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La Longitude...
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A toute l’équipe Mathématice dont la collaboration m’a été des plus précieuses.

John Harrison 

Introduction

L’histoire de la longitude est une aventure passionnante à laquelle se son attelés les plus grands esprits du dix huitième siècle.

La détermination de la latitude fut assez vite réglée. On se souvient par exemple que la latitude d’un lieu est pratiquement égale à la hauteur de l’étoile polaire sous réserve que l’étoile polaire ne soit pas trop éloignée du pôle nord céleste.

Au seizième siècle par exemple, la junta dos mathematicos (assemblée d’astronomes et de mathématiciens) sous le règne du roi Jean II du Portugal mit au point le règlement de la polaire en vue d’apporter les corrections à la mesure de la hauteur de l’étoile polaire.

La latitude pouvait aussi être déterminée par la hauteur méridienne du soleil et sa déclinaison.

Voici ce que nous en dit Fréderic BRETTAR dans sa thèse de doctorat sur la détermination de la longitude :

On consultera avec profit la formule de la latitude méridienne dans l’onglet Eratosthène pour comprendre le principe de la détermination de la latitude par le soleil ou par l’étoile polaire.

Tables de déclinaison du soleil d’Abraham ZACUTO. (Salamanca 1491)

Il a fallu pour la longitude attendre le dix huitième siècle avec l’invention du chronomètre de marine par Georges Harrison pour déterminer la longitude avec précision.

Sur le longitude act qui précisait les conditions drastiques de la détermination des longitudes, on consultera wikipedia

Cette méthode fut en concurrence avec la méthode des distances lunaires que nous expliciterons dans ce document : la fiabilité des instruments de Georges Harrison donna le coup de grâce à la méthode des distances lunaires.

Le labeur effréné de Georges Harrison pour construire son chronomètre force l’admiration : Il ne lui fallut pas moins de 30 ans pour construire son chronomètre qui devait répondre aux conditions drastiques du longitude act.

Sur Georges Harrison, wikipedia

Les autres méthodes dont celle des distances lunaires sont admirables dans leur principe comme par ailleurs la méthode des satellites de Jupiter issue des observations de Galilée qui mit à mal par la même occasion la théorie géocentrique de l’univers.

Sur Galilée, wikipedia

Le principe en était élégant : il s’agissait d’observer un phénomène céleste et de déterminer le temps solaire vrai relatif à l’apparition de ce phénomène puis de consulter des tables permettant de dire le temps vrai de l’apparition simultanée de ce phénomène par rapport à un méridien de référence Paris ou Greenwich.

Pour la méthode des satellites galiléens, on observait l’éclipse du satellite Io par exemple. On consultait les éphémérides pour savoir à quelle heure solaire vraie avait lieu cette éclipse simultanément à Paris, Paris servant de méridien de référence.

La différence des temps solaires vrais donnait alors la longitude.

Explication :

Voir schéma 1 : Appelons o le centre de la sphère céleste locale

L’angle horaire de l’astre F par rapport à L est l’angle $ \widehat{foa}$

L’angle horaire de l’astre F par rapport à Greenwich est l’angle $\widehat{fog}$

Alors la différence des deux angles est l’angle $\widehat{aog}$ c’est-à-dire la longitude du lieu A.

Schéma 1

Voici par exemple les satellites galiléens observés avec le logiciel Stellarium le 5 janvier 2016.

LOGICIEL STELLARIUM

Le satellite IO est désigné par la flèche en rose un peu avant son éclipse.

L’éclipse de IO se produira pour stellarium à 4 h 55 min 45 s soit

à 3h 55 min 45 s TU le 5 janvier 2016.

Un autre logiciel permet de prévoir les différents phénomènes afférents aux satellites de Jupiter.

Logiciel Jupiter version 2

L’éclipse est prévue à 4 h 40 min 17 s le 5 janvier 2016.

Si nous nous référons aux éphémérides de l’IMCCE

Le temps est donné en TT temps terrestre dont il faut retrancher 68 sec temps pour avoir le temps TU en janvier 2016.

L’éclipse est prévue alors à : 4h 35,8 min TT

En TU 4 h 35,8 min -68 s = 4 h 34 min 48 s

Pourquoi une telle différence avec stellarium !

Faisons la différence : 4h 34 min 48 s – 3 h 55 min 45 s = 39min 3 s

Ce temps est très proche du temps qu’il faut à la lumière pour venir de Jupiter jusqu’à nous.

La distance sera en janvier 2016 égale à 4,986 UA et donc la lumière mettra 41,5min pour nous parvenir.

Nous allons aborder dans les pages qui suivent la méthode du chronomètre liée à l’équation du temps puis la méthode des distances lunaires avec la magistrale formule de Borda qui relève de la virtuosité calculatoire et enfin la méthode des satellites naturels de Jupiter appelés satellites médicéens ou satellites galiléens.

L’inconvénient de ces deux dernières méthodes est le temps de calcul exigé et heureusement allégé grâce à l’utilisation des logarithmes.

Le chevalier de Borda put ramener à 30 minutes le calcul de la distance lunaire contre 2 heures par la méthode de Maskelyne, astronome royal à l’observatoire de Londres.

L’abbé La Caille proposera une méthode graphique pour éviter les calculs qui rebutent les marins : c’est la méthode du châssis de réduction.

On ne mesurera jamais assez à quel point fut héroïque l’entreprise de ces calculs qui aujourd’hui ne demanderaient que quelques secondes mais l’impérieuse nécessité de déterminer la longitude se faisait sentir : que de navires fracassés contre les côtes faute d’une meilleure connaissance de la position des navires.

La couronne britannique releva le défi et put ainsi s’assurer la maîtrise des mers.

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Georges Harrison : la méthode du chronomètre

L’équation du temps

Le soleil moyen est un soleil fictif qui parcourt l’équateur d’un mouvement régulier en 24 h dans le sens rétrograde pour un observateur regardant l’équateur et situé au pôle nord.(schéma 2).

Les notions de temps sidéral, d’angle horaire et d’ascension droite ayant été abordées dans l’article le nocturlabe.


Schéma 2

V : soleil vrai
SM : Soleil moyen
Z : zénith

Equation du temps $E$

$E = \mbox{angle horaire soleil moyen} / L – \mbox{angle horaire soleil vrai}/L$

$L$ désignant un lieu de longitude L

Posons $H_m$ = angle horaire du soleil moyen et $H$ = angle horaire du soleil vrai.

Soit $T$ le temps sidéral local, $\alpha$ l’ascension droite du soleil vrai, $\alpha_m$ l’ascension droite du soleil moyen.

Alors : $H=T- \alpha$ et $H_m=T-\alpha_m$

D’où Equation du temps = $E =\alpha-\alpha_m$

Remarque sur le mot « équation » : en astronomie ancienne, le terme « équation » désignait une correction ajoutée algébriquement à une valeur moyenne pour obtenir une valeur vraie. C’est une telle acception qui a survécu dans l’expression « équation du temps ».

L’équation du temps vaut 14 minutes 2 secondes le 17 février 2015(schéma 2)

L’équation du temps n’excède jamais 16 minutes en plus ou en moins.


Schéma 3

On pourra télécharger cette application

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Détermination de la longitude par la méthode chronométrique

Le 1er octobre 2006 le soleil franchit le méridien lorsque :

$TU =$ 13 h 32 min 23 sec.

D’où angle horaire soleil / Greenwich =TU-12 h = 1 h 32 min 23 sec

En ce premier octobre, nous pouvons lire sur le site indiqué page 9 l’équation du temps :

$ E=$ -10 min17 sec

$ E= $ angle horaire soleil moyen / Greenwich – angle horaire soleil / Greenwich

angle horaire soleil moyen / Greenwich = angle horaire soleil / Greenwich $ + E$

angle horaire soleil moyen / Greenwich = 1 h 32 min 23 sec -10 min 17 sec = 1 h 22 min 06 sec

Nous savons que le soleil moyen met 24 h pour parcourir 360 °

Nous allons convertir en degrés 1 h 22 min 06sec = 1 h 22 min 06sec $\approx$ 20,53 °.

Donc la longitude est 20,53° Ouest.

Pour les curieux, l’équation du temps sous son aspect mathématique


Le chronomètre H4 de Georges Harrison qui a réussi le test transatlantique.

Remarque :
les Anglo Saxons posent $E=\mbox{angle horaire soleil}/L - \mbox{angle horaire soleil moyen}/L$ et de ce fait la courbe représentative de l’équation du temps est inversée mais les résultats sont identiques.

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Méthode des satellites galiléens ou médicéens

Cette méthode est impraticable en mer et sera utilisée sur terre rendant de grands services aux cartographes.

En 1610 Galilée observe que les satellites constituent une horloge céleste visible de tout point de la terre tel que Jupiter soit visible au-dessus de l’horizon.

Cassini publie en 1668 «  les éphémérides bolognaises des astres médicéens  » qui serviront à la détermination des longitudes.

Les éclipses ont lieu quand le satellite passe dans l’ombre de Jupiter.

Les occultations ont lieu quand le satellite passe derrière Jupiter pour un observateur terrestre.

Le passage correspond au fait que le satellite passe dans la partie éclairée du

disque de Jupiter.

Le passage à l’ombre correspond à l’ombre projetée du satellite sur le disque de Jupiter.

L’instant de l’observation d’une immersion depuis n’importe quel point de la terre d’ou la planète est visible est le même pour tous les observateurs, c’est cet instant qui joue le rôle de signal horaire pour la détermination de la longitude.

On pourra consulter les éphémérides des satellites de Jupiter


Source IMCCE


le triangle de position et la formule fondamentale

$\widehat{EZ} = 90°-h$, $h$ désignant la hauteur de l’astre

$ \widehat{PE} = 90°-D$, $D$ désignant la déclinaison de l’astre

$\widehat{PZ} = 90°- \phi$, $\phi$ désignant la latitude

La formule de Gauss vue dans trigonométrie sphérique et appliquée au triangle sphérique $EPZ$, $P$ étant le pôle nord céleste permet d’écrire sachant que sur le schéma, $D$ est la déclinaison de l’étoile, $L$ est la latitude du lieu, et $h$ la hauteur de l’astre.

$ \sin h = \sin L \sin D + \cos L \cos D \cos P $ (1)

avec $P$ angle au pôle : $P$= 360° -angle horaire si l’étoile est à l’est ou $P$ =angle horaire si l’étoile est à l’ouest.

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La formule de Borda ou l’accélérateur logarithmique

Partons de $\sin h = \sin L \sin D + \cos L \cos D \cos P$ pour le calcul de $P$ en remplaçant la déclinaison $D$ par la distance polaire $DP =90°-D$

$\cos P = \dfrac{\sin h – \cos DP \sin L}{\sin DP \cos L}$

Examinons le développement de la formule de l’angle au pôle :

$1 – \cos P = 1- \dfrac{\sin h – \cos DP \sin L}{\sin DP \cos L}$

Que l’on peut écrire :

$1 – \cos P =\dfrac{\sin DP \cos L – \sin h + \cos DP \sin L}{ \sin DP \cos L}$

$\sin DP \cos L + \cos DP \sin L = \sin (DP + L)$

D’où :

$1 – \cos P = \dfrac{\sin (DP + L) – \sin h}{\sin DP \cos L}$

$\sin (DP + L) – \sin h = 2\cos \dfrac{DP + L + h}{2} \sin \dfrac{DP + L – h}{2}$

Si nous appelons $S$ la demi-somme de $DP + L + h$, on voit que $DP + L – h$ est égal à $S – h$. On a donc :

$1 – \cos P = 2 \dfrac{\cos S \sin (S-h)}{\sin DP \cos L}$

Mais $1 – \cos P$ est égal à $2 \sin ^2 \dfrac{P}{2}$ : en divisant les deux membres de l’équation par deux, on a en définitive :

$\sin ^2 \dfrac{P}{2} = \dfrac{\cos S \sin (S-h)}{ \sin DP \cos L}$

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Protocole de détermination de la longitude le 10 novembre 1681

Les mémoires de l’académie royale des sciences (voir annexe) contiennent les observations permettant de calculer la longitude de Dieppe par l’étoile Pollux (en rose).

Pollux observée le 10 novembre 1681 est à l’est.

Pollux en rose

Données astronomiques

La latitude de Dieppe est égale à 49° 56’.

Etoile Pollux ascension droite=7 h 26m ; déclinaison 28°45’

Hauteur $h$=58°52’

Nous allons procéder en plusieurs étapes à partir d’un exemple tiré de :

Galilée et les satellites de Jupiter au service de la cartographie au XVII e siècle.

Par Michel Toulmonde (Observatoire de Paris(SYRTE) et Université d’Evry)

a) Détermination du temps sidéral local

$\sin h = \sin L \sin D + \cos L \cos D \cos P$

Sous cette forme, elle ne se prête pas au calcul logarithmique.

Appliquons la formule de Borda (non utilisée en 1681) :

$\sin^2 \dfrac{P}{2} = \dfrac{\sin (S-h) \cos S} {\sin \Delta \cos L}$

Avec $\Delta = 90°-D$ et $S = \frac{1} {2}(\Delta+S+h)$

D’où $\log \left( \sin \dfrac{P}{2} \right) = \dfrac{1}{2} \left( \log (\sin(S-h) +\log (\cos S) – \log (\sin \Delta) - \log (\cos L) \right)$ (2)

(2) donne $P = \mbox{30°10’} $ : c’est la valeur de l’angle au pôle.

Or Pollux est à l’est au moment de l’observation donc son angle horaire $H$ vaut :

$H = \mbox{360°-(30°10’)}= \mbox{329°50’}= \mbox{21h 59min}$

Soit $T$ le temps sidéral local, $\alpha$ l’ascension droite de Pollux et $H$ l’angle horaire. On a $T=H+ \alpha \mbox{(modulo 24h)}$

Alors $T = \mbox{21h 59min} + \mbox{7h 26m} = \mbox{29h 25min} \mbox{(24h)}$

Donc $T = \mbox{29h 25min} - \mbox{24h} = \mbox{5h 25min}$

b) Détermination de l’heure vraie locale

Les éphémérides de Mezavaques(1674) donnent pour le 10 novembre : Ascension droite du soleil $\alpha= \mbox{15h 03min}$ à 2 h heure de temps solaire vrai de Paris.

Nous utiliserons dans les calculs cette valeur approximative :

" approximation qui est sans effet sur le résultat de la longitude, l’incertitude liée aux moyens d’observations étant toujours plus grande que celle provenant des approximations concédées dans la détermination du temps sidéral, du temps solaire vrai etc. "

comme nous le rappelle Pascal Descamps astronome à l’observatoire de Paris.

Appliquons $T=H+\alpha \mbox{(modulo 24h)}$, on a : $H= T- \alpha= \mbox{5h 25min} - \mbox{15h 3min} \mbox{(24h)}$

L’angle horaire du soleil vaut : $H= \mbox{24h – 9h 38min} = \mbox{14h 22min}$

Donc le temps solaire vrai par rapport au méridien de Dieppe est 2h 22min.

Remarque : On pourrait par itérations successives augmenter la précision sur l’ascension droite du soleil mais celle -ci serait illusoire compte tenu de l’époque à laquelle est faite l’observation.

c) Correction d’horloge

L’observation est faite à Dieppe à 2h 17min 54s soit à 2h 18min

Et donc temps solaire vrai à Dieppe = temps horloge Dieppe + 4min

d) L’éclipse du satellite Io est observée à Dieppe à 4h 16min.

e) Détermination de la longitude, le méridien de Paris étant le méridien de référence

Cette éclipse observée simultanément à Paris a lieu à 4h 25min, temps solaire vrai de Paris (information prise dans des éphémérides).

La différence des deux temps solaires vrais donne la longitude soit : 4h 25min - 4h 20min = 5min = 1,25°

Précision de la mesure

Nous admettrons que l’incertitude sur la longitude par cette méthode est fournie par le tableau suivant :

On observe ainsi qu’à une latitude moyenne l’incertitude est environ de 10 Km.

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La méthode des distances lunaires

Le sextant


Crédit : Joaquim Alves Gaspar

Utiliser la ressource en lien avec MOZILLA FIREFOX pour faire fonctionner le sextant. Puis une activation de Java sera proposée : elle n’aboutira que si l’on fait un copier coller de l’URL http://ressources.univ-lemans.fr/ dans la console Java qui se trouve dans WINDOWS 8 à la rubrique paramètres.
Attention : le coller se fait dans la console Java à l’aide des touches contrôle V uniquement.
Java considère alors que les conditions de sécurité sont réunies et autorise la formation de l’image
Ensuite il faut revenir à l’image en grisé qui donnera le sextant interactif.

Le sextant de marine :
Cet appareil est destiné à mesurer la hauteur d’un astre (Soleil, Lune, Étoiles ...) au dessus de l’horizon.
Avec l’aide de tables astronomiques, on peut en déduire la latitude du lieu d’observation.
Avant l’apparition de la radiogoniométrie puis du GPS, il permettait avec l’aide d’un chronomètre (pour la détermination de la longitude) de faire le "point".
Une incertitude d’une minute d’arc sur la latitude correspond à une erreur de position d’un mille nautique soit 1852 m.
Au niveau de l’équateur, une erreur d’une seconde de temps correspond à une erreur de position d’un quart de mille nautique.

Description :
Le sextant est constitué par un secteur OAB de 60° soit un sixième de cercle d’ou le nom de l’appareil. Une lunette est fixée sur le bras OA parallèlement à la corde AB.
Sur le bras OB est fixé, parallèlement à OA, un miroir semi-transparent M2.
Un miroir M1 solidaire d’une alidade mobile OC est placé en O, centre du secteur. Le secteur AB est gradué et un vernier permet de déterminer avec précision (1 minute) la valeur de l’angle φ = AOC.

Des filtres atténuateurs doivent être placés avant le miroir M1 quand on pointe le Soleil.

Utilisation du sextant :
Avec la lunette, on vise l’horizon à travers M2. La corde AB est alors parallèle à l’horizontale locale. En même temps, on déplace l’alidade OC pour que l’image de l’astre obtenue par double réflexion (sur M1 puis M2) coïncide avec celle de l’horizon.
Quand cette condition est réalisée, l’angle AOC est égal à la moitié de la hauteur (angle SOH) de l’astre visé.

Quatrième horloge de Georges Harrison

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Démonstration

Soit $A$ le grand miroir, $AM’$ son plan tangent est perpendiculaire à la normale au grand miroir ; $B$ le petit miroir, $BM’$ son plan tangent est perpendiculaire à la normale au petit miroir

Dans le triangle quelconque $ABM’$ la somme des angles est égale à 180°

$ \widehat{BAM’}+\widehat{ABM’}+\widehat{AM’B}=180°$

$(90°-i)+(90°+r)+\gamma=180°$

$\Rightarrow \gamma=i-r$

Dans le triangle quelconque ABC la somme des angles est égale 180°

$ \widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=180°$

$180°-2i+2r+\theta=180°$

$\Rightarrow \theta=2(i-r)$

$\Rightarrow \theta=2\gamma$

Afin de pouvoir effectuer des lectures directes sur le limbe, les degrés qui y sont gravés sont en fait des demi-degrés. Le tambour et la vis micrométrique permettront une précision de mesure en rapport avec les calculs nautiques.

Nous devons à présent tenir compte de certaines données liées au sextant et à ce que l’on appelle la parallaxe et la réfraction.

En posant $d$=$\dfrac{D}{2}$=demi diamètre angulaire de l’astre

$e$ = excentricité et $C$ = collimation : ces deux quantités dépendent du sextant.

$Hi$= hauteur instrumentale lue sur le limbe et $Ho$= hauteur observée (centre de l’astre)

On pose $ \overline{ω}$ =$P$ = parallaxe, elle est insignifiante pour les étoiles.

Pour des astres non ponctuels, comme le soleil ou la lune, il est rare de pouvoir faire coïncider exactement l’image de leur centre $A$ avec l’horizon. En général c’est avec le bord inférieur ou supérieur du disque de l’astre que l’on réalise cette coïncidence. Il s’introduit donc sur $Ha$, donc sur $Hv$, une erreur angulaire égale en valeur absolue au demi-diamètre angulaire de l’astre : ± $\dfrac{D}{2}$, $D$ étant le diamètre angulaire de l’astre ($\dfrac{D}{2}$ = 16’ en moyenne pour le soleil, 14’,7 à 16’,7 en moyenne pour la Lune). Ces diamètres apparents sont donnés par les pages journalières des Ephémérides

D’où :

$Hv=Ho+P±\dfrac{D}{2}-da-R$

$Ho=Hi+\varepsilon=Hi+e+C$

+ étant pour le bord inférieur de l’astre et – pour le bord supérieur de l’astre.

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La formule de BORDA pour les distances lunaires

La sphère représentée est la sphère céleste de centre l’observateur.

Z est le zénith de l’observateur

E un astre

La hauteur de l’astre E est la mesure de $ \widehat{AE}$.

La distance zénithale est le complément de la hauteur, c’est-à-dire la mesure de l’arc $ \widehat{EZ}$. Le cercle en blanc s’appelle le cercle azimutal.

Nous avons vu que si l’on relève au sextant la hauteur de l’astre $E$, on obtient après correction la hauteur vraie de l’astre soit $hv$.

La position vraie de l’astre $E$ est le point $E’$ du cercle azimutal tel que la mesure de l’arc $ \widehat{AE’}=hv$ car la réfraction atmosphérique ne modifie pas l’azimut de l’astre apparent et de l’astre vrai.

Définissons à présent les points et quantités suivantes :

$M$ position vraie de la lune : par abus de notation posons $M$ = arc $ \widehat{MO}$= hauteur vraie de la lune

$m$ position apparente de la lune : $m$ = arc $ \widehat{Om}$ = hauteur apparente de la lune

$S$ position vraie du soleil : $S$ = arc $ \widehat{SH}$ = hauteur vraie du soleil

$s$ position apparente du soleil : $s$ = arc $ \widehat{sH}$ = hauteur apparente du soleil

$D$= distance lunaire vraie = mesure de $ \widehat{SM}$

$d$ = distance lunaire apparente = arc $ \widehat{sM}$


Schéma 2

Montrons que la distance lunaire vraie se calcule de manière logarithmique comme suit :

$\log {\sin} \left (\dfrac{D} {2} \right ) = \dfrac{1} {2} \left [\log {\sin \left (\dfrac{M+S} {2} + \theta \right )} + \log {\sin} \left (\theta - \dfrac{M+S} {2} \right ) \right ]$

C’est la formule de Borda.

Démonstration

Appliquons la formule fondamentale $\sin h = \sin L \sin D + \cos L \cos D \cos P$ aux triangles sphériques $ZSM$ et $zsm$ (schéma2).

On posera dans la suite $sec(x)=\dfrac{1} {\cos x}$

$\cos (Z) = \dfrac{\cos (SM) - \cos (ZS)\cos (ZM)}{\sin (ZS) \sin (ZM)}$

$\cos (Z) = \dfrac{\cos (SM) - \sin (HS)\sin (OM)}{\cos (HS) \cos (OM)}$ (1)

$\cos (Z) = \dfrac{\cos (sm) - \cos (Zs)\cos (Zm)}{\sin (Zs) \sin (Zm)}$

$\cos (Z) = \dfrac{\cos (sm) - \sin (Hs)\sin (Om)}{\cos (Hs) \cos (Om)}$ (2)

(1) et (2) entraînent $\dfrac{\cos (D) - \sin (S)\sin (M)}{\cos (S) \cos (M)} = \dfrac{\cos (d) - \sin (s)\sin (m)}{\cos (s) \cos (m)}$

$1+ \dfrac{\cos (D) - \sin (S)\sin (M)}{\cos (S) \cos (M)} = 1+ \dfrac{\cos (d) - \sin (s)\sin (m)}{\cos (s) \cos (m)}$

$\dfrac{\cos (S) \cos (M)+\cos (D) - \sin (S)\sin (M)}{\cos (S) \cos (M)} = \dfrac{\cos (s) \cos (m)+\cos (d) - \sin (s)\sin (m)}{\cos (s) \cos (m)}$

$\dfrac{\cos (D) + \cos(M+S)}{\cos (S) \cos (M)} = \dfrac{\cos (d) + \cos (m+s)}{\cos (s) \cos (m)}$

$\dfrac{1-2 \sin^2 (\dfrac{D}{2}) + 2 \cos^2(\dfrac{M+S}{2})-1}{\cos (S) \cos (M)} = \dfrac{2\cos (\dfrac{m+s+d}{2}) \cos (\dfrac{m+s-d}{2})}{\cos (s) \cos (m)}$

$\sin^2 (\dfrac{D}{2}) = \cos^2 (\dfrac{M+S}{2}) - \dfrac{\cos (S) \cos (M)\cos (\dfrac{m+s+d}{2}) \cos (\dfrac{m+s-d}{2})}{\cos (s) \cos (m)}$ (3)

Posons : $\cos^2 \theta = \dfrac{\cos (S) \cos (M)\cos (\dfrac{m+s+d}{2}) \cos (\dfrac{m+s-d}{2})}{\cos (s) \cos (m)}$ (4)

$\begin{eqnarray*} \sin^2 (\dfrac{D}{2}) & = & \cos^2 (\dfrac{M+S}{2}) - cos^2(\theta) \\ &= & \dfrac{1}{2}\{1+\cos(M+S)\}-\dfrac{1}{2}\{1+\cos(2\theta)\} \\ &= & \dfrac{1}{2}\{\cos(M+S)-\cos(2\theta)\} \\ &= & \sin(\dfrac{M+S}{2}+\theta) \sin(\theta - \dfrac{M+S}{2}) \\ \end{eqnarray*}$

$\sin^2 (\dfrac{D}{2}) = [ \sin(\dfrac{M+S}{2}+\theta) \sin(\theta - \dfrac{M+S}{2}) ]^{\frac{1}{2}}$

$\log \cos (\theta) =\dfrac{1}{2} \{ \log sec(m) + \log sec(m) + \log \cos (\dfrac{m+s+d}{2}) \}+ \dfrac{1}{2}\{ \log \cos (\dfrac{m+s-d}{2}) + \log \cos (M) + \log \cos (S) \}$

$ \log \sin (\dfrac{D}{2}) = \dfrac{1}{2}[\log \sin(\dfrac{M+S}{2}+\theta) + \log \sin(\theta - \dfrac{M+S}{2}) ]$

E M C W ( élémentaire mon cher Watson)

Bel exemple de la virtuosité calculatoire de Borda !

La formule (4) appelle une observation car si l’on pose $\cos^2 \theta = t $, il faut s’assurer que $t$ est compris entre 0 et 1

Les hauteurs d’astre étant comprises entre 0 et $\dfrac{\pi}{2}$, leurs cosinus sont toujours positifs.

Le terme $\dfrac{m+s-d}{2}$ est lui compris entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et $\dfrac{\pi}{2}$ car $d$ est compris entre 0 et $\pi$, ce qui assure que $\cos (\dfrac{m+s-d}{2})$ est positif.

Reste à examiner le terme $\dfrac{m+s-d}{2}$. Pour cela, nous admettrons que dans une sphère, l’inégalité triangulaire sphérique s’applique aux mesures d’arc.

C’est à dire : $ \widehat{ms} ≪ \widehat{sZ} + \widehat{Zm}$

$ \widehat{ms} +\pi ≪ \widehat{sZ} + \widehat{Zm} +\pi$

$ \widehat{ms} +(\dfrac{\pi}{2}- \widehat{sZ}) + (\dfrac{\pi}{2}- \widehat{Zm})≪ \pi$

$ d+s+m ≪ \pi$ donc $\cos (\dfrac{m+s-d}{2})$ est positif.

Nous venons d’établir que $t$ est positif, montrons que $t$ est inférieur ou égal à 1.

Ecrivons la formule (3) sous la forme : $\sin^2 a=\cos^2 b – t$.

$0 \leq cos^2 b \leq 1$

$0 \leq sin^2 a \leq 1$

$-1 \leq sin^2 a - cos^2 b \leq 1$

$-1 \leq -t \leq 1$ et $-1 \leq t \leq 1$

Et donc $0 \leq t \leq 1$

Conclusion : la formule (3) est légitime.

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L’œuvre de Jean Dominique Cassini

Les Ephémérides Bononienses mediceorum siderum , de Jean Dominique Cassini sont une table des mouvements des satellites de Jupiter, qui permit à la méthode des distances lunaires de prendre son essor.

Application : Montrons d’abord à quoi ressemble une table des distances lunaires : On procède à une interpolation pour des valeurs intermédiaires.

Connaissance des temps : année1810

Supposons que par la méthode de Borda, on ait trouvé que la distance vraie de la lune à l’étoile Regulus soit de 24° 59′ 6′′ le 10 janvier 1810.

On reprend la procédure en lien pour déterminer l’heure locale, c’est-à-dire l’heure solaire vraie.

Supposons que ce calcul donne heure solaire vraie = 4 h

La table nous dit que cette distance vraie est obtenue à 3 h au méridien de Paris.

La différence des heures solaires vraies donne 1h et donc que la longitude est une longitude ouest par rapport au méridien de Paris et que cette longitude vaut 1 h ou 15°.

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Annexe


Le chronomètre H5 de Georges Harrison (Collection of the Worshipful Company of Clockmakers)

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ps

Les lecteurs soucieux d’approfondir les notions d’horizon géométrique et optique pourront se référer à un article à venir dans le numéro 50 de MathémaTICE.

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