Programmation en Python pour les mathématiques

Article mis en ligne le 6 mars 2012

dernière modification le 1er novembre 2017

par Guillaume Connan

Pour mémoire, voici d’autres articles de Guillaume Connan dans MathémaTICE.

Nous [1] venons de publier un ouvrage consacré à l’utilisation du langage Python en cours de mathématiques, du collège jusqu’aux premières années universitaires.

Ce langage, qui est un des plus utilisés actuellement, permet de faire des mathématiques rapidement et simplement à tous les niveaux tout en étant soutenu et sans cesse amélioré par une immense communauté à travers le monde : libre et puissant, Python permet en effet une utilisation en toute sérénité. Il incite à programmer de manière concise et claire.

Le langage universel n’existe pas et l’utilisation de Python pourra être mise en parallèle avec d’autres langages, notamment fonctionnels, qui éclairent d’autres pans des mathématiques que nous aimons enseigner.

Ces dernières pourront être travaillées avec profit grâce à Python qui reste, tout en étant à la fois simple et clair, robuste et professionnel. Ce langage est largement répandu et illustre naturellement de nombreux concepts de notre matière.

Pour poursuivre la réflexion sur les rapports entre le langage mathématique et les langages de programmation, on pourra lire cet article de Gilles Dowek

L’introduction de l’algorithmique dans l’enseignement secondaire en est à ses balbutiements mais de nombreux professeurs de mathématiques, notamment ceux travaillant dans ou avec les IREM, réfléchissent depuis longtemps aux rapports et enrichissements de son enseignement pour les mathématiques.

Au moins deux pistes s’offrent à nous : illustrer de manière efficace et justifiée une notion mathématique à l’aide de l’outil informatique ou inversement, faire des mathématiques en explorant une notion informatique.

Nous avons cherché à explorer ces deux options tout en proposant une présentation des fonctionnalités de Python, les plus simples, comme certaines un peu plus techniques en fin d’ouvrage.

Voici quelques exemples permettant de s’en faire une idée.

Au sujet du PGCD de deux nombres entiers naturels

Nous pouvons établir, dès la classe de troisième de collège, l’égalité :

$$\mathrm{PGCD}(295400101920462517154, 10720242531918724) = 74$$

En fait, la calculatrice comme le tableur sont impuissants devant un tel calcul, car les entiers en jeu sont trop grands pour une représentation binaire ordinaire sur quatre octets : le recours aux logiciels spécialisés s’impose, sauf à calculer « à la main », ce qui restera fastidieux dans l’exemple choisi.

Le langage de programmation Python n’impose pas de limite de taille pour la représentation des entiers (hormis les limites fixées par son environnement d’exécution) et vient à notre secours, de plusieurs façons.

L’algorithme d’Euclide repose sur la propriété suivante du PGCD :

$$\mathrm{PGCD}(a, b) = \mathrm{PGCD}(b, r)$$

où $r$ désigne le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$, $b$ étant non nul.

C’est d’ailleurs cette propriété que nos élèves mettent en œuvre avec la calculatrice ou un logiciel tableur. avec toutefois un inconvénient majeur pour l’apprentissage : en effet, une fois la feuille de calcul correctement programmée (dans le langage spécialisé du tableur) et exécutée, il ne reste au mieux sous les yeux de l’élève qu’une table de nombres, dont on a perdu la trace de l’obtention, sinon la signification. En particulier, les égalités des divisions euclidiennes successives sont visuellement absentes, ce qui est pour le moins dommage dans un contexte pédagogique.

Passons alors à la programmation en langage Python de cet algorithme :

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
import sys
sys.setrecursionlimit(100000)
def reste(a, b):
if a < b:
return a
else:
return reste(a-b, b)
def pgcd(a, b):
if b == 0:
return a
else:
return pgcd(b, reste(a, b))
print(pgcd(295400101920462517154, 10720242531918724))

la méthode...	son effet...
`list.append(x)`	ajoute l’élément `x` en fin de liste
`list.extend(L)`	ajoute en fin de liste les éléments de L
`list.insert(i, x)`	insère un élément `x` en position `i`
`list.remove(x)`	supprime la première occurrence de `x`
`list.pop([i])`	supprime l’élément d’indice `i` et le renvoie
`list.index(x)`	renvoie l’indice de la première occurrence de `x`
`list.count(x)`	renvoie le nombre d’occurrences de `x`
`list.sort()`	modifie la liste en la triant
`list.reverse()`	modifie la liste en inversant l’ordre des éléments

Au sujet du PGCD de deux nombres entiers naturels

Listes Python

1. Prise en main rapide des listes

2. Quelques méthodes.

3. Définir des listes par compréhension.

Annexe

Table des matières

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