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De l’intérêt des constructions molles en géométrie dynamique
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De nombreux travaux ont montré que déplacer les points d’une figure, activité fondamentale dans l’usage de la géométrie dynamique et dont la maîtrise permet de bénéficier au mieux de ses potentialités, n’était évident ni pour les élèves (Soury-Lavergne 2006a, Restrepo 2008) ni pour les enseignants (Tapan 2006, Acosta 2008). Voici un exemple observé en classe par Restrepo pour se convaincre de cette difficulté initiale. Des élèves de sixième, après plusieurs mois de travail régulier avec la géométrie dynamique, peuvent passer plus de vingt minutes à tenter de façon infructueuse de placer un point sur un segment, à exactement 1,11 cm d’un autre point. Ils procèdent de la façon suivante. Avec l’outil point, ils placent un point perceptivement sur le segment, puis mesurent la distance entre les deux points. Si la mesure n’est pas 1,11 cm, ils suppriment le point et recommencent, sans chercher à déplacer le point construit ! Cette difficulté à déplacer se constate de façon générale lorsque les élèves acceptent de déplacer les points mais en restreignant leurs déplacements au voisinage des positions initiales (Tahri 1993) ou encore ne déplacent qu’un seul point de la figure, passant alors à côté des rétroactions significatives. Pour ceux, quand même nombreux, qui secouent véritablement la figure, apparaît une nouvelle difficulté, celle de l’analyse géométrique des rétroactions. Ils en restent majoritairement à une analyse spatio-graphique des déformations : ça rapetisse, ça s’aplatit etc… sans évoluer vers la géométrie. Et finalement, les élèves qui reconnaissent que la propriété géométrique voulue est perdue, cherchent à fixer « mécaniquement » les points plutôt qu’à utiliser la bonne relation géométrique (Soury-Lavergne 2006a). Ainsi, si le déplacement est une fonctionnalité centrale de la géométrie dynamique, il n’est pas immédiatement mobilisable par tous ses utilisateurs pour résoudre des problèmes de géométrie. Il ne devient un « instrument » utile pour faire des mathématiques qu’au cours d’un processus d’apprentissage que doivent accompagner les enseignants.

Pour les enseignants, cette question de l’instrumentation du déplacement et, plus généralement, celle de l’instrumentation de la géométrie dynamique, se pose de façon encore plus complexe. Ils doivent non seulement connaître la technologie et savoir l’utiliser pour construire des figures et résoudre des problèmes, mais ils doivent également savoir comment organiser les conditions de l’apprentissage avec cette technologie. Par exemple, un savoir didactique sur la géométrie dynamique, c’est à dire relatif à l’organisation des apprentissages, est le fait que le déplacement peut avoir plusieurs fonctions dans une situation d’enseignement : (i) le déplacement permet de constater et illustrer une propriété mathématique conservée lors du déplacement des points de la figure, (ii) le déplacement permet de conjecturer une propriété lorsqu’il permet d’ajuster de différentes façons la figure pour obtenir la réalisation simultanée des hypothèses et de la conclusion de la propriété ou encore (iii) le déplacement permet de valider ou d’invalider une construction. La première fonction sera réalisée à partir de constructions robustes, c’est-à-dire des figures qui conservent la propriété visée au cours de déplacement de chacun de ses points. La seconde fonction sera plutôt réalisée à partir de constructions molles. Quant à la troisième fonction du déplacement, elle est à l’œuvre dans les deux. La suite de cet article devrait éclaircir ce propos.

Construction robuste…

Pour enseigner la propriété du triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre, qui a pour conclusion que le triangle est rectangle, une organisation du travail des élèves avec la géométrie dynamique, fréquemment rencontrée, est de leur proposer d’explorer la figure suivante (Figure 1), de leur demander d’observer et d’attendre qu’ils constatent que le triangle est/reste rectangle.

Figure 1 : A et B sont deux points libres et le cercle de diamètre [AB] est construit. M est un point sur le cercle. Il forme avec A et B un triangle dont l’angle de sommet M est mesuré. Lorsque M parcourt le cercle, l’angle reste droit.
pour manipuler cette figure...

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figure Cabri - 3.3 ko

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Cette figure est une construction robuste, pour laquelle la propriété est vérifiée pour toute position des points et des objets. Elle montre « en acte » les différents éléments de la propriété : A et B sont diamétralement opposés, M appartient au cercle, l’angle AMB est droit. Elle extériorise le fait que M est variable et montre l’ensemble dans lequel M varie, c’est-à-dire le cercle. Enfin, elle permet de contraster deux phénomènes : la variabilité de M sur le cercle et l’invariance de la mesure de l’angle AMB. Le travail demandé aux élèves consiste à observer et formuler la propriété. Ils doivent ainsi constater que l’angle reste droit ou que le triangle reste rectangle en M.

… et construction molle

Une autre possibilité pour enseigner ce théorème est de proposer aux élèves la figure suivante :

Figure 2 : A et B deux points et un cercle de diamètre A. Un point M à l’extérieur du disque et le triangle ABM. On considère l’angle AMB.

Figure Cabri téléchargeable en cliquant là :

figure Cabri - 1.2 ko

La demande de l’enseignant aux élèves est alors la suivante : « trouvez une position de M à l’extérieur du disque pour laquelle l’angle est obtus ».

La figure fournie aux élèves est une construction molle en référence au théorème du triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre. En effet, dans cette figure, toutes les hypothèses du théorème ne sont pas vérifiées : la contrainte « A et B points du cercle diamétralement opposés » est robuste mais celle « M appartient au cercle » ne l’est pas. Toutefois, elle peut être réalisée momentanément, par volonté de l’utilisateur, lorsqu’il place M perceptivement sur le cercle.

Dans cette situation où M est variable dans le plan, les élèves se rendent rapidement compte que l’angle est aigu lorsque M est à l’extérieur du cercle. Par ailleurs, ils explorent spontanément les autres positions de M, notamment M à l’intérieur du cercle pour trouver l’angle obtus. Lors de cette exploration, les allers-retours entre l’extérieur et l’intérieur font apparaître le cercle comme frontière entre la zone du plan où l’angle est aigu et celle où il est obtus. Par continuité, les élèves concluent que l’angle est droit quand M est sur le cercle (Laborde 2005).

Avec cette construction molle :
- le déplacement des points par les élèves est motivé par la recherche d’une position particulière de la figure (pas obligatoirement impossible à obtenir) : les élèves manipulent la figure et déplacent les points avec un but précis, qui leur est accessible, et ils sauront reconnaître quand ils l’ont atteint ou pas. De ce point de vue, ils sont indépendants de l’enseignant ;
- l’accent est mis sur la relation entre la condition « M appartient au cercle » et la conséquence « l’angle est droit » : c’est bien cette relation de nécessité entre hypothèses et conclusion qui est visée par l’apprentissage, elle se retrouve au cœur de la manipulation de la figure et des observations et l’objectif du travail des élèves ne se réduit pas à la formulation de la conclusion ;
- la propriété gagne en signification : une explication, une raison d’être se dessine « juste sur le cercle, l’angle vaut 90° » en contraste avec toutes les autres positions où ce n’est pas vérifié. La propriété elle-même apparaît comme un savoir particulier, digne d’intérêt, en rupture avec tous les cas où « ça ne marche pas ».

En conclusion, les constructions molles ont un fonctionnement différent et complémentaire des constructions robustes :

Construction molle Construction robuste
Le déplacement est constitutif de la construction. Le déplacement est un outil de validation.
La construction molle explicite la dépendance entre hypothèses et conclusion, le déplacement permettant d’obtenir leur réalisation simultanée, l’élève n’agissant que sur les hypothèses. La construction robuste explicite le caractère général du théorème : le déplacement permet de parcourir une infinité de cas où le théorème est vérifié.
Du local au général : le théorème est induit à partir d’une propriété vérifiée localement sur un dessin. Du général au local : la construction robuste est une figure générale qui s’actualise en dessins particuliers.

Cette complémentarité des constructions molles et des constructions robustes est un outil à disposition des enseignants pour organiser le travail des élèves. Elle permet de mettre l’accent successivement sur des aspects différents des propriétés et théorèmes mathématiques.

Pourquoi les constructions robustes sont-elles majoritaires dans les pratiques des enseignants ?

Dans les pratiques des enseignants, l’usage de constructions robustes domine, vraisemblablement en premier lieu car elles apportent une plus-value à l’enseignement de la géométrie.

Dans une étude menée au Royaume-Uni, Ruthven et ses collègues (Ruthven et al. 2008) ont mis en évidence, au moyen d’interview et d’observations de pratiques considérées comme réussies, le point de vue majoritaire chez les enseignants. Pour eux, elles procurent un gain de temps et de précision par rapport à un traitement en papier-crayon ainsi qu’une meilleure implication des élèves qui découvrent les propriétés par eux-mêmes. Ils les utilisent pour introduire ou illustrer un théorème, à partir de figures toutes faites ou bien de figures réalisées par les élèves en suivant des instructions détaillées. Le déplacement intervient une fois la construction achevée pour que les élèves observent, constatent et finalement découvrent, la conclusion du théorème. Une partie des difficultés habituellement rencontrées par les élèves est résolue (comme par exemple celle de la mesure de l’angle droit dans l’exemple développé en Figure 1). La gestion de l’activité par l’enseignant s’en trouve facilitée. La construction robuste leur apparaît comme un atout pour l’enseignement, mais finalement, il s’agit d’une pratique analogue au papier-crayon. Dans ces usages majoritaires, la géométrie dynamique augmente le fonctionnement du papier-crayon en facilitant l’accès à un grand nombre d’états de la figure, avec une plus grande précision (Laborde 2001, Soury-Lavergne 2006b).

Cependant, dès l’apparition de la géométrie dynamique, les recherches ont montré l’intérêt des constructions robustes pour l’enseignement des mathématiques et ont identifié des apports différents de ceux perçus par les enseignants (Laborde et Capponi 1994).

Un de ces apports est de permettre de différencier les propriétés vraies de celles vérifiées par moment, parfois vraies parfois fausses. Le déplacement est un moyen de faire apparaître les propriétés invariantes et de les différencier de celles qui disparaissent, donnant ainsi aux élèves un moyen de distinguer la nécessité de la contingence. . Il s’agit pour les élèves de faire la différence entre d’une part les caractéristiques de la figure qui sont nécessaires car se déduisant des propriétés utilisées explicitement au cours de la construction et d’autre part les propriétés contingentes qui apparaissent également à l’écran mais qui pourraient tout aussi bien ne pas apparaître dans une autre position de la figure ou avec d’autres choix de représentation (orientation de la figure, rectangle qui paraît momentanément être un carré etc…). Cette distinction, figure-dessin, est au cœur de l’activité mathématique et fonde les tâches de construction d’une figure robuste. Ces tâches sont proposées soit en fournissant initialement la figure « modèle » déjà construite dans l’environnement de géométrie dynamique, c’est le cas des boîtes noires (Dahan 2005) (les élèves doivent reproduire la figure de façon à ce qu’elle se comporte de la même manière que le modèle au cours du déplacement), ou bien à travers un énoncé comme par exemple : « étant donné une droite g et un point A, construire un carré ABCD tel que B et D appartiennent à g » (Hölz 1996, p176). L’invalidation par déplacement des constructions au jugé permet de faire passer les élèves d’un travail perceptif sur le dessin à un travail géométrique sur la figure. Ce type de tâche les incite à expliciter pour l’environnement leurs actions en termes géométriques, les propriétés géométriques fonctionnant alors comme des outils pour construire et pas seulement comme un énoncé à insérer correctement dans une démonstration.

La différence entre ces deux usages des constructions robustes est essentiellement du côté de l’incertitude et du contrôle des élèves. Dans le cas d’une figure utilisée pour illustrer un théorème, lorsque les élèves déplacent les points de la figure, ils ne savent pas ce qu’ils doivent observer, l’incertitude porte sur ce qu’ils cherchent. La difficulté est alors qu’ils n’ont pas de moyen de savoir pas eux-mêmes s’ils ont bien vu ou pas. Ils sont dépendants de l’enseignant pour savoir si ce qu’ils ont observé est bien ce qui était remarquable et attendu. Le contrôle est du côté de l’enseignant. Dans le second cas, celui de la construction d’une figure robuste, les élèves savent ce qu’ils doivent obtenir : une figure dont les caractéristiques se conservent par déplacement. Le déplacement leur permet de constater perceptivement, au niveau spatio-graphique, que la construction est correcte ou pas. Ils ont les moyens de savoir s’ils ont réussi, indépendamment de l’enseignant, l’environnement constituant un milieu pour la validation (Laborde et Capponi 1994). L’incertitude porte sur les moyens à mettre en œuvre pour construire une telle figure. Le contrôle est alors du côté des élèves.

L’intérêt des constructions robustes pour l’enseignement est donc bien établi et explique certainement l’usage privilégié qui en est fait par les enseignants, en particulier pour la découverte et l’illustration de théorème (Tapan 2006). Cependant, les constructions molles ont aussi un grand intérêt pour les élèves et devraient également trouver leur place dans les pratiques des enseignants. De fait, elles sont déjà présentes dans l’activité mathématique des élèves.

Les constructions molles dans les productions des élèves

Bien que les enseignants proposent principalement à leur élèves d’explorer ou de construire une figure robuste, des procédures de résolution de type construction molle sont apparues dès le début de l’usage de la géométrie dynamique. Enseignants comme chercheurs ne leur ont pas immédiatement accordé le statut de construction, parlant plutôt de procédure perceptive (par exemple Tahri 1993) ou de stratégie dynamique (Hölz 1996).

Pourtant, dans le travail mathématique lui-même, résoudre un problème de construction en relâchant une contrainte est une méthode efficace et reconnue. Par exemple, Acosta (2008) décrit la technique des lieux géométriques (proposée dans un livre d’exercices de géométrie de 1920) comme consistant à trouver la bonne construction en faisant une ou plusieurs constructions intermédiaires qui ne respectent pas l’une des données du problème. Avec la géométrie dynamique, ces constructions intermédiaires sont des constructions molles par rapport à la construction cherchée et leur exploration dynamique permet de déterminer un lieu qui fournit les caractéristiques géométriques de la construction robuste et donc de la solution.

L’étude menée par Jones (1998) auprès d’étudiants de mathématiques cherchait à montrer les relations complexes et fortes qui existent entre les raisonnements intuitifs et les raisonnements formels dans l’activité de résolution de problème. A propos de problème de construction géométrique, il illustre les raisonnements intuitifs des étudiants par ce qu’on appelle maintenant des constructions molles et montre en quoi ces raisonnements intuitifs sont nécessaires dans la résolution de problèmes mathématiques.

Un des problèmes soumis à ses étudiants était celui, très classique, de la construction d’un cercle tangent à deux droites données, un des points de tangence étant également donné (cf. Figure 3). Les étudiants observés ont réalisé plusieurs constructions, avec différents ajustements perceptifs. Ils ont pris en compte les propriétés de ces constructions intermédiaires pour accéder à une construction robuste.

Figure 3 : le problème de construction de Jones (1998) Figure 4 : première construction molle
Figure 5 : deuxième construction molle chez les étudiants observés par Jones Figure 6 : Construction molle du cercle tangent à deux droites données, obtenue par ajustement du point de la deuxième sécante.

Les figures Cabri correspondantes :

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figure Cabri - 738 octets
figure Cabri - 807 octets
figure Cabri - 807 octets

La première construction des étudiants est celle d’un cercle passant par P et ajusté de façon à être tangent aux deux droites. Puis ils recommencent et créent d’abord une perpendiculaire à la droite « du haut » passant par P, centrent le nouveau cercle sur cette droite perpendiculaire (cf. Figure 4) et l’ajustent de façon à ce qu’il soit tangent à la seconde droite. Considérant la symétrie du problème, les étudiants décident alors de construire une autre droite, perpendiculaire à la sécante « du bas » passant par un point mobile sur cette sécante, le centre du cercle devant être à l’intersection des deux perpendiculaires (cf. Figure 5). Ils ajustent alors la seconde perpendiculaire de façon à ce que le centre soit équidistant des deux droites de départ (cf. Figure 6). Cela les amène au fait que le centre du cercle doit appartenir à la bissectrice. Les constructions intermédiaires ont conduits ces étudiants à la solution et de plus leur ont fourni des arguments pour la preuve.

Plus généralement, si les constructions molles jalonnent la recherche de solution, impliquent de nombreuses propriétés géométriques et étayent le processus d’obtention de la solution, elles restent finalement peu reconnues et relèvent du travail privé de l’élève, non accessible à l’enseignant.

C’est Healy (2000) qui introduit le terme « construction molle » à propos du travail d’élèves de 14-15 ans à la recherche de différents moyens de construire des triangles isométriques à un triangle donné. Elle montre que les élèves préfèrent les constructions plus empiriques, dans lesquelles ils contrôlent les propriétés obtenues par l’action et le déplacement. Elle analyse alors comment la dépendance entre propriétés est ressentie de façon différente par les élèves, suivant qu’ils manipulent une construction robuste ou une construction molle :

« Dans les constructions robustes, la conclusion est démontrée par le fait qu’une relation reste invariante par déplacement. Pendant le test du déplacement, l’attention passe du général au spécifique au moment où une famille de Cabri-dessins ayant la même spécification géométrique est produite. Avec les constructions molles, ce n’est pas le cas. Le déplacement est constitutif de la construction et pas de la vérification et les étudiants observent comment la conclusion devient évidente au moment où une autre propriété est manuellement (et visuellement) satisfaite. Ainsi le général émerge du spécifique au cours de la recherche d’un ensemble de lieux pour lequel les hypothèses sont vérifiées. »  [1](Healy, 2000, p. 111).

Au moment où l’enseignement met l’accent sur une pratique plus expérimentale des mathématiques en classe, valorisant chez les élèves la démarche de recherche de la solution et la mise en œuvre d’une démarche d’investigation, les constructions molles en géométrie dynamique ont un rôle à jouer. Mais cela nécessite de proposer aux enseignants des situations didactiques qui en exploitent l’idée.

Des situations qui exploitent l’idée de construction molle

Les lieux mous, pas si faciles

Le lieu mou, introduit par Capponi (2000), est la trace d’un point obtenue lorsque l’utilisateur déplace un point libre en contrôlant lui même la conservation d’une propriété. Par exemple, à nouveau dans le cas du triangle rectangle inscrit dans un demi cercle, pour l’obtention d’un lieu mou, la figure proposée aux élèves est celle d’un triangle quelconque AMB, dont l’angle AMB est mesuré. Suivant la position de M, l’angle peut prendre toutes les valeurs. La trace du point M étant activée, les élèves doivent déplacer M de façon à obtenir d’abord puis conserver un angle droit. S’ils réussissent, la trace de M révèle le demi-cercle.

Figure 7 : Déplacement du point M de façon à ce que l’angle AMB reste droit. La trace du point M ainsi obtenue révèle le demi-cercle.

figure Cabri - 1.1 ko

La difficulté d’une telle situation est de maintenir la propriété (ici l’angle droit) lorsque l’on ne connaît pas la solution et que rien n’indique dans la situation dans quelle direction il faut poursuivre le déplacement du point libre. En l’absence de connaissance sur la nature du lieu mou à obtenir, cela s’avère très difficile et pourtant la trace se construit de la même façon que la propriété soit respectée ou pas. Elle prend alors les formes les plus diverses, mélangeant et marquant de la même façon les positions valides et les positions invalides (celles pour lesquelles la propriété n’est pas vérifiée). Les problèmes proposés par Acosta (2008) à propos de figures simples mais non usuelles permettent de prendre conscience de la difficulté d’une telle situation pour les élèves (voir par exemple le triangle symétrico-latéral : soit un triangle ABC et un point M du plan, on construit les points P, Q et R symétriques de M par rapport à (AB), (BC) et (AC) et on recherche le lieu du point M tel que le triangle PQR soit rectangle). Devant cette difficulté d’obtenir une trace qui ne montre que des points valides, plusieurs solutions ont été trouvées. Cuppens (1996) propose des points conditionnels qui n’existent et donc ne laissent une trace que lorsque la propriété est vérifiée, Acosta (2008) construit des traces approximatives pour des propriétés numériques vérifiées à epsilon près ou encore Colonna, Frackowiak, Le Berre et Zuchetta (2007) font des « tas », c’est à dire une trace épaissie en repassant le point libre plusieurs fois au même endroit dès qu’une position correcte est repérée, comme cela est décrit dans leur « transformation d’un problème » présenté ci-dessous.

Ces activités de lieu mou ont en commun d’avoir éliminé une des conditions du théorème sous-jacent et de donner à contrôler aux élèves la conclusion du théorème. Malgré les difficultés d’instrumentation, il s’agit d’une piste fructueuse pour concevoir des tâches pour les élèves.

Transformation d’un problème...

.... d’une figure robuste à une figure molle

Colonna, Frackowiak, Le Berre et Zuchetta (op. cit.) ont abouti à une situation de type « lieu mou » en transformant un problème géométrique formulé initialement pour une résolution en papier-crayon. Leur objectif était de l’adapter pour un usage pertinent avec la géométrie dynamique. Ils ont mis alors clairement en évidence qu’un bon problème papier-crayon n’est pas transférable sans modifications importantes dans l’environnement de géométrie dynamique. Au cours des changements qu’ils ont réalisées, la figure robuste initiale s’est transformée en figure molle.

Le problème de départ était issu des documents d’accompagnement du programme de collège (juillet 2007,

http://eduscol.education.fr/cid45766/ressources-pour-faire-la-classe-au-college-et-au-lycee.html) : un cercle de centre O, et deux de ses diamètres perpendiculaires. OIAJ et OKBL sont deux rectangles (cf. Figure 8). Quel est le plus long des deux segments [IJ] ou [KL] ?

Figure 8 : figure accompagnant l’énoncé du problème en papier-crayon utilisé comme point de départ par Colonna et al.

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Le premier test avec les élèves à consisté à leur faire construire la même figure, avec A et B deux points mobiles sur un cercle de centre O et à leur poser la même question. Il s’est avéré que l’existence de deux points mobiles sur le cercle n’est pas utile pour poser le problème avec la géométrie dynamique et que cela gène ensuite l’interaction avec les élèves. De plus, les mesures possibles en géométrie dynamique le sont tout aussi bien en papier-crayon. Le constat de la conservation des longueurs des rayons et des diagonales n’a pas surpris les élèves et ne les a pas amené à se poser de question ni à chercher des éléments de preuve.

Lors d’un second test du problème, les auteurs ont simplifié la figure et n’ont conservé qu’un seul point A mobile sur le cercle et déterminant un rectangle AIOJ. La question a été reformulée de la façon suivante : « A l’aide du logiciel Cabri, faire une conjecture à propos de la longueur IJ quand A se déplace sur le cercle C. Faire sur votre cahier un schéma (figure) qui illustre cette conjecture. Qu’est-ce qui permet d’expliquer l’affirmation énoncée dans la conjecture ? ».  [2] Le résultat obtenu avec le logiciel n’a pas plus surpris et intrigué les élèves que dans la première version du problème. Ils en sont restés à une justification par la conservation de la mesure, IJ mesure toujours 5 cm, et n’ont pas plus cherché d’éléments de preuve. Les auteurs ont alors conclu qu’il fallait que la conjecture apparaisse comme une surprise, comme une véritable découverte et pas comme une observation indiscutable, à propos de laquelle tout le monde est d’accord.

Ils ont alors reconsidéré le problème et la question de IJ constant pour élaborer une troisième version du problème. L’idée a été de faire apparaître le fait que IJ soit constant lorsque A appartient au cercle comme une découverte et pas comme une « donnée » du problème, obtenue par les élèves indépendamment de leur volonté. Ainsi, dans la dernière version du problème, le point A n’appartient plus au cercle afin de contraster les positions pour lesquelles IJ est constant, égal à 5 cm, avec celles où IJ n’est pas constant.

Figure 9a Figure 9b Figure 9c

Dans la troisième version du problème proposé par Colona et al. (2007), les élèves construisent un rectangle OIAJ, dont A est un point libre (Figure 9a). Ils activent la trace de A et cherchent les positions de A pour lesquelles IJ=5cm (Figure 9b). Pour distinguer les positions valides dans la trace, ils font des « tas » sur les positions de A telles que IJ =5cm (Figure 9c).

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L’énoncé apparaît profondément modifié. Il y a maintenant un rectangle OIAJ à construire, la diagonale IJ à mesurer et la nouvelle question posée aux élèves est : « Où placer A pour que IJ ait une longueur constante égale à 5 cm ? » . Avec cette nouvelle version, le cercle apparaît progressivement comme une découverte au cours du travail de recherche des élèves (à l’aide de l’outil trace et de la technique des tas pour repérer les positions de A pour lesquelles IJ=5cm). Cela entraîne chez eux un besoin de comprendre pourquoi les bonnes positions de A sont sur un cercle. Les élèves sont convaincus que le lieu est un cercle, grâce à la manipulation dans l’environnement de géométrie dynamique. Cela n’empêche cependant pas le démarrage de la démarche de preuve, motivée par le besoin de comprendre l’obtention du cercle et pas par celui d’être convaincu (Colonna et al 2010). Une description plus complète des transformations du problème et de leurs tests successifs avec les élèves est disponible en ligne sur la publication de l’IREM de Lyon, L@ feuille à problèmes (Colonna et al. 2007).

Ainsi, à partir d’un problème papier-crayon, les auteurs ont abouti à une activité impliquant une construction molle et la recherche d’un lieu mou. La transformation a essentiellement consisté à relâcher une des contraintes, l’appartenance de A au cercle tout en maintenant la conclusion IJ constant. Dans cette activité, l’incertitude des élèves porte sur les positions du point A qui permettent d’obtenir la bonne configuration, cette configuration étant connue par tout le monde. La découverte de la solution n’est pas indépendante de l’activité et des décisions des élèves, ce sont eux qui créent le cercle, faisant émerger un véritable enjeu pour la démonstration.

Différencier hypothèses et conclusion ....

..... avec des figures molles

Un autre usage didactique des constructions molles a été élaboré et étudié par Coutat (2006). A partir du principe de médiation par le logiciel (Vygostsky 1934, Mariotti 2000), l’idée est de faire faire aux élèves l’expérience physique personnelle d’un phénomène, par la manipulation dans l’environnement de géométrie dynamique, puis de leur faire mettre en mots, de leur faire formuler de façon personnelle et finalement d’extérioriser cette première expérience. Les mots et les formulations ainsi obtenues sont alors disponibles pour construire, grâce à l’interaction avec l’enseignant, les concepts mathématiques voulus, et évoluer vers une formulation acceptée et reconnue par l’institution scolaire.

L’objectif d’apprentissage retenu par Coutat était la notion de propriété géométrique (au sens de théorème) et la différentiation entre les hypothèses de la propriété et sa conclusion.

Prenons l’exemple de la propriété du parallélogramme : « un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme ».

Figure 10 : figure proposée aux élèves dans les activités de Coutat (2006). Les élèves doivent déplacer A de façon à ce que M et N coïncident. Ils obtiennent alors, indépendamment de leur volonté, le fait que ABCD soit un parallélogramme.

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L’environnement de géométrie dynamique permet d’introduire une dissymétrie entre hypothèses et conclusion. Les hypothèses sont ce sur quoi les élèves agissent, soit en construisant, soit en les ajoutant volontairement par déplacement des objets de la figure. Toutes les hypothèses ne sont pas satisfaites au départ. Ici, l’hypothèse satisfaite est « ABCD quadrilatère », l’hypothèse manquante est « les diagonales se coupent en leur milieu ». La conclusion correspond à l’effet obtenu, indépendamment de la volonté des élèves. Une relation de cause à effet se crée entre la satisfaction de toutes les hypothèses, M et N coïncident, et l’obtention de la conclusion, ABCD est un parallélogramme. Les élèves ont les moyens de contrôler le déplacement car il est finalisé par l’obtention de conditions précises. Ils savent pourquoi ils déplacent les points et ce qu’ils veulent obtenir avec le déplacement (la satisfaction de l’hypothèse manquante).

Dans ces conditions, les élèves font l’expérience de la relation de subordination entre hypothèses et conclusion et rencontrent la nécessité mathématique. La propriété visée est l’objet de cette expérience. Il est ensuite nécessaire d’organiser les formulations de cette expérience et leur évolution vers les formulations de la propriété attendue à ce niveau scolaire. C’est le but visé par le tableau à remplir (Figure 11) qui distingue explicitement les constructions et déplacements (du côté des hypothèses) et les observations (renvoyant à la conclusion). Mais les formulations ne s’arrêtent pas à ce petit tableau et doivent être reprises dans l’interaction avec l’enseignant pour évoluer.

Figure 11 : exemple de fiche élève à remplir, accompagnant la manipulation de la Figure 10.

Cet exemple d’usage d’une construction molle est assez différent de celui présenté dans la transformation d’un problème (cf. Figure 9), car le contrôle du déplacement par les élèves ne s’opère pas au même niveau. Dans l’exemple de la transformation d’un problème, le déplacement a pour objectif de satisfaire la conclusion : si A appartient au cercle de centre O et de rayon 5 cm alors IJ=5cm ; les élèves cherchent à obtenir et contrôler IJ=5cm. Dans le travail de Coutat, le contrôle du déplacement par les élèves s’opère sur l’hypothèse : si le quadrilatère ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors ABCD est un parallélogramme ; les élèves cherchent à obtenir et contrôler que les diagonales se coupent en leur milieu. Ces deux types de travail nécessitent un accompagnement et un traitement différent de la part de l’enseignant.

Cependant, ces deux cas ont en commun de le fait que les élèves ne font pas des déplacements au hasard. A chaque fois le déplacement est finalisé par l’obtention d’une configuration particulière, reconnaissable par les élèves, indépendamment de l’enseignant. C’est ce qui rend le travail des élèves riche du point de vue des significations mathématiques qui en seront issues.

Conclusion

Dans les usages de la géométrie dynamique décrits ci-dessus, nous avons mis l’accent sur les différentes façons de déplacer les objets des figures, que ce soit avec des figures robustes ou des figures molles. Ce qui différencie ces déplacements c’est essentiellement leur finalité, définie en particulier par la nature des contrôles mobilisés et l’incertitude existante pour celui qui déplace.

Avec les figures robustes, utilisées pour faire constater ou illustrer une propriété, le déplacement n’a pas à être contrôlé par les élèves car la propriété est conservée dans tous les cas. Les élèves bougent un point sur un objet (segment, droite, cercle, curseur etc…) et la figure se transforme sans qu’ils aient véritablement de décision à prendre. L’incertitude porte éventuellement sur ce qui doit être observé, mais ce ne sont pas les mathématiques qui le détermine complètement, plusieurs propriétés valides mathématiquement pouvant être observées. C’est l’enseignant qui choisit ce qu’il est intéressant d’observer et les élèves sont dépendants de lui à cet égard. C’est pourtant souvent ce type de situation qui est utilisé pour faire faire des conjectures aux élèves.

Or, le déplacement pour conjecturer une propriété mathématique est à l’œuvre de façon plus efficace dans les constructions molles. La finalité du déplacement dans ces figures est effectivement d’établir une conjecture en expérimentant la relation de nécessité entre la satisfaction des hypothèses, y compris localement, momentanément et de façon perceptive, et l’obtention de la conclusion. Que le contrôle de l’élève porte sur une des hypothèses ou bien sur la conclusion, il y a une véritable incertitude chez l’élève au cours du déplacement, une marge de manoeuvre qui donne du sens au travail mathématique et à la conjecture émise. Et même si la validité de la conjecture ne fait aucun doute chez les élèves, cela ne nuit pas à la démarche de preuve. En effet, c’est le besoin de comprendre le pourquoi de la conjecture qui va les entraîner dans la recherche d’éléments de preuve. Ainsi, les situations « surprenantes », pour lesquelles la conjecture n’est pas évidente, favorisent l’entrée des élèves dans la preuve.

Le troisième type de déplacement que nous avons présenté, celui pour valider et invalider, est à l’œuvre dans les constructions robustes comme dans les constructions molles. Lors de la recherche de constructions robustes, il intervient pour valider le fait qu’une procédure de construction correcte a été trouvée ou pour invalider la construction par l’exhibition d’un contre-exemple. Le déplacement pour valider ou invalider est également à l’œuvre dans les constructions molles, mais pas de la même façon. Dès qu’une configuration valide est identifiée, c’est à dire une configuration qui a les bonnes propriétés localement et momentanément à la suite d’un ajustement, les élèves peuvent expérimenter sa reproductibilité. Ils cherchent à observer si le même déplacement et le même ajustement produisent bien le même effet. Si ce n’est pas le cas, il y a mise en évidence d’un contre exemple et la conjecture est invalidée. Le déplacement pour valider ou invalider fonctionne donc aussi dans les figures molles.

Fabriquer de telles situations pour la classe n’est pas immédiat. Mais l’exemple donné par Colonna et al. (2007) permet de dégager un principe pour créer des situations riches pour les élèves à propos d’une propriété donnée. Il s’agit de proposer aux élèves, ou de leur faire construire, une figure qui satisfasse toutes les conditions du théorème sauf une. Ensuite il faut faire porter la question sur la ou les conditions permettant d’obtenir la configuration correspondant à la conclusion. Dans une telle situation, les élèves sont en mesure de valider par eux même leur travail car ils sont capables de reconnaître par eux mêmes s’ils ont obtenus une configuration valide (au besoin l’enseignant peut s’en assurer) et leur incertitude porte sur les moyens à mettre en œuvre et les connaissances à mobiliser pour y arriver. Cela donne tous les ingrédients d’une situation riche pour l’apprentissage et la conceptualisation mathématique.

Références bibliographiques

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Annexe : une réaction de lecteur

A la lecture de cet article, Roland Dassonval nous envoie ce courrier :
Je lis avec intérêt les articles qui portent sur la géométrie dynamique.
La plupart se réfèrent aux logiciels connus.
Il est parfois possible d’éviter le bruit de ces grosses artilleries en programmant (en FLASH par exemple).
Mais pour concevoir, modifier, il faut avoir le temps (comme les retraités :-) ).
Pour illustrer mon propos, je propose un exemple inspiré du scénario proposé ici par le groupe de travail "Géométrie dynamique" de l’IREM de Lyon :
http://rdassonval.free.fr/flash/matice1.swf
L’amie molette que j’utilise fait-elle dans le robuste ou le mou :-) ?"


notes

[1Notre traduction de : “In robust constructions, dependency is demonstrated by the fact that a relationship remains invariant through dragging. During the dragging test attention can move from general to specific as a “family” of Cabri-drawings with the same geometrical make up is produced. In soft constructions, this is not the case. Instead dragging is part of construction not verification and students observe how the dependent property becomes evident at the point in which another property is manually (and visually) satisfied. That is, the general can emerge from the specific during thorough searches for the set of loci in which the given conditions are fulfilled.”

[2Une réponse plausible, non attendue par les enseignants, est : IJ est plus petit que le diamètre du cercle. Une telle réponse, valide mathématiquement, parmi d’autres tout aussi possibles, montre en quoi les élèves doivent décrypter les attentes de l’enseignant pour pouvoir répondre correctement au problème, s’appuyant sur le contrat didactique (Brousseau 1998) et pas sur les contraintes mathématiques intrinsèques au problème posé.

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