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Un exemple d’usage de calcul@tice en CE1 : transformer les stratégies de calcul
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Mis en ligne le 7 décembre 2018, par Bérengère Marlu, Christelle Nicolas, Francine Athias

Cet article témoigne de l’expérience de deux jeunes professeures. Il propose de décrire et comprendre les actions de l’une d’elles et de ses élèves de CE1, autour du didacticiel calcul@tice. Il s’agit pour la professeure de faire évoluer les stratégies de calcul des élèves.

Auteures : Francine Athias [1], CREAD, Christelle Nicolas, Bérengère Marlu

Introduction

Face aux difficultés de certains élèves de cycle 2 pour passer du comptage sur les doigts à la mémorisation de résultats des tables additives, et donc à l’utilisation de ces résultats mémorisés dans des calculs réfléchis, nous avons choisi d’étudier ce que peut apporter un usage d’un didacticiel en calcul, pour nos élèves de CE1. Nous voulons rendre compte de notre expérience [2].

À l’ère du numérique et au vu des nombreuses préconisations d’usage du numérique dans les programmes d’enseignement de l’école élémentaire du BO du 26 novembre 2015 (MEN, 2015), nous proposons d’étudier un usage du logiciel calcul@tice dans nos classes, logiciel de calcul développé par l’académie de Lille. Il devrait permettre de développer, simultanément, le sens et l’automatisation du calcul, pour les élèves.

Si le calcul se construit dans un premier temps en s’appuyant sur le comptage, la prise de conscience par les élèves du pouvoir d’anticipation que donne le calcul automatisé nécessite une rupture. Celle-ci peut être provoquée par un jeu sur les contraintes de la situation. Nous supposons que la contrainte de temps qu’impose ce logiciel ludique incite les élèves à mémoriser les résultats pour améliorer leur score. Nous proposons donc de décrire et d’analyser une séance d’utilisation du logiciel par un binôme d’élèves.

Notre travail vise à décrire et à analyser l’action du professeur et des élèves en vue d’une utilisation du didacticiel calcul@tice. Pour modéliser l’action, nous nous appuierons sur des concepts théoriques de contrat et de milieu didactiques (Brousseau, 1998, Sensevy, 2011). Ce sera l’objet de notre première partie. Dans une deuxième, nous présenterons les deux séances de classe, l’une sans le logiciel et une avec. Nous focaliserons notre attention sur quelques moments. Nous conclurons ensuite.

Cadre théorique et méthodologie

Lorsque le professeur propose un calcul à un élève de CE1, ce dernier a déjà des capacités à résoudre ce type de calcul. Par exemple, il connaît la signification du signe « + » dans une addition. Il a mémorisé un certain nombre de doubles (par exemple 3+3 = 6). Il sait utiliser une stratégie lorsqu’il ne connaît pas par cœur le résultat, à savoir surcompter avec les doigts. il sait également que si le professeur lui propose un tel calcul, c’est qu’il peut trouver une réponse. De la même manière, en proposant un tel calcul, le professeur sait que l’élève peut commencer ce calcul, il sait aussi que la réponse sera cherchée, sans être nécessairement trouvée. Cet arrière-plan commun au professeur et à l’élève est modélisé par la notion de contrat didactique (Sensevy, 2011). Le professeur choisit de proposer des calculs dans l’environnement numérique. Dans notre classe, l’élève doit effectuer des calculs, dans un temps limité. Le problème posé à l’élève est donc de résoudre des calculs (nouveaux), dans un laps de temps court, en s’appuyant sur des connaissances anciennes. Le problème doit conduire l’élève à ne plus compter sur ses doigts, faute de temps. Nous modélisons « tout ce qui agit sur l’élève ou ce sur quoi l’élève agit » par la notion de milieu didactique (Brousseau, 2010, p. 3), autrement dit l’ensemble d’éléments épars que la résolution du problème va organiser en un « système organisé » (CoDPE, 2019). Chaque indice contient une partie de la vérité, mais seule la mise en réseau des indices conduit à découvrir le savoir en jeu. Par exemple, l’élève doit calculer 3+4 dans le jeu calcul@kart. Il sait ce que cela signifie : il faut faire une addition. Les stratégies dont il dispose sont les suivantes. Une première stratégie consiste à reconnaître 3+4 comme un calcul mémorisé. Il sait dire et écrire 7. Une deuxième stratégie consiste à retenir 3, mettre 4 sur les doigts et surcompter 4, 5, 6, 7. Une troisième stratégie revient à reconnaître un double 3+3=6, auquel il faut ajouter 1. C’est précisément le travail de cette stratégie qui est visée par la professeure.

Comment la professeure rend-elle visible ses attentes ? Comment oriente-t-elle l’attention des élèves vers le savoir visé ?

Nous avons choisi de filmer deux séances de classe successives, la première dans la classe, la seconde dans l’environnement numérique. Nous avons fait les transcriptions, produit un résumé. Ce dernier nous permet de mettre en évidence des moments-clés par rapport aux enjeux de savoir, utiliser les doubles pour effectuer des calculs sans avoir recours aux doigts.

Séances de classe : description et analyse

La séance 1

Synopsis de la séance 1

La première séance dure environ 22 minutes. Nous la présentons sous forme de tableau pour donner une vue d’ensemble.

Durée
(en minutes)

Déroulement

Supports

Modalités

4:45

Trois
exemples sont travaillés

6+7

7+8

Moment
1

5+6

Le calcul est écrit au tableau. La professeure écrit au
tableau sous la dictée des élèves

Collectif

15:45

Six
exemples sont travaillés

6+7

7+8

Moment
2

8+9

6+8

7+9

6+8

Le calcul est dicté, puis la professeure l’écrit au tableau. Les élèves cherchent et écrivent le résultat sur l’ardoise. Puis un élève va expliquer comment il a trouvé en se déplaçant au tableau et en écrivant le résultat.

La recherche est individuelle. Un élève expose sa stratégie à la classe

2 : 06

Récitation des doubles

Les élèves récitent ensemble les doubles

Collectif

Deux calculs identiques sont proposés dans deux modalités différentes, au cours du moment 1 et du moment 2 (cf tableau ci-dessus). Nous allons étudier successivement ces deux moments.

Description du moment 1 au cours de cette séance

Nous allons nous intéresser d’abord au premier calcul proposé : 6+7. La professeure a écrit le calcul au tableau. Elle demande aux élèves de se remémorer le travail précédent ( tdp 25, P : « C’était quoi la fiche que vous avez faite hier ? »). Un élève Alan répond sans hésiter qu’ils ont travaillé en utilisant des doubles (tdp 26, Alan :« Sur les doubles »). Puis la professeure laisse alors Alan exposer son calcul : 6 + 4+ 3 puis le résultat 13. Elle écrit les propos d’Alan au tableau.

Puis la professeure insiste (tdp 38, P : « Mais si on veut utiliser les doubles »). Une autre élève, Carole répond rapidement par un double (tdp 39, C : « 6+6 ») et le résultat mémorisé « 12 ». La professeure cherche alors à faire expliciter la stratégie (tdp 44, P : « 6 + 7, c’est quoi par rapport à 6 + 6 ? »). Carole donne le résultat du calcul, 13. La professeure écrit ce que l’élève lui dit.

Sur l’insistance de la professeure, Carole propose une explication (tdp 47, C : « Ça fait juste après »). À ce moment-là, une élève Méline interroge la professeure (tdp 49, M : « Là, je ne comprends pas »). La professeure prend en compte sa demande en proposant un nouveau calcul : 7+8. Elle demande alors à Méline de le faire, en posant de la même manière deux questions successives : 7+7 puis 7+8. Elle termine en félicitant Méline pour le résultat proposé 15.

Analyse de ce moment 1

Ce qu’il faut noter, c’est que, du point de vue de la professeure, le rappel sur la séance précédente et le calcul lui-même devraient permettre à l’élève de répondre à ses attentes : mettre en œuvre une stratégie de calcul utilisant les doubles. Les indices sont épars (milieu didactique) : résoudre le problème, c’est mettre ensemble ces éléments en système, en s’appuyant sur le déjà-là (contrat didactique). Ici, les élèves s’appuient sur ce qu’ils connaissent déjà, à savoir l’appui sur la dizaine. Au premier abord, ils ne prennent pas en compte tous les indices délivrés par la professeure. C’est sur l’insistance de la professeure qu’ils s’appuieront sur les doubles. Cependant, l’explicitation de la stratégie est sommaire : « ça fait juste après ». La professeure n’écrit pas l’expression transformée 6+6+1 contrairement à l’expression en appui sur la dizaine 6+4+3. D’un point de vue didactique, l’expression 6 + 7 détaillée la première fois nécessite de chercher 10 à partir de 6 (non visible), de prendre en considération le 4 ainsi obtenu, puis de transformer le 7 en 4 et encore 3. Cette même expression 6+7, calculée à partir des doubles nécessite de chercher 6 dans le 7 (le 6 étant visible), de repérer que 7 peut s’écrire comme 6+1, de prendre en compte le résultat de 6+6 dans 6+6+1. La professeure ne note pas au tableau cette expression tandis qu’elle l’a fait pour le calcul en appui sur la dizaine.

La professeure continue avec le calcul « 5+6 ». Puis elle reprend les mêmes calculs 6+7 et 7+8, ces derniers sont cherchés individuellement par les élèves puis sont corrigés collectivement.

Description du moment 2 au cours de cette séance 1

Les élèves ont leur ardoise, la professeure montre le premier calcul : 6+7. Elle explique ce qu’elle attend comme écriture sur l’ardoise. Elle leur demande d’écrire le double à prendre en compte : 6 + 6, 12. Puis elle explique que c’est insuffisant (tdp 81, P : « Il faut qu’on écrive quelque chose en plus. Il manque quelque chose là »). Un élève Alan, celui qui avait calculé en appui sur la dizaine, propose d’ajouter 7. Les autres corrigent « +1 ». La professeure écrit alors au tableau « 6+6+1 ». Puis elle conclut (tdp 90, P : « Alors maintenant vous savez ce que ça fait »). Une autre élève, Louise explique « 13 ». La professeur enchaîne avec un deuxième calcul, 7+8, calcul déjà proposé. La professeure passe dans les rangs et interroge de nouveau Alan. Ce dernier est invité au tableau, il écrit alors 7+7. Collectivement, les élèves proposent 14. Puis Alan écrit en dessous du calcul +1. La professeure s’adresse à Alan : « 14+1 ? ». Sans hésiter, ce dernier répond 15. La professeure félicite Alan et passe au calcul suivant. Elle rappelle alors que ce travail va leur permettre de changer de stratégie, à savoir calculer sans utiliser les doigts (tdp 104, P : « Vous n’aurez plus besoin de compter sur vos doigts »).

Analyse de ce moment 2

Le problème que les élèves ont à résoudre est de reconnaître dans le calcul proposé une stratégie utilisant les doubles et de l’écrire sur leur ardoise. Par rapport aux moments précédents, ce que nous avons modélisé par la notion de contrat est donc modifié. La professeure attend une trace de la stratégie employée ainsi qu’une réponse à la question. Les élèves savent qu’ils doivent écrire sur l’ardoise, réfléchir seuls. Autrement dit, même si les calculs sont identiques (au moins les deux premiers), les conditions du calcul se déroulent différemment. Pour faire entrer Alan dans les doubles, la professeure le sollicite beaucoup. Face à de nombreuses hésitations de la part de l’élève et l’absence de production de stratégie complète, la professeure transforme le savoir visé en le réduisant à minima. Au lieu d’attendre une décomposition de 7+8 en 7+7+1, elle utilise deux résultats mémorisés, 7+7 puis 14+1.

Conclusion partielle

La professeure se trouve face à un problème professionnel intéressant : comment engager ses élèves à développer de nouvelles stratégies de calcul au lieu de surcompter. Elle aménage une situation, ce que nous avons modélisée par la notion de milieu didactique, en prenant appui sur les connaissances et les habitudes antérieures, ce que nous avons modélisé par la notion de contrat didactique. Elle propose différents calculs qui sont explicités collectivement ou individuellement. Nous avons montré que les explicitations restent cependant floues. On peut noter que la finalité de toutes ces recherches est précisée : la professeure explique clairement aux élèves qu’ils doivent changer d’habitudes : « Vous n’aurez plus besoin de compter sur vos doigts ». Elle organise un milieu pour conduire les élèves à changer de contrat.

La séance 2

Présentation de la séance

En classe entière, dans la salle informatique, les élèves sont répartis par binôme sur les postes informatiques. La séance va durer 20 minutes.

Nous allons nous intéresser à deux élèves Louise et Evan. Ces deux élèves présentent quelques difficultés en numération et calcul, ils explicitent de vive-voix l’ensemble de leur démarche, pendant cette séance. Ils ont systématiquement oralisé leur cheminement et ont quasi-systématiquement essayé de se mettre d’accord avant de valider leur réponse sur l’application.

Les élèves ont sélectionné le jeu calcul@kart. En annexe, nous préciserons comment fonctionne ce jeu. Pour le niveau 1 (celui qui nous intéresse), le jeu propose 17 opérations au maximum. Le temps maximal est fixé à 3 minutes. Les nombres proposés sont tels que leur somme est inférieur à 15. Les 3 réponses parmi lesquelles la réponse attendue (n) est proposée sont de trois types :

  • n-2, n-1, n
  • n-1, n, n+1
  • n, n+1, n+2

Le calcul 8+7 va être proposé plusieurs fois aux élèves. Nous cherchons à voir les stratégies utilisées par les élèves, sachant que la professeure a explicité ses attentes par rapport aux doubles au début de la séance (tdp 146, P : « Quand vous pouvez, vous essayez d’utiliser les doubles comme on a vu ce matin »).

première fois : 8 + 7 (au temps 7:31)

Louise et Evan sont seuls devant l’écran. Le calcul 8+7 s’affiche. Evan lit le premier nombre 8. Louise surcompte d’abord seule 8, 9, puis ils continuent ensemble 10, 11, 12, 13, 14. Louise conclut 15. Evan confirme « 15, 15 ». Mais Louise n’a pas le temps de valider. Evan se plaint « Tu as cliqué dessus, ce n’est pas juste ».

deuxième fois : 8 + 7 (au temps 9:25)

Cette fois, la professeure est avec eux devant l’écran. La professeure lit le calcul « 8+7 ». Louise confirme « 7 ». La professeure demande le double de 7 : « 7+7 ? ». Louise et Evan, en chœur, surcomptent. 8,9,10,11,12,13. La professeure tente de les interrompre « 7+7 ? ». Puis le temps étant écoulé, elle rappelle qu’il fallait utiliser le double de 7, « 7+7, 14 », puis ajouter 1 « 14+1, 15 ». Evan acquiesce.

troisième fois : 8 + 7 (au temps 14:03)

Louise et Evan sont à nouveau seuls devant l’écran. Louise lit le premier nombre « 8 ». Puis en choeur, ils surcomptent 9, 10, 11,12, 13, 14, 15. Ils valident et éclatent de rire. Louise conclut alors : « on aura tout bon à notre exercice ».

Analyse

La professeure a organisé les deux séances de manière à expliciter une stratégie de calcul à partir des doubles, lorsque c’est possible (cet aspect n’est pas du tout développé au cours des deux séances). Les calculs proposés dans un temps limité constitue, dans notre modèle, un milieu : ce quelque chose qui agit sur l’élève pour mettre en œuvre un nouveau savoir. Ici calculer mentalement en utilisant les résultats mémorisés des doubles. Pour ces deux élèves, ce milieu ne semble pas suffisant pour les faire modifier de stratégies.

Conclusion

Notre mémoire nous a permis de nous interroger sur les effets de l’utilisation du didacticiel calcul@tice pour la mise en place de stratégies en calcul. Nous constatons que l’utilisation d’un tel didacticiel a des répercussions sur la motivation des élèves. En effet il est à noter une grande motivation des élèves à réaliser les calculs proposés par le didacticiel : les deux élèves Louise et Evan ont effectué 72 calculs en vingt minutes, sans parler d’autre chose (pas de parole en dehors du contexte des calculs pendant toute la séance), ni de perte d’attention. L’outil numérique focalise leur attention et l’aspect plus ludique des jeux les motivent à s’impliquer. Par contre, le changement de stratégies ne semble pas facile : les deux élèves utilisent le surcomptage, y compris en présence de la professeure.

Cette analyse de séance permet, par ailleurs, de mettre l’accent sur les habitudes que le professeur donne aux élèves, par les travaux qu’il leur confie. En analysant la séance en termes de contrat-milieu, nous prenons conscience que la notion de contrat prédomine chez l’élève et que seule la présence de la professeure dans le milieu, son questionnement, le choix judicieux des travaux confiés peut amener l’élève à modifier ses stratégies, qui donnent la plupart du temps le résultat attendu. L’utilisation d’un didacticiel n’est donc pas une solution miracle pour la mise en place de stratégies en calcul. Sans présence de la professeure lors de l’utilisation du didacticiel, les élèves restent dans leurs habitudes et doivent être bousculés pour faire évoluer leurs stratégies de calcul.

Grâce à cette analyse, nous prenons conscience en tant que professeures des écoles, de l’impact du choix des exemples que nous prenons dans nos séances d’apprentissage, du choix de la trace que nous laissons au tableau et donc de l’importance d’une préparation rigoureuse pour un meilleur pilotage en classe.

Bibliographie

Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. La pensée Sauvage.

Brousseau, G. (2010). Glossaire de quelques concepts de la théorie des situations didactiques en mathématiques . Disponible sur Internet à l’adresse : http://guy-brousseau.com/wp-content/uploads/2010/09/Glossaire_V5.

Collectif Didactique Pour Enseigner, CoDPE (2019, à paraître). Didactique pour enseigner . Presses Universitaires de Rennes.

Marlu, B. et Nicolas, C. (2018). Quels peuvent être les effet de l’utilisation de calul@tice sur la mise en place de stratégies de calcul ? Mémoire soutenu à ESPE de Bretagne.

Ministère de l’Éducation nationale (MEN) (2015). Programmes du cycle 3. Bulletin Officiel spécial n°11 du 26 novembre 2015. http://www.education.gouv.fr/pid285/bulletin_officiel.html?cid_bo=94708

Sensevy, G. (2011). Le sens du savoir. Edition : de Boeck, Bruxelles.

Annexe :

Calcul@kart : on y accède par calculatice.ac-lille.fr puis choisir l’onglet Niveau CE1

Calcul@kart a pour objectif d’apprendre aux élèves à additionner deux nombres entiers et à accroître leur vitesse de calcul. Cette application présente un aspect ludique au niveau du graphisme. En effet, le développeur du jeu propose une route à deux voies. Sur une des voies un camion circule, et un kart le suit.

L’élève devra résoudre l’opération en ligne qui est affichée sur la remorque du camion. Le logiciel propose un trois nombres affichés au niveau de la bande d’arrêt d’urgence (N étant la réponse attendue, les nombres sont de la forme N-2, N-1, N ou N-1, N, N+1 ou N, N+1, N+2). Pour cela, l’élève devra répondre correctement et rapidement en cliquant sur un des nombres proposés, avant que le kart ne percute le camion.

En cas de bonne réponse (cf figure 1 ci dessous), le kart va doubler le camion et le compte-tours en bas à droite de l’affichage va augmenter, la vitesse du kart va augmenter également, l’élève devra répondre plus rapidement au prochain calcul.

En cas de mauvaise réponse ou de temps de réponse trop long, le logiciel va afficher la bonne réponse, le compte tours à droite de l’écran va diminuer (cf figure 2 ci-dessous), le kart va percuter le camion, et la vitesse du kart va diminuer, laissant ainsi plus de temps à l’élève pour répondre au calcul suivant.

figure 1 figure 2

Le score est mis à jour automatiquement à chaque réponse de l’élève, ainsi à la fin de l’exercice, l’élève visualise immédiatement ses performances. Pour chaque partie, le logiciel va proposer au maximum 17 ou 18 calculs. Le résultat final apparaît sous la forme d’étoiles, ainsi que le temps mis pour réaliser l’exercice.


notes

[1Christelle Nicolas et Bérengère Marlu ont soutenu leur mémoire de master MEEF sous la direction de Francine Athias

[2Notre étude porte sur une expérience de professeurs des écoles stagiaires.

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