM ssi le point (xM ;yM) appartient à la courbe C.

Images et antécédents

Cette construction toute simple permet une large participation orale en classe. On peut questionner les élèves voire même leur faire manipuler la figure devant la classe afin de répondre aux questions.

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Visualisation symétries axiales et centrales

L’objectif est de créer des images mentales permettant aux élèves de différencier les deux symétries. On a un point libre et son symétrique (avec trace), à gauche par rapport à une droite, et à droite par rapport à un point. Quand on déplace les points libres pour tracer deux dessins
similaires, les élèves voient le dessin et son symétrique se tracer pour la symétrie axiale puis pour la symétrie centrale. On peut "déplacer" le segment pour avoir le cas d’une horizontale avec "l’effet miroir".

Règle d’incidence

Parmi les régles d’incidence vues en seconde figure la régle suivante : Si deux plans ne sont pas confondus, alors ils sont soit stritement parallèles, soit sécants selon une droite.
En corollaire, si trois points appartiennent à deux plans distincs alors ils sont nécessairement alignés.
D’où la construction suivante :

Si (DF) coupe le plan en H, coupe le plan en G et (DE) coupe le plan en L, alors les points G,H et L sont nécessairement alignés. Donc sur la papier, si on positionne les points G et H comme ci-dessus
alors nécessairement le point L sera l’intersection de (GH) et (DE).

La construction Geospace suivante permet d’illustrer cette situation.

Technique

Le didacticiel détaillant les étapes de construction :

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Activités préparatoires

Dérivation

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Cette construction permet de visualiser la position limite de la secante (AM).
La case à cocher permet d’afficher ou non la tangente, une fois que cette position limite évoquée avec les élèves.
Quand la tangente et la sécante sont affichées, les coefficients directeurs s’affichent également ce qui permet alors d’introduire la définition du nombe dérivé, comme limite du coefficient directeur de la sécante.
Enfin le point T(xA ;f’(xA)) permet de donner une première idée de la fonction dérivée.

Simulation et échantillonnage

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Les fluctuations d’échantillonnage figurent dans le programme de seconde dans le chapitre Simulations.

Même si on ne parle pas de convergence, on fait comprendre aux élèves qu’au delà des fluctuations et différences entre les différentes expériences (simulations), il semble que quand le nombre d’expériences grandit alors la fréquence étudiée tend vers une certaine limite théorique.

L’exemple proposé ici constitue une illustration possible de cette idée. On lance 200 fois une pièce de monnaie et on s’intéresse au nombre de piles obtenus. A chaque lancer, on calcule la fréquence du nombre de piles obtenu.
Généralement, on trouve une fréquence de piles compris entre 42% et 58%.

Quand on renouvelle de nombreuse fois cette simulation (une simulation est constituée de 200 lancers), on constate empiriquement que même si les courbes de fréquences sont toutes différentes (fluctuations d’échantillonnage), elles évoluent toutes et s’en rapprochant autour de la fréquence 50%.

 Correction d’exercices et de problèmes

Fonction dans l’espace


Cet exercice propose d’étudier le volume de la réduction du tétraèdre en fonction de longueur SM. Si les élèves l’ont traité sur cahier (ou en DM), alors le vidoprojecteur permettra de bien visualiser la situation. Cette construction a été réalisée avec le logiciel libre Geoplan-Geospace. On n’affiche pas tout de suite la figure droite car la figure gauche appelle quelques commentaires.
Dans un second temps, on l’affiche la figure droite sans la trace du point T.
Enfin la trace donne la courbe représentative de la fonction étudiée.

Une démonstration

Voici le problème : On construit les trois triangles équilatéraux sur les côtés d’un triangle quelconque. Il faut démontrer que les droites (AY), (CX) et (BZ) sont concourantes.
L’idée ici est de dérouler la démonstration en construisant au fur et à mesure la figure. Comme le texte de la démonstration est également construit, on obtient à chaque étape un texte suivi de l’élement correspondant de la figure.
Dans la figure ci-dessus, cliquer sur le bouton de la souris sur une zone vide de la figure et appuyer sur la touche "p" : la barre d’outil "pas à pas " apparaît.

Ensuite il suffit de cliquer sur les boutons pour naviguer dans les grandes étapes de construction.

 Conclusion

J’espère que les exemples précédents donnent suffisamment d’idées pour que le jeune enseignant (ou moins jeune !) ait envie d’intégrer le vidéoprojecteur pour de la géométrie dynamique dans son enseignement.
Il serait intéressant de voir en quoi le tableau numérique (TNI) apporte un plus par rapport à ces exemples. Cela pourrait faire l’objet d’un article futur !


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