Mathématice, intégration des Tice dans l'enseignement des mathématiques  
Sommaire > N°45 - mai 2015 > La navigation au temps du roi Jean II du (...)

La navigation au temps du roi Jean II du Portugal
Ou comment trouver au seizième siècle la latitude à l’aide du règlement de la polaire.
Moteur de recherche
Mis en ligne le 10 avril 2015, par David Crespil

A M Patrick Rocher, astronome à l’observatoire de Paris

Remerciements : Ce document n’a pu être réalisé que grâce aux conseils et à un échange soutenu avec M Patrick Rocher, astronome à l’observatoire de Paris.
Qu’il reçoive ici l’expression de toute ma gratitude.

Une verson PDF de l’article est téléchargeable ci-dessous.

Important : dans toute la suite et par souci d’alléger les notations, un arc et sa mesure seront notés de la même manière. Le contexte permettant de décider s’il s’agit de l’arc en tant qu’ensemble de points ou bien de sa mesure.

1) Introduction

Nous savons qu’en première approximation, la latitude d’un lieu est égale à la hauteur de l’étoile Polaris, mais qu’en est-il en 1500 ?

Schéma1

En jaune l’étoile Polaire a de la Petite Ourse en jaune est à 3° 30‘ du pôle Nord céleste en rose. La détermination de la hauteur du pôle exigeait l’application de corrections à la mesure de la hauteur de l’étoile Polaire

Vers 1455-1475, sous le règne du roi Jean II du Portugal apparaissent des règles énoncées par la « Junta dos mathématicos » dont le règlement de la polaire (régimento do norte) qui énonce les corrections selon les 8 positions possibles des gardes, les étoiles ß (Kochab) et $ \gamma $ (Perkhad) de la Petite Ourse.

La position du pôle céleste est au nombril de l’homme, celle des gardes correspondait aux différentes parties du corps : ainsi dans la tête ß (Kochab) est à la verticale supérieure de la polaire(côté horizon sud), dans les pieds, à la verticale inférieure de la polaire( côté horizon nord), dans le bras droit de l’homme vu du côté gauche à l’ouest, et dans l’autre bras vu du côté droit, à l’est.

Mais qu’ont donc de si particulier ces positions ?
Deux d’entre elles (dans la tête et dans les pieds) correspondent au fait que Polaris et Kochab ont même azimut d’où l’étude de cette notion au paragraphe 6.
Les deux autres (dans le bras de l’est et dans le bras de l’ouest) correspondent au fait que Polaris et Kochab ont la même hauteur.

Ici Kochab en vert est dans « les pieds », la polaire est en jaune, la ligne en rouge est le méridien en projection stéréographique.

Schéma 2

Schéma 3

En vert, le nombril qui coïncide avec le pôle nord céleste, en rose les étoiles de la Petite Ourse.

Nous nous proposons dans ce qui va suivre de quantifier les corrections à apporter à la détermination de la hauteur de l’étoile Polaire pour obtenir la hauteur du pôle céleste qui est égale à la latitude du lieu.
On donnera la formule approchée et la formule exacte.

2) Détermination de la latitude en supposant l’étoile Polaire sur l’axe du monde

P est la projection orthogonale de l’étoile Polaire sur le plan horizontal, m désigne l’observateur, une démonstration élémentaire montre que la latitude est égale à la hauteur de l’étoile Polaire.
Notons que sur le schéma l’étoile Polaire ne se trouve pas sur l’axe du monde, mais sur l’axe parallèle à l’axe du monde passant par l’observateur. Les distances considérables qui nous séparent des étoiles légitiment ce schéma. Si deux points A et B sont situés sur terre, et si E désigne une étoile, les droites (AE) et (BE) sont parallèles.

Schéma 4

Schéma 5

Les deux angles égaux à 56° sur le schéma sont des angles à côtés perpendiculaires dans le plan méridien et sont donc égaux.

Exercice : Démontrer que si la polaire est considérée comme étant sur l’axe du monde alors la hauteur de la polaire est égale à la latitude du lieu.

La précession des équinoxes fait que plus on se rapprochera de 2100, plus ce résultat sera vrai, car la polaire sera alors au plus prés du pôle Nord céleste.
Mais en 1550 la polaire était environ à 3° du pôle Nord céleste , ce qui introduisait une erreur importante dans la détermination de la latitude.

3 ) L’almicantarat ou almucantarat (de l’arabe al-muquan-tarat « l’astrolabe »)

L’almucantarat d’une étoile est l’ensemble des points de la sphère céleste qui ont même hauteur que cette étoile. C’est un cercle contenu dans un plan perpendiculaire à la droite contenant le zénith et le centre de sphère céleste et de ce fait parallèle au plan horizontal.
e désigne l’étoile, z le zénith

Schéma 6

Exercice : 1) Montrez que l’almicantarat de l’étoile e est un cercle intersection d’un cône de demi-angle au sommet la distance zénithale de l’étoile, c’est-à-dire le complément de sa hauteur. Dans le cas du schéma, la hauteur est égale à 90°-32°=58°.En jaune, le grand cercle de la sphère passant par z et l’étoile e.
2) Montrer que si M est un point de l’almicantarat, alors l’arc $ \overset{\frown}{zM}$ a pour mesure la distance zénithale de l’astre e, c’est-à-dire 90°- hauteur de l’astre.
Le schéma précédent en masquant la sphère céleste.

Schéma 7

4) Formule approchée de correction de la hauteur de l’étoile Polaire en fonction de l’angle horaire

Nous avons représenté ci-dessous le triangle Neb du schéma 8 (les points Neb ont été remplacés par A, B, C) en respectant les données angulaires.
On voit ainsi ce que signifie que le triangle sphérique Neb est quasiment plan.

Schéma 8 bis

Schéma 8

Schéma 8

(D est un point artificiel qui permet sur le fichier Cabri de rapprocher l’étoile e du pôle.)

Fichier Cabri 3D

Si la figure manipulable n'apparaît pas ci-dessous, il faut tout d'abord télécharger et installer le plug-in Cabri 3D (disponible uniquement pour Windows et Mac OS).

Téléchargement du fichier Cabri 3D :

Cabri géomètre 3 - 36.7 ko
fichier 8 cabri 3d

Nous allons calculer $ \overset{\frown}{Nb}$ en faisant l’approximation que le triangle sphérique Neb est quasi plan du fait que l’étoile Polaire est très proche du pôle comme le montre le schéma 8bis sur lequel les points N, e, b ont été remplacés par A, B et C.

Appelons R le rayon de la sphère .On a dans le triangle sphérique eNb rectangle en b et quasi plan : $ \cos (\widehat{eNb})=\frac{Nb}{Ne}$

Appelons c la mesure en degrés de $ \overset{\frown}{Nb}$ et d la mesure en degrés de l’arc $ \overset{\frown}{Ne}$
On a longueur $ \overset{\frown}{Nb} = \frac{R \times c\times \pi}{180} $
Longueur $ \overset{\frown}{eN} = \frac{R \times d\times \pi}{180} $
Donc l’angle $ \widehat{eNb}$ est égal à l’angle horaire H de l’étoile Polaire.
d est la distance au pôle de l’étoile Polaire, c’est-à-dire le complément sa déclinaison d .

D’où la formule $ c = (90°- \delta ) \cos H $ (1)

Ce premier résultat va comme nous allons le voir nous permettre d’établir la correction à, apporter à la hauteur de l’étoile Polaire dans la suite.
Notons que $\overset{\frown}{eZ} = 90°- h $ avec h hauteur de l’étoile Polaire et que $ \overset{\frown}{Pz} = 90°- \varphi $ avec $ \varphi $ la latitude du lieu.

Comme l’étoile Polaire est proche du pôle Nord céleste on peut assimiler b à s sous réserve que l’on ne soit pas à des latitudes élevées (<70°) comme le montre le fichier b et s confondus.cg3. Déplacer le zénith, on voit alors b et s se rejoindre.
On a par ailleurs $ H = \widehat{e’Os}$.
Examinons à présent les différents cas.

Premier cas :
Schéma 9 ci-dessous. Démontrons que :

Angle horaire polaire $ \in $ [0° ; 90°] latitude $ \approx$ hauteur polaire – correction

En effet b est alors entre N et z et l’on a : $ \overset{\frown}{Nz} = \overset{\frown}{Nb} + \overset{\frown}{bz}$

D’où : $ 90°- \varphi \approx \overset{\frown}{Nb} +90°- h$ avec h hauteur polaire

D’où $ \varphi \approx h - (90°- \delta ) \cos H $

Schéma 9 : en bleu, le cercle apparent décrit par l’étoile au cours de sa rotation diurne, en turquoise le cercle horaire de l’étoile.

Deuxième cas :
Schéma 10 ci-dessous. Démontrons que :

Angle horaire polaire $ \in $ [90° ; 270°] latitude $ \approx$ hauteur polaire +correction

Raisonnons sur le schéma 8 ci-dessous :
Toujours en assimilant s à b on a : N est entre b et z.
$ \overset{\frown}{Nz} = \overset{\frown}{Nb} + \overset{\frown}{bz}$

$ 90°- h \approx \overset{\frown}{Nb} +90°- \varphi$

D’où $ \varphi \approx h + (90° - \delta ) \cos H$

Schéma 10

Troisième cas :
Schéma 11 ci-dessous. Démontrons que :
Angle horaire polaire $ \in $ [270° ; 360°[ latitude $ \approx$ hauteur polaire +correction
De nouveau, b est entre N et z et l’on est ramené au cas 1.

Schéma 11

Résumons :
Si angle horaire polaire $ \in $ [0° ; 90°] latitude $ \approx$ hauteur polaire – correction

Si angle horaire polaire $ \in $ [90° ; 270°] latitude $ \approx$ hauteur polaire + correction

Si angle horaire plaire $ \in $ [270° ; 360°] latitude $ \approx$ hauteur polaire – correction

5) Formule précise de correction de la lecture de la hauteur

Le triangle de position

Schéma 12

$ \overset{\frown}{EZ} = 90°- h $ , $h$ désignant la hauteur de l’astre
$ \overset{\frown}{PE} = 90°- D $ , $D$ désignant la déclinaison de l’astre
$ \overset{\frown}{PZ} = 90°- \varphi $ , $ \varphi $ désignant la latitude

La formule de Gauss vue dans le Mathématice n° 43 permet d’écrire sachant que sur le schéma, D est la déclinaison de l’étoile Polaire, Phi ($ \varphi $) est la latitude du lieu, et h la hauteur de l’étoile Polaire :
$ \sin h = \sin \varphi \sin D + \cos \varphi \cos \delta \cos \widehat{P} $
Avec $ \widehat{P}$ = angle horaire $ \widehat{H}$ de la polaire ou 360° - angle horaire $ \widehat{H} $ de la polaire.
Dans ce cas : $ \cos \widehat{P} = \cos \widehat{H}$
D’où $ \sin h = \sin \varphi \sin D + \cos \varphi \cos \delta \cos H$

La déclinaison de l’étoile Polaire est en janvier 2000 : 89° 15,51’ 3 ‘’˜ 89,25°

D’où $ h = Arc \sin (\sin (89,25°) \sin \varphi + \cos (89,25°) \cos \varphi \cos H )$

Et donc : $ h - \varphi = Arc \sin (\sin (89,25°) \sin \varphi + \cos (89,25°) \cos \varphi \cos H - \varphi $

La différence est ainsi exprimée de manière plus précise en fonction de la latitude et de l’angle horaire de l’étoile Polaire.
Le tableau suivant permet de comparer les formules approchées et exactes.

Classeur Excel :

Excel - 15.4 ko
Table de correction.xslx

On pourra aussi jouer sur le paramètre précession des équinoxes en allant sur stellarium et en se plaçant à des dates plus ou moins éloignées de notre époque pour constater l’importance ou encore le caractère négligeable de la correction.
Pour la fin du quinzième siècle, on pourra observer sur le fichier Excel qu’en valeur absolue, la correction est environ de 3,4°, ce qui est considérable pour se positionner correctement en latitude.
A présent, il va nous falloir préciser certaines notions avant de déterminer les angles horaires de l’étoile polaire correspondant aux positions remarquables des étoiles Polaris et Kochab.

6) Azimut d’un astre (de l’espagnol acimut fin XIIIe siècle)

Schéma 13

L’azimut de l’étoile est l’angle $ \widehat{e’Os}$ , O étant le centre de la sphère, z le zénith, e l’étoile, l’azimut se mesure à partir de s dans le sens rétrograde.
Deux étoiles qui ont même azimut seront donc deux étoiles qui appartiennent au cercle vert. Le plan de ce cercle est un plan perpendiculaire au plan horizontal et contient l’observateur O et les deux étoiles.

Nous allons montrer par une animation à l’aide du fichier Cabri3D azimut.cg3 que les deux astres sont 2 fois par jour sur le même cercle azimutal.
Et grâce à courbes_azimut_et_hauteur.xlsx nous montrerons que les astres ont même hauteur deux fois par jour sous réserve que la latitude ne soit pas supérieure à 85°. Au delà, les courbes de hauteur ne se coupent plus.
La variation de la longitude ne modifie pas cette constatation.

6 bis) Discussion géométrique

Si $\delta _{1} \leqslant \varphi \leqslant \delta _{2}$ avec $ \delta _{1}$ déclinaison de e1 , $ \delta _{2}$ déclinaison de e2 et $ \varphi$ la latitude, alors les astres sont sur le même cercle azimutal mais avec des azimuts qui diffèrent de 180°. La navigation se faisant à des latitudes moyennes, cette condition ne sera jamais remplie, de sorte que les astres auront même azimut.

Supposons le zénith différent du pôle :
Le seul plan parallèle à l’équateur qui contient le centre de la sphère céleste est l’équateur lui-même. Ce qui signifie que si les deux étoiles n’appartiennent pas à l’équateur céleste, le plan qui contient le grand cercle ne peut pas être parallèle à l’équateur et donc passe par le zénith deux fois par jour au cours de la rotation diurne de la sphère céleste.

Supposons le zénith au pôle, et supposons que les deux étoiles n’ont pas même ascension droite, alors les cercles azimutaux des deux étoiles ne pourront jamais être confondus car le cercle azimutal de chaque étoile est dans ce cas confondu avec son cercle horaire. (voir la démonstration annexe 3).

Si $ \varphi$ sort de l’intervalle [$\delta _{1} ; \delta _{2}$ ] il y a en général les mêmes azimuts deux fois par jour sauf si la latitude excède environ 75° et dans ce cas les astres ont même azimut une fois par jour. Voir les courbes en annexe 2.

Aux latitudes moyennes, il y a donc les mêmes azimuts deux fois par jour.

Voir le classeur EXCEL : courbes_azimut_et_hauteur.xlsx

Les lignes 46 à 71 permettent de rentrer la longitude, la latitude et la date.
Les formules ayant servi à la programmation de ce classeur sortent du cadre de notre exposé.
Pour le tableau des azimuts, il sera nécessaire selon les valeurs choisies de modifier le type de graphique en privilégiant alors le graphique « nuages de points » au risque d’avoir une interprétation erronée des graphiques !

Un clic droit avec la souris permet alors de modifier le graphique

Nous renvoyons à l’annexe 1 en ce qui concerne le règlement du pôle antarctique.

7) Comment les marins faisaient-ils pour observer deux étoiles jusqu’à ce qu’elles aient même azimut ou même hauteur ?

Le marin tend son fil à plomb en direction de l’une des étoiles, par exemple l’étoile e sur le schéma, ce qui donne la direction (ee’).
Il attend alors que l’autre étoile f soit cachée par le fil à plomb, ce qui signifie qu’elle est précisément dans le plan (ee’m) et donc que les deux étoiles ont même azimut.
m désigne l’observateur e et f sont deux étoiles, e’ la projection orthogonale de e sur le plan horizontal.

Schéma 14 et animation Cabri3D fil à plomb

Pour les astres à la même hauteur, on se servait d’un astrolabe ou d’un quadrant par exemple.

Schéma 15 : Astrolabe


Schéma 16 : Quadrant de marin

8) Calcul de l’angle horaire de la polaire

Examinons à présent la légende du schéma 17 avec les onglets permettant de passer de l’image au fichier cabri 3D.
e et u deux étoiles, e’ et u’ leurs projections stéréographiques
En turquoise le cercle horaire de l’étoile e, z le zénith et z’ sa projection stéréographique de pôle, le pôle sud.
En jaune le cercle équateur
En vert le cercle azimutal de e et de u : c’est le grand cercle de la sphère céleste passant par le zénith et l’étoile.
En vert, le méridien céleste.
d1 droite passant par les projections stéréographiques des points e et u
d2 intersection du plan méridien céleste avec le plan de l’équateur

Schéma 17 et animation Cabri3D « parallélisme »

Les points e’, u’ et z’ sont les projections stéréographiques, respectivement des astres e et u et z’ celle du zénith.
Déplaçons le point a vers le pôle, l’étoile polaire e se rapproche du pôle et les droites d1 et d2 tendent à devenir parallèles à condition que l’on ne soit pas trop haut en latitude.

Si le zénith est trop élevé, nous n’aurons pas le parallélisme annoncé.
Ce qui implique que les angles $ \widehat{u’e’P’}$ et $ \widehat{e’P’z’}$ sont pratiquement égaux.
Or la projection stéréographique conserve les angles donc les angles $ \widehat{ueP}$ et $ \widehat{ePZ}$ sont pratiquement égaux. Or ce dernier angle est l’angle horaire de la polaire.

Nous allons raisonner dans le triangle uPe. Nous pouvons admettre que ce triangle sphérique est quasiment plan.
Voici les données à la fin du quinzième siècle :

Polaire : ascension droite 3,7° déclinaison 86,6°
Kochab : ascension droite 223,5° déclinaison 76,2°

Comme Kochab est dans les « pieds », la droite (ue’) est parallèle à la droite (SP’).

Considérons alors le triangle uPe, si l’on change les sommets en A, B, et C, on obtient le triangle de la figure suivante ou il apparaît quasiment plan.

Schéma 18

La distance de Polaris au pôle Nord céleste est le complément de sa déclinaison.
Soit 90° - 86,6°= 3,4°
La distance de kochab au pôle est 90° - 76,2° = 13,8°
Revenons au schéma 17.
L’angle $ \widehat{uPe}$ s’appelle l’angle au pôle que forment Polaris et Kochab et s’obtient à l’aide des ascensions droites.
L’angle $ \widehat{uPe}$ est égal à : 360°- (223,5° - 3,7°) = 140,2°
Considérons alors le triangle uPe :
L’angle $ \widehat{Pue}$ vaut : 180°-140,2°- H = 39,8°-H
La relation des 3 sinus appliquée au triangle uPe donne :
$ \frac{\sin H}{13,8^{\circ}} = \frac{\sin (39,8°-H)}{3,4^{\circ}} $

La méthode de résolution de cette équation par dichotomie par exemple, fournit alors :
$ H \approx 32 ,2^{\circ}$

D’où en appliquant la formule (1) du paragraphe 3 :

Correction = 3,4 x \cos 32, 2° $ \approx$ 2,9°

Le règlement de la polaire établi à la fin du quinzième siècle indique 3° !

Exercice
Résoudre l’équation par voie trigonométrique $ \frac{\sin H}{13,8^{\circ}} = \frac{\sin (39,8^{\circ} - H)}{3,4^{\circ}} $

Solution :
On a une équation de la forme où $H$ est l’inconnue.
$ a \sin H = b\sin (c-H)$
D’où $ a \sin H = b (\sin c \cos H - \cos c \sin H)$
$ (a+b \cos c) \sin H = b \sin c \cos H$
$ \tan H = \frac{b \sin c}{a + b \cos c}$

Donc le calcul est ramené à un calcul de tangente.

Yaël Nazé nous dit à ce sujet que :

« Les relations trigonométriques sont connues depuis fort longtemps (les arabes du moyen-âge sont ceux qui ont défini cosinus etc., le sinus vient des Grecs)...
mais les anciens n’écrivaient pas d’équations comme ci-dessus : même les Principia de Newton ne sont pas écrits ainsi... cela date des dix huitième et dix neuvième siècles. »

Exercice
Calculer les corrections à apporter à la lecture de la hauteur de l’étoile Polaire en précisant à chaque fois le signe de cette correction. Nous supposerons et sous réserve que la latitude ne soit pas trop haute que l’on passe d’une position à une autre en ajoutant à chaque fois à l’angle horaire 90° et que par conséquent avec cette réserve on peut partir de la valeur trouvée H $ \approx$ 32 ,2°.
En effet, pour les autres positions de la polaire, Observons l’angle horaire H de la polaire sur stellarium au 1 janvier 1600 à la latitude moyenne de Paris ;

Observons à présent les données suivantes :
À partir de la position de KOCHAB en dessous de la polaire :
H= 2 h 1 min
A partir de la position de KOCHAB dans le bras de l’est :
H =8 h 8 min
A partir de la position de KOCHAB est au –dessous de la polaire :
H= 14 h 7 min
A partir de la position de KOCHAB est dans le bras de l’ouest :
H=20 h 8 min

Nous constatons que l’angle horaire augmente de 6h environ.

Ce sont ces corrections que l’on appelle règlement de la polaire.

Le paragraphe suivant va nous permettre de préciser les écarts angulaires en fonction de la latitude et démontrer que l’assertion que l’on trouve dans certains ouvrages selon laquelle il faut rajouter 6 h pour passer d’une position à l’autre dans les 4 positions remarquables de KOCHAB est fausse si l’on monte en latitude.

9) Évaluation des écarts précédents en fonction de la latitude

L’étude suivante sur Excel regiment_polaire_1500.xlsx va nous montrer que ces différences s’écartent notablement de 6 h au fur et à mesure que l’on monte en latitude.

Précisions sur le classeur regiment_polaire_1500.xlsx

H1 angle horaire : même hauteur, polaire à l’ouest (première ligne)
H3 angle horaire : même azimut est (troisième ligne)
H2 angle horaire : même hauteur, polaire à l’est (deuxième ligne)
H4 angle horaire : même azimut ouest (quatrième ligne)

10) Interprétation de clichés

Les quatre clichés qui suivent ont été produits par le logiciel Stellarium.
On rappelle que Stellarium peut fonctionner avec différents types de projection dont la projection stéréographique.
Un cercle ne passant pas par les pôles est transformé en cercle alors qu’un cercle passant par les pôles est transformé en droite, ce qui est le cas du méridien. On consultera avec profit le lien suivant sur la projection stéréographique.

Schéma 19

Exercice : interpréter les clichés obtenus, la ligne en vert est la projection du méridien céleste en projection stéréographique.

4)

11) Exemple de calcul de détermination de la latitude

Nous sommes à Paris le 1 janvier 1500 à 19 h 03 TU ou Kochab est dans les pieds : Voici ce que donne stellarium, la ligne verte désigne le méridien céleste. En rose, la polaire et en orange Kochab.

Schéma 20 : en rose la polaire et en orange Kochab.

L’angle horaire est de 2h 15m 57 s : on applique donc :
Latitude = hauteur polaire – correction
La hauteur de l’étoile Polaire est 51° 38’ 60’’
Nous allons lui enlever les 2,9° trouvés précédemment et l’on trouve pour la latitude de Paris : 51° 38’ 60 ‘’ - 2,9°= 48° 45’
La latitude exacte de Paris est 48° 51’ 36’’.
Il était vital pour les marins d’avoir une latitude aussi exacte que possible.

Exercice
Que représentent 2,9° en Km ?

Réponse
2,9° représentent environ 322 km !
En effet 360° représentent environ 40000 km (voir le dossier Eratosthène N° 36 de Mathematice) et par règle de trois on trouve la distance correspondant à 2,9°.

Nous ne pouvons qu’admirer l’ingéniosité des mathématiciens et astronomes du seizième siècle en vue de parvenir à cette table de corrections appelée : 
Règlement de la polaire ou Régiment de la polaire

Annexe

1) Le règlement de la polaire dans l’hémisphère austral
Voici ce que nous en dit Joachim Bensaude dans l’astronomie nautique au Portugal à propos de l’atlas de Fernão Vaz Dourado(1580) qui inclut un règlement du pôle sud intitulé : Regimento da altura pollo Cruzeiro do sul pella estrella norte :
‘’ La méthode adoptée dans le règlement du pôle nord a été suivie pour le pôle sud ; les guardas sont représentées par 3 étoiles dont les positions sont indiquées également par rapport au pied, bras de l’est, tête et bras de l’ouest avec les valeurs correspondantes de la correction ‘’.


Le point rouge sur la ligne verte indiqué par la flèche est le pôle sud.
Le règlement fait référence à la Croix du sud en haut à gauche du cliché.

2) Les courbes de hauteur et d’azimut : la variation de la longitude n’affecte que peu les courbes ci-dessous. En faire l’expérience avec le classeur courbes_azimut_et_hauteur.xlsx

Latitude 48° :

Latitude 75° : les courbes ne se coupent plus qu’une seule fois (type de graphique : nuage de points)

Latitude 84,5° : les courbes de hauteur ne se coupent plus !


3) Démonstration du b du paragraphe 6bis.

1) Soient deux plans P1 et P2 non parallèles et contenant le centre de la sphère céleste S. Soit D leur droite d’intersection.
Soit C1 et C2 les cercles, intersection respectives de (C1) et (C2à) avec (S). Montrons que les deux cercles se coupent en deux points de (D).

On a D=P1 n P2, C1=P1 n S, C2=P2 n S
Posons $\{$A,B$\}$=D n C1= P1 n P2 n P1 n S = P2 n P1 n S
Posons $\{$C,D$\}$ = D n C2= P1 n P2 n P2n S = P2 n P1 n S
D’où $\{$A,B$\}$ =$\{$C,D$\}$

2) Considérons à présent le grand cercle C1 qui passe par O et les deux étoiles e1 et e2.
Le cercle noir est le cercle dont le plan est perpendiculaire à l’axe du monde et qui passe par le zénith.
D’après 1), ce cercle coupe le cercle C1 en deux points. Soit comme sur le schéma, a le point du cercle noir le plus proche du zénith.
Soit R la rotation d’angle mes arc $ \overset{\frown}{aZ} $ et d’axe l’axe du monde
L’image du cercle C1 est le cercle C1 qui passe donc par le zénith.


Documents associés à l'article
  Animation 14 fil à plomb.cg3   |   (Cabri géomètre 3 - 34.2 ko)
  Animation 17 parallélisme.cg3   |   (Cabri géomètre 3 - 37 ko)
  Courbe azimut et hauteur.xslx   |   (Excel - 1.5 Mo)
  regiment polaire 1500.xlsx   |   (Excel - 33.1 ko)
  azimut.cg3   |   (Cabri géomètre 3 - 19.7 ko)
  L’article en version pdf   |   (PDF - 9.3 Mo)
Réagir à cet article
Vous souhaitez compléter cet article pour un numéro futur, réagir à son contenu, demander des précisions à l'auteur ou au comité de rédaction...
À lire aussi ici
MathémaTICE est un projet
en collaboration avec
Suivre la vie du site Flux RSS 2.0  |  Espace de rédaction  |  Nous contacter  |  Site réalisé avec: SPIP  |  N° ISSN 2109-9197