par Nordine Bernard Toumache
NDLR :
L’auteur, Nordine Bernard TOUMACHE, présente une activité basée sur la méthode de Monte-Carlo. La grande originalité de l’article réside dans le choix de l’outil pour la mettre en œuvre : une calculatrice !
Auteur : Nordine Bernard TOUMACHE
toumachebernart@yahoo.fr
Introduction :
Ce projet veut s’inscrire dans la continuité de l’article « Utilisation des listes sur la calculatrice en seconde : applications à la géométrie, algorithmes et programmation sur la calculatrice. » déjà publié dans la revue MathémaTICE. Dans ce premier article, mon objectif était de familiariser les élèves avec l’outil « liste » de leur calculatrice. Ils l’ont utilisé en géométrie, un point étant alors identifié à ses coordonnées c’est-à-dire à une liste de dimension 2. Ces listes n’ont pas encore révélées toutes leurs capacités, en particulier : comment construire une liste en programmation et comment en demander « le nuage de points », comment interpréter celui-ci…..
Toujours dans ce premier article, les algorithmes et programmes présentés ont toujours utilisé des instructions uniques, c’est-à-dire qu’ils n’ont pas utilisé de boucles. Ce nouvel article veut donc explorer ces nouvelles possibilités à travers un exercice, revisité, proposé par le manuel « Sésamath » des élèves de seconde, qui est celui de mes élèves.
Il s’agit de l’exercice qui suit, il se trouve page 194.
- Enoncé de l’exercice
Pourquoi cet exercice ? Le chapitre que nous abordions en cours était « coordonnées, milieu, distance » et il s’agit de l’un des exercices proposé par le manuel dans ce chapitre. Cet exercice a éveillé ma curiosité pour au moins trois raisons :
- J’y ai vu la possibilité d’explorer avec les élèves certaines possibilités graphique de
la « TI 83 » comme : créer un point, effacer ce point, créer un segment ou un cercle, utilisation d’un repère orthonormal……
- Avec quelle probabilité la fléchette touche-t-elle la cible circulaire ? Ou bien, pour rester dans le contexte de l’exercice, quelle est la probabilité d’obtenir un gain de 50 points ?
- Il m’a fait émettre une conjecture qui m’a fait construire un algorithme puis un programme dont le but était d’infirmer ou de valider cette conjecture. Le programme en question utilise ce qui est cité plus haut et qui manquait au premier article.
Voici la conjecture :
« La probabilité que la fléchette touche la cible circulaire est égale au quotient de l’aire de la cible circulaire par celle de la cible carrée ».
Elle m’a été suggérée par le fait que les générateurs de nombres aléatoires entre 0 et 1 engendrent des suites équiréparties sur [0 ; 1], c’est-à-dire que la probabilité que le nombre engendré soit dans [a ; b], pour a et b entre 0 et 1, est égale à la longueur de l’intervalle, b-a, c’est-à-dire $\frac {b-a} {1}$ . On pourra, à ce propos, consulter l’article de l’auteur « Quelques propositions sur le fonctionnement des générateurs de nombres aléatoires ».
Un quatrième aspect de l’article s’impose : la corrélation entre la conjecture que je propose et son traitement par simulations avec « la méthode de Monte-Carlo » que je ne connaissais pas auparavant.
L’activité commence ici : le thème principal est l’algorithme cité plus haut et « la méthode de Monte-Carlo » qu’il faut présenter à des élèves du lycée, en particulier à des élèves de seconde, ce qui soulève le problème du bagage théorique nécessaire à sa compréhension.
Remarque :
Je signale une erreur dans l’algorithme proposé par l’exercice car celui-ci ne permet pas à la fléchette de toucher la cible carrée dans sa totalité mais seulement le quart supérieur droit, en effet : alea() étant un nombre aléatoire de [0 ; 1[, on a (x,y) $ \in $ [0 ; 1[ x [0 ; 1[, qui est le carré supérieur droit. Une instruction convenable peut-être « 2alea()-1 » qui est un nombre aléatoire de [-1 ; 1[.
Je voudrais traiter cet exercice avec la calculatrice « TI 82,83,84 » des élèves comme support. A ma connaissance, les machines « Casio » n’ont pas les possibilités graphiques qui m’intéressent, celles utilisées ci-dessous.
Avant de commencer, je signale que si on ne sait pas où se trouve une instruction, on la trouve toujours dans le catalogue auquel on accède par les commandes :
Quelles sont, ici, les contraintes graphiques de la machine que j’utilise à savoir la « TI83 » du logiciel « TI-smartview », qui ne propose comme langage que l’Anglais alors que celle des élèves est, en général, en Français ? Les copies d’écran qui suivent tentent de répondre à cette question :
1) On demande à la machine de tracer le cercle de centre O et de rayon 0,4 dans « la fenêtre » proposée par l’exercice : de -1 à 1 pour la plage des x et la même plage pour les y. Les quatre écrans qui suivent donnent la procédure :
Le cercle est une ellipse et l’explication en est simple : le repère n’est pas orthonormal. Rappelons que l’exercice concerne des calculs de longueurs qui nécessitent un repère orthonormal.
Les fenêtres qui donnent un repère orthonormal sont données par les Zoom 4 ou 5 du premier écran suivant, le deuxième montre le repère obtenu et le troisième montre le cercle dans cette fenêtre :
Comme je veux simuler, graphiquement, le lancer d’une fléchette dans la cible circulaire ou en dehors, dans le dernier écran précédent, force est de constater que le cercle affiché ne permet pas de visualiser convenablement la situation. Il faut donc modifier la fenêtre tout en gardant un repère orthonormal : en faisant Zoom 6 suivi de Zoom 5, on obtient la fenêtre de gauche ci-dessous et en divisant par 10, on la remplace par celle de droite.
On va maintenant faire la cible dans cette fenêtre.
L’instruction du premier écran trace le côté gauche du carré. En complétant par trois instructions analogues, on termine la cible carré. L’instruction du deuxième écran trace la cible circulaire.
La cible est prête et bien lisible dans la machine des élèves.
Nous sommes prêts à simuler les jets aléatoires de la fléchette dans la cible carrée, qui va être « l’événement certain ».
L’instruction qui va simuler un nombre aléatoire entre -1 et 1 va être « 2Rand - 1 ».
On va commencer par simuler des lancers de fléchettes dans l’écran de calcul puis, la simulation étant bien comprise, on va faire un algorithme qui exécute une simulation. Nous le traduirons alors en un programme sur la machine qui va exécuter plusieurs lancers, à la demande.
Je termine l’article en faisant une comparaison entre deux « outils », la calculatrice TI83 qu’on vient d’utiliser d’une part et le tableur Excel d’autre part.
Conclusion :
1) Quelle corrélation y a-t-il entre ce que je propose, qui concerne la conjecture que je formule, la tentative de sa validation et la « méthode de Monte-Carlo » ?
D’un côté il y a un résultat mathématique que je ne connaissais pas, mes élèves non plus, mais résultat que je pressens et que la curiosité me pousse à valider avec les moyens dont je dispose, moi et mes élèves. De l’autre coté, il y a une méthode connue basée sur ce résultat dont je ne doute pas que la démonstration mathématique existe ; résultat que je formule ainsi : en créant un point « au hasard » dans un rectangle dans lequel est inclus un domaine donné, la probabilité que ce point soit dans ce domaine est égale au quotient de l’aire de ce domaine par celle du rectangle ; si toutefois on peut parler d’aire pour le domaine en question.
Je pense ne pas me tromper en disant que la « méthode de Monte-Carlo » est fondée sur cette propriété ; dans l’exemple du calcul issu de Wikipedia, il est bien dit « la probabilité que le point soit dans le disque est $ \frac {\Pi} {4} $ ».
Mais, si on présente la méthode comme ça, pourquoi l’élève devrait-il adhérer à cette propriété sans interrogation ? Les deux exemples que je traite devraient suffire pour les convaincre ; après la méthode pourra être utilisée sans réticence.
2) Dans quel contexte faire l’activité précédente avec les élèves ?
Les deux heures de TP où la classe de seconde et les classes de première et terminale scientifiques sont dédoublées me semblent être exploitables.
En MPS aussi, pour les secondes, mais alors il faudrait solliciter l’accord de l’inspecteur car, en principe, en MPS il y a un travail en commun avec les autres matières scientifique.
Pour ma part, j’ai commencé l’activité avec mes élèves de seconde, classe d’un bon niveau où les élèves ont leur machine pour la plupart, ici, pour ceux équipés d’une « Casio » ou ceux qui n’en ont pas, le lycée dispose d’un lot de « TI83 » à la disposition des élèves.
La mise en place est assez laborieuse et nous en sommes au stade où la cible a été faite et les premières simulations faites, dans l’écran de calcul. Les élèves ont l’air d’apprécier et je crois pouvoir dire : le « prof » s’amuse mais les élèves aussi.
L’expression peut laisser perplexe mais elle est donnée uniquement pour souligner l’aspect ludique de cette partie de l’activité.
Je reprendrais ce travail plus-tard car il faut aussi que je pense à terminer le programme.