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Fonctions et géométrie dynamique
avec DGPad
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Mis en ligne le 10 avril 2020, par Monique Gironce

En parcourant le programme de mathématiques 2019 pour la classe de seconde générale et technologique on trouve ceci :

« La modélisation d’une dépendance par une fonction apparaît dans des domaines très variés : géométrie dans le plan ou dans l’espace, biologie, économie, physique, sciences sociales. La modélisation de phénomènes dépendant du temps, la variable étant alors notée t est mise en évidence
Les outils numériques sont mis à profit :
un logiciel de géométrie dynamique, pour la représentation graphique et l’utilisation de curseurs ; Python, le tableur ou la calculatrice, pour mettre en évidence l’aspect de programme de calcul. »

« Sur des cas simples de relations entre variables (par exemple U = RI, d = vt, S = π r^2, V = abc, V = π r^2 h), exprimer une variable en fonction des autres. »

En liaison avec le groupe numérique de l’IRES de Toulouse, l’auteur de cet article propose une banque d’exemples de telles fonctions (ou types de calcul) pour lesquels l’utilisation de DGPad est particulièrement pertinente.

Un grand classique revisité avec DGPad

C’est celui de la boîte sans couvercle.
Dans un carré de carton on découpe à chaque angle quatre petits carrés identiques de taille variable. Le patron obtenu permet de construire une boîte sans couvercle. Quelle taille de petit carré choisir pour que le volume de la boîte reconstituée soit maximum ?

Quelques commentaires …

Il n’y a pas de souris visible à l’écran, tout simplement parce que c’est l’écran d’une tablette (ici un iPad) qui a été capturé ! La pastille jaune ? C’est la position du doigt sur la tablette en question. Cependant aucun souci : les figures proposées sont utilisables sans modification aucune sur PC, avec (presque) la même gestuelle.

DGPad est conçu d’abord pour tablette, et l’auteur voulait à tout prix la prévisualisation des constructions. Alors il a fallu imaginer quelque chose de différent de ce qui se passe sur PC. La raison est très simple : si la main lâche la souris, le pointeur reste toujours visible à l’écran, tandis que sur tablette, après avoir levé le doigt, il n’y a aucun moyen de retrouver la dernière position de ce doigt pour continuer la construction. Le choix qui a été fait par souci de simplicité, même si d’autres choix étaient tout à fait envisageables : un seul doigt, mais maintenu posé pour ensuite glisser. C’est naturel sur tablette. Sur PC ce sera le clic maintenu enfoncé : au début il faut se forcer un peu ! Mais l’habitude se prend très vite.

DGPad et Blockly

On peut s’étonner qu’il n’y ait pas de fenêtre algèbre, un historique qui rassemblerait tous les calculs et toutes les constructions (comme dans GeoGebra ou CaRMetal). Mais là encore c’est un choix complètement assumé par le programmeur. Sur tablette, ou même sur smartphone à condition d’avoir de petits doigts, on imagine mal une telle fenêtre qui diminuerait ou cacherait la moitié de la figure. Avec DGPad en principe les expressions se créent directement dans la figure grâce à l’outil ‘calculatrice’, quitte ensuite à être cachés. Mais pour l’élève, comme le montre la vidéo ci-dessus, il y a bien mieux : calculer dans une fenêtre Blockly préparée par l’enseignant, avec de nombreux avantages à la clé :

  • la fenêtre Blockly est mobile et en grande partie transparente
  • Blockly permet les calculs classiques pour les élèves, mais permet aussi très simplement d’écrire des calculs conditionnels. Dans le calcul demandé l’enseignant peut aussi y inclure des fonctions pour contourner le fait que certaines notions ne sont pas vraiment au programme.
  • Quand l’enseignant veut ramasser les copies ici numériques, il sait immédiatement où retrouver les calculs faits par ses élèves.
  • Il est écrit dans le programme officiel, à propos des calculs relatifs aux fonctions : « (on utilisera ) Python, le tableur ou la calculatrice, pour mettre en évidence l’aspect de programme de calcul. » On aimerait ajouter : on pourra utiliser aussi le Blockly de DGPad.
    Ici tout est dans la même fenêtre avec interaction entre tous les éléments : la figure dynamique éventuellement 3D, le graphique et le programme de calcul.

Je vous parle d’un temps que les moins de … 50 ans (?) ….


C’était donc il y a bien longtemps, en 1990 probablement, du temps de l’avant Geoplan/Geospace. L’équipe du C.R.E.E.M qui travaillait avec Serge Hocquenghem (celle même qui a produit ensuite GeoplanW et Geospace ) avait produit des logiciels (le Géomètre ?) et des imagiciels dédiés à la 3D, à la géométrie 2D et aussi aux fonctions. On les trouvait sur disquette 3 pouces 1/2, avec livres d’accompagnement. Le tout fonctionnait … sous DOS ! Donc pas de Windows, pas de souris ! Les choix se faisaient au clavier et l’animation grâce aux touches directionnelles. Mais la pertinence des activités était telle que les élèves de seconde et première pouvaient déjà dire : « Heureusement que j’ai vu comment ça bougeait sinon je n’aurais rien compris à l’énoncé ».
Nombre de ces activités ont été ensuite reprises dans les manuels. Il m’est bien difficile de dire lesquelles exactement, n’ayant plus ni disquette (et qu’en ferai-je ?) ni livret sous la main.
Alors, à l’IRES de Toulouse, il nous a semblé important de reprendre le thème de la géométrie dynamique et des fonctions, et de tout traduire en DGPad. Le choix des figures proposées ? Surtout un travail de mémoire : ces fameux imagiciels et des figures (fixes) retrouvées un peu partout dans d’anciens ou moins anciens nombreux manuels.

On les trouve sur ce site Opale

  • Remarque : chacune des figures est proposée en téléchargement.
  • Rappel : pour ouvrir une figure avec la webApp, il suffit de la glisser dans la fenêtre de l’application.
  • Autre remarque : dans les activités, répondre aux questions ne nécessite aucune expertise du logiciel. Mais pour celui qui voudrait aller plus loin dans son utilisation dans ce même site on trouvera un ensemble de fiches techniques.

Le temps dans DGPad


Deux figures en particulier (le piston et le vaporisateur) utilisent une très jolie spécificité de DGPad : utiliser le temps.

C’est extrêmement simple à mettre en oeuvre : avec la calculatrice il suffit de créer une expression, et via l’outil contextuel ‘ressort’, de tirer sur la gauche avec la valeur 1. Le temps obtenu est alors celui fourni par l’horloge de ordinateur. Amusant : avec une orientation du ressort à droite on remonte le temps ; et en prenant une valeur plus grande que 1 on l’accélère !
Un complément bien utile pour ce type de figure : par appui long (ou clic-droit) créer un ‘merveilleux DGScript’ (renommé ’Réinitialisation’) avec une seule ligne de code pour remettre l’horloge à zéro.
Alors pourquoi ne pas proposer aux élèves cette fonctionnalité le jour où ils aimeraient créer une modélisation d’un phénomène physique par exemple ?

Distribuer et ramasser les copies


La vidéo du début de l’article se termine par un enregistrer la figure.
Ceux qui ont lu dans MathémaTICE cet article d’Éric Hakenholz auront reconnu le enregistrer de DocShare. En ce temps de confinement ou même après, comme toutes nos figures sont téléchargeables, il devient désormais très facile de les distribuer et de récupérer les réponses de vos élèves.

Réactions d’élèves


Les premières des activités proposées, les plus simples, ont pour la plupart été proposées à des élèves de collège ou de seconde, mais dans un cadre très particulier. Celui d’une association ariégeoise qui essaie de maintenir un semblant de scolarité à des élèves gravement malades ou le plus souvent à des élèves décrocheurs ; quand le SAPAD ne peut plus intervenir parce que c’est trop lourd. Le cas le plus fréquent : la dépression ou/et le harcèlement sévère qui rend impossible le retour au collège pendant un bon moment. C’est alors que les propos de Michèle Artigue prennent tout leur sens.

L’entrée dans le monde algébrique au collège ne va pas de soi, quelles que soient les stratégies choisies pour cette entrée et elles sont diverses suivant les cultures et les systèmes éducatifs. Sous des formes diverses, depuis plusieurs décennies, les TICE ont été mises au service de cet apprentissage et des potentialités nouvelles sont sans cesse explorées, essayant de tirer parti des évolutions technologiques.

Source : Michèle Artigue, lors de sa conférence au Colloque inter-IREM national TICE, à Montpellier en juin 2014. On y consultera l’onglet : conférences.

Quelques réactions de ces jeunes élèves ou de ces ados :

  • Les maths, ça ne m’intéresse pas ! En plus je veux faire des études de lettres ! Et puis les profs de math ne sont pas logiques : ils ajoutent des chiffres et des lettres (sic).
    Une heure plus tard, tablette, DGPad et Blockly aidant, avec la boîte sans couvercle ou autre elle ajoutait et multipliait des chiffres et des lettres d’elle même et sans aucun scrupule . Et comme il fallait garder une trace sur le cahier : Vous voulez que je vous apprenne à faire une copie d’écran avec ma tablette ?
    Quand le calcul littéral n’a pas de sens, pourquoi ne pas proposer des activités fonctionnelles ? sans nécessairement donner la terminologie sous-jacente, évidemment.
  • Je n’ai rien compris aux fonctions et au tableur non plus.
    Bien évidemment ce n’est pas la faute de son enseignant, il avait sûrement fait un excellent cours, mais avec une scolarité aussi décousue et un tel chambardement dans la tête de cette ado, on peut comprendre. Là encore il a fallu réconcilier avec le calcul littéral par DGPad interposé, et ensuite seulement conceptualiser autour de la notion de fonction ; et en dernier retranscrire le tout dans un tableur.
  • Une petite sixième, en rechute de très grave maladie, mais qui avait soif d’apprendre encore tellement de choses. Les parents suggéraient : vu le contexte, vous ne pourriez pas tenter du « ludique » ?

    Elle avait son iPad, et voulait apprendre les angles. Il n’a pas fallu une heure pour qu’elle maitrise parfaitement les outils droites segments, intersection, cercle etc. N’ayant jamais touché à aucun autre logiciel de géométrie dynamique, elle est de suite entrée dans la logique de DGPad. Les outils contextuels ne l’ont aucunement troublée, probablement parce que c’est une logique courante dans de nombreux jeux vidéos.
    Et comme la question des angles y est spécialement accessible même et surtout pour les plus jeunes elle y a trouvé son bonheur. Et puis notre jeune élève avait été rapidement séduite par la tortue dynamique de DGPad où tout se construit en temps réel.

Bonheur des élèves et aussi bonheur de l’enseignant


Ce paragraphe concerne les deux derniers items de notre banque d’activités. Ce sont deux activités plutôt originales. La source ? Toujours « le Géomètre » (l’ancêtre sous DOS de Géoplan) et ses imagiciels. Elles m’avaient frappé à l’époque par leur originalité (c’est raison pour laquelle la mémoire est restée fidèle). La tentation était bien grande de tenter de refaire les figures. Et là, surprise, malgré une complexité apparente, tout s’est fait rapidement et facilement … grâce à Blockly ! Avec qui, sans avoir recours à des lignes de code en JavaScript l’enseignant même débutant dans le domaine peut programmer dans la figure beaucoup de choses bien subtiles. En particulier :

  • Des listes
  • Des chemins de tortue dynamiques
  • Des boites noires avec le super-cacher, dont des réponses attendues, des modèles
  • De l’aspect conditionnel
  • Etc

Ainsi pour cette partie de la figure,

il fallu deux DG-Blocks :

  • le premier pour construire le quadrillage gris intérieur au rectangle ABCD

  • le second pour construire les petits carreaux verts

En fait ce ne sont pas des carrés construits, mais tout simplement un chemin de tortue ; crayon levé à chaque pas elle dessine un point ... carré. Le point P1 d’où part la tortue a pour coordonnées (0.5 ; 0.5).

En observant ces deux scripts on pourra remarquer qu’un bon nombre de blocs sont de couleur marron : ce sont ceux qui permettent la communication avec la figure, soit pour utiliser des éléments existants soit pour en créer de nouveaux.

Parmi tous les blocs de cet item, même s’il n’a pas été utilisé ici, il y en a un bien utile donc à signaler : c’est celui ’fixer la position du point’, qui permet en cours de script de créer des points dans la figure.

Pour conclure ...

  • La banque d’activités ici proposée est évolutive : elle ne demande qu’à être enrichie. Alors toute personne qui voudrait y contribuer est invitée à nous proposer ses idées : nous serions heureux de travailler éventuellement avec elle à la mise en forme des fichiers.
  • En octobre 2014 Éric recevait le prix ... Serge Hocquenghem ! Pour les qualités pédagogiques et ergonomiques de CaRMetal et d’une première version de DGPad (sans Blockly).
    Depuis il n’a cessé de travailler toujours dans le même esprit, celui de veiller à une très grande facilité d’utilisation, autant pour les enseignants que pour les élèves. Nous espérons que les fichiers ici proposés vous permettront de mieux réaliser tout le travail qu’il a fourni sans oublier les indéniables qualités esthétiques de ce qu’il nous propose.
    Éric, bravo et merci pour Blockly dans DGPad, bravo et merci pour DocTools !


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