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Géométrie dynamique et calcul formel : un enrichissement mutuel pour résoudre des problèmes
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Mis en ligne le 12 décembre 2010, par Monique Gironce

C’est article s’inscrit dans le thème 2 de l’appel à contribution.

Dans les nouveaux programmes de seconde, on peut lire ceci :

L’acquisition de techniques est indispensable, mais doit être au service de la pratique du raisonnement qui est la base de l’activité mathématique des élèves .../

Les activités de calcul nécessitent une certaine maîtrise technique et doivent être l’occasion de raisonner. Les élèves apprennent à développer des stratégies s’appuyant sur l’observation de courbes, l’anticipation et l’intelligence du calcul. Le cas échéant, cela s’accompagne d’une mobilisation éclairée et pertinente des logiciels de calcul formel .../

Quelques exemples de fonctions définies sur un ensemble fini ou sur N, voire de fonctions de deux variables (aire en fonction des dimensions) sont à donner.

On trouvera dans cet article des exemples d’illustration de ces points du programme, mais en se plaçant au niveau de la classe de première scientifique : la possibilité d’utiliser les fonctions dérivées permettant d’aller beaucoup plus loin...

Un exemple de fonction de deux variables

applet réalisée avec le logiciel CaRMetal

On l’intitulera : « problème de la gouttière ».
Un artisan dispose d’une longue plaque métallique de largeur 6 dm, qu’il replie symétriquement pour former une gouttière : la section devient un trapèze isocèle. Il dispose en fait de deux paramètres : la largeur d du repli et l’angle t de ce même repli par rapport au fond de la gouttière. Il aimerait connaître la meilleure gouttière, celle qui transporterait le plus grand volume d’eau (donc maximiser l’aire du trapèze).

Le calcul de l’aire en fonction de d et de t est simple : une expression de CaRMetal en donne la réponse (on remarquera au passage un détail de syntaxe du logiciel. Les fonctions trigonométriques se notent sin, cos … quand l’angle est exprimé en degrés, mais rsin, rcos … quand l’angle est exprimé en radians).

Pour des élèves le problème est difficile, et il y a une double difficulté : la compréhension de la situation et la complexité des calculs. Une première solution serait de proposer un énoncé très détaillé avec des « vérifier que » à chaque étape ; afin qu’une simple erreur de calcul n’ait pas de conséquence dramatique pour tout ce qui suit. Cette méthode, on le devine, possède un inconvénient majeur : perdre très vite le sens des évènements. On a tous connus des épreuves de bac (par exemple) pour lesquelles l’élève récoltait une bonne note, mais le correcteur avait la certitude que la candidat n’avait pas compris grand chose à ce qu’il faisait.

Une autre possibilité serait de proposer un questionnement beaucoup plus court, moins directif ; mais en laissant en contrepartie la possibilité d’utiliser un logiciel de calcul formel. On ne craint plus les erreurs de calcul, même si les calculs sont comme ici relativement complexes, et il devient alors possible de laisser des initiatives, ce qui oblige à réfléchir au sens des opérations.

Quels logiciels choisir ?

Pour traiter le problème on aura besoin de deux logiciels : un logiciel de géométrie dynamique (réaction courante d’élève : « heureusement que j’ai vu comment ça bouge, sinon je n’aurais rien compris à l’énoncé » ) ; et un logiciel de calcul formel. La question du choix n’est pas simple car les logiciels de ce type sont nombreux. Une piste possible : s’orienter vers celui qui a été fait par les organisateurs du concours (il s’agit de l’agrégation interne), pour la seconde épreuve orale, dite d’exemples et exercices (cliquez sur l’image) :

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Programme oral agrégation

La rédactrice de cet article a fait un choix ... qui n’engage qu’elle même évidemment. Ce sont deux logiciels libres (primordial !) : CaRMetal pour la géométrie dynamique et wxmaxima [1] pour le calcul formel. Pourquoi ces deux-là particulièrement ? Parce qu’elle a le sentiment que tous les deux permettent d’aller assez vite « directement dans le grand bassin » : après quelques rapides explications, on peut déjà imaginer que l’élève ait envie de se débrouiller seul.
Il y a des remarques spéciales à faire pour maxima et wxmaxima : maxima est un logiciel de calcul formel très complet et réputé pour sa fiabilité, mais c’est une véritable jungle. Il est hors de question de le mettre tel quel entre les mains des élèves de lycée. Heureusement qu’il en existe une interface appelée wxmaxima où toutes les fonctions basiques ont été rendues accessibles « à la souris » : elles sont proposées sous forme de boîte de dialogue et la syntaxe arrive automatiquement !

Celui qui voudra l’utiliser la première fois se posera quand même la question d’un mode d’emploi, autre que l’aide en ligne maxima, très fournie mais assez inaccessible ... quand on est débutant. Il est rédigé tout simplement dans la vingtaine de « conseils du jour » (ou tips), mi-anglais, mi-français (on est dans le domaine du libre : avis aux bénévoles qui voudraient bien contribuer !). Pour celui qui préfèrerait, ils ont été regroupés … et traduits dans un pdf (donné en document joint). En document joint on trouvera également un bien commode « aide-mémoire maxima », autre pdf qui regroupe toutes les commandes utiles niveau lycée ou début supérieur.
Ce document a été écrit par Vincent Obaton, enseignant au lycée Stendhal de Grenoble : qu’il en soit vivement remercié (pdf en deux versions : la version originale et une version colorisée). Il existe au moins un forum français dédié à maxima et wxmaxima ; il existe aussi une liste de diffusion spécifique à maxima.

Les solutions filmées.

Ensuite, de même qu’on n’apprend pas à conduire en lisant un pdf de 125 pages , mais plutôt en regardant faire pour ensuite tenter de reproduire les mêmes gestes, voici filmée étape par étape une solution à notre problème de gouttière.

Un autre film, en fait un tutoriel du site de CaRMetal, traite (dans sa seconde partie) du même sujet : il y est question d’une résolution d’équation différentielle d’abord par la méthode d’Euler (première partie) puis par maxima.


ps

Certaines suites peuvent aussi être traitées en géométrie dynamique (pour une bonne image mentale) et par calcul formel : on pourra consulter un article (http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/spip.php?article439) d’Alain Busser.

notes

[1voir : http://sourceforge.net/projects/maxima/files/ pour l’installation windows ou Mac ; wxmaxima s’installe via synaptic sur Ubuntu et figure dans les paquets de OpenSUSE

Documents associés à l'article
  AideMemoireMaximaNew .pdf   |   (PDF - 194 ko)
  AideMemoireMaxima.pdf   |   (PDF - 67.8 ko)
  TipsMaxima.pdf   |   (PDF - 36.2 ko)
     |   (CarMetal - 9 ko)
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