L’article Une approche esthétique de la géométrie en CM2, publié à l’été 2021, avait suscité des questions relatives à l’implémentation effective de ce qui y était proposé.
Celui-ci répond partiellement à ces interrogations, en décrivant plus en détail une séquence réalisée à l’automne 2021, sur 8 séances.

Introduction

Ce qui suit est extrait du document Espace et géométrie au cycle 3, téléchargé sur le site Eduscol.

Le vocabulaire lié aux objets et aux relations géométriques relève d’un langage spécifique à utiliser en situation : point, droite, demi-droite, segment, solide, face, arête, sommet, polyèdre, cube, pavé droit, pyramide, prisme, boule, cône, polygone, côté, angle, carré, rectangle, losange, parallélogramme, cercle, rayon, diamètre, milieu, médiatrice, hauteur, droites parallèles, droites perpendiculaires, etc. Les notations de droites, demi-droites, segments, longueurs, angles, etc., les notations représentant le parallélisme (//) ou la perpendicularité (⊥)
Les connaissances géométriques contribuent à la construction des concepts fondamentaux d’alignement, de distance, d’égalité de longueurs, de parallélisme, de perpendicularité, de symétrie.
L’utilisation fréquente des outils de construction permet de renforcer la compréhension des propriétés étudiées (perpendicularité, égalité de longueurs, parallélisme, milieu, symétrie, égalité d’angles, etc.).
La manipulation physique des outils contribue à la compréhension et l’assimilation des différentes propriétés géométriques (alignement, perpendicularité, parallélisme, etc.)

Voilà donc la feuille de route. Quels sont les acquis ?

À la rentrée du CM2, on dirait que les enfants n’ont jamais tenu une règle entre les mains. Alors, une équerre ? un compas ? La manipulation des outils géométriques est très loin d’être maîtrisée, ni même encore familière, les notions géométriques censées être acquises auparavant non plus. Un angle droit, on ne sait pas ce que c’est et les compas dansent la gigue sur les pages blanches sans parvenir à rattraper le cercle qu’ils tentent de tracer. Autant dire que malgré les contenus des programmes des années précédentes, on semble partir de nulle part. J’ai l’habitude de commencer l’année par la notion de perpendicularité, puis de parallélisme, pour pouvoir aborder ensuite les polygones et leurs propriétés. La perpendicularité laisse d’abord perplexes les enfants, dont l’œil ne semble jamais outragé par des angles incongrus sans rapport avec les quatre-vingt dix degrés attendus. On a beau observer, tracer, vérifier, il semble que le travail sur papier ne soit ni efficace ni suffisant pour ancrer cette notion dans une réelle compréhension des élèves. Mon expérience en maternelle m’a appris qu’avant d’arriver jusqu’à l’œil et à la main des enfants, le geste doit être expérimenté par leur corps tout entier. Avant de concevoir la notion par l’esprit, les enfants doivent aussi l’expérimenter de diverses manières et la rencontrer dans diverses circonstances. L’œil et la main, le geste et l’idée, doivent de pair se guider.

Avant de faire tracer les enfants et de leur mettre un crayon dans la main, il a fallu exercer leur œil, leur apprendre à regarder avec la rigueur géométrique et l’instrument qui permet de s’en approcher — l’équerre. Puis des angles droits, des perpendiculaires — ce qui n’est pas tout à fait la même chose, il a fallu leur en montrer beaucoup, sur différents supports, avant d’en réaliser, puis d’en tracer. La séquence qui suit a été mise en œuvre en octobre et novembre 2021.

L’objectif de ce qui suit est de donner un exemple concret de la démarche décrite dans Une approche esthétique de la géométrie en CM2. Nous n’avons pour autant aucune prétention novatrice. D’autres séquences sur le même sujet et au même niveau se rencontrent ça et là sur le web, par exemple sur Ardoise-Craie, Edumoov, ou encore Stylo Plume.

Nous nous limitons à une description pratique. Pour l’analyse didactique d’une séquence analogue, on pourra se reporter à l’article de T. Barrier, C. Hache, A.-C. Mathé dans « Grand N ».

Séance 1 — découverte des angles droits : pliage, niveau à bulle et fil à plomb

La première rencontre avec l’angle droit s’est faite sans outil géométrique dans un premier temps… enfin presque. J’ai fait mon marché au rayon bricolage pour dégoter le matériel. Les notions de verticale et d’horizontale ont d’abord été abordées : la démonstration a été faite avec un fil à plomb pour définir la verticale, avec un niveau à bulle pour définir l’horizontale : la verticale et l’horizontale forment toujours un angle droit.

La manipulation, qui faisait appel à des outils inhabituels à l’école, a interpellé les enfants, qui ont été particulièrement attentifs à la démonstration et ont demandé à prendre en main le niveau à bulle. Instrument, qui d’ailleurs est resté en classe par la suite.

Il a suffi ensuite d’une feuille de papier. Il a fallu la plier, dans n’importe quel sens, et la replier exactement sur le premier pli. En dépliant la feuille de papier, on a observé les angles obtenus : quatre angles droits. Les enfants ont repassé à la règle les lignes obtenues. Sur l’équerre, on a identifié l’angle droit, et on a vérifié que les quatre angles obtenus par pliage étaient bien des angles droits. On a pu répéter l’expérience, plier n’importe où, recommencer, les enfants ont pu observer qu’à chaque fois, on obtenait la même chose.
C’était la première fois que nous manipulions l’équerre : il ne va pas de soi que les enfants identifient l’angle droit et le posent au bon endroit. Cette séance a été l’occasion d’aider les enfants à tenir l’équerre à l’endroit, et à la placer avec précision sur l’angle à vérifier. Pour visualiser les angles droits de manière concrète, on a posé dessus des croisillons pour carrelage.

Nous avons redéfini par la même occasion le vocabulaire géométrique : les mots « droite », « droites sécantes », « intersection » et « perpendiculaires ». On a précisé que toutes les droites perpendiculaires sont sécantes, mais que les droites sécantes ne sont pas forcément perpendiculaires.

Séance 2 — la chasse aux angles droits

Les angles droits, les enfants ont compris qu’ils correspondaient aux angles constitués par les plis du papier, puis, à l’angle le plus grand de l’équerre. Certes… mais où sont-ils donc encore ces angles droits ? Une « chasse aux angles droits » leur a été proposée. D’abord en classe, où les élèves ont été invités à se promener l’équerre à la main pour trouver tous les angles droits possibles : le coin de la table, l’angle de la fenêtre, le coin d’un livre, des dalles de carrelage, le coin du mur, l’angle entre le pied de la table et le sol, etc… Une manipulation réjouissante qui leur a permis de constater que la géométrie est partout. Ils ont été ensuite invités à le faire à la maison, comme devoir du soir. Certains sont même partis à la chasse aux angles droits… en famille. Difficile ensuite, de déambuler dans l’école, sans s’extasier sur les angles droits si habilement dissimulés dans tous les coins. J’en ai même surpris qui sortaient en récré, en douce, l’équerre sous le manteau…

Séance 3 — Piet Mondrian et Marlow Moss : angles droits et droites perpendiculaires

Une fois chassés tous les angles droits qui se présentaient à l’équerre, à l’horizontale, à la verticale, dans tous les sens possibles, les enfants ont pu s’exercer à manipuler leur instrument à plat, sur des œuvres d’art. La séance a été l’occasion de lier les mathématiques à l’histoire des arts. Les enfants ont eu entre les mains des reproductions de tableaux de Piet Mondrian et de Marlow Moss, tous choisis pour les angles droits ou les droites perpendiculaires qu’il allait falloir y trouver — ou pas.

Dans un premier temps, nous avons rappelé le vocabulaire déjà éclairci lors des dernières séances. Sur ces tableaux, on voit des lignes, des droites, des segments, sécant(e)s ou pas, parallèles (le mot est prononcé par les enfants), des carrés, des rectangles, des parallélogrammes.

La première consigne fut la suivante : cherchez avec votre équerre tous les angles droits qui se trouvent sur votre tableau. Certains élèves sont restés dubitatifs et pour cause : pour ceux-là, il n’y avait pas d’angle droit visible. Les enfants ont été invités à placer des croisillons sur les angles droits, pour mieux les visualiser.

La deuxième consigne fut la suivante : On enlève les croisillons. On cherche maintenant les droites perpendiculaires.
La différence entre les deux n’a pas été explicitée. Il était attendu des enfants qu’ils s’interrogent sur la différence entre ces deux consignes. Pour les aider, nous avons redéfini ensemble ce qu’ est une droite : c’est une succession de points, qui peut se prolonger à l’infini.

Les enfants qui ne trouvaient pas d’angles droits lors du premier exercice ont assez vite compris qu’ils pouvaient prolonger les droites du tableau pour montrer qu’elles étaient sécantes — et perpendiculaires. Il en a été conclu que des droites peuvent être sécantes et perpendiculaires, alors qu’au premier abord, à vue d’œil, « sur le papier », elles ne se croisent pas. Nous avons montré qu’en géométrie, se fier à l’œil ne suffit pas. Il faut aussi penser l’invisible : formule qui, bien évidemment, a épaté les enfants… la magie de l’abstraction.

Séance 4 — pixel art, post-it art et angles droits

En décroché de notre séquence de géométrie, j’ai présenté aux enfants une séance d’arts plastiques sur le pixel art. Cette activité s’est déclinée en deux temps : un temps d’assemblage de gommettes carrées (1cm × 1cm) pour reproduire des personnages d’Invader en petit format, un temps de « post-it art », pour reproduire les mêmes personnages sur les fenêtres de la classe.

Dans ces deux activités, les enfants ont compris qu’ils devaient, sans équerre, respecter la perpendicularité des gommettes et des post-it pour que leur figure soit réussie. Le geste de l’équerre bien adossée à sa droite a dû être reproduit, l’air de rien, gommette contre gommette, post-it contre post-it. Le travail à la verticale contre la fenêtre en a même conduit certains à venir chercher le niveau à bulle qui traînait encore dans les parages.

Séance 5 — Marlow Moss : perpendiculaires et bouts de ficelle

Pour cette séance, nous avons travaillé sur un tableau de Marlow Moss : « White with Rope ».

L’idée était de réinvestir les séances précédentes et de chercher dans le tableau les angles droits et les droites perpendiculaires en manipulant l’équerre, puis de réaliser une composition dans le même esprit, mais sans tracer — le tracé étant réservé aux dernières séances, quand les gestes techniques auront suffisamment été expérimentés.

Tout d’abord, on a identifié les angles droits en veillant toujours à ce que les enfants puissent passer du plan horizontal au plan vertical, qu’ils puissent manipuler leur instrument dans toutes les configurations possibles.

Les angles droits ont évidemment été identifiés au premier coup d’œil.

Ensuite, on s’est rappelé que les droites peuvent être prolongées à l’infini, et on a découvert qu’il y avait sur ce tableau des droites perpendiculaires qu’on n’avait pas vues au premier abord.

Ensuite, ce fut aux enfants de réaliser leur composition. Ils avaient à leur disposition différents matériaux, et à la main, l’équerre. La manipulation fut difficile, j’ai demandé aux enfants d’être rigoureux et précis, ce qui est évidemment très difficile avec un morceau de laine ou un bout de ficelle… Mais qui peut le plus peut le moins. Plus les enfants sont précis dans avec ce matériel inconfortable, plus ils sont attentifs au positionnement de leur équerre, plus ils le seront aussi, plus tard, au moment de tracer. Alors, certes, le résultat n’a guère été d’une rigueur géométrique satisfaisante, mais ce n’était pas tant le résultat de la production qui importait dans cette séance : c’était l’apprentissage du geste.

Séance 6 — Des allumettes à la craie : les spirolatères

Cinq séances de travail et les enfants n’ont toujours rien tracé… mais on y vient. Nos premiers tracés se sont faits en grand format, et c’est peu de le dire : nous avons couvert la cour de spirolatères géants.

Pour comprendre le principe de la figure et l’algorithme à respecter, les enfants se sont entraînés au sol avec des allumettes :

Ensuite, ils se sont équipés d’équerres et de matériel de mesure grand format, et par groupes, les enfants se sont affairés dans la cour. Tracer en grand, c’est une étape pour pouvoir ensuite tracer sur sa feuille. Le grand format permet de démultiplier les erreurs, et de les visualiser immédiatement. Évidemment, manipuler des outils surdimensionnés, c’est difficile, tracer à la craie sur un sol irrégulier aussi, mais là encore, ce n’est pas tant le résultat qui compte, que l’habileté du geste et de la méthode.

Le travail en équipe est intéressant, il oblige les enfants à verbaliser ce qu’ils font ou ce qu’ils veulent faire, et à utiliser le vocabulaire spécifique. Les enfants ont réussi à tracer leurs spirolatères. Ces figures, qui ont été tracées dans la cour des petits, sont vite devenues des jeux pour les plus jeunes : un usage inattendu, grâce auquel les enfants se sont sentis valorisés.

Séance 7 — Mondrian : premiers tracés sur papier

Après toutes ces manipulations, il était grand temps de tester les gestes appris durant les séances précédentes. Nous avions déjà rencontré Mondrian lors de notre travail. Le défi fut de réaliser un tableau composé d’angles droits et de droites perpendiculaires. Les enfants devaient choisir trois cellules à colorier selon les couleurs suivantes : jaune, rouge, bleu.

La manipulation de l’équerre était alors acquise, même si le tracé était encore parfois hésitant et imprécis. Il a fallu s’entraîner encore sur papier, pour acquérir la dextérité et la rigueur nécessaire. Néanmoins, les réalisations des élèves leur ont d’abord permis de mesurer leurs progrès, et les quelques erreurs qui subsistaient une fois leurs œuvres accrochées ont immédiatement été repérées et remarquées.

Séance 8 — angles droits, carrés et rectangles : la spirale de Fibonacci

Au cours d’une séance de numération, nous avons croisé Fibonacci, ses lapins, sa suite et sa spirale. L’occasion de faire tracer la spirale aux enfants, en passant par la construction de carrés. En observant la figure proposée, les enfants ont immédiatement vu “des angles droits”, “des perpendiculaires”, des “carrés” et des “rectangles”. Après avoir défini les mesures, les enfants ont donc tracé les carrés nécessaires à l’élaboration de cette harmonieuse spirale.

La construction a été laborieuse, difficile, évidemment bien au-delà des compétences d’élèves de cycle 3 et la rigueur a été essentielle pour aboutir au tracé de la spirale. Les carrés ont d’abord été tracés indépendamment les uns des autres sur papier blanc, puis découpés et assemblés. Les approximations et les imperfections se sont immédiatement manifestées : les enfants ont compris l’importance de la précision et ont recommencé autant que nécessaire pour obtenir un emboîtement parfait avant de pouvoir terminer leur figure. Le tracé de la spirale apparaissant somptueusement au final, à condition de maîtriser son compas, notamment pour les plus petits arcs de cercle.

Une figure plus complexe encore, composée de quatre spirales de Fibonacci, a été réalisée par les élèves, cette fois en traçant directement les carrés, sans avoir à les découper pour les assembler.

Conclusion

Avant de commencer cette séquence, nombreux étaient les enfants à ne pas savoir identifier un angle droit, encore moins à le tracer. Nombreux ceux qui n’étaient pas capables de situer l’angle droit sur l’équerre, mais qui étaient capables de positionner l’équerre au milieu de nulle part sur leur feuille pour trouver un angle désespérément introuvable. Pourtant, des leçons sur les angles droits et les droites perpendiculaires, à n’en pas douter, ils en avaient déjà eues : des leçons soigneusement collées dans leur cahier, à apprendre par cœur, avec des définitions dont ils n’avaient sans doute pas compris un mot. Des leçons qu’ils avaient sans doute aussi apprises très sérieusement, comme ils les ont tout aussitôt oubliées. Pourquoi donc ? Parce qu’on ne peut pas écrire les leçons à leur place, pas plus qu’on ne peut les apprendre pour eux. Au bout de huit séances, mes élèves ont pu tracer une figure très complexe, non pas parce qu’ils ont appris par cœur leur leçon, mais parce qu’ils ont expérimenté dans tous les sens, de différentes manières, debout, à quatre pattes dans la cour, avec des bouts de ficelle, des équerres géantes et des fils à plomb. Ils ont manipulé les concepts géométriques avant de les coucher sur une feuille blanche, ils les ont cherchés partout, et ils les y ont trouvés : sur un coin de table comme sur des œuvres d’art. Ils en ont fait des productions de plus en plus précises, et de plus en plus jolies aussi. La perpendiculaire n’est plus un gros mot mais un concept géométrique dont ils se sont saisis et qu’ils ont su s’approprier pour ne plus l’oublier.