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Faire cours avec l’informatique : l’exemple du PGCD
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Mis en ligne le 27 janvier 2007, par Alain Gaudeul

La question qui se pose souvent quand on cherche à utiliser l’informatique est celle du temps. Cet article propose un exemple de séquence de cours où l’informatique est utilisée par trois fois, avec des logiciels différents sans que la progression en soit ralentie.

Un autre article présente une approche différent du PGCD, dans le dossier de ce numéro.

1ère séance

Pour introduire le PGCD en 3ème, je commence par une activité de pavage :
« On veut paver des rectangles avec des carrés, c’est à dire recouvrir le rectangle avec des carrées de même taille. Pour cet exercice, on cherche la plus grande taille possible pour les carrés. »
Le premier rectangle à paver mesure 8 cm sur 12 cm. Je donne un document avec le rectangle et un quadrillage de 1 cm de côté.
Parmi les questions que posent les élèves, c’est de savoir si la mesure du côté du plus grand carré peut être décimale ou non. Je réponds que oui, bien sur !
En une ou deux minutes, la réponse est donnée. On passe à un rectangle de 15 cm sur 18 cm qui ne pose pas plus de problème. Ces deux premiers exemples simplistes ont pour but de faire entrer les élèves dans l’activité. Je passe ensuite à un rectangle de 54 cm sur 78 cm. Ici, le dessin n’est plus possible. Il faut donc passer par le calcul, et les élèves cherchent à décomposer 54 et 78. J’autorise la calculatrice et tout naturellement les élèves font des divisions. Le nombre 6 étant trouvé, on passe à un quatrième rectangle de 245 cm sur 441 cm. Ici aussi, le calcul est indispensable. Mais les élèves trouvent 7, et rarement 49, ce qui me permet de poser la question du plus grand nombre. « Comment être sur qu’on a trouvé le plus grand carré quand on en a trouvé un ? » A l’aide d’un vidéo-projecteur je construis alors, en dialogue avec la classe, une feuille de calcul qui permet d’afficher la liste des diviseurs des deux nombres. Cette feuille de calcul permet de donner un sens à l’expression « diviseur commun ».

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Les dernières minutes de la séance sont consacrées à la critique de cet outil par exemple en cherchant le PGCD de 100 000 000 et de 200 000 000 par ce biais. Le nombre de ligne ne suffit pas alors que la réponse est bien sur évidente.

2ème séance

A la séance suivante, j’utilise un diaporama qui permet d’introduire successivement les deux algorithmes : celui des différences (facile à comprendre, mais un peu long) et celui d’Euclide (plus rapide, mais plus dur à comprendre pour certains élèves).

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Le passage délicat est la première étape de réduction du problème. Je prends tout mon temps pour que les élèves comprennent bien qu’il y a un nombre entier des carrés recherché dans le grand carré qu’on élimine et qu’il en reste encore un nombre entier dans le rectangle restant. Il faut encore un peu de temps pour passer de ces deux nombres entiers à l’idée que ce nouveau problème a bien la même solution que le précédent. Puis les choses se déroulent toutes seule sur la première diapo. Lorsque la méthode est comprise, je passe à la diapo suivante et je demande aux élèves d’appliquer cette méthode. Bien sur, les récriminations ne tardent pas à arriver, puisqu’il va falloir faire 14 fois la même soustraction ! Il apparaît alors comme un grand avantage de remplacer ces multiples soustractions par une division. Et voilà l’algorithme d’Euclide qui apparaît.
Je formalise ensuite dans le cahier ces deux algorithmes.

3ème séance

La troisième séance se passe en salle informatique, avec une activité sur tableur. Dans un premier temps, les élèves programment l’algorithme d’Euclide, puis ils utilisent leur « machine à calculer le PGCD » pour résoudre quelques problèmes simples.

Conclusion

Ces trois séances sont ensuite suivies de deux séances d’exercices tout à fait classiques. Cette séquence montre bien, je pense, comment l’informatique permet de faire cours autrement, sans trop manger de temps. Prendre 5 heures de cours pour traiter le PGCD n’apparaît pas démesuré dans une progression, et pourtant sur ces cinq heures, trois ont utilisé les TICE. Ce qui a été fait avec l’ordinateur n’aurait pas été possible autrement, ou du moins dans les mêmes délais : le calcul simultané de tous les diviseurs (sans recours à la décomposition en facteur premiers), le diaporama qui permet de VOIR l’algorithme. La programmation est une étape très utile dans l’appropriation de l’algorithme.


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