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Le module 3D de GeoGebra, entre technique et pédagogie
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Mis en ligne le 9 décembre 2016, par Mathieu Blossier

Ajouter un module de géométrie dans l’espace dans le logiciel GeoGebra [1], l’idée en est venue lors de la création d’illustrations pour des amis animateurs à l’IREM de Rouen [2]. A l’époque (en 2007), en fabriquant des outils (ou macro) adéquats, on pouvait faire de la « fausse 3D » et obtenir des dessins de très bonne qualité pour l’édition. Beaucoup d’enseignants se sont amusés à utiliser ce procédé pour illustrer leurs cours, citons pour exemple Daniel Mentrard [3] qui est sans doute l’un des plus prolixes en la matière.

Or cette manière de faire présentait plusieurs inconvénients :

  • difficulté de se réapproprier la méthode par d’autres enseignants, les figures ainsi produites devenant pratiquement impossibles à modifier lorsqu’on n’en est pas l’auteur ;
  • limitation des interactions lors de l’utilisation en classe, de nouveaux objets géométriques pouvant difficilement être ajoutés pour s’adapter aux réactions de la classe ;
  • limitation de l’utilisation aux enseignants, les élèves pouvant difficilement manipuler ces constructions.

Dans cet article je vais tenter d’exposer, au travers d’activités réalisées avec des élèves de lycée, la manière dont nous avons essayé de créer une interface simple d’utilisation pour les enseignants et les élèves. J’explorerai à cette occasion les contraintes liées à l’usage d’un matériel essentiellement 2D (notamment la souris qui se déplace sur un plan, et l’écran plat) pour une action sur un univers 3D. Je terminerai en donnant un aperçu d’un usage possible de la réalité virtuelle pour la géométrie dans l’espace.

Avertissement

L’article comporte de nombreuses images et quelques applets GeoGebra ; ceci peut rendre son chargement assez long (et peut nécessiter de recharger la page). Nous espérons que vous parviendrez néanmoins à lire cet article sans trop d’inconfort.

Créer des objets en 3D

Avant 2010, le matériel informatique auquel mes élèves de lycée avaient accès était exclusivement composé d’ordinateurs, parfois portables, mais sans écran tactile. C’est pourquoi à cette époque nous concentrions nos efforts sur une utilisation au clavier et à la souris [4]. L’enjeu était donc de permettre, avec une souris qui se déplace sur un plan, de créer facilement des objets géométriques de l’espace : points, segments, droites, polygones, polyèdres, etc. De nombreux logiciels permettaient déjà de réaliser cette tâche ou une tâche similaire : Cabri 3D [5] bien sûr, mais également des logiciels de conception comme par exemple SketchUp [6] ou SolidWorks [7] que mes élèves utilisaient dans les matières techniques. Ces logiciels ont pour principe de se baser sur le plan horizontal xOy : on y construit des objets que l’on peut élever au-dessus du sol, puis on peut construire de nouveaux objets à partir de ces objets. Ou bien encore, dans une approche de conception, on dessine un profil (par exemple le plan au sol d’une maison) que l’on va ensuite extruder pour en faire un prisme, puis percer, chanfreiner, etc.

Je vais illustrer ce principe dans le cadre d’une activité menée avec GeoGebra.

Une sphère posée sur le plan

Cette activité a été proposée dans le cadre des Méthodes et Pratiques Scientifiques (MPS) à plusieurs groupes d’environ 15 élèves de seconde. Ces élèves n’avaient jamais utilisé GeoGebra en 3D.

L’activité faisait suite à un travail en SVT autour du diabète. Lors d’une course à pied, une élève de lycée nommée Natacha a fait une crise d’hypoglycémie diabétique, pourtant elle pensait s’être suffisamment alimentée en sucre en buvant une boisson énergisante. Son ami Jérémy cherche à comprendre pourquoi cette boisson n’a pas fourni suffisamment de sucre à Natacha.

Jérémy a appris les déboires de son amie Natacha et cherche à comprendre d’où vient le problème. Il soupçonne la nouvelle boisson d’être trop peu dosée en sucre. "Peut-être est-ce dû au changement des réservoirs ?"

En effet, jusqu’à présent, les conteneurs de boissons, dans lesquels sont faits les mélanges, avaient la forme d’un cône inversé : 18 mètres de hauteur, un disque supérieur de rayon 9 mètres.

Depuis peu, afin d’économiser le matériau nécessaire à leur construction, on a décidé d’utiliser des conteneurs ayant la forme d’une sphère de 18 mètres de diamètre.

"Pourtant, les ingénieurs m’ont dit que les machines versent la même quantité de glucose qu’avant. Et dans les conteneurs, la hauteur de la boisson est la même qu’avant, et l’aire de la surface visible au-dessus de la boisson est la même qu’avant..."

D’après ces informations, le dosage de sucre est-il toujours le même ?

Après un court débat de classe, les élèves travaillent en binôme avec pour objectif de créer la sphère, puis le cône, en respectant les dimensions données et en ayant pour contrainte que les objets doivent poser sur le plan horizontal, comme on imaginerait les réservoirs posant sur le sol de l’usine. Les élèves travaillent en autonomie sur le logiciel, je leur montre seulement comment ouvrir la fenêtre 3D et où sont les outils. Ils choisissent assez rapidement d’utiliser l’outil sphère « centre, rayon » [8] et obtiennent une sphère de rayon 9 avec un centre sur le plan xOy.

Il s’agit maintenant pour eux de déplacer la sphère pour qu’elle soit « posée » sur le plan. Pour cela il faut déplacer le centre à l’aide de la souris. Par défaut, le déplacement des points est horizontal, comme l’indiquent les double-flèches parallèles aux axes (Ox) et (Oy).

Pour déplacer verticalement, il faut d’abord cliquer une fois sur le point : une double-flèche verticale est alors affichée, et le déplacement de la souris est maintenant interprété parallèlement à l’axe (Oz).

Les élèves parviennent (avec pour certains une aide ponctuelle) à placer la sphère « approximativement » sur le plan. Je leur demande de contrôler le résultat en tournant la figure, ce qui semble être un mouvement assez naturel pour eux. Ou bien il y a un petit espace vide entre la sphère et le plan, ou bien la sphère est légèrement enfoncée sous le plan.

Le zoom est également assez facile à réaliser, en revanche il est plus difficile de recadrer sur la sphère : pour cela un clic droit sur le graphique puis « recadrer » sera d’une grande aide.

Il est impossible de cette manière d’obtenir la position exacte : il faut que le point A ait pour cote z=9. GeoGebra va aimanter le point sur les graduations des axes, mais à moins d’aller dans les propriétés de la fenêtre 3D (voir plus loin pour un exemple), la cote 9 n’apparaîtra pas sur l’axe (Oz). C’est à ce moment que la fenêtre algèbre entre en scène : elle affiche les coordonnées du point A. Les élèves connaissent les coordonnées du plan, et quelques manipulations supplémentaires du point leurs permettent de se familiariser avec les coordonnées (x,y,z) : déplacer le point vers le haut ou vers le bas modifie la troisième coordonnée ; on parle d’altitude et je précise le vocabulaire. « Il faudrait avoir 9 exactement » : on peut alors leur suggérer de modifier ces coordonnées en double-cliquant sur le point A, dans la fenêtre algèbre.

Il ne reste plus qu’à réinvestir ce qu’ils ont observé sur les coordonnées pour construire le cône. Ils utilisent l’outil cône « deux points et rayon », puis déplacent approximativement les points, et terminent en entrant des valeurs numériques pour corriger les coordonnées : les deux points ont même abscisse et ordonnée, leurs cotes sont z=18 et z=0.

(Sur la dernière image en bas à droite, j’ai placé les points à des abscisses et ordonnées entières comme beaucoup d’élèves l’ont fait spontanément.)

Reste à obtenir une section des deux solides. On tombe d’accord sur le fait qu’il faudrait couper la sphère et le cône à la même hauteur, par un plan horizontal, et trouver la hauteur qui donne deux disques de même surface. Lors de mes expérimentations en classe, on pouvait utiliser l’outil « plan parallèle à un plan passant par un point ». Or, l’introduction de cet outil s’est révélée prématurée auprès des élèves de seconde, et la création préalable d’un point libre peu naturelle : ce point n’est pas lié à la situation elle-même, et seul son déplacement vertical a un effet réel. Bref, me voilà obligé de passer dans chaque groupe pour créer moi-même ce plan parallèle.

Cette expérience m’a poussé à étendre l’outil « translation » pour les plans : on peut maintenant créer ce plan parallèle en « glissant » le plan xOy. Une fois créé, ce plan reste déplaçable ; dans la fenêtre algèbre, on donne son équation sous la forme z=..., ce qui donne du sens au déplacement du plan.

Les élèves créent ensuite les disques avec l’outil « intersection de deux surfaces », et contrôlent leurs dimensions avec l’outil « aire ». Ils affinent la hauteur du plan en zoomant, ou en utilisant les flèches « page haut » et « page bas » (avec la touche « shift » enfoncée pour plus de précision). Certains élèves ont l’idée de superposer la sphère et le cône : le disque apparaît à l’intersection des deux solides, sans toutefois pouvoir être construit par GeoGebra (pour l’instant).

Section d’une pyramide par un plan horizontal

Appliquons maintenant ces manipulations pour l’illustration d’une propriété classique au collège : la section d’une pyramide à base carrée par un plan horizontal.

Nous pouvons créer le carré de base dans la fenêtre graphique 2D : celle-ci coïncide avec le plan xOy de la fenêtre 3D ; on utilise l’outil « polygône régulier ».

Nous allons maintenant créer la pyramide dans la fenêtre 3D en utilisant l’outil « extrusion pyramide / cône » : on « glisse » le carré vers le haut ; on peut contrôler sa hauteur en lisant les coordonnées du sommet.

On peut également modifier cette hauteur en double-cliquant sur la pyramide pour la modifier (fenêtre algèbre).

Nous créons maintenant le plan horizontal en « glissant » le plan xOy avec l’outil « translation ». Le carré intersection s’obtient avec l’outil « intersection de deux surfaces ».

Quelles manipulations sont alors possibles ? Monter et descendre le plan, tourner la vue pour estimer la hauteur du plan (vue de côté) ou pour visualiser le carré sans déformation (vue de haut). Pour ce dernier cas, on pourra également créer une vue 2D du plan de coupe en cliquant droit sur le plan (ou le carré intersection).

Dans l’applet ci-dessous, j’ai favorisé les valeurs entières pour la hauteur du plan de coupe :

  • j’ai fixé la distance entre graduations sur l’axe (Oz) à 1 (propriétés du graphique 3D)
  • j’ai réglé la « capture » à « Approché de la grille » : voir icône

(Sur le site de GeoGebra à l’adresse https://ggbm.at/rTVrbynh)

Pour une visualisation des proportions, il faudra utiliser la fenêtre algèbre ou créer un texte pour rendre les valeurs affichées plus explicites comme dans l’applet ci-dessus.

Voir en 3D

Dans ces expérimentations, il apparaît que les élèves ont besoin de faire tourner la figure pour en avoir une bonne perception, comme cela a déjà été souligné (voir par exemple [9]). C’est un des indices utilisés pour la perception de la profondeur, jusque dans la vie courante : on peut penser par exemple à la sculpture autour de laquelle on va tourner pour mieux en apprécier les dimensions. Il existe bien d’autres indices que nous décrivons succinctement ci-dessous ; dans l’exemple de la section de pyramide, l’enseignant illustrant la situation en vidéoprojection pourra s’appuyer sur un maximum de ces indices pour que ses élèves perçoivent au mieux la situation géométrique. Il pourra aussi attirer l’attention sur les limites des représentations par rapport au réel.

Par ailleurs, on sait bien que l’élève appréhendera d’autant mieux la figure qu’il la manipule lui-même. Lorsqu’on découvre un nouvel objet, on va le tourner dans ses mains et à son propre rythme, l’approcher de ses yeux, etc. Et, comme je l’ai évoqué à l’instant, on va toucher l’objet : l’enseignement ne peut évidemment pas se passer des maquettes et des références aux objets courants et tangibles. Mais pourra-t-on un jour prolonger un logiciel comme GeoGebra jusqu’à pouvoir y plonger les doigts ?

Avec ou sans lunettes ?

Nous reprenons ici une étude faite dans un article qui explorait l’utilisation de lunettes anaglyphes [10]. Ces lunettes utilisent des filtres de couleurs (bleu et rouge par exemple) et permettent à chaque œil de percevoir une image différente du même objet.

Pour un objet réel, les yeux perçoivent une image légèrement différente du fait de leur décalage : la « stéréoscopie » permet au cerveau de reconstruire les informations de profondeur. Les lunettes permettent de recréer cette stéréoscopie de manière artificielle ; c’est ce principe qui est utilisé au cinéma pour les films 3D (les lunettes polarisées ayant succédé aux lunettes anaglyphes et aux lunettes actives à cristaux liquides).

(Sur le site de GeoGebra à l’adresse https://ggbm.at/ajnXEwn6)

Voici notre pyramide que l’ont perçoit en relief. Cependant, la stéréoscopie est étayée par bien d’autres indices :

  • les pointillés pour les lignes cachées
  • la taille relative des objets (par exemple les points)
  • l’occlusion partielle (un segment est caché en partie par un autre plus proche)

À cela s’ajoute l’effet de parallaxe lorsque l’on fait tourner la figure. Cet effet se révèle primordial : lors de présentations, l’impression de relief devient souvent tout à fait convaincante lorsqu’aux lunettes s’ajoute une rotation continue [11] de la situation géométrique.

C’est que, comme le montre Lipton [12], on utilise toujours une combinaison d’outils pour se faire une idée de ce qui nous entoure. Qui plus est, certaines personnes n’ont pas de vision stéréoscopique (entre 2 % et 5 % d’après Lipton) et d’autres en ont une perception différente qui les rendent insensibles à ces lunettes (entre 10 % et 15 %). En outre, on peut également mettre en avant que selon la configuration de la classe, certains élèves auront une vision très déformée de la perspective offerte par ce type de projection. En effet, comme pour les tableaux apparus à la Renaissance, la figure est construite pour un point de vue centré et de face. Ce défaut est atténué dans les salles de cinéma où l’écran est à distance suffisante de tous les spectateurs ; nos élèves n’ont malheureusement pas toujours cette chance.

C’est une des raisons pour lesquelles la perspective parallèle est privilégiée par défaut dans GeoGebra. La raison première est liée à l’activité mathématique elle-même : il est plus pratique de pouvoir évaluer le parallélisme, comparer des longueurs, etc. ; le schéma tracé selon ces conventions offre davantage d’informations. Ajoutons que GeoGebra propose une perspective oblique, qui permet de se placer dans la configuration de la perspective cavalière souvent utilisée en papier-crayon.

De gauche à droite et de haut en bas : projections parallèle, cavalière, perspective et anaglyphe.

Faire le lien avec le papier-crayon, c’est ce point de vue que j’ai pu adopter encore récemment avec une classe de terminale S : afin de préparer les élèves à l’examen, il me semblait pertinent de travailler à la fois avec une figure fixe imprimée comme ils pourraient en trouver le jour du bac, et avec la même figure dynamique sur GeoGebra. Pour exemple, lors de la réactivation des règles d’incidence, je leur ai proposé une série de figures sur un polycopié où ils devaient décider si la droite proposée est parallèle, sécante ou incluse dans le plan proposé (on reconnaîtra des situations bien connues de la littérature pédagogique [13]). Ils étaient invités à utiliser GeoGebra pour visualiser la figure et éventuellement créer le point d’intersection, puis à reporter leur réponse sur le polycopié. Bien sûr, l’idée est de confronter les élèves à des cas ambigus, comme l’exemple ci-dessous ; la conclusion de la classe en est : « il faut faire tourner la figure pour bien se rendre compte ».

(Consigne : ABCDEFGH et BIJCFKLG sont deux cubes. La droite (FD) et le plan contenant la face IJLK sont-ils sécants ? Si oui, construire le point d’intersection.
Voir https://ggbm.at/hjkjamwu pour l’ensemble de l’activité, et https://ggbm.at/Py2naHPv pour une activité complémentaire.)

La dialectique entre reproduction la plus fidèle à la réalité et schéma faisant appel aux représentations mentales est bien connue de la pédagogie. Tentons cependant d’aller un peu plus loin dans la virtualité que nous promet la technologie...

Avec la tête et les mains ?

Pour donner à la stéréoscopie un aspect plus immersif, l’industrie informatique s’attelle à proposer de nouveaux périphériques. Qu’il s’agisse de casques ou d’écrans, l’idée centrale est de repérer le point de vue de l’utilisateur par rapport à l’objet 3D. De cette manière, on peut offrir à tout moment la perspective qui convient à l’observateur, et la figure semble cette fois ne plus bouger dans l’espace environnant : c’est l’utilisateur qui peut se déplacer autour. Sur l’image ci-dessous, les deux rayons verts que l’on peut voir sur l’écran n’en forment qu’un pour l’utilisatrice, et celle-ci les perçoit dans le prolongement du stylet qu’elle tient à la main ; ceci est réalisé grâce aux caméras situées autour de l’écran, qui repèrent dans l’espace les lunettes ad hoc. Si la personne qui manipule se penche en avant, au-dessus de l’écran, elle verra le cône de dessus.

L’autre direction suivie par l’industrie est de fournir des périphériques de manipulation capables de 3D. Nous avons vu que l’utilisation d’une souris nécessitait un peu de gymnastique pour déplacer un point dans l’espace ; qu’en serait-il si l’on demandait à un élève : quelle est l’intersection d’un cube par un plan quelconque ? La création même du plan quelconque posera problème : passant par trois points ? où positionner ces points ? On ne peut plus ici passer du plan xOy à un autre plan par translation verticale ; pour obtenir un plan quelconque, penché, tourné, déplacé, il nous faut « 6 degrés de liberté » : translater dans les trois dimensions (contre deux pour la souris) et tourner autour de trois axes. Ce genre de périphérique est utilisé depuis de nombreuses années en prototypage (pour l’industrie automobile, l’aéronautique, …) et fait une timide incursion dans le monde de l’éducation : voir ci-dessus le stylet, ou bien encore l’utilisation des mains sans autre accessoire dans cette vidéo [14] (désolé, c’est en anglais !). Cette technologie, une fois mature, pourrait ouvrir sur des possibilités infinies, y compris de réalité augmentée [15].

Conclusion

GeoGebra 3D reste donc un outil de visualisation et de manipulation avec ses potentialités et ses limites : certaines de ces limites sont liées au dispositif informatique (voir par exemple Mithalal [16]) et pourront sans doute évoluer sinon s’améliorer avec l’évolution de la technologie (voir Bertolo [17] pour une exploration des potentialités de la tablette tactile). D’autres sont liées aux choix de développement du logiciel, que nous espérons rendre les plus pertinents possibles pour aider les élèves à s’approprier l’univers de la géométrie dans l’espace.

Si la responsabilité du développement de ce module 3D m’a été confiée dans une majeure partie, ce travail n’aurait pu aboutir sans l’aide et le soutien précieux de nombreuses personnes que je tiens à remercier à nouveau ici.

Et un clin d’œil en particulier à mon ami Vincent Everaert, à qui l’on doit les patrons de solides !


notes

[4GeoGebra est aujourd’hui également développé spécialement pour les tablettes et les smartphones.

[8Quelques élèves choisissent l’outil sphère centre, point.

[9Bakó, M. "Different projecting methods in teaching spatial geometry." In Proceedings of the Third Conference of the European society for Research in Mathematics Education. 2003.

[10Blossier, M. et Richard, P.R. (2012). "Le travail mathématique en interaction avec un logiciel de géométrie dynamique tridimensionnelle." Actes du 3e symposium Espaces de travail mathématique, groupe de travail Environnements technologiques et travail mathématique (pp. 119-132), Montréal.

[11Le caractère continu de la rotation permet à l’observateur d’anticiper celle-ci ; c’est pourquoi elle est souvent préférée à une rotation contrôlée par le présentateur.

[12Lipton, L. (1982). Foundations of the stereoscopic cinema, a study in depth. New York : Van Nostrand Reinhold.

[13Littérature pédagogique issue ou relayée notamment par l’APMEP.

[15Voir par exemple le projet Mirage http://mirage.ticedu.fr/

[16Mithalal, J. (2010). Déconstruction instrumentale et déconstruction dimensionnelle dans le contexte de la géométrie dynamique tridimensionnelle. Thèse de Doctorat, Université Joseph Fourier Grenoble, https://halshs.archives-ouvertes.fr/tel-00590941/.

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