Pour enseigner la propriété du triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre, qui a pour conclusion que le triangle est rectangle, une organisation du travail des élèves avec la géométrie dynamique, fréquemment rencontrée, est de leur proposer d’explorer la figure suivante (Figure 1), de leur demander d’observer et d’attendre qu’ils constatent que le triangle est/reste rectangle.

Figure 1 : A et B sont deux points libres et le cercle de diamètre [AB] est construit. M est un point sur le cercle. Il forme avec A et B un triangle dont l’angle de sommet M est mesuré. Lorsque M parcourt le cercle, l’angle reste droit.
pour manipuler cette figure...

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Cette figure est une construction robuste, pour laquelle la propriété est vérifiée pour toute position des points et des objets. Elle montre « en acte » les différents éléments de la propriété : A et B sont diamétralement opposés, M appartient au cercle, l’angle AMB est droit. Elle extériorise le fait que M est variable et montre l’ensemble dans lequel M varie, c’est-à-dire le cercle. Enfin, elle permet de contraster deux phénomènes : la variabilité de M sur le cercle et l’invariance de la mesure de l’angle AMB. Le travail demandé aux élèves consiste à observer et formuler la propriété. Ils doivent ainsi constater que l’angle reste droit ou que le triangle reste rectangle en M.

Une autre possibilité pour enseigner ce théorème est de proposer aux élèves la figure suivante :

Figure 2 : A et B deux points et un cercle de diamètre A. Un point M à l’extérieur du disque et le triangle ABM. On considère l’angle AMB.

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La demande de l’enseignant aux élèves est alors la suivante : « trouvez une position de M à l’extérieur du disque pour laquelle l’angle est obtus ».

La figure fournie aux élèves est une construction molle en référence au théorème du triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre. En effet, dans cette figure, toutes les hypothèses du théorème ne sont pas vérifiées : la contrainte « A et B points du cercle diamétralement opposés » est robuste mais celle « M appartient au cercle » ne l’est pas. Toutefois, elle peut être réalisée momentanément, par volonté de l’utilisateur, lorsqu’il place M perceptivement sur le cercle.

Dans cette situation où M est variable dans le plan, les élèves se rendent rapidement compte que l’angle est aigu lorsque M est à l’extérieur du cercle. Par ailleurs, ils explorent spontanément les autres positions de M, notamment M à l’intérieur du cercle pour trouver l’angle obtus. Lors de cette exploration, les allers-retours entre l’extérieur et l’intérieur font apparaître le cercle comme frontière entre la zone du plan où l’angle est aigu et celle où il est obtus. Par continuité, les élèves concluent que l’angle est droit quand M est sur le cercle (Laborde 2005).

Avec cette construction molle :
– le déplacement des points par les élèves est motivé par la recherche d’une position particulière de la figure (pas obligatoirement impossible à obtenir) : les élèves manipulent la figure et déplacent les points avec un but précis, qui leur est accessible, et ils sauront reconnaître quand ils l’ont atteint ou pas. De ce point de vue, ils sont indépendants de l’enseignant ;
– l’accent est mis sur la relation entre la condition « M appartient au cercle » et la conséquence « l’angle est droit » : c’est bien cette relation de nécessité entre hypothèses et conclusion qui est visée par l’apprentissage, elle se retrouve au cœur de la manipulation de la figure et des observations et l’objectif du travail des élèves ne se réduit pas à la formulation de la conclusion ;
– la propriété gagne en signification : une explication, une raison d’être se dessine « juste sur le cercle, l’angle vaut 90° » en contraste avec toutes les autres positions où ce n’est pas vérifié. La propriété elle-même apparaît comme un savoir particulier, digne d’intérêt, en rupture avec tous les cas où « ça ne marche pas ».

En conclusion, les constructions molles ont un fonctionnement différent et complémentaire des constructions robustes :

Cette complémentarité des constructions molles et des constructions robustes est un outil à disposition des enseignants pour organiser le travail des élèves. Elle permet de mettre l’accent successivement sur des aspects différents des propriétés et théorèmes mathématiques.

Dans les pratiques des enseignants, l’usage de constructions robustes domine, vraisemblablement en premier lieu car elles apportent une plus-value à l’enseignement de la géométrie.

Dans une étude menée au Royaume-Uni, Ruthven et ses collègues (Ruthven et al. 2008) ont mis en évidence, au moyen d’interview et d’observations de pratiques considérées comme réussies, le point de vue majoritaire chez les enseignants. Pour eux, elles procurent un gain de temps et de précision par rapport à un traitement en papier-crayon ainsi qu’une meilleure implication des élèves qui découvrent les propriétés par eux-mêmes. Ils les utilisent pour introduire ou illustrer un théorème, à partir de figures toutes faites ou bien de figures réalisées par les élèves en suivant des instructions détaillées. Le déplacement intervient une fois la construction achevée pour que les élèves observent, constatent et finalement découvrent, la conclusion du théorème. Une partie des difficultés habituellement rencontrées par les élèves est résolue (comme par exemple celle de la mesure de l’angle droit dans l’exemple développé en Figure 1). La gestion de l’activité par l’enseignant s’en trouve facilitée. La construction robuste leur apparaît comme un atout pour l’enseignement, mais finalement, il s’agit d’une pratique analogue au papier-crayon. Dans ces usages majoritaires, la géométrie dynamique augmente le fonctionnement du papier-crayon en facilitant l’accès à un grand nombre d’états de la figure, avec une plus grande précision (Laborde 2001, Soury-Lavergne 2006b).

Cependant, dès l’apparition de la géométrie dynamique, les recherches ont montré l’intérêt des constructions robustes pour l’enseignement des mathématiques et ont identifié des apports différents de ceux perçus par les enseignants (Laborde et Capponi 1994).

Un de ces apports est de permettre de différencier les propriétés vraies de celles vérifiées par moment, parfois vraies parfois fausses. Le déplacement est un moyen de faire apparaître les propriétés invariantes et de les différencier de celles qui disparaissent, donnant ainsi aux élèves un moyen de distinguer la nécessité de la contingence. . Il s’agit pour les élèves de faire la différence entre d’une part les caractéristiques de la figure qui sont nécessaires car se déduisant des propriétés utilisées explicitement au cours de la construction et d’autre part les propriétés contingentes qui apparaissent également à l’écran mais qui pourraient tout aussi bien ne pas apparaître dans une autre position de la figure ou avec d’autres choix de représentation (orientation de la figure, rectangle qui paraît momentanément être un carré etc…). Cette distinction, figure-dessin, est au cœur de l’activité mathématique et fonde les tâches de construction d’une figure robuste. Ces tâches sont proposées soit en fournissant initialement la figure « modèle » déjà construite dans l’environnement de géométrie dynamique, c’est le cas des boîtes noires (Dahan 2005) (les élèves doivent reproduire la figure de façon à ce qu’elle se comporte de la même manière que le modèle au cours du déplacement), ou bien à travers un énoncé comme par exemple : « étant donné une droite g et un point A, construire un carré ABCD tel que B et D appartiennent à g » (Hölz 1996, p176). L’invalidation par déplacement des constructions au jugé permet de faire passer les élèves d’un travail perceptif sur le dessin à un travail géométrique sur la figure. Ce type de tâche les incite à expliciter pour l’environnement leurs actions en termes géométriques, les propriétés géométriques fonctionnant alors comme des outils pour construire et pas seulement comme un énoncé à insérer correctement dans une démonstration.

La différence entre ces deux usages des constructions robustes est essentiellement du côté de l’incertitude et du contrôle des élèves. Dans le cas d’une figure utilisée pour illustrer un théorème, lorsque les élèves déplacent les points de la figure, ils ne savent pas ce qu’ils doivent observer, l’incertitude porte sur ce qu’ils cherchent. La difficulté est alors qu’ils n’ont pas de moyen de savoir pas eux-mêmes s’ils ont bien vu ou pas. Ils sont dépendants de l’enseignant pour savoir si ce qu’ils ont observé est bien ce qui était remarquable et attendu. Le contrôle est du côté de l’enseignant. Dans le second cas, celui de la construction d’une figure robuste, les élèves savent ce qu’ils doivent obtenir : une figure dont les caractéristiques se conservent par déplacement. Le déplacement leur permet de constater perceptivement, au niveau spatio-graphique, que la construction est correcte ou pas. Ils ont les moyens de savoir s’ils ont réussi, indépendamment de l’enseignant, l’environnement constituant un milieu pour la validation (Laborde et Capponi 1994). L’incertitude porte sur les moyens à mettre en œuvre pour construire une telle figure. Le contrôle est alors du côté des élèves.

L’intérêt des constructions robustes pour l’enseignement est donc bien établi et explique certainement l’usage privilégié qui en est fait par les enseignants, en particulier pour la découverte et l’illustration de théorème (Tapan 2006). Cependant, les constructions molles ont aussi un grand intérêt pour les élèves et devraient également trouver leur place dans les pratiques des enseignants. De fait, elles sont déjà présentes dans l’activité mathématique des élèves.

Bien que les enseignants proposent principalement à leur élèves d’explorer ou de construire une figure robuste, des procédures de résolution de type construction molle sont apparues dès le début de l’usage de la géométrie dynamique. Enseignants comme chercheurs ne leur ont pas immédiatement accordé le statut de construction, parlant plutôt de procédure perceptive (par exemple Tahri 1993) ou de stratégie dynamique (Hölz 1996).

Pourtant, dans le travail mathématique lui-même, résoudre un problème de construction en relâchant une contrainte est une méthode efficace et reconnue. Par exemple, Acosta (2008) décrit la technique des lieux géométriques (proposée dans un livre d’exercices de géométrie de 1920) comme consistant à trouver la bonne construction en faisant une ou plusieurs constructions intermédiaires qui ne respectent pas l’une des données du problème. Avec la géométrie dynamique, ces constructions intermédiaires sont des constructions molles par rapport à la construction cherchée et leur exploration dynamique permet de déterminer un lieu qui fournit les caractéristiques géométriques de la construction robuste et donc de la solution.

L’étude menée par Jones (1998) auprès d’étudiants de mathématiques cherchait à montrer les relations complexes et fortes qui existent entre les raisonnements intuitifs et les raisonnements formels dans l’activité de résolution de problème. A propos de problème de construction géométrique, il illustre les raisonnements intuitifs des étudiants par ce qu’on appelle maintenant des constructions molles et montre en quoi ces raisonnements intuitifs sont nécessaires dans la résolution de problèmes mathématiques.

Un des problèmes soumis à ses étudiants était celui, très classique, de la construction d’un cercle tangent à deux droites données, un des points de tangence étant également donné (cf. Figure 3). Les étudiants observés ont réalisé plusieurs constructions, avec différents ajustements perceptifs. Ils ont pris en compte les propriétés de ces constructions intermédiaires pour accéder à une construction robuste.

Figure 3 : le problème de construction de Jones (1998)	Figure 4 : première construction molle
Figure 5 : deuxième construction molle chez les étudiants observés par Jones	Figure 6 : Construction molle du cercle tangent à deux droites données, obtenue par ajustement du point de la deuxième sécante.

Les figures Cabri correspondantes :

La première construction des étudiants est celle d’un cercle passant par P et ajusté de façon à être tangent aux deux droites. Puis ils recommencent et créent d’abord une perpendiculaire à la droite « du haut » passant par P, centrent le nouveau cercle sur cette droite perpendiculaire (cf. Figure 4) et l’ajustent de façon à ce qu’il soit tangent à la seconde droite. Considérant la symétrie du problème, les étudiants décident alors de construire une autre droite, perpendiculaire à la sécante « du bas » passant par un point mobile sur cette sécante, le centre du cercle devant être à l’intersection des deux perpendiculaires (cf. Figure 5). Ils ajustent alors la seconde perpendiculaire de façon à ce que le centre soit équidistant des deux droites de départ (cf. Figure 6). Cela les amène au fait que le centre du cercle doit appartenir à la bissectrice. Les constructions intermédiaires ont conduits ces étudiants à la solution et de plus leur ont fourni des arguments pour la preuve.

Plus généralement, si les constructions molles jalonnent la recherche de solution, impliquent de nombreuses propriétés géométriques et étayent le processus d’obtention de la solution, elles restent finalement peu reconnues et relèvent du travail privé de l’élève, non accessible à l’enseignant.

C’est Healy (2000) qui introduit le terme « construction molle » à propos du travail d’élèves de 14-15 ans à la recherche de différents moyens de construire des triangles isométriques à un triangle donné. Elle montre que les élèves préfèrent les constructions plus empiriques, dans lesquelles ils contrôlent les propriétés obtenues par l’action et le déplacement. Elle analyse alors comment la dépendance entre propriétés est ressentie de façon différente par les élèves, suivant qu’ils manipulent une construction robuste ou une construction molle :

« Dans les constructions robustes, la conclusion est démontrée par le fait qu’une relation reste invariante par déplacement. Pendant le test du déplacement, l’attention passe du général au spécifique au moment où une famille de Cabri-dessins ayant la même spécification géométrique est produite. Avec les constructions molles, ce n’est pas le cas. Le déplacement est constitutif de la construction et pas de la vérification et les étudiants observent comment la conclusion devient évidente au moment où une autre propriété est manuellement (et visuellement) satisfaite. Ainsi le général émerge du spécifique au cours de la recherche d’un ensemble de lieux pour lequel les hypothèses sont vérifiées. »  [1](Healy, 2000, p. 111).

Au moment où l’enseignement met l’accent sur une pratique plus expérimentale des mathématiques en classe, valorisant chez les élèves la démarche de recherche de la solution et la mise en œuvre d’une démarche d’investigation, les constructions molles en géométrie dynamique ont un rôle à jouer. Mais cela nécessite de proposer aux enseignants des situations didactiques qui en exploitent l’idée.