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DGPad - Un enfoque táctil específico de geometría dinámica en tabletas
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Mis en ligne le 30 juin 2013, par Martin Acosta, Yves Martin

La revolución táctil, recién nacida, aún está en sus primeros pasos. Sin embargo, esos primeros logros tienen ya hermosas perlas. Como el caso de DGPad para la geometría dinámica. Un sobrevuelo de esta aplicación que por el momento es una webApp.

Actualización Julio 2013
Ahora en Android el navegador estándar puede usarse de manera eficaz para DGPad.
Puede utilizarse Chrome o Firefox, aunque este último es menos rápido para el JavaScript.

Introducción

Varios software comienzan a trabajar la geometría dinámica (GD) en las tabletas táctiles y algunos exploran las nuevas potencialidades de las interfaces táctiles.

Algunos parten de lo conocido, como Dr Geo que fué el primer software de GD para iPad, en particular porque su código podía transferirse fácilmente. Pero precisamete, sólo es una transferencia, sin tener en cuenta el enfoque táctil. Por el contrario, tiene muchos botones para hacer clic. GeoGebraWeb Parece también asumir el camino de la transferencia de código pues GGW tiene el mismo código del applet GGB puesto que el código se carga en el cache cada vez que se compila GGB. Por el momento GGW está en desarrollo, pero ya permite exportar en HTML5 una figura GGB.

Otros software utilizan un motor ya conocido por su solidez y eficacia, y trabajan la interfaz táctil con originalidad. Es el caso deSketchometry, construido sobe el motor de JSXGraph y cuyos autores han implementado una manipulación directa "del lado de los gestos" para construir objetos matemáticos, explorando los "gestures" pertienentes para construir una perpendicular, un ángulo recto, o un punto medio.

Otros han decidido abordar los nuevos medios con una mirada nueva y decidieron volver a escribir todo, código e interface. Este parece ser el caso de Geometry Designer, que tenía en sus primeras versiones una interfaz bastante "minitel" y luego ha progresado adoptando una rueda de herramientas como la de los iPad.

DGPad hace parte de esta última categoría. Su autor, Eric Hakenholz, decidió reprogramar todo, intentando no transponer lo conocido, sino reinventar para el nuevo medio. Por supuesto, tampoco parte de la nada. Sabemos que programó CaRMetal durante 5 años, y en particular sus CaRScripts en 2009, su primera internalización de las relaciones entre el JavaScript y un software de geometría dinámica.

Primera y segunda internalizaciones - un paralelo audaz

Cada quien tiene sus propies representaciones de las herramientas y conceptos que manipula, construidas por las prácticas y por analogías surgidas de la historia cultural propia, primero colectiva, luego individual.

En cuanto a la cultura colectiva, sabemos que algo nuevo había nacido cuando supimos describir, luego construir, una máquina que sabía procesar las informaciones que recibía, más precisamente, cuando un mismo lenguaje podía recibir y procesar los datos. Se habla en general de informática (aunque los especialistas tengan matices que aportar al tema).

En la versión individual, menos compartida, yo hablaría del enfoque axiomático de la geometría. Klein definía la geometría como un grupo que deja invariante un conjunto. Luego, generalizando, para obtener una axiomática que contuviera las tres geometrías planas fundamentales, Bachman supo construir una segunda axiomatización de la geometría euclidiana para llegar a un enfoque últimno sobre la problemática de Klein : con Bachmann se trata de estudiar un subgrupo particular de un grupo dado.

En el primer ejemplo, algo nació cuando se pudo fusionar el procesamiento y los datos. En el segundo, se alcanzó una nueva teoría, cuando la acción se convirtió en un elemento sobre el cual actuar.

¿Cuál es la relación con DGPad ?

Los CaRScripts de CaRMetal, tal como fueron concebidos, son acciones sobre un soporte dinámico, rico por su interpretación matemática de los comandos : el software de geometría mismo. En ese sentido es una "primera internalización" pues el JavaScript se incrusta profundamente con los datos de la figura (los famosos x_m, y_m para quienes lo han utilizado). Yo haría un paralelo con la problemática de Klein : disponemos de un lenguaje que actúa sobre un software. Con logros espectaculares sobre la extensión del micromundo que puede alcanzarse de la geometría dinámica como la panoplia duel mini futbolista de Pierre Marc Mazat, o las contribuciones más modestas que aparecieron en el sitio IREM de La Réunion por ejemplo.

Una segunda internalización sería una situación a la Bachmann - o a la Turing - si el procesamiento pudiera ser de la misma especie que lo procesado. Es precisamente lo que hizo Eric : DGPad es, entre otros, una segunda internalización de JavaScript en la geometría dinámica, pues tanto el procesamiento como los datos procesados son archivos javascript.

Esto abre posibilidades inimaginables. Tanto que algunas funcionalidades no han sido implementadas aún en la primera versión que presentamos aquí, para tomar tiempo y distancia de la interface que se propondrá.

Al menos conceptualmente - aunque no se haya puesto por obra en la implementación actual - DGPad es a la vez un logro, una expresión nueva, de lo que pudo ser el proyecto inicial de la geometría dinámica.

En esencia, construido de la misma manera, Sketchometry tiene el mismo potencial, pero parece que los autores no se han preocupado - por el momento- por esta opción. Por ejemplo en las presentaciones de video de Sketchometry, los autores dicen que la recta de Euler es una figura relativamente compleja para el software. Definitivamente, DGPad está hecho para nuevos horizontes : dos semanas después de su publicación en línea, pudimos realizar - con un software que aún no tiene números ni expresiones algebraicas - un teselado hiperbólico de generación 2, con más de 3100 objetos.

ver una copia de pantalla con esta figura y sus objetos ocultos

La figura es manipulable en el artículo - a dedo en tabletas - en la pestaña Galería Hiperbólica.

Estructura del artículo

Decidimos incluir un número importante de figuras, algunas bastante pesadas. Como tienen formato de texto en el interior del artículo SPIP, fue necesario cortar el artículo en dos partes :

Parte 1 : reflexión sobre la transferencia de soporte, introducción del software y realizaciones geométricas.

Parte 2 : consagrada a los scripts, concierne sobretodo a los profesores de grados superiores que pueden querer utilizar ese soporte para practicar la algoritmia, o para proyectos ISN : el JavaScript, por su interacción con HTML 5 no solo es perenne, sino que es un lenguaje muy útil.

Las figuras en línea en el texto del artículo necesitan lanzar DGPad por medio de un botón. Veremos en detalle, en la pestaña Interfaz de DGPad por qué esa decisión de botón para abrir las figuras fue necesaria en este artículo.

Presentación de la primera parte

Dans la barre d’onglets suivante on trouvera successivement

1. Sketchometry y DGPad : presentación general y análisis de las decisiones de los dos software
2. La problemática de lo táctil : tocar no es lo mismo que hacer clic. Trazado a dedo y paletas contextuales
3. Interfaz de DGPad : otras herramientas
4. Las macros de DGPad
5. La noción de micromundo  : en general. En DGPad.
6. Galería 1 (círculos cónicas baricentros)
7. Galería 2 (hyperbólica, teselado)

La realización de scripts se presenta en esta segunda parte


Sketchometry y DGPad

Sketchometry y DGPad

Comencemos con una comparación entre esos dos software escritos en JavaScript, Sketchometry y DGPad, desde el punto de vista de la interfaz y de las decisiones táctiles.

Ambos tienen en común tomar en cuenta la dimensión táctil del nuevo medio constituido por las tabletas aunque siguen funcionando en computador.

Las decisiones de interfaz hechas por los desarrolladores tienen muchas consecuencias en el marco de una utilización escolar. La pregunta fundamental es la geometría del gesto que se quiere construir. ¿Qué representaciones de las propiedades geométricas se desea favorecer ?¿Para qué tipo de conceptualización ? Todo está por construir y por inventar.

Para la construcción de objetos geométricos, los dos software son originales y creativos en la relación con lo táctil. No obstante presentan enfoques fundamentalmente diferentes que tendrán influencia sobre las posibilidades efectivas de realización y por lo tanto también a los usuarios finales en clase.

Antes de lo táctil

Retomemos muy rápidamente el estado del arte en la materia. Existen dos enfoques principales para la creacón de objetos (o la aplicación de macro-construcciones) :

• La propuesta por Cabri, e imitada por la mayoría de software GD como GeoGebra : al usar una herramienta de creación el objeto aparece antes de terminar de definirlo. Desde un punto de vista didáctico esto tiene en cuenta los conocimientos del usuario sobre lo que está haciendo. Por el contrario, en las construcciones, deben señalarse todas las premisas antes de que aparezca el objeto : la mediatriz de dos puntos no aparece si no se han señalado los dos puntos que la definen, mientras que la creación de un círculo de centro O que pase por A hace aparecer el círculo y sigue el movimiento del ratón antes de que el usuario haga clic para señalar el punto A. Geogebra ha evolucionado sobre este punto en las últimas versiones, por lo menos en algunos items, a causa del proyecto GGBPrim... y tal vez a causa de CaRMetal.

• La propuesta de CaR (que fue heredada por CaRMetal) : en una construcción - cuando es posible - se define un punto como último parámetro y la construcción se anticipa hasta designar ese punto ; incluso al nombrar automáticamente los puntos o en la macro-construcciones complejas.

Ya analizamos aquí (página 174) por qué la decisión de no ordenar las premisas (*) fue vivida como un progreso de la interacción directa pues no restringe las decisiones de los alumnos, al contrario de las primeras versiones de Cabri. Este "progreso" condujo a que toda una generación de formadores y de alumnos pasara por alto la construcción anticipada de objetos, a pesar de que es fuente de visualización de esquemas y por lo tanto fuente de conceptualización más grande de lo que se anticipa.

(*) Para construir una perpendicular a una recta que pase por un punto es posible mostrar primero el punto o la recta puesto que no hay un orden matemático - aunque se diga perpendicular a la recta r que pasa por el punto P. El orden obligatorio de las premisas fue vivido como una restricción informática que era necesario eliminar.

DGPad tratará de seguir ese comportamiento ofreciendo la anticipación de las construcciones de sus objetos mientras que Sketchometry seguirá el otro camino, con la voluntad de superar esa ambigüedad sutil entre creación y construcción de objetos.

Algunos gestos comunes o cercanos

Primero que todo señalemos que DGPad debe colocarse en modo trazado (2° icono de la línea de comandos) para interpretar el trazado a dedo, así como Sketchometry debe estar en modo construcción. Por su parte, Sketchometry debe estar en modo "construcción".

Le choix des mots a du sens : si DGPad a un mode "trait", on peut penser qu’il ne va pas reconnaitre des courbes (le cercle) alors que Sketchometry propose la reconnaissance de cercle, d’où la désignation plus générale de son mode "construction".

Reconocimiento del trazado de rectas

El trazado de "líneas rectas" en general es bastante parecido y muestra, en los dos casos, un hermosa forma de interacción directa. Aquí hay cinco copias de pantalla (reducidas) ; primero dos de DGPad, luego dos de Sketchometry y una de DGPad.

Comentario sobre estos pantallazos :

• El retorno textual de Sketchometry, en una ventana exclusiva : permite al usuario saber cómo interpreta el software su gesto. En últimas, la designación del objeto valida la acción y por lo tanto la conceptualización : se obtiene una conceptualización por designación. Nótese, por el contrario, la confirmación visual de los elementos de construcción de una recta.

• La decisión deliberada de DGPad de no tener referencia textual, sino por el contrario una anticipación gráfica. Para DGPad la visualización del objeto matemático es a la vez confirmación de la interpretación de la acción y de la conceptualización del gesto que se está realizando.

En los dos casos puede verse la anticipación sutil : mientras la recta no pase explícitamente por los dos puntos puede cambiar en todo momento.

Referencia a un gran precursor de muchas vocaciones en geometría dinámica : en el retorno gráfico de DGPad, los lectores más asiduos de MathémaTICE pueden identificar una "cultura Cabri" del autor del software. En efecto, Jean Marie Laborde - fundador del proyecto Cabri-géomètre - explicaba siempre en sus presentaciones la sutileza ergonómica - y "euclidiana" - que consiste en no construir la recta en toda la pantalla sino sólo una porción del plano euclidiano como cuando se trabaja sobre el papel : didácticamente, estamos en el micro espacio del gesto efectuado, que es una actitud que respeta el estado de espíritu del alumno en el momento de su manipulación (en lugar de conceptualizar demasiado rápido si se traza la recta ’entera’ durante el desplazamiento del ratón). Aunque ya no usamos con frecuencia Cabri, tenemos presentes las enseñanzas del maestro...

En los dos software la recta "entera" queda construida al soltar el ratón, y en los dos, la anticipación de una recta se transforma inmediatamente en semirrecta si el gesto se detiene en uno de los puntos (ilustración 5).

Pero fuera de los gestos sobre los movimientos primordiales como estos - existen las intersecciones "por caricia" - la relación con lo táctil será diferente en los dos software.

Sketchometry : ¿el gesto conceptualizante ?

La decisión de Sketchometry queda, principalmente pero no únicamente, del lado de lo perceptivo en el sentido que el usuario debe reproducir kinestésicamente un gesto en relación con una definición o una propiedad del objeto que desea contruir, por ejemplo la perpendicularidad o el paralelismo :

Para la perpendicularidad, el primer trazo puede pasar por un punto, y construir entonces la perpendicular a la recta que pasa por ese punto. Podemos hacer la hipótesis de trabajo que al usarlo ese gesto participa en la conceptualización de la perpendicularidad.

La selección del gesto para el paralelismo seguramente es menos universal. Puede ser signo, bien sea de una relación precoz a los ángulos en Alemania, bien sea de un nivel de enseñanza privilegiado.

En efecto, el gesto producido recuerda los ángulos alternos internos iguales, que en Francia sólo se conceptualiza sólo en grado 7°. Ese gesto no tendría sentido para los niños del tercer ciclo de primaria mientras que la doble ortogonalidad - que no es más difícil de reproducir - habría sido un gesto conceptualizador de las relaciones entre ortogonalidad y paralelismo desde muy temprano, aprovechable incluso desde un punto de vista argumentativo desde el 6° grado.

Otros gestos propuestos, aunque parecen recordar una propiedad, su relación con ella es bastante lejana. Es el caso del punto medio y de la bisectriz :

En los dos casos el bucle simboliza una simetría. Es central si es redondo - y se aplica a puntos, es axial cuando es alargado - y se aplica a rectas. En los dos casos, los objetos deben haberse construido previamente, no hay construcción sobre la marcha, por ejemplo del punto medio de un punto ya construido y otro punto por construir.

Esa selección de gestos podría parecer arbitraria, pero posiblemente no, y eso podría estar relacionado con la cultura alemana : en Bachmann, en geometría absoluta, Mittlepunkt (centro) significa a la vez punto medio y "punto bisector" en un contexto particular que sería muy largo recordar aquí. Por eso esa proximidad de gestos puede recordar cierta proximidad conceptual.

Vemos aparecer una dificultad en este método "totalmente gesto" pues a veces hay que aprender a hacer correctamente gestos que perceptivamente son lejanos del concepto matemático inicial. La conceptualización probablemente funcionará - puede ser una hipótesis inicial de trabajo para concebir las primeras actividades en clase - con gestos que tienen relación directa con la percepción de los objetos implicados. No es nada seguro que funcione en otros gestos. Sería interesante estudiar las representaciones engendradas por esos nuevos esquemas de acción.

Los límites didácticos del reconocimiento del gesto

Por supuesto existen otros gestos, por ejemplo para el círculo, aunque hay que mirar el retorno de texto para saber si construir un círculo o un cuadrilátero : la diferencia entre cuadrilátero y círculo necesita un poco de práctica.

Desde un punto de vista informático, esos ejemplos de pre-círculo y pre-cuadrilátero ilustran la calidad del reconocimiento del gesto : en el círculo sólo hay un gesto anguloso, en el cuadrilátero el software parece identificar dos. El reconocimiento podría considerarse pertienente pues en un gesto rápido, un niño no debería hacer mas de un gesto anguloso. Sin embargo no es fácil decidir lo que es un gesto rápido.

Desde un punto de vista didáctico, esos ejemplos ilustran algo totalmente diferente. Relativizan las capacidades de reconocimiento informático del gesto como herramienta que participa en la conceptualización de los objetos matemáticos. El software ya no es una ayuda para la conceptualización de los objetos, sino una herramienta cuyas interpretaciones hay que aprender para poder utilizarla. Esto no es lo que espera la comunidad educativa de la evolución de la geometría dinámica.

Si se decide reconocer los círculos, la programación del procedimiento de reconocimiento se enfrenta no solo al problema de la clasificación de formas, según los micro-gestos efectuados, sino también a la representación que tienen los alumnos de los objetos en juego...

Es parecido al dilema de una profesora de preescolar o primero que para enseñar la escritura cursiva debe decidir validar algo que está entre una d y una a, o entre una u y una v : pero ella tiene por lo menos la interacción de lenguaje para comentar su decisión. Es lo que el software trata de hacer - de manera inteligente - con la retroacción textual en tiempo real.

En todo caso, si el alumno que quiere hacer un círculo mientras realiza el gesto debe verificar la interpretación del software en tiempo real, ya no se trata de una actividad matemática.

Para evitar esta situación - que debe consumir mucha energía - DGPad decidió limitar el reconocimiento a las rectas y no a los círculos.

Sketchometry : sus innovaciones

Dentro de las otras innovaciones mencionaremos un multitacto de verdad con dos dedos sobre una recta, construida con o sin puntos (imagen izquierda). En el momento en que escribo este artículo, Sketchometry parece ser el único software con un multitacto de verdad en tableta (fuera del zoom clásico)

Para ciertas herramientas, pueden recuperarse datos con un toque largo, por ejemplo para copiar la longitud de un segmento o el radio de un círculo (imagen central). Esa parece ser también una innovación que podría ser reproducida rápidamente en otros software.

La interfaz táctil abre la posibilidad de reinventar la manipulación de los objetos en particular superando la tipología antigua sobre la distinción entre creación y construcción. Es también el caso de una variante del gesto de perpendicularidad adaptado a la tangente a un círculo en un punto del círculo (imagen derecha).

¿Qué camino hacia la conceptualización de los objetos geométricos ?

Con esa mirada táctil sobre la geometría dinámica, Sketchometry propone una nueva forma de concebir la manera de acompañar a los alumnos desde sus prácticas perceptivas, aprovechándolas de manera kinestésica ("a dedo") para su conceptualización de los objetos (final de la educación básica).

Como el software reconoce las formas y las transforma - trazo más o menos rectilíneo transformado en recta, "bola" transformada en círculo - esta geometría acompañará el paso de lo perceptivo a las figuras ideales de la geometría de manera diferente a la seguida hasta ahora con geometría dinámica.

Dos preguntas para los formadores :

a) la pregunta de la génesis instrumental. ¿Cómo aprenderán los alumnos a usar la interfaz ?

En efecto, como vimos para el punto medio o el círculo, aún en figuras simples se necesita una cierta destreza para construir los objetos : ¿los alumnos acostumbrados a las pantallas desarrollarán una "destreza táctil" más eficaz que la de la "manipulación de herramientas" del entorno de papel y lápiz ? ¿La manipulación será finalmente más compleja ?

b) la pregunta del abandono de lo perceptivo. En efecto, con el dedo hay que reproducir un dibujo que representa la perpendicularidad o simboliza el paralelismo. Y aunque el software responde con una construcción de geometría dinámica, la interfaz parece encasillar al alumno, por repetición del gesto, en su representación de dibujo geométrico, pues el objeto se crea haciendo un dibujo en la pantalla.

Solo la experimentación en clase, en diferentes niveles, permitirá estudiar de manera precisa esas preguntas.

DGPad : el gesto conceptualizado

La filosofía de DGPad es muy diferente. Vimos que hay gestos primordiales para las líneas rectas y los polígonos, pero para lo demás se decidió permanecer en un registro más matematizado, con paletas de herramientas contextuales.

De hecho, el modo estándar del software no contiene el dibujo a dedo de las figuras de base ; hay que activar un modo específico. Para el conceptor, eso evita interacciones desafortunadas entre un trabajo de construcción y triángulos que se construyen automáticamente porque hay un dedo sobre la pantalla. En realidad esta separación se realizó despues de varias sesiones de utilización en clase, un mes después del lanzamiento oficial del software.

Estas son las cuatro paletas contextuales asociadas respectivamente a un punto, una recta, un círculo y un segmento (aquí reducida)


Hay 14 herramientas asociadas a un punto (en algunos casos 15). A diferencia de Sketchometry (versión 0.2.26), todos los puntos que forman un objeto pueden construirse sobre la marcha : ya sea un punto medio, un circuncírculo o un polígono cualquiera, pueden construirse a partir de un primer punto en la pantalla.

Nótese que los íconos adoptan un código de color riguroso - que no se usaba en CaRMetal : las premisas de los objetos en gris claro, el objeto construido en blanco. Para la herramienta "punto medio", hay un icono específico porque pueden señalarse dos puntos o un segmento. Así se evita que la única diferencia con la herramienta "simetría central" sea el color.

Los otros tres objetos de base pueden aceptar un punto sobre objeto. El segmento tiene dos herramientas disponibles más que la recta : el punto medio y la mediatriz.

Por su puesto, hay un gesto particular para utilizar esas herramientas de tres o más puntos, y sólo hay que aprender un gesto. Lo examinaremos en la pestaña de presentación de la interfaz de DGPad.

A diferencia del análisis propuesto para el uso de Sketchometry, ese gesto no constituye una conceptualización de los objetos, que ya están conceptualizados, en el sentido que ya se seleccionó un objeto matemático que se quiere construir. La conceptualización del gesto está en otra parte.

DGPad : ¿otra forma de conceptualización ?

Una de las particularidades de las herramientas de DGPad es su anticipación de las construcciones, como lo hace CaRMetal. En el marco de una utilización táctil esta anticipación puede ser interpretada como un control de la acción del usuario, inmediato y directo, sin pasar por el registro textual.

Pero como lo analizamos antes, esta anticipación, sistemática en todas las herramientas, contribuye a otra cosa. Acompaña la conceptualización de las propiedades de los objetos : cuando se desplaza el dedo, si se tiene seleccionada la herramienta recta perpendicular, la perpendicular pre-construida sigue el movimiento, y el usuario ve todas esas rectas perpendiculares a la primera y paralelas entre ellas. Igualmente, si después se selecciona una perpendicular a la primera recta, esta perpendicular aparece paralela a la otra perpendicular. La anticipación de las herramientas deja ver no el objeto ideal matemático que se está construyendo, sino las propiedades geométricas de los objetos.

Ilustración en modo proyección : el disco amarillo permite seguir
en el videoproyector dónde está el dedo del manipulador sobre la tableta

• Ilustración 1 : perpendicular a la recta inicial. La anticipación permite ver - eventualmente verbalizar - propiedades sobre "perpendicular" o "paralela".
• Ilustración 2 : la perpendicular está trazada, se va a seleccionar otra herramienta a partir de la recta inicial (describiremos las otras herramientas en la pestaña "interfaz de DGPad").
• Ilustración 3 : se seleccionó paralela, y pueden visualizarse propiedades que pueden hacerse verbalizar colectivamente.
.

En los casos simples (una perpendicular a una recta, por ejemplo), esta anticipación puede contribuir a la conceptualización de las propiedades de los objetos (aquí las perpendiculares a una misma recta son paralelas entre ellas).

En casos más complejos como el anterior lo que se percibe no conduce necesariamente a una conceptualización individual, pero puede ser descrito durante el movimiento antes de la construcción final, y hacer emerger así tomas de conciencia del pensamiento hipotético-deductivo.

La conceptualización permitida por la anticipación de las construcciones no se hace sobre el objeto matemático en sí, sino sobre las propiedades subyacentes, en general en relación con otro objeto geométrico.

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El tacto DGPad

Del clic del ratón al tocar la pantalla

Para comprender mejor las decisiones del autor sobre la interfaz del software, comencemos con una reflexión preliminar sobre la diferencia entre el uso del ratón y el tocar la pantalla. Hay por lo menos dos puntos de vista, el del usuario final y el del conceptor.

Para el usuario

A pesar de ser conciente de y saber intelectualmente que la experiencia como usuario de la geometría dinámica en tabletas táctiles es diferente de la GD en computador, antes de haber tocado una tableta y un software reactivo, no se sabe exactamente como se experimentará esa diferencia. Podemos imaginar la dificultad de los alumnos en la instrumentalización, por ejemplo saber que hay que dejar el dedo sobre la pantalla para continuar el segmento.

Luego vienen las primeras construcciones. Sin darse cuenta realmente, adquieren de cierta manera un aspecto mágico, nos sentimos como un pájaro picoteando un grano : seleccionamos con los ojos el punto sobre el que queremos actuar, y colocamos el dedo encima, como un pájaro que se posa donde identificó una actividad interesante.

Al mismo tiempo, la indicación con el ratón parece pasada de moda. Como si antes hubiéramos estado en Flatland, que para ir de un punto a otro había que recorrer las distancias en la pantalla, y que de pronto - como en las películas sobre Flatland pudiéramos ver la situación desde más arriba, que ya no hay camino plano, sino una geodésica en 3D para ir al punto buscado.

Por supuesto esto sólo es válido para el primer punto de un objeto, pero se repite en cada nueva construcción. Es evidente que con el ratón uno también mira el punto sobre el que va a actuar, y el ratón va, casi de manera autónoma por lo acostumbrados que estamos a esa interfaz, y sin embargo la experiencia de usuario cambia sutilmente, pues es más íntima con relación a la figura cuando el dedo va al punto identificado por el ojo, ya no pasamos por un punto externo, el puntero es parte de nosotros mismos y por eso esa sensación de proximidad...

Puede verse la diferencia con la estrategia de Sketchometry que privilegia lo kinestésico y por lo tanto el camino en la pantalla, pues es el camino del dedo que permite al software reconocer la acción que quiere hacerse : ¿un cuadrilátero ?, ¿un círculo ? y hay que controlar la interpretación del software. Incluso construir los puntos medios de una figura ya comenzada puede ser delicado porque pasar cerca de un objeto es interpretado como una información cognitiva por el software, cuando en realidad habíamos "extraído una figura simple de una figura comopleja" - según un objetivo escolar muy conocido - para realizar nuestro gesto

Por supuesto no todo es tan ideal en lo "puro táctil". El dedo puede molestar la vista, impidiendo el control de la acción, mientras que el cursor del ratón no se superpone a nada. Pero la experiencia de usuario es muy diferente.

Para el conceptor

El enfoque es totalmente diferente. La interfaz táctil es una interfaz de discontinuidad de la relación con la pantalla del usuario mientras que el ratón es un puntero contínuo sobre la pantalla : incluso cuando el usuario suelta el ratón, el sistema conserva las coordenadas del puntero cuando se retoma el mismo. Por el contrario, el usuario de una tableta toca la pantalla, desplaza el dedo, y suelta la pantalla (TouchStart, TouchMove, TouchEnd) y en ese momento, el conceptor no tiene ninguna posibilidad de saber donde tocará de nuevo la pantalla. En la relación hombre-máquina de la interfaz de un software, el paso del computador y su puntero ratón a la tableta y su puntero dedo es de alguna manera el paso de la continuidad a la discontinuidad.

En CaRMetal, una de las primeras características es probablemente la anticipación de todas las construcciones de objeto, entonces para su autor, el primer objetivo es reproducir en tableta esta anticipación de las construcciones, y en particular de las construcciones sobre la marcha de puntos como objetos finales de las construcciones. En un software GD asociado a un ratón, un punto sobre la marcha se crea al soltar el ratón ("OnMouseUp"). El equivalente en tableta es crear un punto al suspender el contacto con la tableta ("TouchEnd").

Surge entonces un problema para los objetos que tienen tres premisas (circuncírculo, ángulo, arco, bisectriz) : hay que mantener el hilo conductor aunque el usuario rompa el contacto con la tableta para señalar la creación o la selección del segundo objeto. Con el ratón la situación es contínua,pues la posición del puntero se conoce. En la tableta la información proveniente del usuario se interrumpe, produciendo una ruptura, y hay que encontrar una interfaz que restablezca rápidamente la continuidad de la construcción anticipada..

De esta reflexión nació la interfaz de DGPad, y en particular el modo de funcionamiento de las paletas contextuales.

las decisiones de DGPad

Para fijar las ideas, tomemos el caso de un circuncírculo, con tres puntos preconstruídos, aunque no sea necesario (pero más claro para los pantallazos que presentaremos).

La herramienta circuncírculo se selecciona a partir de un primer punto y el usuario desliza su dedo hacia un segundo punto, reconocido por rollover, que aparece subrayado grueso (para que sea visto bajo el dedo) ; el usuario debe señalar que desea utilizar ese punto como segundo punto del circuncírculo. Si el punto no había sido creado, sería necesario poder señalar que allí donde está el dedo deseamos construir un segundo punto. Entonces hay que romper el modo de contacto con la tableta.

A priori, habíados opciones posiblesen ese momento de la concepción de la interfaz del software para romper ese modo "contacto con un dedo".

Fevorecer, en la manipulación directa, un modo elemental, de fácil acceso para todos los alumnos, incluso los más jóvenes, es decir favorecer el modo "mono dedo" y por lo tanto ruptura del contacto con un dedo que se convierte en "no hay contacto".
Una posición audaz, utilizar, en los gestos más simples, las posibilidades multitáctiles y romper el contacto con un dedo añadiendo un segundo dedo.

El segundo punto, en todo caso para usuarios regulares, parecería elegante, pero Eric Hakenholz decidió ser menos audaz y se contentó con la decisión de muchos software en este momento : reservar lo multitáctil para tareas muy estándar de interfaz general.
Técnicamente, no es una solución fácil, ya que hace necesario concebir un método transparente para el usuario de conservar el estado de la figura que se está construyendo después de un touchend.

El análisis de esta decisión - hecho en un intercambio de correos electrónicos - se basa en varios argumentos :

• Conservar una cierta simplicidad : a parte de algunos juegos, los software para tableta son esencialmente mono-dedo para los usos específicos, fuera de elementos de traslación, homotecia y rotación (en los software de dibujo en particular).
• Además,en esos casos, la utilización de dos dedos es esencialmente una utilización sincrónica : los dedos se mueven en el mismo sentido o giran alrededor de un punto. Introducir un segundo dedo para simular un clic derecho sería una utilización no sincrónica desconocida.
• La actividad multitáctil asincrónica no es compatible con una utilización ultraportátil de la tableta, en la que uno sostiene la tableta con una mano y manipula con la otra, que es un uso muy común fuera del ambiente escolar.
• DGPad es utilizado por públicos muy variados y en situaciones muy diversas, en particular fuera de la clase, y por lo tanto en situaciones de ultraportabilidad : es preferible que la interfaz sea lo más simple posible, privilegiando las actitudes más elementales.

Después de todo, nos contamos entre la primera generación de usuarios de tabletas táctiles : hay que construir e instalar una práctica regular antes de hacerla evolucionar : las primeras hojas de cálculo, incluso profesionales, no tenían nada que ver con lo que conocemos hoy en día, lo multitáctil asincrónico sistemático tal vez aparecerá para la próxima generación...

O tal vez no. No estamos afanados por ensayar con estudiantes una versión en la que la ruptura del contacto con un dedo sea efectivamente un contacto asincrónico con dos dedos ...

Operacionalización de la decisión tomada

La primera realización es la de la anticipación de las construcciones para un objeto con dos premisas como un segmento, una simetría o una mediatriz. Como el pantallazo no muestra la posición del dedo indicador, las ilustraciones de esta parte las haremos con un punto final preconstruído, pero recordamos que también puede construirse sobre la marcha suprimiendo el contacto con la tableta.

El autor de DGPad decidió no hacer más "TouchEnd" para construir un objeto de DGPad que clics de ratón para obtener el mismo objeto con CaRMetal.

Ya está hecho con objetos de dos premisas. Veamos cómo se realizó para los objetos de tres premisas : hay por supuesto tres "TouchEnd" :

La interacción directa con las herramientas

Un punto final de una herramienta puede no solamente crearse sobre la marcha sino también crearse como intersección de objetos.

Aquí hay dos ejemplos, con ilustración de la validación de la intersección por manipulación en el segundo ejemplo :

a - Con una mediatriz


b - Con un circuncírculo


Aunque viniendo de Eric Hakenholz, cuyas interfaces son bastante sofisticadas, no debería sorprender, esta interacción directa durante la construcción en tabletas es muy sofisticada, y en el momento en que escribo este artículo (mayo de 2013), única.

Conclusión sore la paleta contextual

La interfaz decidida para DGPad y el funcionamiento de su paleta contextual permiten realizar objetos de construcción :
• con la misma comodidad visual y la misma implicación cognitiva
• con el mismo número de gestos
que el software CaRMetal.

La interacción directa durante la construcción es un éxito indiscutible.

Sólo por este primer análisis de las paletas contextuales, el software merece ampliamente la atención de toda la comunidad de profesores.

Regresar a la barra de pestañas (hacia la interfaz de DGPad)

Interfaz DGPad

Generalidades

WebApp : en el momento de escribir este artículo, DGPad es una aplicación en línea que se utiliza en un navegador. Se lanza desde el sitio www.dgpad.net.
Aunque vamos a examinar en detalle algunos aspectos de la interfaz, aconsejamos mirar los videos propuestos por el autor en el sitio de DGPad.

Utilización en tabletas : con Androïd (versión 4.xx o superior) puede usarse el navegador estándar de la tableta, o también Chrome o Firefox (que es menos rápido). Con iOS, puede utilizarse Chrome o Safari.

Utilización en computador : puede utilizarse Chrome, Firefox, o Safari, pero no IE (que no sigue las reglas del HTML5). En computador uno puede deslizar un archivo DGPad (archivo de texto) a la ventana del navegador cuando la apliación en línea está abierta.

Formato de archivo : los archivos son de tipo .txt. Examinaremos el formato de los archivos en la pestaña Macro y la manipulación de los archivos en la pestaña Micromundo , y luego, por supuesto, en la parte 2 sobre los script.

Presentación de la línea de comandos

Para acceder a las distintas herramientas es necesario primero seleccionar uno de los íconos siguientes. Sin embargo, algunos elementos de la interfaz son genéricos y etán disponibles en muchos (o en todos) de los modos del software.

Los cinco primeros items

Puntero - modo estándar : modo de arrastre de los objetos, es el modo estandar en el que las paletas contextuales funcionan.
Los objetos pueden arrastrarse directamente, en los modos en los que esa operación tiene sentido, como Ocultar/Mostrar, Macro-construcción, Inspector de objetos.

Modo trazos : modo de utilización para construcciones elementales a dedo.
El software interpreta el gesto para reconocer las formas (segmento, recta, semirrecta y polígono. La intersección y el punto sobre objeto están disponibles en este modo (ver el video "Caricia" en el sitio de DGPad). Pero no es muy fácil "acariciar una intersección".
El modo trazo es especialmente eficaz para construir polígonos cualesquiera. Nótese que DGPad no trata de reconocer el trazado de círculos.

Desde un punto de vista didáctico, como lo analizamos en la primera pestaña, este modo trazo es un modo transitorio del enfoque perceptivo (kinestésico en las tabletas) hacia un enfoque más conceptual de la geometría (geometría de las propiedades de los objetos), que DGPad implementa con sus paletas conceptuales en el modo de utilización estándar.
Habrá que ver cómo se usa en la práctica, pero este modo está más indicado para un uso en final de primaria, comienzo de secundaria.

Utilizar la presencia de esos dos modos, claramente separados, en el mismo software puede favorecer - gracias a la interfaz táctil - la transición de una geometría perceptiva a una geometría mas conceptual no solamente de los objetos sino de sus propiedades. Por supuesto si se acompaña de una instrumentación fina de esos dos modos y con una ingeniería todavía por diseñar. Pero puede ser una pista de investigación rica e interesante.

Las paletas contextuales no están activas en el modo trazo.

Ocultar/Mostrar : modo estándar para ocultar o mostrar los objetos.
Funciona como las herramientas equivalentes de Cabri II+ o de Geogebra. En particular, este modo no corresponde a la varita mágica de CaRMetal que permite seguir construyendo en ese modo... sino que necesita dos íconos (relacionados con el borrador).

No obstante, los objetos de base de la figura pueden verse y manipularse en ese modo, lo cual puede ser útil, incluso en figuras complejas.

Si el lector miró el tesealdo hiperbólico en la introducción, debió notar que las macros construyen los objetos intermedios como objetos ocultos. No hay un modo Superocultar como en CaRMetal que impida ver los objetos ocultos incluso con la herramienta Mostrar.

Supprimir : permite suprimir objetos diferentes a los últimos construidos (como con la herramienta Deshacer/Rehacer).

Si se utiliza el botón Borrar toda la figura, se suprimen también las macros de la figura. Para conservarlas hay que suprimir únicamente los objetos de base de la figura.

Macro-construcciones : el autor de DGPad renovó la interfaz de macro-construcciones como puede verse en la pestaña dedicada a esa herramienta. La gestión de macros se hace, por el momento, "a mano", transformando el archivo de texto. Ver la pestaña Micromundo más adelante.

Inspector de objetos

El inspector de objetos es una herramienta clásica de presentación individual de los objetos.

Es el ícono a partir del cual se activa el modo "proyección".

En ese modo, un disco amarillo simboliza un dedo virtual para que, cuando se proyecta la pantalla, el público tenga una imagen en tiempo real de las manipulaciones del usuario en la tableta... pues el dedo no puede proyectarse.

En la figura anterior construimos una mediatriz entre el primer punto y otro punto :
a la izquierda : el dedo del usuario va hacia el punto.
en el centro :todo el mundo- incluso el usuario- ve que se alcanzó el punto. El dedo todavía está en contacto con la tableta.
a la derecha : el dedo ya no está en contacto, se traza la mediatriz, el disco está desapareciendo (retroacción dinámica).

Modificación de los atributos en conjunto
El inspector (o panel de propiedades) permite también modificar las propiedades en conjunto, es decir aplicar las propiedades a todos los objetos del mismo tipo, como ilustramos a continuación :

A la izquierda, se modifican los puntos que originalmente tienen tamaño 6 y fuente 30 ; al modificar un solo punto todos cambian a tamaño 4 y fuente 14.

Manipulación de cursores del inspector de objetos (o panel de propiedades) : después de seleccionar con el dedo un cursor puede desplazarse el dedo hacia abajo y seleccionar "aplicar a todos" para manipular el cursor viendo precisamente los valores numéricos mostrados : así no quedan ocultos por la manipulación a dedo.

Figuras del cache

DGPad - y también Sketchometry - utiliza el cache HTML5 de los navegadores - cache que ocupa 5Mb en las tabletas, y 10Mb en los computadores - lo cual permite conservar las últimas figuras en memoria inmediata.

DGPad puede conservar hasta 20 figuras en la memoria del navegador, que pueden bloquearse para que no se borren cuando el sistema vacíe el cache.

El usuario no tiene control de esta parte específica del cache del navegador (que no es accesible por ’preferencias’) y sobretodo cuando se vacía el cache.

Una figura se guarda en ese cache cuando se suprime, en particular con la opción "borrar toda la figura".

Las Exportaciones

Son herramientas para la utilización dinámica en línea. Existen 4 modos :

HTML y JS : el modo estándar para poner una figura en línea en un sitio web. Por ejemplo, en una página SPIP, basta con insertar ese código entre los dos tags HTML.

El posible modificar el tamaño de la ventana DGPad precisando los parámetros width y height en dos lugares : al comienzo y al final del archivo :

Sólo HTML : este modo es una alternativa cuando el anterior no funciona.
En este modo, la figura no es inmediatamente accesible, sino que hay que hacer clic en un botón para abrir DGPad.

El botón tiene 40 pixeles de alto, y por eso la ventana exportada tiene 40 pixeles más que la figura. Si se modifican los parámetros hay que respetar esa diferencia : el primer dato, al comienzo del archivo, incluye el tamaño del botón, mientras que el segundo al final del archivo no :

Redacción de artículos SPIP incluyendo archivos DGPad :

Este artículo, bastante largo y que incluye pestañas, pone en evidencia que en una tableta - y solamente en una tableta - la utilización de las figuras DGPad directamente en las pestañas de la ’Navaja Suiza’ no funciona. Es necesario recurrir al modo de exportación para que las figuras aparezcan en las pestañas SPIP en una tableta.

Por esta razón, en las próximas pestañas, habrá que hacer clic sobre un botón para abrir las figuras DGPad.

Esta precaución no es necesaria en general en una página SPIP sin pestañas. Igualmente, el primer modo funciona bien en los sitios web de los colegios.

Página HTML : produce una página HTML estándar.

Estos tres modos codifican la figura y utilizan directamente el motor de interpretación de DGPad, de sólo 200Kb si no se utiliza el módulo de texto MathJax. Las figuras codificadas pueden utilizar una o varias decenas de Kb.

En estos tres modos, es posible añadir una barra de pestañas, para que el usuario tenga el software en su página de trabajo, como sucede con los Applets de Geogebra o CaRMetal, pero con un archivo 20 veces más pequeño.
Esto es muy práctico para utilizar una macro en línea como mostraremos en la ventana Micromundo.

Archivo de texto : el archivo DGPad tal como queda guardado en modo texto. Puede usarse este modo, en particular en un computador, para agrupar varias macro-construcciones en un mismo archivo, o para trabajar el código JavaScript para hacer un archivo de script.

Bajar/Subir a la nube

Nótese que no se crean directamente nuevas carpetas desde la interfaz. Pero todas las carpetas están accesibles.

Es posible guardar en el computador, pero es mejor utilizar la herramienta ’exportar’ que es más rápida.

Nombres automáticos

Funciona como en CaRMetal : se indica a partir de cual letra se quiere nombrar los objetos automáticamente. Al continuar la construcción con este modo seleccionado aparecerán los nombres de los objetos a medida que se crean. Aquí hay un ejemplo :

Nótese que en CaRMetal, se anticipa incluso los nombres, pero no en DGPad.

Ejes

Permite trazar rectas paralelas a los bordes de la tableta, es decir ’horizontales’ o ’verticales’ : con la herramienta recta paralela se traza una paralela a un eje que pasa por un punto. Lo mismo para recta perpendicular.

Aún no es muy útil desde el punto de vista numérico, aparte de las actividades de lectura, ya que todavía no hay herramientas para trabajar con las coordenadas.

Los otros aspectos de la interfaz

Al hacer clic sobre un objeto en modo estándar, además de la paleta contextual, aparecen dos o tres íconos
 :
desplazar el nombre del objeto
abrir el panel de propiedades
arrastrar un objeto después de desambiguizar

En la siguiente ilustración (en modo "presentación" : dedo amarillo grueso), parte inferior derecha, los tres íconos bajo el punto seleccionado.

La ilustración muestra el funcionamiento del primer ícono : el nombre del objeto está al lado opuesto al dedo y puede girar alrededor del objeto.

La utilización del tercer ícono está detallada con las ambigüedades

Gestion de ambigüedades

Cuando hay dos objetos superpuestos, es importante saber cuál de los dos se quiere manipular. Veamos un primer ejemplo arquetípico en el sentido en que la superposición es topológica :

Se colocó un polígono pequeño (café) dentro de uno más grande. La herramienta de ambigüedad permite seleccionar el más pequeño dentro del primero, y el ícono de arrastre permite sacarlo.

Pero este tercer ícono de arrastre tiene usos más finos. En la siguiente ilustración, M es un punto sobre objeto del segmento AB. Colocamos M en A. Si se hace clic sobre los puntos sobrepuestos, es posible por defecto coger M y separarlo de A. Si queremos arrastrar A en lugar de M, hay que esperar un momento, resolver la ambigüedad (seleccionando el primer objeto creado) y el tercer ícono permite arrastrar :

En el modo estándar, también está la paleta contextual, ya que se puede seleccionar ese punto para hacer una construcción. Aunque el ejemplo dado es un poco artificial, esta situación se presenta naturalmente en las construcciones no triviales.

La última ilustración mostró claramente la capacidad de interacción directa del software, pues el usuario puede seleccionar en cada momento toda clase de acciones. La instrumentación de esta riqueza no debería frenar su uso en clase. Es de desear que en una próxima versión, para una utilización en educación básica, puedan restringirse las herramientas para limitar, durante una sesión, la cantidad de acciones disponibles.

No cuestionamos la facilidad con que los alumnos pueden manipular la herramienta, sino la sobrecarga cognitiva que puede producir esta proximidad tan rica de herramientas disponibles.

En un software como Geogebra o CaRMetal, hay muchas más herramientas a disposición de los alumnos, pero el usuario no las enfrenta de la misma manera. En ellos, hay que buscar las herramientas - y los alumnos pierden tiempo buscando en los menús de Geogebra por ejemplo - aquí, toda la potencialidad de lo que se va a hacer está concentrada en el punto en el que se está trabajando : es por supuesto una decisión específica de lo táctil (’tocar no es hacer clic’) pero es deseable que a mediano plazo el profesor pueda controlar el entorno en el que trabajarán sus alumnos como se hace en los software de computador donde se puede decidir qué herramientas están disponibles.

Es evidente que esta es una primera versión que establece sus potencialidades y que con el tiempo podrá afinar una estrategia didáctica de su propia riqueza.

Para terminar esta presentación general de la interfaz, veamos cómo la gestión de la ambigüedad también funciona para más de dos objetos :

A partir de dos puntos se construyó el segmento, una semirrecta y la recta. Queremos colocar un punto sobre el segmento. La herramienta de ambigüedad permite escoger uno de los tres objetos. Una vez seleccionado (el segmento se vuelve rojo), con la herramienta de arrastre local, se puede crear un punto sobre el segmento.

Regrear a la barra de pestañas (a las macros DGPad)

Macros

El hecho que DGPad tenga macro-construcciones en su primera versión en línea era un objetivo del autor. Para los usuarios expertos, es una fuente de producción extraordinaria que vamos a ilustrar ampliamente en las pestañas de Gelería. Esta pestaña está dedicada únicamente a la realización de las macro-construcciones. La pestaña siguiente tratará sobre la gestión de las macros.

Realización de una macro-construcción

Consideremos una figura ya terminada, un poco compleja : dados dos círculos y un punto, ya hemos construido los 4 círculos que pasan por el punto y son tangentes a los dos círculos iniciales.

Figura manipulable


Nótese que los círculos están definidos por el centro y el radio, es decir que pueden modificarse los radios directamente arrastrando los dos círculos, en manipulación directa

Queremos transformar esta figura en macro-construcción que a partir de dos círculo y un punto construye los 4 círculos. Primero seleccionamos el modo macro-construcción.

Nótese que la figura ya contiene varias macro-construcciones llamadas personales : el eje radical de dos círculos, los centros de homotecia de 2 círculos y la macro 2CT a 1C por 2pts, que construye los dos círculos tangentes a un círculo dado y que pasan por dos puntos dados. La figura final utiliza esta macro.

Para hacer una nueva macro, basta con tocar un objeto inical para que comience el proceso. Aquí presentamos una descripción visual detallada :

Ilustración 1 : Al tocar un círculo aparece la interfaz de creación de macro : una línea de texto para el título, una segunda línea, asociada al botón verde, los objetos iniciales, una tercera línea, con un símbolo rojo, los objetos finales potenciales. Al tocar sobre un círculo (el objeto seleccionado se vuelve verde), un objeto final se hace posible, su centro.
Ilustración 2 : al seleccionar el segundo círculo inicial, su centro se añade a los objetos finales. Nótese que los objetos finales potenciales aparecen en negro en la figura.
Ilustración 3 : al seleccionar el punto, los 4 círculos se vuelven negros por ser objetos finales potenciales. Podríamos terminar aquí la macro, pero añadiría dos puntos inútiles : los centros de los círculos iniciales.
Ilustración 4 : podemos seleccionar en la figura los objetos finales. Al seleccionar un primer objeto final, se vuelve rojo, y la lista de los objetos finales potenciales desaparece, la lista se transforma en los objetos finales definitivos.
Ilustración 5 : Seleccionamos los 4 círculos.

Luego (no aparece aquí) damos un nombre a la macro y se añade a las macro-construcciones personales.

Las macros son macros "de figura".

En esta versión, en particular porque DGPad todavía no es una aplicación autónoma, sólo es posible crear macros de figura, no es posible añadirlas a la biblioteca. Eso no quiere decir que no se puedan guardar : al registrar una figura, todas las macros que se usaron quedan guaradadas con ella, lo que permite asociarlas, como veremos en la siguiente pestaña.

Esto significa que para verificar la aplicación de la macro hay que hacerlo en la misma figura.

Aplicación de una macro

Ahora vamos a aplicar esta macro. Para verificarla, suprimimos los centros de los círculos, construimos nuevos círculos, ahora de otro tipo : definidos por centro y un punto (en lugar de centro y radio) para verificar que la macro se aplica al meta-objeto "círculo" y no a un tipo particular de círculo.

Tocamos en la nueva macro. Aparece un comentario debajo que indica el tipo de objeto esperado :

Ilustración 1 : Antes de tocar el círculo esperado, la macro espera un primer círculo.
Ilustración 2 : Al tocar el primer círculo, el comentario de la macro pide un segundo círculo...
Ilustración 3 : ... luego al seleccionar el segunto círculo, la macro espera un punto. Es el último objeto inicial esperado (se lee en el 3/3).

Aquí se presenta una diferencia fundamental entre la interfaz táctil y la interfaz con ratón. En la interfaz táctil, el último círculo seleccionado significa que el usuario levantó el dedo de la tableta. Se espera que el usuario toque de nuevo la tableta para seleccionar un punto. Entonces se ejecuta la macro, construyendo la figura.

En una interfaz con ratón, se presenta la cuestión de la construcción anticipada : la posición del ratón es conocida y contínua, y podemos presentar la construcción anticipada desde la posición del ratón. Así que la diferencia proviene de la continuidad del ratón y la discontinuidad táctil.

Sin embargo, incluso en una interfaz táctil, hubiera sido posible utilizar el último punto de la macro para anticipar la construcción TouchStart - TouchMove - TouchEnd El autor nos dice que por la manera como se diseñaron las macros no es tan simple implementar la anticipación de las construcciones.

Ilustración 4 : la figura está terminada. La macro está lista para ejecutarse con un objeto inical nuevo.
Ilustración 5 : Al salir del modo "macro-construcciones" sigue presente la figura final. Además, las macros no conservan los colores de los objetos tal como fueron construidos en la macro, se da prioridad al color del objeto actual en la figura.

Punto sobre objeto : ¿inical o final ?

En las primeras utilizacions, cuando un punto M es un punto sobre objeto (por ejemplo un segmento o un círculo), puede sorprender que aparezca automáticamente en los objetos finales potenciales al hacer clic sobre el objeto al que pertenece.

En la aplicación de la macro, se creará de nuevo como punto sobre objeto. Esto puede ser muy útil en muchos casos.

También puede haber muchos casos en los que si se aplica varias veces esta macro, quisiéramos que Ciertos datos sean implícitos Como existen objetos implícitos en las macros de cabril, y CaRMetal (Por lo menos).

Si es el caso de un punto sobre objeto que decir de varias veces en la construcción, Para que no se ha colocado como objeto final - Si no como objeto inicial, Lo más simple es mostrar lo como objeto inicial antes del objeto al que pertenece. En ese caso no se volverá a construir porque ya estará mostrado.

Exploracion de la posición del. Sobre objeto en la macro

Usted puede crear y probar macros Bezier2pts Que a los objetos iniciales O, I, t, A y B dan el punto Bz, con diferentes variantes. Pongale índices diferentes a las macros que cree (puede suprimir los puntos, todas las herramientas están disponibles)

Los objetos finales deben contener como mínimo el punto Bz.
Los objetos iniciales terminan con A y B.
Test 1 : iniciales S1 y finales t antes de Bz. Se crea un nuevo punto t, Bz depende de ese punto.
Test 2 : iniciales t y S1, no se crea t, el punto Bz depende de t directamente.
Test 3 : iniciales S1 sin t en finales. Se crea un t nuevo sobre el primero, pero queda oculto - pues es un objeto intermedio - así que hay que desplazar t y hacer aparecer ese nuevo punto con Ocultar/Mostrar.

Si se produce un error de manipulación es posible suprimir los puntos, y en el peor de los casos refrescar la página, pero eso borrará las macros ya construidas.



Otras precisiones sobre el funcionamiento de las macros

Al igual que en CaRMetal y Cabri, las macros contenidas en las figuras están allí para usarlas de nuevo. En particular, si una macro ha sido aplicada no es necesario conservarla en el archivo, y es posible quitarla (a manor como lo mostraremos en la pestaña siguiente).

En otras palabras, en DGPad una macro se aplica, no se llama como una función. Pero puede usarse como función, si se interviene manualmente en los archivos -programando- como veremos en la segunda parte de este artículo, sobre los scripts.

Resumen de esta pestaña sobre las macros

Recordemos las siguientes características de la interfaz de DGPad :

• En la construcción de una macro, el tratamiento simultáneo de los objetos iniciales y finales, en función de las decisiones del usuario.
• Lo que implica una reflexión particular sobre lo que se quiere hacer con los puntos sobre objeto.
• En la utilización de las macros, la posibilidad de construir puntos sobre la marcha durante la aplicación misma de una macro.
• La no anticipación de los objetos en las macros que terminan con un punto, a diferencia de las construcciones.
• Las macros se aplican, no se llaman.

Regresar a la barra de pestañas (hacia los micromundos)

Micromundo

El concepto de micromundo fue propuesto por Papert en 1980. Pero en el sentido en el que lo definió en ese momento - en informática 1980 es bastante antiguo incluso para quienes estaban allí - todos los software de GD serían micromundos. La noción a evolucionado fuertemente para los software de GD con Jean Marie Laborde y su equipo alrededor Cabri géomètre. Desde entonces decimos que un software de geometría dinámica es un micromundo si tiene la posibilidad de crear nuevas herramientas (macro-construcciones) y permite estructurarlas para trabajar en un entorno propio a un contexto geométrico particular. Es posible desarrollar un micromundo sobre los círculos, uno sobre las cónicas, pero en general se entiende por micromundo la creación de otra geometría sobre el modelo euclidiano.

Ejemplos e ilustraciones de micromundos no euclidiantos

Por ejemplo con CaRMetal y sus macros cuidadosas - resultado de años de programación - podemos no solamente hacer micromundos sobre las geometrías no euclidianas clásicas - la geometría hiperbólica, cuyo modelo del disco de Pinicaré está implementado en estándar en el software, o el modelo de la pseudoesfera que está en la carpeta de 27 figuras ...

... sino también micromundos de geometrías mucho menos conocidas como el plana de Moulton, modelo de geometría plana no arguesiana.

La ejecución de esos micromundos permite explorar esas geometrías poco conocidas y encontrar resultados como por ejemplo la existencia de triángulos bi-ortocéntricos (con dos ortocentros).


Cabri-géométrie, en particular a partir de Cabri II impulsó desde muy temprano (1996) y muy lejos la facilidad de hacer macros y la manera de estructurar y organizar esas macros ya que Cabri II permitía construir barras de menú específicas de esas nuevas macros, algo que no ha sido imitado desde entonces.

En preludio, un pequeño experimento de adaptabilidad

Desde esta primera versión de DGPad, para probar las capacidades del software y ver hasta dónde se puede llegar en término de figuras con macro-construcciones, realizamos no solamente teselados hiperbólicos, sino también las macros esenciales hiperbólicas de segundo nivel sobre los haces de Bachmann, incluyendo - sorprendentemente - una macro de intersección de dos rectas hiperbólicas cuando se basa en la de dos arcos de círculo. Sabemos que hay que controlar la continuidad de esta intersección cuando las orientaciones de los arcos cambian (en la práctica en este contexto, cuando el arco atraviesa el centro del disco de Poincaré).

Modificar sus esquemas de acción

Este último punto es un ejemplo hermoso en el contexto de un cambio de base, sobre nuestras capacidades para modificar nuestros esquemas de acción : con CaRMetal, por ejemplo (o Geogebra en cierta medida) disponemos de diferentes medios para controlar la continuidad de los objetos, lo que permite construir herramientas de otro micromundo con tranquilidad. Sin ninguno de esos medios sofisticados - y además sin números ni álgebra - fue necesario buscar un método de construcción puramente geométrico para construir esta intersección de manera contínua.

El éxito de este desafío muestra por lo menos dos cosas :
• una pereza operacional que puede ser provocada por el acceso a herramientas sofisticadas. En efecto, la solución encontrada funciona con cualquier software de geometría dinámica.
• la capacidad para encontrar soluciones nuevas en un mundo restringido : lo que más sorprende, como veremos en la pestaña de scripts, es la restricción del entorno (recordemos que esta primera versión de DGPad no tiene números, ni medida, ni expresiones algebraicas sobre las magnitudes) que obliga a modificar fuertemente los puntos de vista, a cambiar los esquemas de pensamiento, para encontrar soluciones geométricas más simples que las analíticas, inmediatas en la mente, pero técnicas o calculatorias.

Por supuesto esto no es una defensa de los software pobres, ni mucho menos, sino la oportunidad de mostrar que mientras esperamos la implementación de las herramientas clásicas, la geometría tiene recursos que no siempre exploramos en su totalidad. Daremos otros ejemplos con los scripts.

El formato de archivo de DGPad

Antes de abordar la modificación de los archivos de DGPad para construir listas de macros, unas palabras sobre la organización de un archivo. Primero que todo es un archivo de texto : .txt. También es un archivo JavaScript, en particular los comentarios son líneas que comienzan por //.

Este es el archivo de una recta que pasa por dos puntos.

En otras palabras
• una línea que define el origen de la figura y el tamaño de pantalla de la unidad,
• líneas de construcción (Geometry)
• las líneas de STYLE de cada objeto
• una línea de estado del sistema de coordenadas (que se añade si no se crea explícitamente).

Agrueguemos a esta figura la perpendicular en un punto y hagamos una macro perpendicular (simplemente para leer el archivo producido).

Nota técnica SPIP

En el tag marco utilizado para el código, aparece un icono pequeño en la parte inferior derecha del marco.
sirve para cambiar el tamaño del marco..

El código comienza por las macro-construcciones. Son funciones que tienen un nombre (externo e interno, aunque normalmente es el mismo), una lista de parámetros, y un ejecutable. Se trata de una función JavaScript - "función" porque devuelve uno o más objetos - que corresponde a la construcción que se quiere transformar en macro.

Nótese que los nombres de variables (globales) de la figura que sirvió para hacer la macro se retoman tal cual, pero en la macro son variables locales de la función.

En cuanto al cuerpo de la construcción, vemos también una reorganización de los objetos que no corresponde al orden secuencial de creación : la recta se había construido antes de colocar el punto M, pero en el archivo M aparece antes : hay una clasificación interna por tipo de objeto siempre que sea posible.

Apliquemos esta macro elemental a una recta (la perpendicular Perp1) y un punto U, el archivo resultante es :

Vemos, en la línea Perp11, que la macro se aplicó, no fue llamada (por su nombre).

cuando termina la figura final, como el código final no llama las macros utilizadas, es posible suprimir las macros, por ejemplo para disminuir el tamaño del archivo.

En las pestañas de scripts veremos que también es posible llamar directamente una macro en un archivo, haciéndolo más legible para muchas aplicaciones iterativas por ejemplo.

Aplicaciones imbricadas de las macro-construcciones

Por supuesto, es el principio del micromundo, las macros pueden llamarse entre ellas, lo que permite realizar macro-construcciones cada vez más complejas.

Por ejemplo la macro 4CT a 2C1P que construye los 4 círculos que pasan por un punto llama la macro 2CT a 1C por 2 pts que construye los dos círculso tangentes a un círculo y que pasan por dos puntos dados. Este es un pedazo del código de esas macros :

Véase en particular el efecto de la reorganización de los objetos. Los punteados de la primera macro corresponden a 18 instrucciones. Al aplicar dos veces esta macro, una para encontrar los círculos tangentes de mismo tipo - un círculo dos veces interior y un círculo dos veces exterior- luego una segunda para encontrar los otros dos círculos, esperaríamos encontrar las 18 instrucciones entre las construcciones de C4 y C5 ( resultado de la primera aplicación de la macro) y los círculos C41 y C51 (la segunda aplicación de la macro).

Como vemos, no es así, por el contrario entre las dos parejas sólo están las intersecciones con otro círculo que dará los puntos buscados para terminar los círculos tercero y cuarto.

Ver todo el código de las dos macros

Organización de las macro-construcciones en archivos de micromundos

La organización en micromundos debe hacerla el usuario.

Construir un micromundo, para esta versión, es dar una lista de macros en un archivo de figuras.

Como las macros son independientes unas de otras cada uno puede copiar y pegar macros en archivos de figuras y organizarlas como quiera.

Por supuesto, la gestión de macros no se reduce a esto. Pero recordemos que el software fue escrito a partir de nada, y para esta versión es ya una posibilidad importante.

Un ejemplo de aplicación... por el placer de la geometría

Continuemos con esas dos macros de círculo. El ejemplo es un poco cultural, en el sentido que no aparece en los programas, pero sigue siendo interesante. Sabemos que las intersecciones de una cónica y una recta son constructibles con regla y compás, y que en general, las intersecciones de dos cónicas no son constructibles con regla y compás. Los software mayores - que han alcanzado su "mayoría de edad" software - integran esas intersecciones. Es el caso de Cabri, Geogebra y CaRMetal, pero también Cinderella. DGPad está recién nacido y no toca este tema...

Si las intersecciones de dos cónicas en general no son constructibles con regla y compás, hay situaciones específicas en las que lo son. Por ejemplo cuando tienen un foco común.

Sean entonces esas dos cónicas siguientes : una elipse rosada y una hipérbola verde (con sus asíntotas, y comprenderán que hay un paso al infinito sin arreglar).

Esas dos cónicas tienen un mismo foco F. Para lo que nos interesa aquí, las consideramos como definidas por su foyer F y un círculo director: :
• de centro O1 para la hipérbola - esta cónica es una hipérbola porque F está fuera del círculo director,
• de centro O2 para la elipse - es una elipse porque F está en el interior del círculo director.

La elipse es el lugar del punto E, intersección de la recta (O2N) y la mediatriz de [FN] cuando N describe su círculo director, y
La hiperbola es el lugar del punto H, intersección de la recta (O1M) y de la mediatriz de [FM] cuando M describe su círculo director.

Un razonamiento simple sobre las distancias - y la definición bifocal de las cónicas con centro - permite ver que las intersecciones de esas dos cónicas son equidistantes de F y de cada uno de los dos círculos directores.

En otras palabras son los centros de los 4 círculos - cuando existen - tangentes a los dos círculos directores y que pasan por F.

Entonces basta con aplicar la macro 4CT a 2C1P a esos dos círculos directores y al foco común de las dos cónicas para obtener las intersecciones :

Puede arrastrar los puntos O1, O2 y F, y cambiar el tamaño de los dos círculos azules (círculos directores de las dos cónicas)
Los centros de los círculos tangentes a los círculos directores y que pasan por F son las intersecciones de las dos cónicas.



Aquí hay un ejemplo inmediato - una figura que se hace rápidamente - de una utilización de macro-construcciones más largas y más complejas de hacer que sus aplicaciones.

Las cualidades internas de un micromundo

Vimos que, por el momento (mayo de 2013) la gestión de micromundos corre por cuenta del usuario, en parte porque la aplicación es en línea.

Pero la calidad de un micromundo no reside solamente en la gestión de las macros, que es una cualidad externa. Estas cualidades externas de los micromundos de DGPad son mínimas por el momento.

Pero las cualidades del micromundo pueden ser internas, en su concepción, en particular en la realizacio´n de macros y en la calidad de encadenamiento de esas macros.

Manipulación directa de la figura durante la realización de una macro.

Esta posibilidad, que permite desplazar objetos para acceder a otros objetos fuera de la pantalla, nos da oportunidad de probar el comportamiento lógico de las macros : ¿es posible registrar en una misma macro objetos finales que existen excluyéndose mutuamente ?

Esta posibilidad fue un avance importante de Cabri II que abrió posibilidades a lo que se llamaba entonces macros lógicas. Esta solución desapareció con los nuevos software libres (como Geogebra y CaRMetal) que ampliaron las posibilidades, por ejemplo con atributos de condicionalidad, y variables booleanas incorporadas en las propiedades o en las coordenadas de los puntos.

Independientemente de esas posibilidades de utilización, nos interesa aquí la calidad de realización de las macros. Consideremos la situación de base siguiente, que permite controlar el corte del cubo por los vértices a partir de un punto sobre una arista.

Dos puntos A y B, un punto M, la perpendicular a AB que pasa por M. Luego I punto medio de AB, los segmentos AI e IB, y los puntos de intersección U y V de la perpendicular con cada uno de los segmentos :

U y V existen excluyéndose uno al otro. Veamos el comportamiento de DGPad para transformar esto en macro-construcción. Aquí están las etapas en detalle.

• Ilustración 1 : se muestran los puntos A y B, los únicos objetos finales posibles son el punto medio y los segmentos construidos a partir de él.
• Ilustración 2 : se añade el punto M, todos los objetos de la figura son posible objetos finales, incluyendo U y V.
• Ilustración 3 : se toca U, todas las otras posibilidades desaparecen.
• Ilustración 4 : se desplaza M durante la construcción de la macro y se toca V como segundo objeto final. se termina la macro y se prueba con nuevos puntos.
• Ilustración 5 : la macro funciona, crea los dos puntos U y V que se excluyen mutuamente.

La manipulación directa de la figura durante la realización de la macro funciona con toda su potencia.

Comportamiento de Geogebra en esta situación

Geogebra tiene una gestión diferente de sus herramientas. La construcción de las macros es modal, no se plantea la cuestión de la manipulación directa.

Como el funcionamiento es modal, Geogebra fabrica la macro sin problema : los puntos U y V son puntos de la figura, por lo tanto son puntos finales posibles, y podemos seleccionarlos. Por defecto los tras puntos iniciales son A, B y M. La macro se crea sin problema...

Pero parece no funcionar...

En las ilustraciones 3 y 4 vemos a la vez la figura construida y su aplicación como macro que da la impresión de no funcionar pero en realidad si funciona, sólo que hay que saber mirarla.

En erecto... el otro punto de intersección no está definido, y queda oculto. Lo vemos en la ventana de álgebra : es el punto H. Hay que desplazar el punto E, para que H exista y podamos verlo :

Otras cualidades internas más finas de los micromundos

Esta última parte de esta pestaña está reservada a la cultura de los micromundos y no aporta nada sobre la utilización de DGPad.

Vimos las cualidades externas de la gestión de macros, luego las cualidades internas. Podemos ir más lejos en la calidad de producción de un micromundo. Ahora abordaremos refinamientos sofisticados, no para los alumnos sino para los conceptores de micromundos : se trata de tener en cuenta, en las macros, relaciones entre los objetos y sus constituyentes. Esta relación es un cuestionamiento al que nos enfrentamos al realizar una utilización fina de un software de geometría dinámica.

La posibilidad de utilizar puntos constituyentes de los objetos para hacer macros sobre esos objetos - o macros que los usen - es un punto fundamental en la realización de micromundos. Es una cualidad interna de las macros.

Esta capacidad está integrada en Cabri II (y por lo tanto existe desde 1996) pero sólo la he encontrado de nuevo en CaRMetal. No funciona - aún - en DGPad ni en Geogebra.

Demos un ejemplo elemental : la construcción del centro de una cónica definida por 5 puntos. Primero señalemos que existen construcciones del centro de una cónica sólo a partir de los 5 puntos que la definen. Pero vamos a hacer una figura mixta, más simple, para ilustrar hasta donde puede llegarse en la calidad de un micromundo. Para evitar complicar la argumentación, nos limitaremos a la elipse.

Método usado : si se toman tres puntos de un círculo, su centro es la intersección de las dos mediatrices. Desde un punto de vista afín (por eso el argumento no funciona con las hiperbolas aunque la construcción sigue siendo correcta usando argumentos de bicociente), una mediatriz de dos puntos de un círculo es el lugar de los puntos medios de cuerdas paralelas a una cuerda dadas. Si hacemos esto dos veces tenemos una manera de construir el centro de un círculo y por lo tanto de una elipse como intersección de dos rectas de puntos medios de cuerdas paralelas.

Realización en CaRMetal

Una cónica está definida por 5 puntos A, B, C, D, y E. Queremos construir los puntos medios de las cuerdas paralelas a AB y a AE : esos dos lugares son rectas, y su intersección es el centro de la cónica.

La paralela a AE por B corta la cónica en M. LA paralela a AB por E corta la cónica en N. Esta construcción utiliza explícitamente a la vez la cónica y tres de sus puntos.

El primer lugar es la recta UV y el segundo es la recta PQ. El centro es la intersección de esas dos rectas.

La macro tiene un solo elemento inicial, la cónica, y la macro funciona porque las macros aceptan las construcciones sobre sus puntos constituyentes.

En la segunda línea de ilustraciones vemos la aplicación de la macro a una cónica en la que se desplaza un solo punto : la construcción es operacional en todos los casos (incluso cuando hay cambio de rama de la hiperbola)

Más lejos - ¿qué es un objeto constituyente ?

La pregunta no es simple. Tomemos una recta : puede estar definida por dos puntos, por un punto y una pendiente (por lo menos en Geogebra). Hay que definir meta-objetos de los que se derivan todas las rectas, segmentos y semirrectas y que las macros, en la medida de lo posible, se apliquen a los meta-objetos.

Para los círculos sucede lo mismo : existe el objeto definido por centro y punto, por centro y radio (sobre la marcha) y centro y radio (dos puntos : compás), tanto en Cabri, como en Geogebra y CaRMetal. Si existe un meta-objeto, ¿el arco de círculo definido por tres puntos hacer parte de él ?

¿cuáles son los objetos constituyentes de un arco de círculo ? ¿Los tres puntos ? En general no ... entonces hay que identificar los objetos constituyentes de los objetos para poder hacer macros más finas.

En CaRMetal sólo uno de los tres puntos por los que pasa un arco definido por tres puntos es efectivamente un objeto constituyente del arco. En Geogebra, pareciera que son los tres puntos pero no es posible utilizar los objetos constituyentes señalando únicamente el arco como objeto inicial. Por eso no es simple hacer geometría hiperbólica de manera óptima. Lo veremos en la pestaña sobre la galería hiperbólica.

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Galeria 1

Aquí hay algunas figuras manipulables en el artículo, con la barra de herramientas para hacer construcciones. Todas las figuras pueden descargarse al final del artículo.

Sobre los círculos

Círculo de Malffati

Construcción de tres círculos al interior de un triángulo tangentes dos a dos y a dos lados del triángulo.



Ejemplo de micromundo sobre las cónicas afines

Las macros están disponibles en la figura ConiquesAffines en el archivo descargable. Aquí hay una primera aplicación :

Un caso particulier del teorema de Carnot permite afirmar que existe siempre una cónica tritangente a los lados de un triángulo en los tres puntos de intersección con los lados de tres cevianas concurrentes (una ceviana es una recta que pasa por un vértice del triángulo - en honor a Ceva).

En la figura anterior, puede manipular :
• Los vértices A, B y C del triángulo.
• El punto Sp (para Parábola de Steiner) que está sobre la elipse de Steiner circunscrita al triángulo ABC. Para las cevianas concurrentes sobre la elipse de Steiner la cónica tritangente a los lados del triángulo es una parábola.
• El punto Sg (Steiner general) puede desplazarse. Si Sg está en el interior de la elipse circunscrita de Steiner, la cónica tritangente es una elipse, si Sg es exterior, es una hipérbola.



Ejemplo de utilización de una macro directamente en el artículo

Exploración sobre la naturaleza de una cónica

La siguiente figura está compuesta de 4 puntos A, B, C, D, y de las dos parábolas que pasan por esos puntos (hecha con la macro Parabolas 4P). También contiene la macro que construye la cónica que pasa por 5 puntos.

Se trata de explorar la naturaleza de la cónica que pasa por los 4 puntos dados y un punto M, en función de la posición de M con respecto a las dos parábolas. Más precisamente, interesa el caso en que la cónica es una elipse.

Manipulación posible :
• Entrar en modo macro.
• Aplicar la macro Cnk 5P (Cónica por 5 puntos) a los puntos A, B, C, D y un punto sobre la marcha (que se llamará M).
• Explorar la parte del plano en la que debe estar M para que la cónica sea una elipse.


El lugar buscado es la diferencia simétrica de los interiores de las dos parábolas, es decir la reunión de los interiores quitándole su intersección

Ejemplo de figura con comportamiento booleano

Se puede desplazar el punto Ch y el centro del círculo



Ejemplo de texto dinámico

La implementación aún no está completa - por eso no está documentada en este artículo - pero este es un ejemplo de (futuro) texto dinámico en DGPad (con MathJax). Como MathJax se carga en un segundo momento, el texto aparece incorrectametne durante algunos segundos.

Según los sistemas operativos y el navegador, puede ser necesario desplazar un cursor o el punto A para que el texto aparezca correctamente.

Precisiones sobre la figura :
• se trazó una función polinómica de tercer grado, con sus coeficientes manipulables.
• Luego entre dos puntos A y B, se muestra que esta función se obtiene por una curva de Bezier de 4 puntos (grado 3) que va de A a B definida por dos puntos intermedios C y D.
• Construcción : C y D están respectivamente sobre la tangente a la curva que sale de A y B y tienen abscisas un tercio y dos tercios de AB.
• Se modifica t para desplazar el punto de Bezier sobre la curva.
• La unidad puede modificarse con el punto derecho del cursor que contiene el coeficiente a.



(en desarrollo, para información, el texto puede no aparecer correctamente en todos los navegadores o en todos los sistemas operativos)

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Galería hiperbólica

Las siguientes figuras son manipulables en línea, en el navegador.

Presentación suscinta del modelo

Disco de Poincaré : los puntos del plano hiperbólico son los puntos en el interior del círculo, llamado horizonte. Los puntos del círculo horizonte son los puntos en el infinito. También se habla de puntos ideales en la medida en que no son puntos hiperbólicos, sino puntos del modelo - lo cual es práctico.

Las rectas son arcos de círculos ortogonales al círculo horizonte : por dos puntos pasa una y una sola recta. Hay un caso particular : si los puntos están alineados con el centro el arco es un segmento.

Las rectas pueden ser :
• secantes : tienen un punto en común
• paralelas : "se cortan en el infinito". En el modelo tienen un punto ideal común. Fuera del modelo se habla de "extremos comunes". Hilbert, por ejemplo, en su capítulo "fundamentos de la geometría", desarrolló todo un capítulo sobre las propiedades de los extremos hiperbólicos.
• o tener una perpendicular común. Que es única.

La diferencia entre la geometría euclidiana y la geometría hiperbólica reside por ejemplo en que por un punto, pasan dos rectas paralelas a una recta dada. En el modelo son las rectas que pasan por el punto y uno de los extremos de la recta inicial.

El haz de rectas paralelas se parte en dos nociones : el haz de rectas paralelas (que sea un haz hace parte de las propiedades que hay que demostrar) y el haz de rectas que tienen una perpendicular común.

Se habla entonces de haz
• con centro : las rectas son concurrentes
• con eje : las rectas tienen una perpendicular común
• sin soporte : tienen un extremo común, punto ideal.

Las porpiedades de concurrencia de las rectas usuales del triángulo se extienden a propiedades de "rectas en haz".

Por ejemplo las mediatrices son concurrentes - y los tres puntos están sobre el circuncírculo, o tienen una perpendicular común, o tienen un punto ideal común (difícil de obtener en manipulación directa sin construcción específica. Lo mismo pasa para las alturas, y las bisectrices de un triángulo.

Manipulación de las mediatrices de un triángulo

Al abrir la figura, los tres puntos no están sobre un circuncírculo, pues las mediatrices no son concurrentes : tienen una perpendicular común. en ese caso el ciclo circunscrito se llama equidistante.

Se puede desplazar uno de los vértices del triángulo para ver el caso circunscrito.



El caso "punto ideal" no se obtiene en general por manipulación directa, pero puede aproximarse perceptivametne. En ese caso el ciclo circunscrito se llama horociclo. Es un círculo en el modelo del disco de Poincaré.

Las medianas de un triángulo hiperbólico

Al contrario de las rectas notables del triángulo, las medianas de un triángulo hiperbólico siempre están en haz con centro - siempre son concurrentes - que es un resultado difícil de demostrar en un contexto absoluto.



Del triángulo al trilátero

Como las rectas pueden ser no secantes sin ser paralelas, hay una extensión natural al triángulo que es el trilátero : tres rectas no secantes dos a dos que no están en haz.

Muchas propiedades generales de los triángulos no son específicamente euclidianas sino absolutas. Esta es una ilustración de esta propiedad : las alturas de un trilátero - cuando existen - son las bisectrices del triángulo pedal (de los pies de las alturas). Es una propiedad euclidiana que se demuestra fácilmente con el producto escalar, y que se estudiaba antiguamente en el liceo.

En la siguiente figura :
• Se toman tres rectas cualesquiera : un trilátero.
• Cada recta es manipulable por dos asas : a1, a2, b1, b2 y c1 c2 respectivamente.
• Las rectas color cyan son alturas del trilátero. Una altura es una recta que pertenece al haz de dos rectas y que es perpendicular a la tercera recta. Aquí las alturas son concurrentes. En algunos casos podrían no existir.
• No construimos los pies de las alturas, pero están representados porque construimos - en rojo - el triángulo órtico que une esos pies de las alturas dos a dos
• Luego construimos las prouyecciones ortogonales U, V y W del ortocentro del trilátero inicial sobre los lados del triángulo órtico.
• Puede verse que el círculo de centro el ortocentro y que pasa por U también pasa por V y W y es tangente al triángulo órtico en esos puntos : las alturas de un trilátero son las bisectrices del triángulo órtico.



Manipulación posible : puede convertir el trilátero en TRIANGULO haciendo que las rectas se corten dos a dos : se tendrá entonces la misma situación que en el contexto euclidiano : un triángulo, sus alturas y el triángulo órtico y sus bisectrices.

Nótese que fuera de los seis puntos iniciales asas de las tres rectas del trilátero, sólo hay 4 puntos más : las construcciones esenciales se hacen sin puntos con macros sobre los haces de rectas y sus propiedades : de manera general esas macros son más estables que las que hacen intervenir puntos.

Teselado hiperbólico P(5,4) - Generación 2

El siguiente archivo se demora en abrir (20s en una tableta), pero luego es fluido : es probablemente el primer teselado hiperbólico manipulable a dedo sobre una tableta táctil... gracias a DGPad y a su autor !!!

Se trata de un teselado de pentágonos ortogonales (con 5 ángulos rectos). Con la ortogonalidad, muchos puntos alineados, es el más simple de construir porque necesita menos objetos.

Por esa razón puede construirse la generación 2 : están todos los pentágonos (G2) alrededor de los pentágonos (G1) del pentágono inicial que pueden manipularse por su centro y un punto.



En el estado actual de DGPad esta figura tiene más de 3100 objetos, podría reducirse a 800 o 1000 objetos cuando puedan utilizarse datos numéricos para la invesión : aquí todos los vértices hiperbólicos de los pentágonos están construidos geométricamente.

Las macros del micromundo asociado

La dificultad de los arcos de círculo es que en general sus puntos constituyentes no son aquellos que los definene. Sucede lo mismo para las rectas hiperbólicas : los puntos del arco que representa una recta hiperbólica AB no contienen ni A ni B, lo que permite utilizar esta macro también para puntos A o B ideales.

De hecho es natural, para efectos de orientación entre otros, que los puntos constituyentes de los arcos no sean los puntos que los definen.

Pero para DGPad, incluso los puntos constituyentes no son (aún) accesibles. Por eso las macros son más pesadas en objetos intermedios.

Para realizar estas construcciones, comencé con 8 macros hiperbólicas estándar y otras 3 para los haces de rectas.

Los nombres de las macros son significativos : si hay que dar tres puntos para una perpendicular en lugar de una recta hiperbólica y un punto, es que la calidad del micromundo es pobre. Lo mismo para los 4 puntos para una perpendicular común.

Entonces es necesario hacer un trabajo interno, conceptual, para que los objetos intermedios sean accesibles en las construcciones que permiten mostrar el objeto constituído como objeto inicial.

Es posible una estrategia algebraica. En consecuencia, todas esas macros, y esas figuras podrán optimizarse cuando se incorporen las expresiones algebraicas en DGPad. Aquí las proponemos para mostrar que desde la primera versión webApp, pueden hacerse cosas matemáticamente consistentes.

Más precisiones sobre los haces de rectas en generalaqui.

El artículo prosigue con consideraciones más téncicas en esta parte 2 : los scripts de DGPad

Notas de utilización

Sitio : www.dgpad.net

Environnement :
En Android, puede usarse el navegador estándar de la tableta, o también Chrome o Firefox (que es menos rápido)
En iOS, utilizar Chrome o Safari
En computador : Firefox, Chrome, Safari (no IE). Con un computador pueden arrastrarse los archivos directamente a la página DGPad (en el navegador). En tableta hay que pasar por la nube.

Una figura, realizada por el autor de DGPad : los 8 círculos de Apolonio (2568 objetos)
(y si leyó el artículo, sabrá descargar la figura)

Todas las figuras de este artículo y algunas más están en el archivo descargable.


Documents associés à l'article
  DGPad_Sesam529   |   (Zip - 148.6 ko)
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