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Mesures dans le système solaire
Partie 1
Moteur de recherche
Mis en ligne le 11 mai 2018, par David Crespil

LES ANIMAUX ASTRONOMES

Le chien aboie à la lune

Le chat miaule à Saturne

Les chauves-souris sont Vénus

Le ru coule comme le Mercure

Un homme dans la nuit marche

La chouette chuinte à Jupiter

Le chat-huant hue à Neptune

Le lièvre vagit à Uranus

Le lampyre reflète Pluton

Est-ce-là l’harmonie des sphères

Ou n’est-il bruit que sur la terre

Raymond Queneau

Table des matières

Pour un retour direct à la table des matières, cliquer sur ce symbole :

Notions mathématiques utilisées 

  • Fonctions affines
  • Trigonométrie sphérique, trigonométrie plane
  • Maximum et minimum d’une fonction
  • Coordonnées sphériques et rectangulaires
  • Triangles semblables
  • Produit vectoriel

Notions d’astronomie utilisées 

  • Cordonnées horaires d’un astre
  • Cordonnées équatoriales d’un astre
  • Cordonnées écliptiques d’un astre
  • Temps universel TU
  • Hauteur d’un astre
  • Latitude et longitude géographiques
  • Parallaxe horizontale
  • L’aberration des étoiles

“ Le grand Dieu fit les planètes et nous faisons les plats nets.”
( François Rabelais, Gargantua, 1534 )

Introduction

Cet article présente quelques méthodes utilisées en astronomie pour déterminer des distances ou des angles et je n’ai rien fait d’autre que de les assortir de quelques explications pour en rendre le texte moins abrupt.

Un effort particulier a été apporté à la magnifique théorie de l’aberration des étoiles, théorie dont le caractère prédictif a permis de connaître grâce à la connaissance de la constante d’aberration et de la vitesse de la lumière la vitesse orbitale de la terre à partir de laquelle il est aisé de calculer la distance terre/soleil.

J’ai aussi apporté des explications détaillées à la méthode utilisée par Giovanni Domenico Cassini(1625-1712) et Jean Richer(1630-1696) pour calculer la parallaxe de Mars. La méthode différentielle est des plus instructives pour éliminer les effets de la réfraction. Cassini et Richer ont ainsi pu calculer la distance de la terre à Mars et de la terre au soleil en se positionnant sur Cayenne et Paris(septembre 1672).

Ces méthodes s’échelonnent de l’Antiquité à la période moderne avec les géants que sont Aristarque, Ptolémée et Hipparque ou Eratosthène à propos desquels nous pouvons dire nous inspirant de la métaphore attribuée à Bernard de Chartres que « Nous sommes des nains juchés sur des épaules de géant ».

Nous verrons ainsi comment les Anciens ont utilisé astucieusement les éclipses de lune pour déterminer la distance terre lune.

Nous évoquerons aussi les transits de Vénus qui ont permis de calculer la distance terre soleil en utilisant une idée de Béatrice Sandré.

L’utilisation de la trigonométrie sphérique permettra de revisiter l’expérience d’Eratosthène en ne supposant plus les méridiens d’Assouan et d’Alexandrie confondus comme on le fait au collège.

Cet article eût été incomplet sans un travail de recherche à proposer aux élèves ou étudiants, ce que permet le magnifique PDF du pôle astronomie de l’IREM de Lille.

Le sujet est d’ailleurs si riche que j’en donnerai une suite dans un nouveau numéro de Mathematice en 2019.
Je tiens à remercier Gérard Kuntz qui m’a honoré de sa confiance, me faisant comprendre à quel point il tenait à ce qu’un article sur ce thème paraisse dans Mathématice. Ce travail fut des plus stimulants pour moi.
Je remercie chaleureusement Anne Heam et Aymeric Picaud d’avoir bien voulu se charger de la belle mise en ligne qui je l’espère éveillera la curiosité du lecteur.

Enfin, je tiens à rendre hommage à M Philippe Merlin astronome à l’Observatoire de Lyon qui nous a quitté ce mois de mars et qui a tant fait pour l’enseignement de l’astronomie.

Sa disparition laissera un grand vide.

Le lecteur pourra se rendre compte du caractère exceptionnel du site qu’il a animé en consultant :

- Astrogebra

- Astronomie et navigation

On pourra en appui au texte s’aider du glossaire d’astronomie produit par l’IMCCE

0) Les coordonnées écliptiques et équatoriales

Niveau : lycée/université. Ce paragraphe est essentiel.

a) Les coordonnées écliptiques

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Schéma 1

Les éléments de référence sont :
- le plan de l’écliptique

Le plan écliptique intersecte la sphère céleste selon un cercle : l’équateur céleste et l’écliptique se coupent en deux points dont l’un est le point $\gamma$ franchi par le soleil le 20 ou 21 mars. Ce point correspond au nœud ascendant du soleil.

Le point $\gamma$ comme toutes les étoiles a un mouvement apparent de rotation autour de l’axe des pôles.

$O$ désigne le centre de la terre.

$(QQ’)$ est la droite passant par $O$ perpendiculaire au plan de l’écliptique. Elle rencontre la sphère céleste en $Q$ et $Q’$ appelés pôles de l’écliptique.

Le pôle nord écliptique est celui d’où l’on verrait le soleil progresser dans le sens direct (sens inverse de la marche des aiguilles d’une montre) le long de l’écliptique.

$(PP’)$ est la droite passant par $O$ et perpendiculaire au plan de l’équateur céleste.

Elle rencontre la sphère céleste en $P$et $P’$. $P$ est le pôle nord céleste, prolongement du pôle nord géographique.

Dans ce système de coordonnées, la direction d’un astre est définie par :
- sa longitude écliptique de 0° à 360°.
- sa latitude écliptique $b$ variant de - 90° à 90° (positive dans l’hémisphère contenant le pôle nord écliptique. 

La mesure de cette longitude écliptique dans l’Antiquité est l’objet de notre exposé.

L’obliquité de l’écliptique $\varepsilon$ vaut 23 ° 27 ‘ : c’est l’angle entre l’équateur céleste (prolongement sur la sphère céleste de l’équateur terrestre) et le plan de l’écliptique.

Voir mon article

Tout se passe pour l’observateur terrestre comme si la sphère céleste représentée ci-dessus tournait autour de lui, la durée de cette rotation étant de 23 h 56 minutes 4 secondes .

Les étoiles comme le point vernal sont entraînés dans ce mouvement apparent de la sphère céleste.

b) Les coordonnées équatoriales

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Schéma 2

La direction d’un astre est caractérisée par :

  • son ascension droite $\alpha$
  • sa déclinaison $\delta$

La déclinaison se mesure en degrés entre - 90° et 90° positive au dessus de l’équateur, négative en dessous.

L’ascension se mesure en heures minutes et secondes.

1 heure d’ascension droite vaut 15°.

Le demi grand cercle contenant la direction de l’étoile semble faire un tour en 23 h 56 min 4 s. 

L’ascension droite se mesure dans le sens direct.

La déclinaison et l’ascension droites sont invariables en première approximation.

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Schéma 3

On pourra utiliser l’application interactive GEOGEBRA du CRAL

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Schéma 3 bis

1) Aristarque de SAMOS (310 - 230 av. J.-C.)

Niveau Collège / Lycée.

Texte orignal suivi du texte réécrit par Patrick ROCHER astronome à l’Observatoire de Paris

PROPOSITION VIII.
La distance à laquelle le soleil se trouve de la terre est plus grande dix-huit fois, mais moindre de vingt fois que celle à laquelle la lune se trouve de la terre.

Soit en effet (fig. 6) A le centre du soleil, et B le centre de la terre ; que la ligne AB, qui joint ces deux centres, .soit prolongée ; que le centre de la lune, dans sa dichotomie, soit C. Par AB et C, je fais passer un plan dont la section avec la sphère, dans laquelle se meut le centre du soleil, sera un grand cercle ADE. Soient tirées les lignes AC, BC, et soit prolongée BC jusqu’en D. Puisque le point C est le centre de la lune dans sa dichotomie, l’angle ACB sera droit. Du centre B je tire sur AB la perpendiculaire BE. L’arc DE sera conséquemment la trentième partie de l’arc ADE. En effet, l’une de nos hypothèses (la quatrième) est que la lune, dans sa dichotomie, est éloignée du soleil d’un quart de la circonférence, moins la trentième partie de ce quart ; donc l’angle CBE est aussi la trentième partie d’un angle droit. Soit achevé le parallélogramme AE, et soit tirée la diagonale BF ; l’angle EBF sera la moitié d’un angle droit ; que cet angle EBF soit coupé en deux parties égales par la ligne BG ; l’angle EBG sera conséquemment le quart d’un angle droit. Mais l’angle DBE est la trentième partie d’un angle droit ; donc la proportion de l’angle EBG à l’angle DBE est celle des nombres 15 et 2. En effet, si l’angle droit est divisé en 60 parties, l’angle EBG en aura 15, et l’angle DBE 2 ; et puisque le rapport de EG à EH est plus grand que celui de l’angle EBG à l’angle DBE, celui de EG à EH sera plus grand que celui de 15 à 2. Or BE est égale à EF, et l’angle en E est droit ; ainsi le carré construit sur BF est le double du carré construit sur BE. Mais on a cette proportion : comme le carré construit sur BF est au carré construit sur BE, ainsi le carré construit sur FG est au carré construit sur EG. Ainsi le carré construit sur FG sera double de celui construit sur EG. Or 49 est moindre que le double de 25. Ainsi, le carré construit sur FG a, avec le carré construit sur EG, un rapport plus grand que celui de 49 à 25 ; et conséquemment le côté FG a, avec le côté EG, un rapport plus grand que celui de 7 à 5.  Componendo , on aura EF est à EG dans un rapport plus grand que celui de 12 à 5 ou de 36 à 15. Mais on a prouvé que EG est à EH dans un rapport plus grand que celui de 15 à 2, donc l’antécédent de cette proportion étant égal au conséquent de l’autre, on en conclura que EF : EH dans un rapport plus grand que celui de 36 à 2 ou de 18 à 1. Ainsi EF est plus de 18 fois plus grande que EH. Or EF est égale à BE ; donc BE est aussi plus de 18 fois plus grande que EH. A plus forte raison BH sera-t-elle plus de 18 fois plus grande que EH. Mais, à cause de la similitude des triangles, comme BH est à EH, ainsi AB est à BC. AB est donc aussi plus de 18 fois plus grande que BC. Or AB est la distance du soleil à la terre, et BC est celle de la lune à la terre : donc la distance du soleil à la terre est plus de 18 fois plus grande que celle de la lune à la terre.

Il fait les hypothèses suivantes :

  1. La Lune reçoit la lumière du Soleil
  2. La Terre peut être considérée comme un point et comme le centre de l’orbite de la Lune.
  3. Lorsque la Lune nous parait dikhotome (coupée en deux portions égales ), elle offre à nos regards son grand cercle, qui détermine la partie éclairée et la partie obscure de cet astre.
  4. Lorsque la Lune nous parait dikhotome, sa distance du Soleil est moindre du quart de la circonférence, de la trentième partie de ce quart.
  5. La largeur de l’ombre est de deux Lunes.
  6. L’arc soutendu dans le ciel par la Lune est la quinzième partie d’un signe.
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Schéma 4

Comme on le constate, certaines hypothèses sont fausses.
L’hypothèse 4 revient à donner à l’angle $\beta$ la valeur de 87°. Cette erreur explique son erreur sur le calcul de la distance terre soleil.
L’hypothèse 6 donne à la lune un diamètre de 2°, valeur 4 fois trop forte.

Ce qui suit est le fruit d’un travail de Patrick ROCHER de l’Observatoire de Paris qui a traduit la démarche d’Aristarque en langage moderne sans utiliser toutefois la trigonométrie (voir remarque à la fin du paragraphe).

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Schéma 5

Démonstration :
Soit $A$ le centre du Soleil, $B$ le centre de la Terre et $C$ le centre de la Lune. Traçons le cercle $(c)$ de centre $B$ et de rayon $AB$, le rayon $BD$ passant par $C$ et faisant un angle de 3° avec le rayon $BE$ perpendiculaire à $BA$ (l’angle $CBE$ est la trentième partie de l’angle droit). On construit le carré $ABEF$, ainsi que trentième partie de l’angle droit). On construit le carré $ABEF$, ainsi que sa diagonale $BF$. Soit $BG$ la bissectrice de l’angle $EBF$.

$\widehat{CBE}$ est la trentième partie d’un angle droit (90°/30). $\widehat{GBE}$ est le quart d’un angle droit (90°/4), donc $\widehat{GBE}$ vaut les 15/2 de $\widehat{CBE}$.

Le rapport de $EG$ sur$EH$ est plus grand que le rapport des deux angles $\widehat{GBE}$ et $\widehat{CBE}$, donc plus grand que $\dfrac{15}{2}$.

$[BF]$ est la diagonale du carré $ABEF$, donc le carré de $BF$ est le double du carré de $BE$. De plus le carré construit sur $FG$ est aussi le double du carré construit sur $EG$.

Or comme 49 est inférieur au double de 25, le carré de $\dfrac{FG}{EG} = 2$ est supérieur à $\dfrac{49}{25}$, le rapport $\dfrac{FG}{EG} = 2$ est donc supérieur à $\dfrac{7}{5}$.

Donc $\dfrac{EF}{EG} = \dfrac{EG+GF}{EG} = 1 + \dfrac{GF}{EG}$ est supérieur à $\dfrac{12}{5}$ ou $\dfrac{36}{15}$.

Ainsi $\dfrac{EG}{EH}$ est plus grand que $\dfrac{15}{2}$ et $\dfrac{EF}{EG}$ est supérieur à $\dfrac{36}{15}$, donc $\dfrac{EF}{EH}$ est supérieur à 18.

Or $EF = BE$, donc $\dfrac{BE}{EH}$ est supérieur à 18, et comme $BH$ est supérieur à $BE$, $\dfrac{BH}{EH}$ est également supérieur à 18.

Or les triangles $ABC$ et $EBH$ sont semblables, donc les rapports $\dfrac{BH}{EH}$ et $\dfrac{AB}{BC}$ sont égaux et l’on a bien $BA$ supérieur à $18\times BC$.

La distance Terre-Soleil est supérieure à 18 fois la distance Lune-Soleil.

Reste à prouver que ce rapport est inférieur à 20. Pour cela traçons la parallèle à

$(BE)$, cette parallèle coupe $(AB)$ en $K$. Traçons le cercle passant par les points $BDK$ et soit $L$ le point du cercle tel que $[LB]$ soit le côté d’un hexagone inscrit dans ce cercle.

$\widehat{DBK}$ est égal à $\widehat{DBE}$ égal à la trentième partie d’un angle droit, l’arc de cercle $\overset{\frown}{BK}$ vaut le double donc la quinzième partie d’un angle droit ou encore la soixantième partie de la circonférence.

Or $\overset{\frown}{BL}$ est la sixième partie de cette même circonférence ; donc $\overset{\frown}{BL}$ est dix fois plus grand que $\overset{\frown}{BK}$. Or le rapport des cordes $\dfrac{BL}{BK}$ est inférieur au rapport des arcs $\dfrac{\overset{\frown}{BL}}{\overset{\frown}{BK}}$, donc la corde $[BL]$ est inférieure à dix fois la corde $[BK]$.

$DKB$ et $ABC$ sont semblables donc $\dfrac{BD}{BK} = \dfrac{AB}{BC}$, donc $\mathbf{AB}$ est bien inférieur à $\mathbf{20\times BC}$.

Mon commentaire :

Dans la démonstration, vous avez rencontré la phrase suivante en rouge :

« Le rapport de $EG$ sur $EH$ est plus grand que le rapport des deux angles $\widehat{GBE}$ et $\widehat{CBE}$, donc plus grand que $\dfrac{15}{2}$. »

On pourra s’en convaincre en utilisant la variation de la variation de $f$ définie par : $f(x) = \dfrac{\tan x}{x}$ dans l’intervalle $\left]0 ; \dfrac{\pi}{2}\right[$.

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Schéma 5 bis

Dans ce cas : $\dfrac{\tan \widehat{GBE}}{\tan \widehat{CBE}}=\dfrac{GE}{EH}$

Or $\widehat{GBE} \gt \widehat{HBE}$ et $\dfrac{\tan \widehat{GBE}}{\widehat{GBE}} \gt \dfrac{\tan \widehat{HBE}}{\widehat{HBE}}$

Soit $\dfrac{\tan \widehat{GBE}}{\tan \widehat{HBE}} \gt \dfrac{\widehat{GBE}}{\widehat{HBE}}$

Et donc $\dfrac{GE}{EH} \gt \dfrac{\widehat{GBE}}{\widehat{HBE}}$

J’avoue ne pas avoir réussi à démontrer cette propriété en utilisant uniquement les éléments d’Euclide et que je serais ravi qu’un lecteur puisse m’en proposer la démonstration.

Site des éléments d’Euclide

2) Mesure de la circonférence terrestre par Posidonius (135-51 av. J.-C.)

D’après maths-au-quotidien.fr site remarquable.

Niveau Collège

Posidonius a calculé une mesure de la circonférence de la Terre. Sa méthode est basée sur l’observation de l’étoile australe Canopus (Alpha Carinae), qui est la deuxième étoile lointaine la plus brillante dans le ciel après Sirius. Cette étoile, bien visible dans l’hémisphère sud.

Posidonius l’a aperçu juste au raz de l’horizon lorsqu’il était à Rhodes.

Il l’a observé une seconde fois plus au sud, à Alexandrie, et a jugé que la direction de Canopus faisait un angle de « un vingt-quatrième de méridien » avec l’horizon.

De plus, après avoir utilisé dans un premier temps 5 000 stades pour la distance Rhodes-Alexandrie, il a finalement utilisé 3 750 stades. On considère qu’un stade équivaut à 165 m.

Les points $R$ et $A$ situent respectivement les villes de Rhodes et Alexandrie. Soit $\alpha$ l’angle en degrés, entre Canopus et l’horizon à Alexandrie. Canopus étant extrêmement lointaine (310 années-lumière), on suppose que les droites $(RD)$ et $(AE$) sont parallèles.

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Schéma 6

1) Démontrer que la somme des angles d’un quadrilatère est égale à 360°.

a) En déduire que $\widehat{ACR} = 180° − \widehat{ABR} $

b)Montrer que $ \widehat{ACR} = \widehat{ABD} $

c) Montrer que $ \widehat{EAF} = \widehat{ABD} $ et en déduire que $ \widehat{ACR} = \alpha$

2) Déterminer $\widehat{ACR} $

3) On admet que la longueur d’un arc de cercle est proportionnelle à l’angle au centre correspondant : $l = a \times \widehat{NMP}$

Déterminer la valeur du coefficient de proportionnalité $a$.

4) Déterminer une valeur approchée, en mètres, de la longueur de la circonférence de le Terre (double de celle d’un méridien) calculée par Posidonius. Rechercher la vraie valeur de cette circonférence. Conclusion.

5) Si l’on admet que les 3 750 stades utilisés sont une bonne approximation de la distance Rhodes-Alexandrie, déterminer l’angle $\alpha$ sous lequel Posidonius a en fait vu l’étoile Canopus.

3) Distance de la terre à la lune obtenue par Hipparque

Niveau Lycée

Voir mon article au paragraphe 8

La méthode des éclipses de lune (éclipse totale)

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Schéma 7

Voir mon article paragraphe 8

Aristarque de Samos (300 - 230 av.J.-C ) fut un des premiers à essayer de déterminer la distance de la terre à la lune, en utilisant l’observation des éclipses de lune.

Pour faire ses calculs, il a eu besoin de connaître le rayon de la terre, rayon qu’Eratosthène calcula en -236 av .J.-C.

4) Mesure de la circonférence terrestre par Eratosthène ( Cyrène, v. -276 – Alexandrie, Égypte, v. -194).

Utilisation de la géométrie élémentaire

Niveau Collège

Voir mon article

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Schéma 8

Le cercle représenté est le méridien d’Alexandrie qui est approximativement celui de Syène dénomination ancienne d’Assouan.

C’est véritablement un coup de génie !

La distance entre Assouan et Alexandrie a été obtenue à partir de la longueur du pas d’un chameau et du nombre de pas d’un chameau !

Utilisation de la trigonométrie sphérique.

Niveau Classe préparatoire/Université

Si à présent, nous faisons la distinction entre les deux méridiens, il nous faudra passer par la trigonométrie sphérique selon une idée de Christian Dumoulin.

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Schéma 9

phi ($\phi$) désigne la latitude.

La connaissance de $\theta$ et de la distance $O_{1}O_{2}$ permettra de déterminer la longueur de la circonférence terrestre.

Nous allons par la trigonométrie sphérique calculer $\theta$ et faire l’hypothèse que la différence de longitude entre $O_{1}$ et $O_{2}$ n’est pas trop importante.

Pour une étoile dont la hauteur est $h$ on appelle distance zénithale $z$ :

$z=90°- h$.

Posons $a_{1}= 90°- \phi_{1}$ et $a_{2} = 90°- \phi_{2}$ où $\phi_{1}$ est la latitude de $O_{1}$ et $\phi_{2}$ est la latitude de $O_{2}$.

Compte tenu de ce que nous faisons, il est légitime de considérer l’étoile polaire sur l’axe du monde. Dans ce cas $a_1$ et $a_2$ sont approximativement égales aux distances zénithales de l’étoile polaire par rapport à $O_1$ et $O_2$ respectivement.

Posons $\omega_1$ la longitude de $O_1$ et $\omega_2$ la longitude de $O_2$.

On a dans le triangle sphérique $NO_{1}O_{2}$

$\cos \theta = \sin\phi_{1}\sin\phi_{2} + \cos\phi_{1}\cos\phi_{2}\cos \left(\omega_{2} - \omega_{1}\right)$

Or $\cos \left(\omega_{2} - \omega_{1}\right)= 1 - 2\sin^{2} \left(\dfrac{\omega_{2}-\omega_ {1}}{2}\right)$

Donc $\left| \cos\theta-cos\left(\phi_{2}-\phi_{1}\right)\right| \leqslant 2 \sin^{2}\left(\dfrac{\omega_{2}-\omega_{1}}{2}\right)$.

D’ou $\left| \cos\theta-cos\left(\phi_{2}-\phi_{1}\right)\right| \leqslant 2 \left(\dfrac{\omega_{2}-\omega_{1}}{2}\right)^{2}$ (puisque $\sin \approx x$ avec $x$ en radians (pour des petites valeurs de $x$).

Dans le cas Ératosthène la différence de longitude entre Syène et Alexandrie et d’environ 3° soit 0,052 radians.

D’où

$$\cos \theta -\cos\left(\phi_{2}-\phi_{1}\right) \leqslant 0,001 37 \quad (1)$$

Nous sommes dans l’hémisphère nord donc la formule de la latitude méridienne est en supposant que l’on fait par exemple la mesure au solstice d’été.

Lors du passage du soleil en $O_1$ :

$$\phi_{1}= 90°-h_{1}+\delta_{1} \quad (2)$$


où $\phi_{1}$ est la latitude du lieu, $h_{1}$ la hauteur du soleil et $\delta_{1}$ sa déclinaison.

 Lors du passage du soleil en $O_2$ :

$$\phi_{2}= 90°-h_{2}+\delta_{2} \quad (3)$$


où $\phi_{2}$ est la latitude du lieu, $h_{2}$ la hauteur du soleil et $\delta_{2}$ sa déclinaison.

Le soleil met environ 30 minutes pour passer du méridien de Syène (Assouan) au méridien d’Alexandrie.

En effet le soleil met approximativement 24 h pour parcourir en apparence 360° donc pour une différence de longitude de 7° environ, il mettra environ 28 min.

Cette déclinaison a une amplitude environ de 24’ sur 24 h aux équinoxes et environ de 12 secondes d’arc sur 24 h aux solstices. On voit donc que l’on peut considérer cette déclinaison quasi constante si l’on fait les mesures aux solstices.

(1) permet donc d’écrire :

$$\cos \theta \approx \cos\left(\phi_2 - \phi_1\right) \quad (4)$$

D’où $\theta\approx \phi_2 - \phi_1$

(2) et (3) donnent : $\phi_2 - \phi_1= (90°- h_2) - (90°- h_1)$, différence des distances zénithales car la distance zénithale vaut $90° - \text{hauteur}$.

  • Distance zénithale pour Alexandrie : $z_1 = 58 ,8°$
  • Distance zénithale pour Syène : $z_2 = 65,92°$

On a $z_2 -z_1 =7,12°$.

Par ailleurs la distance Assouan-Alexandrie=787,5 km

Ce qui donne pour la longueur de la circonférence terrestre 39 817 km, valeur voisine de la valeur moyenne de la circonférence terrestre soit 40 000 km.

5) Protocole de détermination de la longitude au 17 ème siècle

Niveau Classe préparatoire/Université

Ce paragraphe est destiné à préparer le paragraphe 9 dont l’objectif est de déterminer la parallaxe de Mars et la parallaxe du soleil ce qui exigera la connaissance des longitudes.

Présupposés : angle horaire, temps sidéral, angle au pôle

et formule de Borda. $\sin^2\dfrac{P}{2}= \dfrac{\sin(S-h)\cos S}{\sin \Delta \cos L}$

Avec $\Delta= 90°-D$ et $S = \dfrac12(\Delta+S+h)$ formule autorisant le calcul logarithmique.

Les mémoires de l’académie royale des sciences contiennent les observations permettant de calculer la longitude de Dieppe par l’étoile Pollux (en rose).

Pollux observée le 10 novembre 1681 est à l’est.

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Pollux en rose photo 10

Repère équatorial horaire

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Schéma 11 _ Crédit : ASM/Patrick Rocher

Temps sidéral :

L’angle horaire du point $\gamma$ est appelé temps sidéral $T$. Si l’on connaît le temps sidéral du lieu (grâce à une horloge sidérale) et l’ascension droite d’une étoile (trouvée dans un catalogue), son angle horaire est donné par la relation :

$H = T - \alpha $

Lors du passage d’une étoile au méridien, $H = 0$ et la connaissance du temps sidéral donne son ascension droite $\alpha$ et réciproquement.

Données astronomiques

La latitude de Dieppe est égale à 49° 56’.

Etoile Pollux ascension droite=7 h 26m ; déclinaison 28°45’

Hauteur h=58°52’

a) Détermination du temps sidéral local

$\sin h = \sin L \sin D + \cos L \cos D \cos P$
Sous cette forme, elle ne se prête pas au calcul logarithmique.

Appliquons la formule de Borda comme au temps ou se pratiquaient les calculs.

$\sin^2\dfrac{P}{2}= \dfrac{\sin(S-h)\cos S}{\sin \Delta \cos L}$

Avec $\Delta= 90°-D$ et $S = \dfrac12(\Delta+S+h)$

D’où $\log \sin \dfrac{P}2 = \dfrac12 (\log (\sin(S-h)) +\log \cos S – \log \sin \Delta-\log \cos L)$ (2)

(2) donne $P$ =30°10’ : c’est la valeur de l’angle au pôle.

Or Pollux est à l’est au moment de l’observation donc son angle horaire $H$ vaut :

$H$ = 360°-(30°10’)=329°50’=21h 59m

Soit T le temps sidéral local, $\alpha$ l’ascension droite de Pollux et $H$ l’angle horaire. On a $T=H+\alpha$(modulo 24h)

Alors : donc $T$=21 h 59m + 7 h 26 m = 29h 25m (24h)

Donc $T$= 29h 25 m-24 h=5 h 25m

b) Détermination de l’heure vraie locale

Les éphémérides de Mezavaques(1674) donnent pour le 10 novembre : Ascension droite du soleil $\alpha=\text{15 h 3 min}$.

Appliquons $T=H+\alpha\text{ (modulo 24h)}$, on a : $H= T-\alpha=\text{5 h 25 min }- \text{15 h 3 min (24h)}$.

L’angle horaire du soleil vaut : $H=\text{24 h} – \text{9 h 38 min} = \text{14 h 22 min}$

Donc le temps solaire vrai est 2 h 22min

c) Correction d’horloge

L’observation est faite à Dieppe à 2 h 17 min 54 s soit à 2 h 8 min.

Et donc temps solaire vrai à Dieppe = temps horloge Dieppe + 4 min.

d) L’éclipse du satellite Io est observée à Dieppe à 4 h 16 min.

e) Détermination de la longitude, le méridien de Paris étant le méridien de référence

Cette éclipse observée simultanément à Paris a lieu à 4 h 25 min, temps vrai de Paris (information prise dans des éphémérides).

La différence des deux temps vrais donne la longitude soit :

4 h 25 min - 4 h 20 min = 5 min = 1,25°

6) Détermination de la parallaxe de Mars par Giovanni Domenico Cassini et Jean Richer et calcul de la distance terre- Mars et de la distance terre- soleil.

Niveau Lycée/Classe préparatoire/Université

a) Formule de la parallaxe de Mars

L’astuce va consister à calculer la hauteur de Mars en $C’$ pour effectuer les calculs dans le méridien de Paris qui est aussi celui de $C’$.

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Schéma 12

Notations

$C’$ = intersection du parallèle de Cayenne(en vert) avec le méridien de Paris

$P$ = Paris $C$ = Cayenne $M$ = mars $E$ = étoile

Le parallèle de Cayenne coupe le méridien de Paris(blanc) en $C’$

$c$ = projection orthogonale de Mars sur la méridienne de Paris

$d$ = projection orthogonale de l’étoile sur la méridienne de Paris

$a$ = projection orthogonale de Mars sur la méridienne de $C’$

$b$= projection orthogonale de l’étoile sur la méridienne de $C’$

$n$ = pôle nord

Cassini et Richer vont éliminer la question de la réfraction en choisissant une étoile très proche en direction de Mars et procéder à des calculs de différence de hauteur. Pour ces deux astres, la réfraction peut être alors considérée comme identique de sorte que par différence les effets de la réfraction s’annuleront.

Nous montrerons ce calcul dans le détail au d) intitulé : « la méthode différentielle ».

$\widehat{MPc}$ = hauteur de Mars à Paris

$\widehat{EPd}$ = hauteur de l’étoile à Paris

$\widehat{MC’a}$ = hauteur de Mars en $C’$

$\widehat{EC’b}$ = hauteur de l’étoile en $C’$

Nous allons utiliser le fait que l’étoile est à distance considérable eu égard à la distance Paris $C’$ et donc que les droites $(PE)$ et $(C’E)$ sont parallèles.

Posons $f $= hauteur de l’étoile à Paris - hauteur de Mars à Paris

Posons $g$ = hauteur de l’étoile en $C’$ - hauteur de Mars en $C’$

Posons $e = f-g$

Voir le paragraphe e) pour le détail des calculs de hauteur.

D’après le schéma n° 12 on a :

$f=\widehat{MPE}$ et $g=\widehat{MC’E}$

Comme ces angles sont des différences, l’action de la réfraction ne joue pas comme nous le verrons au paragraphe d)

Considérons alors le schéma suivant extrait du schéma n° 12 précédent.

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Schéma 13

Posons $\widehat{EPR}=f$ et $\widehat{PRC’}=f$ comme angles alternes internes

Posons $\widehat{EC’M}=g$

Donc $\widehat{MRC’}=180°-f$ angles supplémentaires

$\widehat{PMC’}= 180°-(g+180°-f) = f-g$

Cassini et Richer trouvèrent grâce aux hauteurs relevées : 

$e$= $f - g$ = 14″ avec une incertitude de 3″

Considérons le schéma ci-dessous réalisé dans le plan du méridien de Paris et reprenant une idée de Béatrice Sandré.

Les droites $(PM)$ et $(C’M)$ sont pratiquement parallèles car nous venons de trouver environ 14″ pour l’angle $\widehat{PMC’}$.

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Schéma 14

Soient $Z$ et $Z’$ les distances zénithales de Mars à Paris et au point $C’$ lors de son passage au méridien.

Ce sont les complémentaires des hauteurs méridiennes correspondantes $h$ et $h’$.

On a :

Distance zénithale de Mars à Paris $=\widehat{APS}=\widehat{NPO}$ donc $\widehat{NOP}=h$

Distance zénithale de Mars en $C’ =\widehat{BC’M}$ donc $\widehat{OC’V}=h’$

Appelons $R$ le rayon de la terre.

On a $SC’= SV-C’V = R \cos h-R\cos h’$

Cette distance $SC’$ est vue de Mars sous l’angle $e = f-g$ de 14″.

On a donc $e =\dfrac{SC’}{D} $ , $D$ désignant la distance terre Mars.

Introduisons la notion de parallaxe horizontale d’un astre.

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Schéma 15

$E$ désigne un astre quelconque situé dans le plan horizontal d’un observateur sur l’équateur.

Le plan en noir est le plan de l’équateur terrestre.

Nous projetons l’astre $A$ en $e$ sur le plan de l’équateur.

De $e$ nous menons les deux tangentes au cercle équateur terrestre qui ont comme points de contact $E$ et $F$.

Il est alors aisé de démontrer que les triangles $AEO$ et $AFO$ sont rectangles en $E$ et $F$. 

La parallaxe horizontale équatoriale de l’astre est l’angle $\widehat{OAE}$ ou $\widehat{OAF}$. Appelons cette parallaxe $p$.

$p$ désigne à présent la parallaxe de Mars.

On a $\sin p \approx p$ avec $p$ en radians du fait que $p$ est très petit.

$p=\dfrac{R}{D}$

Mais nous venons de voir que $e =\dfrac{SC’}{D} $

Donc $p = e\dfrac{R}{SC’} =\dfrac{e}{R\cos h - R \cos h’}$

$p =\dfrac{e}{R\cos h - R \cos h’}$

Les hauteurs relevées par Cassini et Richer fournissent alors $p$ en tenant compte que l’incertitude principale provenant de la valeur de $e =f-g$ et non des hauteurs qui n’ont pas besoin dans ce calcul d’être connues à la minute près : 

$p$ = 24″ avec une incertitude de 5″

b) Calcul de la distance terre/Mars

Une fois connue la parallaxe de Mars, on calcule la distance $D$ terre/mars par la formule $R= D\times p$ dans laquelle $R$ désigne le rayon de la terre.

$D$ = distance terre/Mars = 8600 $R$

Cassini savait que la distance terre /Mars vaut $\dfrac38$ ua .

ua désignant la distance terre soleil.

ua $= \dfrac83 \times 8600 R=23000R$

c) Calcul de la parallaxe du soleil et sa distance à la terre.

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Schéma 15 bis

En septembre 1672 Mars est à $\dfrac38$ ua de la terre alignée avec la terre et le soleil qui est à 1 ua de la terre.

$\widehat{ESF}$ est la parallaxe du soleil notée $p$.

$\widehat{EMF}$ est la parallaxe de Mars notée $q$.

On a donc $p=\dfrac38 q = \dfrac38 \times 24$$= 9$

L’incertitude sur $p$ est $ \dfrac38 \times 5 =2$

Donc en appelant $a$ la distance moyenne terre/soleil on a :

$\tan p = \dfrac{R}{a} $ d’où $a = 23000 R$

Avec un rayon terrestre de 6400 Km on obtient : $a= (150 \pm 30) \times 10^6$ Km

d) La méthode différentielle.

Mars est distant en direction de ψ¹Aquarii de 6 ° environ et donc sa direction est très proche de celle de Mars.

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Shéma 16

Au méridien de Paris, l’étoile choisie ψ¹Aquari1 a pour hauteur à son passage au méridien 30,28°.

Mars à son passage au méridien a pour hauteur 29,99°.

La formule approximative de la réfraction attribuée à Bennett est :

$R = \cot g \left(h_a+\dfrac{7,31}{h_a+4,4} \right)$

avec $h_a$ hauteur apparente de l’astre

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Schéma 17

La réfraction a pour effet d’augmenter la hauteur de l’astre.

Plus l’astre est prêt de l’horizon plus la réfraction est importante.

hauteur vraie = hauteur apparente - réfraction
Mars hauteur en degrés
  29,99888889
étoile hauteur en degrés
  30,28638889
réfraction en minutes d’arc réfraction en degrés hauteur vraie en degrés réfraction en secondes d’arc
Mars 1,717386247 0,028623104 29,97026578 103,0431748
étoile 1,697857295 0,028297622 30,25809127 101,8714377
différence en secondes d’arc 1,17
tableau 18

La différence est minime de l’ordre de la seconde d’arc.

ψ¹Aquarii est le point en mauve. La ligne verte est le méridien de Paris.

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Photo 19

Ainsi grâce à la méthode différentielle, nous pouvons écrire pour deux astres $E_1$ et $E_2$ de directions proches : 

Pour l’étoile $E_1$ hauteur apparente $h_1$ hauteur vraie $H_1$

Pour l’étoile $E_2$ hauteur apparente $h_2$ hauteur vraie $H_2$

$h_1-h_2 \approx H_1-H_2$

e) Calcul de la hauteur de l’astre au point C’ qui a même longitude que Paris et même latitude que Cayenne.

En ordonnée, les hauteurs exprimées en degré et en abscisse le temps écoulé de minutes en minutes.

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Schéma 20

Nous utiliserons le fait que la décroissance de la hauteur de Mars à Cayenne est une fonction affine pour la détermination de la hauteur en $C’$ point de même latitude que Cayenne et de même longitude que Paris.

La différence de longitude entre Paris et Cayenne a été estimée par Cassini à

3 h 39 min avec une incertitude de 10min.

Pour la détermination des longitudes, voir le paragraphe 5 ou mon article qui présente un panorama de méthodes de détermination de la longitude.

Mars passe au méridien de Paris avant de passer au méridien de Cayenne.

Or la hauteur de Mars à Cayenne le 4 septembre est 74° 48’ 55 ’’

et 24 h plus tard le 5 septembre 74°44’ 20’’.

En 24 h la hauteur de Mars à Cayenne a diminué de 4’ 35’’ c’est-à-dire entre le 4 septembre 1672 et le 5 septembre 1672 .

Le temps écoulé entre le moment ou Mars se trouve sur le méridien de Paris et celui ou Mars se trouve sur celui de Cayenne est égal approximativement à la différence de longitude des 2 villes soit 3 h 39min.

En réalité il est de 3 h 37 min 56s. (Peut être vérifié avec stellarium).

En effet Mars s’est déplacé sur la sphère céleste, mais de manière presque insensible comme le montre les coordonnées écliptiques de Mars :

Mars est à Paris le 5 septembre 1672 :

Longitude écliptique : 348° 1’ 21’’

Latitude écliptique : - 5° 58’ 58,8’’

Mars est à Cayenne le 5 septembre 1672 :

Longitude écliptique : 347° 58’ 55,8’’

Latitude écliptique : - 5° 58’ 27,6’’

Différence des longitudes écliptiques $\approx$ 1°

Différence des latitudes écliptiques $\approx$ 0,01°

Si en 24 h la hauteur de Mars à Cayenne décroît de 4’ 35 ’’ alors :

en 3 h 39 min la décroissance sera de 4’35’’$\times \dfrac{\text{3h39min}}{\text{24h}} =$ 42’’

Donc hauteur de Mars au méridien de $C’$ qui est le méridien de Paris le 5 septembre est égale à :

74° 44’ 20’’+42’’= 74° 45’ 02’’

7) Les lois de Kepler

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Shéma 21
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Schéma 22
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Shéma 23

8) Application de la troisième loi de Kepler au calcul de la distance terre-soleil

Niveau Lycée

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Schéma 24

La troisième loi de Kepler permet d’écrire :
$\dfrac{a^3}{T^2}=\dfrac{(a+d)^3}{M^2}$

Avec $T$ période de révolution de la terre et $M$ période de révolution de Mars.

On peut ainsi calculer $a$, connaissant $d$

On a $a=\dfrac{d}{\left(\dfrac{M}{T}\right)^{\dfrac23}-1}$

9) Transit de Vénus

Niveau Lycée /Classe préparatoire

Prérequis : angle horaire, temps universel TU, coordonnées sphériques et rectangulaires , produit vectoriel

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Schéma 25

Superposition de deux photos de l’ombre de Vénus photographiée lors du transit de 2004 en deux points de la terre, l’un en Autriche l’autre en Afrique du sud.

a) Angle horaire d’un astre

La sphère représentée est la sphère céleste.

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Schéma 26

b) Coordonnées rectangulaires 

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Schéma 27

Appelons $O$ le centre de la sphère. Le plan $xoy$ est le plan équatorial
-  $\rho$ désigne la distance du point au centre O du repère ;
- $\lambda$ désigne la longitude, mesurée depuis l’axe des $x$ généralement entre ($-\pi \leq \lambda \leq \pi$) .
- $\varphi$ désigne la latitude, l’angle depuis le plan équatorial ($-\dfrac{\pi}2 \leq \varphi \leq \dfrac{\pi}2$) .

On a :
$x= \rho \cos \varphi \cos \lambda$
$y= \rho \cos \varphi \sin \lambda$
$z= \rho \sin \varphi $

c) Rappel sur le produit vectoriel

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l’espace, on appelle produit vectoriel des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ le vecteur noté $\overrightarrow{u} \land\overrightarrow{v}$ tel que :

Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires $\overrightarrow{u} \land\overrightarrow{v}=0$

Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires alors : 
$\overrightarrow{u} \land\overrightarrow{v}$ est orthogonal à  $\overrightarrow{u}$ et à $\overrightarrow{v}$
$\overrightarrow{u} \land\overrightarrow{v}$ est tel que la base $(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{u} \land\overrightarrow{v})$ est directe 

$\|\overrightarrow{u} \land\overrightarrow{v}\|=\|\overrightarrow{u}\| \|\overrightarrow{v}\| \sin (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ 

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Schéma 28

Si l’espace est muni d’un repère $B$ orthonormé direct alors :

$ \begin{array}{ccccc} \overrightarrow{v_1}& &\overrightarrow{v_2}&&\overrightarrow{v_1}\wedge\overrightarrow{v_2}\\ \left(\begin{array}{c}x_1\\y_1\\z_1\end{array}\right)_B&\wedge&\left(\begin{array}{c}x_2\\y_2\\z_2\end{array}\right)_B &=&\left(\begin{array}{c}y_1z_2-z_1y_2\\z_1x_2-x_1z_2\\x_1y_2-y_1x_2\end{array}\right)_B \end{array} $

d) Elongation maximum de Vénus.

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Schéma 29

L’observation depuis la Terre, du mouvement apparent de Vénus par rapport au Soleil permet de mesurer l’écart angulaire entre les directions Terre – Vénus , Terre – Soleil appelé élongation de Vénus et d’en déduire le rapport entre les rayons $SV$ et $ST$ des orbites de Vénus et de la Terre.

Cette élongation est maximum lorsque le triangle $SVT$ est rectangle en $V$.

Pour Vénus cet angle vaut 46,3°, donc

$\sin 46,3°= \dfrac{VS}{TS} \approx 0,723 =x$(1)

e) Calcul de la distance terre soleil d’après une idée de Béatrice Sandré

Lors du passage de Vénus devant le Soleil, au même instant, depuis deux points $A$ et $B$ de la Terre, on photographie le Soleil. (voir schéma 30)

Soit $V_A$ et $V_B$ les deux ombres de Vénus sur le Soleil vues depuis $A$ et $B$. On espère que des tâches solaires permettent de superposer les deux photos.

L’échelle angulaire de la photo peut être déterminée sachant que le diamètre apparent du Soleil le 8 Juin 2004 sera de 0,525°. Une fois les deux photos superposées, on mesure l’écart entre les deux ombres $V_A$ et $V_B$ et on en déduit l’écart angulaire $\alpha=\widehat{V_BAV}$ (schéma 25).

Voir l’article de Béatrice Sandré pour superposer des photos.

Soit $S’$ le point substellaire du soleil, c’est-à-dire le point d’intersection du segment terre /soleil avec la sphère terrestre.

$(SA)$ et $(BS)$ les directions du soleil vu de $A$ et de $B$.

La déclinaison du soleil est égale à la latitude du point $S’$.

Qu’en est -il de la a longitude de $S’$ ?

Appelons $H_S/G$ l’angle horaire du soleil $S$ par rapport au méridien de Greenwich noté $G$.

Appelons $TU$ le temps universel : $TU = H_S / G + 12 \text{h}$

$\lambda_{S’}= (12-TU) \times \dfrac{360}{24}$ en degrés

De sorte que en posant $R$ rayon de la terre :

$A (R \cos \varphi_A \cos \lambda_A ; R \cos \varphi_A \sin \lambda_A ; R \sin \varphi_A)$
$B (R \cos \varphi_B \cos \lambda_B ; R \cos \varphi_B \sin \lambda_B ; R \sin \varphi_B)$
$S’ (R \cos \varphi_{S’} \cos \lambda_{S’} ; R \cos \varphi_{S’} \sin \lambda_{S’} ; R \sin \varphi_{S’})$

$\overrightarrow{AB}\left \{ \begin{array}{ l} R \cos \varphi_B \cos \lambda_B - R \cos \varphi_A \cos \lambda_A\\ R \cos \varphi_B \sin \lambda_B - R \cos \varphi_A \sin \lambda_A\\ R \sin \varphi_B - R \sin \varphi_A \\ \end{array} \right.$

Nous pouvons donc calculer $\overrightarrow{AB} \land\overrightarrow{OS’}$ (2)

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Schéma 30

Nous posons $\widehat{V_BAB}= \psi$ et $R$ = rayon de la terre.

Alors on a $\overrightarrow{AB} \land\overrightarrow{OS’}=AB \times R \sin \psi$ (3)

D’après la relation des 3 sinus dans le triangle $AVS_B$ on a :

$\dfrac{\sin \alpha}{VV_B}=\dfrac{\sin \beta}{VA}$ donc $\dfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}=\dfrac{VV_B}{VA}=\dfrac{x}{1-x}$ avec $x=\dfrac{VS}{TS}=$distance Vénus soleil / distance terre soleil = 0,723

Comme $\beta$ et $\alpha$ sont petits $\beta=\alpha\dfrac{1-x}{x}$

Appelons $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BV)$

Dans le triangle $BAV_B$, posons $\widehat{BV_BA}= \beta$ alors  :

$\widehat{ABH}+\psi+\beta=180°$ mais $\beta$ est considéré comme négligeable.

Donc $\widehat{ABH}+\psi \approx 180°$ donc $\sin \widehat{ABH}=\sin(180°-\psi) =\sin(\psi)$

$\sin \widehat{ABH}= \dfrac{AH}{AB} $

$\sin \beta= \dfrac{AH}{AV_B} $

Donc $\sin \psi \times AB = \sin \beta \times AV_B $

Donc 1 unité astronomique $ =AV_B = AB \dfrac{\sin \psi}{\beta}=AB \dfrac{\sin \psi}{\alpha}\dfrac{x}{1-x}$

Le rayon $R$ servant d’unité.

10) Mesure de la distance terre soleil et de la vitesse orbitale de la terre grâce à la théorie de l’aberration

Niveau Université

Prérequis : Mon article /paragraphe 4

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Schéma 31

$O$ désigne le centre de la terre , $S$ le soleil et $E$ l’étoile.

Considérons la droite parallèle à $(SE)$ passant par le centre de la terre. Elle coupe la sphère céleste géocentrique en un point qui est le point marron foncé du schéma.

L’étoile marron foncé est la position héliocentrique de l’étoile. Désignons cette position héliocentrique par $e_0$.

L’étoile marron clair désigne la position de cette étoile subissant l’effet de l’aberration.

Le point $\gamma$, un des deux points d’intersection de l’écliptique et de l’équateur désigne le point origine des ascensions droites sur l’équateur céleste.

Dans le numéro de Mathématice signalé ci-dessus, nous avons démontré les formules de variation des coordonnées par rapport à $e_0$ position héliocentrique de l’étoile.

$K$ désigne la constante d’aberration, $\lambda_S =$ longitude écliptique du soleil, $\lambda =$ longitude écliptique de l’étoile et les coordonnées écliptiques de $e_0$ sont $\lambda_0$ et $\beta_0$

La variation de longitude écliptique $\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0$

La variation de latitude écliptique $\Delta \beta = \beta - \beta_0$

$\Delta \lambda \cos \beta = -k \cos(\lambda_S - \lambda)$ (1)

$\Delta \beta = -k \sin(\lambda_S - \lambda) \sin \beta $ (2)

a) Etoiles du colure des solstices

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Schéma 32

Le colure des solstices est le plan passant par l’axe du monde et par le pôle de l’écliptique. 

La variation de latitude des étoiles $E_1$ et $E_2$ est égale à leur variation de déclinaison.

C’est le lieu des étoiles tels que $\alpha$ = 6h et $\alpha$ = 18 h.

Leurs longitudes sont de 90° ou de 270°.

La latitude d’une étoile est donnée par : $\sin b = \cos \varepsilon \sin \delta - \sin \varepsilon \sin \alpha \cos \delta$

Pour les étoiles du colure des solstices, leurs latitudes sont respectivement $b = \delta - \varepsilon$ ou $b = \delta + \varepsilon$

D’après la théorie de l’aberration, cette variation en latitude au cours d’une année doit être :

$2 k \sin b$ $k$ désignant la constante d’aberration.

En effet, les extremums de latitude écliptique ayant lieu lorsque ces étoiles sont en quadrature de longitude écliptique avec le soleil :

D’après la formule (2) : $\Delta \beta = -k \sin(\lambda_S - \lambda) \sin \beta $

Cette variation de latitude aux dates correspondant à ces quadratures sont conformes à l’expérience. Extraordinaire, n’est-ce pas !

b) Etoiles qui n’appartiennent pas au colure des solstices

Pour ces étoiles, on n’a pas accès directement à leur variation de latitude mais à une variation de déclinaison.

La variation en déclinaison apparente reliée à la constante d’aberration est donnée par la formule : 

$\delta - \delta_0 = -k ( \sin \varepsilon \cos \delta \cos L + \cos \alpha \sin \delta \sin L - \cos \varepsilon \sin \alpha \cos L) $ (1)

où $L$ est la longitude du soleil. 

En un an, les valeurs de $\alpha$, $\delta$ et $\varepsilon$ ne changent pratiquement pas, la seule variable est donc la longitude du soleil qui varie de 0° à 360°.

Exemple : l’étoile 64 Aurigae en 1930

ascension $\alpha_0$ = 7h 13 min 10,3 s $\delta_0$ = 41° 34,14″

La relation (1) s’écrit alors :

$\delta -\delta _0 = -k (0,2713 \cos L + 0 ,2060 \sin L)$

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Schéma 33

Courbe représentative de $f$ définie par : $f(L) =0,2713 \cos L + 0 ,2060 \sin L$

Donc $f$ a un maximum qui vaut 0,3406 $k$ pour $L$ = 37,21°

$f$ a un minimum qui vaut -0,3406 $k$ pour $L$ = 217 ,21°

Ensuite on utilisera le portail de l’institut de mécanique céleste et l’on demandera la traduction en français.

On précisera la cible : le soleil

L’époque, le nombre de réponses à partir du jour et de l’heure Tu ainsi que le pas en jours ou en heures ou en minutes ou en secondes.

Or le soleil parcourt environ 1° de longitude écliptique par jour à parti du 20 ou du 21 mars (équinoxe de printemps ou la déclinaison vaut 0°), ceci permettra de trouver le mois correspondant à une longitude de 217° et d’affiner ensuite la recherche.

On précisera dans paramètres avancés que le système utilisé est celui des coordonnées écliptiques.

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Schéma 34

Ce qui permettra de trouver les dates correspondantes.

Pour la longitude écliptique 37,21°, il s’agit du 27 avril 1930.
Pour la longitude 217,21°, il s’agit du 26 octobre 1930 .

$f$ a un maximum qui vaut + 0,3406 $k$ le 27 avril.
Soit $\delta_1$ sa déclinaison le 27 avril

$f$ a un minimum qui vaut -0,3406 $k$ le 26octobre.
Soit $\delta_2$ sa déclinaison le 26 octobre.

La différence des déclinaisons est donc $0,3406 k - (-0,3406 k) = 0,6812 k$.

On a $\delta_2 - \delta_1=\delta_2 - \delta_0 - (\delta_1 - \delta_0)$

$\delta_2 - \delta_1$ est maximum si $\delta_2 - \delta_0$ est maximum et $\delta_1 - \delta_0$ minimum.

Pourquoi utiliser un maximum ? La technique astrométrique de détermination de $\delta_2 - \delta_1$ sera d’autant plus précise que la différence $\delta_2 - \delta_1$ sera la plus grande possible.

L’astrométrie permet d’établir que cette différence est expérimentalement de 13, 9″.
On obtient alors $k$= 20,40″.

La constante d’aberration est maintenant connue avec précision :

$k$ = 20,495″ = 9,9371 $10^{-5}$ rad donc $\dfrac{V}{c}$ = 9,937 $10^{-5}$

Or la vitesse de la lumière a été mesurée si souvent, sa valeur est :

299 792 km/s.

Voir le document de l’Observatoire de Paris à ce sujet

Ce qui permet de déterminer la vitesse de la terre sur son orbite soit :

v= 29,79 km/s

On en déduit la distance terre soleil $R$ = 1,4962 km et la parallaxe solaire 8,78″ .

Or cette parallaxe a été mesurée directement, elle vaut 8,789″ par les mesures les plus récentes.

C’est exactement la valeur prédite par la théorie de l’aberration.

Extraordinaire, n’est-ce pas !

La théorie de l’aberration apporte donc un argument décisif quoique de manière indirecte en faveur de la révolution de la terre autour du soleil.

Jacques LASKAR, mathématicien à l’institut de mécanique céleste (IMCCE) affirma en 2008 que la possibilité d’une collision des planètes du système solaire dans les 5 milliards d’année à venir se situait autour de 1%. 

En revanche, le système solaire est prévisible pour les 10 millions d’année à venir.

La suite de ce dossier s’intitulera : Mesures dans le système solaire Partie 2


notes

[1Cette activité est proposée par la Main à la Pâte aux élèves, dès l’école Primaire

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