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MathGraph32 : des figures dynamiques pour appréhender et résoudre des problèmes
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Mis en ligne le 12 décembre 2010, par Yves Biton

Yves Biton est aussi l’auteur des articles suivants

Depuis la mise en ligne de l’article qui suit, de nouvelles et importantes améliorations ont été apportées à MathGraph32 : elles ont en ligne ICI.

Les figures dynamiques, récrites en JavaScript éclairent de nombreux secteurs des mathématiques très au-delà de la seule géométrie. Il n’est plus nécessaire de passer par une applet que Java se fait un plaisir de censurer sous prétexte de sécurité...

Voir aussi : une implémentation des macro-constructions simplifiée.

L’auteur de MathGraph32 a découvert un nouveau théorème de géométrie, conséquence du théorème de Ptolémée. Ce théorème est démontré et illustré avec des figures dynamiques sur cette page.

Les figures de cette page sont disponibles en fin d’article.

Introduction

MathGraph32 possède des fonctionnalités qui lui permettent d’être un outil adapté du collège à la classe de terminale scientifique.

Il permet notamment grâce à ses macros de faire des présentations animées, de masquer ou démasquer des objets, de faire des expériences aléatoires.

Ces figures ne requièrent aucune programmation (via Javascript par exemple) et elles peuvent être mises en ligne via la bibliothèque JavaScript de MathGraph32 comme les figures que vous pouvez voir ci-dessous dans cette page.

Nous allons montrer ci-dessous quelques figures faites avec le logiciel.

Un matériel de vidéoprojection est maintenant souvent disponible en cours de maths.

Projeter des figures animées aidera les élèves à se construire des images mentales leur permettant de s’approprier le cours.

Nous ne détaillerons pas ici la façon de créer de telles figures. Il est évident que certaines d’entre elles nécessitent une bonne connaissance du logiciel. De nombreux exemples sont disponibles sur le site du logiciel à l’adresse suivante : http://mathgraph32.org

Exemple n°1 : Des macros pour faire comprendre la résolution graphique d’inéquations en classe de seconde et la notion de limite en terminale S

Les macros sont représentées par des boutons dont le texte commence par un symbole d’implication. Cliquer sur ces boutons pour lancer les animations.

Sur la figure ci-dessous, cliquer sur la macro Voir condition suffisante ... puis capturer le point B pour faire comprendre la notion de condition suffisante.

Exemple n°2 : Une figure illustrant la résolution graphique d’une équation du second degré

Vous pouvez entrer directement les valeurs de a, b et c dans les champs d’édition de la figure.

Cliquez sur la macro Cacher pour masquer les éléments de la construction.

Cliquer sur la macro Construction fait ensuite apparaître progressivement les éléments de la construction.

Il faut cliquer sur la figure pour les faire apparaître un à un.

Exemple n° 3 : Des figures permettant d’illustrer un exercice

La figure ci-dessous a été créée par Alain Destré, (ancien) professeur au lycée Einstein de Sainte Geneviève des Bois (bonne retraite Alain !).

Elle illustre un exercice donné en classe de seconde (expliquant l’effet Doppler).

La figure ci-dessous montre la construction d’une cardioïde.

On remarquera que MathGraph32 permet de créer des marques d’angles orientés.

La figure ci-dessous a été créée dans le cadre d’un TPE pour expliquer le phénomène du "mur du son".

Capturer V pour changer la vitesse de l’avion puis lancer la macro Animation.

Suivant que V est inférieure ou supérieure à la vitesse du son on visualise ou non un front d’ondes au niveau du sol.

Exemple n°4 : Des expériences aléatoires

Les macros de boucle avec animation permettent de créer des figures illustrant des expériences aléatoires.

On remarquera la vitesse de calcul et le fait qu’on peut lancer en même temps plusieurs animations.

Sur la figure ci-dessous on peut changer le nombre de tirages aléatoires en capturant le curseur.

Lancer ensuite une macro de tirages.

Exemple n° 5 : Des figures simulant la 3D avec des lieux d’objets

Comme d’autres logiciels de géométrie plane, MathGraph32 permet de faire des figures de pseudo 3D. Des macro-constructions fournies avec le logiciel aident à leur création.

Ces figures utilisent des lieux d’objets qui sont une des spécificités de MathGraph32.

La figure ci-dessous montre une partie de la surface d’équation $z=x^2-y^2$ souvent appelée courbe en "selle de cheval".

Arès avoir exécuté les macros de la figure, capturer le point R pour faire tourner la figure, le point Q pour changer l’angle de vue et le point P pour changer le rapport de projection.

Vous pouvez aussi demander la section par un plan d’équation $z=\gamma$ et lancer la macro d’animation faisant tourner la figure.

La figure suivante montre la surface d’équation $z=10xe^{-x^2-y^2}$

Exemple n° 6 : Incorporation de formules LaTeX dynamiques

La figure ci-dessous illustre l’approximation d’une intégrale par la méthode des rectangles. On remarquera l’affichage LaTeX pour l’intégrale. Cet affichage est dynamique (capturer le point b pour le constater).

Exemple n°7 : Une suite récurrente complexe

Cette figure est due à mon ami uruguayen Luis Belcredi.

On utilise en image de fond une image représentant l’ensemble de Mandelbrot et on plaque dessus un repère et le graphe d’une suite récurrente complexe. En capturant le point c, on visualise le fait que tant qu’on reste dans la partie noire (ensemble de Mandelbrot), la suite récurrente complexe définie par $z_{n+1}=z_n^2+c$ est convergente.

C’est l’occasion de rappeler que MathGraph32 prend totalement en charge de façon native le calcul sur les nombres complexes et leur représentation graphique.

Exemple n°8 : Une construction fractale

MathGraph32 permet maintenant d’implémenter des constructions récursives ou itératives.

Voici ci-dessous une fractale de Sierpinski 3D.

A noter que le niveau de récursion n’est ici pas très élevé car JavaScript n’est pas aussi puissant que Java. Il serait possible en ouvrant cette figure dans le logiciel de pousser le niveau de récursion.

La figure une fois construite comportant plus de 1000 objets, il faut cliquer sur la macro Construire pour voir apparaître la fractale.

Cliquer sur la macro Animer fait tourner la figure autour d’un axe vertical. Vous pouvez aussi faire tourner "manuellement" la figure.

Exemple n°9 : Exercices de calcul en ligne

MathGraph32 a des fonctions avancées de traitement d’expressions algébriques.
Cela permet par exemple de créer des exercices de calcul en ligne.

Voici par exemple trois exercices de niveau croissant sur les puissances en seconde :

Niveau 1 : Cliquer ici.

Niveau 2 : Cliquer ici.

Niveau 3 : Cliquer ici.

Quelques informations sur MathGraph32

MathGraph32 est libre et gratuit sous licence GNU GPL3.

MathGraph32 est utilisé en Uruguay sur les ordinateurs OLPC (ordinateurs à 200 $) fournis aux élèves de ce pays par son gouvernement.

Le logiciel a été adapté aux systèmes d’exploitation Sugar et Gnome de ces petits ordinateurs par l’association CeibalJam. Voir cette page.

Le logiciel privilégie au maximum l’utilisation de la souris.

Lors de la création d’un objet graphique nécessitant de cliquer sur un point, MathGraph32 ne crée pas un point par défaut lors d’un clic sur un emplacement vide de la figure. Cette caractéristique est appréciée par les ergothérapeutes travaillant avec des élèves dyspraxiques.

Des icônes permettent d’avoir accès aux outils principaux.

Tous les outils sont disponibles aussi via des menus.

Des messages en bas de la fenêtre aident l’utilisateur à tout instant.

Une historique permet de voir de façon très détaillée comment une figure a été construite.

Il est possible de paramétrer le niveau d’utilisation de MathGraph32. Quatre niveaux sont prédéfinis :
- Niveau école élémentaire.
- Niveau collège.
- Niveau avancé sans prise en charge des nombres complexes.
- Niveau avancé avec prise en charge des nombres complexes.

Il est possible de redéfinir ses propres niveaux en choisissant les outils correspondants.

MathGraph32 possède un puissant éditeur de macro-constructions.

Il permet de travailler dans un nombre quelconque de repères, de créer ses propres fonctions numériques (réelles ou complexes) de une, deux ou trois variables et peut calculer la dérivée d’une fonction numérique réelle.

Les suites récurrentes du type $u_{n+1}=f(u_n)$ (réelles ou complexes) sont disponibles ainsi que leur représentation graphique.

Il est aussi possible de créer des constructions récursives (pour obtenir des fractales dynamiques sans programmation) et des constructions itératives.

De nombreuses boîtes de dialogue sont présentes lors de la création d’objets. Un clic sur un objet créé avec l’outil fait réapparaître la boîte de dialogue pour le modifier.

MathGraph32 a été conçu dès le départ pour être traduit dans plusieurs langues. Il utilise une syntaxe propre à chaque pays. Ainsi une figure contenant un calcul ayant pour formule $sin(x)$ en France donnera en Uruguay la formule $sen(x)$.

Téléchargement des figures utilisées dans cet article

Vous pouvez télécharger ci-dessous un fichier zippé contenant les figures utilisées dans cet article.

Zip - 2.7 Mo
Figures de l’article

Appel à contribution

MathGraph32 est pour le moment disponible en trois langues : Français, Anglais et Espagnol.

Si vous voulez participer à la traduction dans une autre langue étrangère, merci de laisser un message sur le site http://mathgraph32.org. Il s’agit de traduire un très gros fichier contenant tous les messages affichés par le logiciel et toutes les boîtes de dialogue (plusieurs heures de travail) et peut-être aussi le fichier d’aide.

Si vous avez des compétences Linux ou Mac, je suis à la recherche de quelqu’un pouvant écrire des packages d’installation pour les principales distributions de Linux ou pour mac OSX (pour l’instant sous Linux et Mac le logiciel n’est pas installé et est seulement disponible sous forme d’un jar exécutable).

Yves Biton (auteur de MathGraph32).


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