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Sommaire > N°11 - Septembre 2008 > Quelques expériences d’utilisation de l’ordinateur

Quelques expériences d’utilisation de l’ordinateur au lycée d’enseignement technique.
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Professeur en lycée technique, j’utilise l’ordinateur notamment pour illustrer mon cours. Les séances informatiques me permettent de rendre visuel un principe ou un raisonnement, un théorème, une définition ou une notation mathématique généralement rencontrés pour la première fois.
L’exemple le plus connu est naturellement l’utilisation en seconde d’un logiciel de géométrie pour introduire la notion de fonction. J’ai préféré, privilégiant la diversité, détailler cinq exemples à objectif et niveau différents.

J’utilise essentiellement deux logiciels :
- Un logiciel de géométrie avec sa fonction report de mesure qui permet de passer de la géométrie (plus visuelle) à l’analyse (plus conceptuelle) et réciproquement. Il me fut très utile pour manipuler la parabole, introduire les courbes paramétrées et illustrer la méthode des moindres carrés.
- Le tableur et la simulation du lancer de deux dés m’a permis d’illustrer la loi faible des grands nombres ainsi que la loi d’échantillonnage.

La parabole :

Niveau : 1ère Art appliqués.
Objectif : En introduction du cours, manipuler la parabole pour mieux l’observer afin de faire apparaître ses propriétés. Propriétés qui seront ensuite démontrées.
Etape 1 : Un point F et une droite directrice D sont donnés. Les élèves doivent tracer la parabole correspondante. On déplace ensuite le point F et la droite D. Après observations faites, on trace l’axe de symétrie (l’axe focal), le point K intersection des deux droites et on note que le sommet S est le milieu du segment KF.
Je pose la question de l’équation de cette parabole et donc du choix du repère. Le choix de l’origine du repère en S apparaît naturel.

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Parabole 1 fichier élève
Pour Cabri Géomètre II plus
figure Cabri - 1.7 ko
Parabole 1 fichier professeur
Pour Cabri Géomètre II plus
Texte - 589 octets
Parabole 1 fichier professeur
Pour Tracenpoche
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Parabole 1 fichier professeur
Pour Geogebra

Etape 2 : On ouvre alors un autre fichier où les axes apparaissent. Un point F est donné mobile sur la demi-droite [Ox). Les élèves doivent tracer le point K, la directrice D et la parabole de foyer F et de sommet l’origine du repère. Le logiciel nous donne l’équation de la parabole. En déplaçant le point F, ils doivent deviner l’équation y² = 2pxp = KF.

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Parabole 2 fichier élève
Pour Cabri Géomètre II plus
figure Cabri - 2 ko
Parabole 2 fichier professeur
Pour Cabri Géomètre II plus
Texte - 602 octets
Parabole 2 fichier professeur
Pour Tracenpoche
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Parabole 2 fichier professeur
Pour Geogebra

Les courbes paramétrées :

Niveau : 1ère année de BTS
Objectif : Tracer une courbe en faisant apparaître les coordonnées du point M mobile de la courbe et le paramètre t.
L’intervalle de définition (généralement [0 ; 1]) est matérialisé par un segment. Si on déplace un point T sur ce segment, on obtient un nombre t de l’intervalle. Avec ce nombre, les étudiants doivent calculer l’abscisse x(t) et l’ordonnée y(t), placer le point M(t) de la courbe (avec le report de mesure) et tracer la courbe (avec la trace ou le lieu).
Si on garde les traits de construction du point, on voit le déplacement du point de la courbe en fonction du nombre t de l’intervalle de départ. La fonction x est bien une abscisse, la fonction y une ordonnée et la variable t est bien invisible sur la courbe alors qu’elle est matérialisée par un segment. Les étudiants qui ne comprenaient pas le principe d’une courbe paramétrée (« pourquoi étudier deux fonctions pour n’obtenir qu’une seule courbe ? »…) se sont tus devant l’écran.

Télécharger la figure Cabri II

Télécharger la figure Cabri II

La méthode des moindres carrés :

Niveau : 1ère année de BTS
Objectif : Introduction de la méthode des moindres carrés avant démonstration.
Un repère, où les unités ont été bien choisies, est donné ainsi qu’un nuage de points et le point moyen. Est tracée une droite passant par le point moyen et un point b mobile sur l’axe des ordonnées. Les distances MH entre chaque point et cette droite ont été calculées.
Les étudiants doivent d’abord choisir intuitivement le nombre b afin d’obtenir la droite qui approche le mieux le nuage.
Ils doivent ensuite tracer dans le même repère la somme des distances ainsi que la somme des carrés des distances en fonction de b. La première courbe ne nous permet pas de conclure contrairement à la deuxième. On obtient donc le nombre b qui minimise la somme des carrés.
En choisissant un nuage où le coefficient de corrélation n’est pas bon, chaque étudiant n’a pas pressenti le même nombre b alors que la méthode des moindres carrés en donne un. On peut alors discuter si ce résultat a du sens ou pas et introduire le coefficient de corrélation.

figure Cabri - 32.5 ko
La méthode des moindres carrés
Pour Cabri Géomètre II plus

La loi faible des grands nombres et la loi d’échantillonnage :

Niveau : 2ème année de BTS
Objectif : Illustrer deux théorèmes admis et manipuler la variable aléatoire X.

On utilise l’expérience du lancer de deux dés qu’on additionne ensuite de moyenne 7.
On considère 100 échantillons de taille n modulable (au départ n = 100).
A partir de la troisième ligne, les 100 premières colonnes contiennent les 100 échantillons.
Dans la 1ère ligne, on calcule la moyenne de chaque échantillon : on obtient ainsi 100 valeurs différentes de la variable aléatoire X.

Pour la loi faible des grands nombres, on choisit un ε (0,1 par exemple) et on calcule la probabilité d’obtenir des moyennes comprises entre 7 – ε et 7 + ε.
Si on augmente la taille des 100 échantillons (il suffit de copier la dernière ligne vers le bas), cette probabilité se rapproche de plus en plus de 1.

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Loi faible des grands nombres au format ods
Excel - 385.5 ko
Loi faible des grands nombres au format xls

Pour la loi d’échantillonnage, on fixe la taille des échantillons à 100, on trace la loi de probabilité de la variable aléatoire X. On trace l’histogramme de cette distribution ainsi que la densité de la loi normale correspondante.

OpenDocument Spreadsheet - 40.9 ko
Loi d’échantillonnage au format ods
Excel - 386 ko
Loi d’échantillonnage au format xls

Bilan :

Ces séances ont simplifié mes explications. Elles ont apporté une image concrète à des notions qui ne sont pas forcément faciles à aborder. A chacune d’entre elles, j’ai vu des étudiants réticents au cours magistral, « voir » ce que je voulais qu’ils comprennent. Ils ont perdu leurs appréhensions face à de nouveaux concepts et ont davantage participé. D’autres par contre furent hermétiques à l’écran et plus efficaces sur papier. Les démonstrations faîtes ensuite furent mieux acceptées. Mon enseignement m’est apparu plus efficace…


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