Dans cet article, nous nous positionnons comme Gueudet et Bueno-Ravel en introduction de ce numéro spécial MathémaTICE dans un questionnement didactique par rapport à l’utilisation du boulier chinois à l’école élémentaire, et plus spécifiquement en classe de CE1 (grade 2, élèves de 7/8 ans). En effet, nous essayons d’apporter des éléments de réponses à certaines questions qu’elles soulèvent dans cet article, en prenant comme exemple une séquence de calcul mental en CE1 utilisant des bouliers chinois virtuels et matériels :

                     Nous allons montrer comment cette séquence a permis une évolution des procédures de calcul mental des élèves du comptage vers le calcul, par le biais notamment de l’utilisation de bouliers chinois et d’arbres à calcul. Pour ce faire, dans un premier temps, nous faisons un point sur ce que nous entendons par calcul mental dans cet article. Puis nous exposons brièvement notre cadre théorique et notre méthodologie avant de présenter la séquence mise en œuvre et les éléments de réponses aux questions posées ci-dessus.

1.1 Le calcul mental : points d’appui théorique.

                     Dans cette recherche, les travaux nous servant de référence sur le calcul mental sont ceux de Boule (1997), Butlen (2007) et de la Copirelem (2012). En ce qui concerne le calcul mental, ces travaux distinguent le calcul mental automatisé (connaissances de faits numériques comme les doubles) du calcul mental réfléchi ou raisonné (Copirelem 2012). Ce calcul mental raisonné peut s’effectuer de tête, sur papier-crayon ou être instrumenté. Il s’appuie sur des procédures construites ou reconstruites pour donner des résultats sous forme exacte ou approchée. Par exemple, donner le résultat de 16+7 en CP est du domaine du calcul mental raisonné, l’élève pouvant s’appuyer sur les compléments à dix pour le trouver. Butlen (2007) explique que sans un apprentissage explicite, les procédures de calcul raisonné comme par exemple l’appui sur la décomposition multiplicative des termes d’un produit dans le cas de 18×15 (18×15=9×2×5×3 ce qui donne de façon très rapide 270, si l’on connaît ses tables de multiplication et la règle de multiplication d’un entier par dix) restent très peu mobilisées par les élèves. Butlen (2007) et Butlen et Pézard (2007), dans le contexte de classes de milieux défavorisés, ont également montré que les difficultés des élèves en calcul mental pouvaient s’expliquer par un manque de faits numériques mémorisés et de règles de calcul disponibles.

                     Pour favoriser l’apprentissage par les élèves de faits numériques mais également de règles et procédures de calcul raisonné, les séances de calcul mental doivent être de types variés (Copirelem, 2012) :

• des séances longues visant l’apprentissage de règles de calcul ou de procédures ;

• des séances courtes d’entraînement ;

• des séances de réinvestissement (notamment en utilisant des jeux) ;

• des séances d’évaluation.

                     Dans le cadre du travail de mémoire de recherche [1] (Harel, 2015) que nous présentons dans cet article, nous mettons en œuvre une séquence de calcul mental raisonné instrumenté (notamment par le biais de l’utilisation du boulier) de dix séances ayant pour objectif de développer chez les élèves des procédures leur permettant de répondre au type de tâche suivant ajouter un nombre entier n à un chiffre à un nombre entier m inférieur à 100, en CE1 .

1.2 Décrire et analyser les activités proposées et les procédures des élèves : la notion de praxéologie didactique.

                     Pour décrire et analyser les procédures des élèves dans le cadre de la séquence proposée, nous faisons appel à la notion de praxéologie didactique, développée par Chevallard (1993, 1999) dans le cadre de la théorie anthropologique du didactique. Dans le cadre de cette théorie, toute activité humaine peut se décomposer en tâches (notées t) relevant d’un certain type de tâche (T), techniques (notées $\tau$ ) permettant d’accomplir la tâche t, et technologies (notées θ), discours justifiant la technique $\tau$ . Chevallard (1999) distingue également un quatrième élément dans une praxéologie, la théorie (Θ) qui est un discours justificatif des technologies. Le quadruplet [t/ $\tau$ /θ/Θ] est appelé praxéologie et se décompose en un bloc pratique [t/ $\tau$ ] et un bloc logos [θ/Θ] lié aux éléments permettant de justifier que les techniques utilisées pour résoudre une tâche donnée produiront bien le résultat attendu. L’analyse praxéologique de tâches en utilisant le boulier a été introduite pour analyser des tâches du type : inscrire un chiffre, inscrire un nombre et effectuer une addition avec retenue (Poisard, 2005). La notion de technologie (raisonnement) associé à une manières d’inscrire un nombre sur le boulier a également été utilisée pour montrer par exemple que cinq peut s’inscrire de trois manières différents sur le boulier chinois, en référence à différents savoirs mathématiques tels que le comptage, l’ordinalité, le calcul (Gueudet, Bueno-Ravel, Poisard, 2014).

                     L’utilisation de la notion de praxéologie a été utilisée de façon féconde par Riou-Azou (2013, 2015) pour décrire les procédures d’élèves de Grande Section de maternelle (élèves de 5/6 ans, dernière année d’école maternelle) utilisant les bouliers matériels et virtuels. En voici un exemple extrait du travail de mémoire de Riou-Azou (2013).

Analyse de la tâche « Lire le nombre 8 » [...]

Figure 1. Un exemple d’analyse praxéologique extrait du mémoire de Riou-Azou (2013). La tâche présentée relève du type de tâche lire un nombre sur le boulier , sous-types de tâche lire un nombre compris entre 6 et 10 sur le boulier .

                     Dans cet article, nous allons analyser le type de tâche calculer la somme (m+n) avec m et n nombres entiers tels que $10 \lt m \lt 50$ et $0 \lt n \lt 10$ . Nous donnerons des éléments d’analyse praxéologique dans la partie 2.

1.3 Prendre en compte l’articulation des différents artefacts : la notion de registre sémiotique.

                     Dans la séquence de calcul mental raisonné avec le boulier chinois que nous avons construite, nous proposons aux élèves de résoudre les activités proposées sur papier-crayon, sur le boulier (matériel ou virtuel) ou à l’aide d’un arbre à calcul, que nous considérons comme des registres sémiotiques au sens de Duval (1995). Duval définit un registre sémiotique comme étant un système sémiotique permettant d’exercer les trois activités cognitives fondamentales de la pensée :

• « constituer une trace ou un assemblage de traces perceptibles qui soient identifiables comme une représentation de quelque chose dans un système déterminé ;

• transformer les représentations par les seules règles propres au système de façon à obtenir d’autres représentations pouvant constituer un apport de connaissance par rapport aux représentations initiales ;

• convertir les représentations produites dans un système en représentations d’un autres système, de telle façon que ces dernières permettent d’expliciter d’autres significations relatives à ce qui est représenté. » (Duval 1995, p.21).

                     Dans nos recherches, nous avons analysé au préalable les différences de techniques selon le registre utilisé pour résoudre la tâche proposée. Nous avons ensuite analysé les techniques des élèves pour voir si celles-ci variaient d’un registre à l’autre. L’articulation entre l’analyse praxéologique et la notion de registre a été introduite par Poisard (2005) en utilisant deux registres : le registre « papier/crayon et oral » et le registre « matériel et gestuel avec le boulier chinois ». La séquence analysée ici en lien avec le calcul mental amène à proposer plusieurs registres : mental, arbre à calcul et boulier chinois (matériel et virtuel).

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                     La séquence de calcul mental en CE1 utilisant le boulier chinois a été conçue au sein du groupe de recherche MARENE (Mallette de Ressources pour le Nombre à l’École) de l’ESPE de Bretagne. Le groupe MARENE fait partie d’un projet plus large (sept. 2011 – juil. 2014) « Mallette de ressources mathématiques pour l’école, cycle 1 – cycle 2 » [2]. Dans le cadre de ce projet, la spécificité du travail du groupe MARENE est de proposer des ressources permettant de faciliter l’intégration des nouvelles technologies (ici le boulier chinois virtuel) dans l’enseignement des mathématiques à l’école.

2.1 Présentation de la séquence

                     La séquence de CE1 proposée est une séquence de 9 séances se déroulant sur deux mois (Voir le détail de la séquence). A l’exception des séances 1 (séance de réactivation sur le mode d’emploi du boulier) et 9 (séance de réinvestissement), l’ensemble des séances suit le même canevas :

• Phase 1 : phase de réactivation des connaissances. Une série de dix calculs rapides, choisis en fonction des séances précédentes, est donnée à faire de tête et est corrigée de manière collective.

• Phase 2 : phase d’apprentissage. A l’aide du boulier chinois ou de tête, les élèves doivent résoudre des tâches du type calculer la somme (m+n) avec m et n nombres entiers tels que $10 \lt m \lt 50$ et $0 \lt n \lt 10$ . Ils sont amenés par le professeur à expliquer à l’ensemble de la classe leur procédure à l’aide d’arbres à calcul.

• Phase 3 : phase d’institutionnalisation. Une synthèse sur les procédures utilisées est faite sur une affiche par le professeur, avec l’aide des élèves. Cette synthèse débouche ensuite sur la rédaction par le professeur d’un écrit à coller dans le cahier de leçons. Pour un exemple en lien avec la séance 4 «  Ajouter 8  », voir les figures 2 et 3 ci-dessous.

                     Lors des séances 3, 4 et 5 (ajouter 9, 8 et 7), la recherche de la somme se fait d’abord individuellement sur le boulier chinois. Puis les élèves vont proposer leur solution en utilisant le boulier chinois virtuel associé au tableau numérique interactif (noté TNI par la suite) ou le boulier magnétique (conçu avec des aimants) présent sur le tableau. L’explication des procédures aux autres élèves se fait soit en écrivant des suites d’égalités représentant toutes les étapes du calcul soit en utilisant un arbre à calcul.

                     Ensuite, lors des séances 6, 7 et 8 (ajouter 6, 5 et 4, 3, 2, 1), les élèves doivent d’abord résoudre la tâche mentalement, puis expliquer leur procédure au tableau soit en écrivant des suites d’égalités représentant toutes les étapes du calcul soit en utilisant un arbre à calcul et enfin, vérifier leur résultat à l’aide du boulier virtuel ou magnétique.

                     Ainsi, dans cette séquence, le boulier est donc d’abord utilisé comme un outil de recherche de solution. Les élèves peuvent alors éventuellement développer des procédures de calcul raisonné prenant appui sur les propriétés du boulier, notamment l’appui sur le 5 avec l’activation de quinaires et les échanges 5 (5 unaires activées) contre 1 (1 quinaire activée) ou 10 (vu comme 1+1+1+1+1+5 lorsque 5 unaires unités et 1 quinaire unité sont activées ou comme 5+5 lorsque 2 quinaires unités sont activées) contre 1(une unaire de la tige des dizaines). Il sert ensuite comme outil de validation du résultat.

2.2 Contexte de mise en œuvre et méthodologie de suivi des techniques utilisées par les élèves

                     La séquence a été testée en 2013-2014 dans une classe de CP-CE1 composée de 6 élèves de CP (grade 1, élèves de 6-7 ans) et de 16 élèves de CE1 et a été menée par Chloé, un professeur participant au groupe de recherche MARENE. Parmi les 16 élèves de CE1 de cette classe, 12 avaient eu Chloé comme professeur en 2012-2013 en CP et avaient déjà travaillé en mathématiques avec le boulier, notamment pour découvrir son mode de fonctionnement, lire et écrire des nombres et l’utiliser pour enrichir les différentes représentations du nombre apparaissant dans le dictionnaire des nombres de la classe.

                     Parmi ces 12 élèves, 6 ont été choisis en fonction de leur profil d’utilisation du boulier (Trouche 2000) pour un suivi plus approfondi de l’évolution de leurs techniques de calcul. Ce suivi s’est caractérisé par trois entretiens individuels faits par le professeur de la classe, Chloé, ou par une de ses collègues.

                     Les entretiens 1 et 3 sont organisés de la même manière : Chloé pose un calcul et demande à l’élève de le résoudre à l’aide du boulier et de lui expliquer sa procédure. Un nouveau calcul est ensuite donné à l’élève. Une série de dix calculs est prévue pour l’entretien 1 qui se déroule le jour de la séance 2 : 37+9 ; 30+9 ; 38+8 ; 32+7 ; 35+5 ; 37+4 ; 39+3 ; 34+3 ; 35+6 et 34+7. Cette même série est reprise lors de l’entretien 3 qui se déroule après la séance 8 pour identifier les apprentissages des élèves par le biais de l’évolution des techniques utilisées pour résoudre les calculs proposés.

                     L’entretien 2, qui se déroule entre la séance 8 et l’entretien 3, se fait à partir d’une série de 5 calculs à effectuer de tête (37+6 ; 34+7 ; 38+8 ; 32+7 et 33+8). Les élèves sont ensuite guidés par le professeur présent pour expliquer oralement la technique utilisée pour résoudre le calcul proposé. Le professeur note sur une feuille la réponse de l’élève, le temps mis pour donner la réponse ainsi que des éléments permettant de transcrire la technique utilisée par l’élève. Cet entretien permet de voir si les techniques utilisées par les élèves lorsque ceux-ci doivent faire les calculs de tête sont les mêmes que celles utilisées lorsque les calculs sont à faire à l’aide du boulier.

                     Par ailleurs, les séances 3, 5 et 6 (ajouter 9, 7 et 6) ont été filmées et retranscrites pour identifier les différentes techniques utilisées par l’ensemble des élèves de la classe.

2.3 Analyse préalable de la séquence

                     Dans cette séquence, les choix des nombres $m$ et $n$ avec $10 \lt m \lt 50$ et $0\lt n\lt 10$ est une variable didactique importante. En effet, en fonction des nombres choisis, lorsque $m$ est inscrit sur le boulier, l’ajout du nombre $n$ se fera plus ou moins facilement selon le nombre de quinaire ou unaires unités utilisées pour écrire $m$ en inscription économique (inscription utilisant le moins de boules possible). Pour choisir les nombres à proposer aux élèves dans chacune des séances et lors des différents entretiens, nous nous sommes appuyées sur les travaux de Balacheff et Neyret (1982).

Nous distinguons deux cas :

• Cas 1 : la somme des unités de $m$ et $n$ est inférieur à 10

                     Il est possible, dans ce cas, d’ajouter $n$ à $m$ sans procéder à un échange de type 10 contre 1 pour effectuer le calcul sur le boulier.

                     Dans ce cas 1, nous distinguons deux sous-cas comme le montre le tableau ci-dessous.

Cas 1 : la somme des unités de $m$ et $n$ est inférieure à 10
Sous-cas 1.1 : la somme des unaires unités des écritures canoniques de $m$ et $n$ est inférieure à 5	Sous-cas 1.2 : la somme des unaires unités des écritures canoniques de $m$ et $n$ est supérieure à 5
Exemple : 32+7 ou 37+2 32 s’écrit avec 3 unaires de la tige des dizaines et 2 unaires unités. On ajoute 7 qui s’écrit avec 1 quinaire unité et 2 unaires unités. On lit le résultat : 3 unaires de la tige des dizaines, 1 quinaire unité et 4 unaires unités soit 39.	Exemple : 32+4 ou 34+2 32 s’écrit avec 3 unaires de la tige des dizaines et 2 unaires unités. On ajoute 4 qui s’écrit avec 4 unaires unités en ajoutant d’abord 3. On échange 5 unaires unités contre 1 quinaire unité. On « finit » d’ajouter 4 en ajoutant 1 avec une unaire unité. On lit le résultat : 3 unaires de la tige des dizaines, 1 quinaire unité et 1 unaire unité soit 36.
Traduction de cette technique utilisée avec le boulier : 32+7=30+2+5+2         =30+5+4         =39 Technologies associées : décomposition canonique de 32 décomposition de 7 avec appui sur le 5 décomposition de 9 avec appui sur le 5 décomposition canonique de 39	Traduction de cette technique utilisée avec le boulier : 32+4=30+2+3+1         =30+5+1         =36 Technologies associées : décomposition canonique de 32 complément à 5 de 2 décomposition de 4 en 3+1 (3 étant le complément à 5 de 2) décomposition de 6 avec appui sur le 5 décomposition canonique de 36

                     Dans le cas 1, il n’y a pas d’échange de type 10 contre 1 lors des calculs (il n’y a pas de retenues) mais il peut y avoir des échanges de type 5 contre 1 si la somme des unaires unités des écritures canoniques de $m$ et $n$ est supérieure à 5. Dans ce sous-cas, il est important de mémoriser la décomposition de $n$ utilisée (4=3+1 ci-dessus) car l’ajout de $n$ va se faire en deux étapes, interrompues par un échange de 5 unaires unités contre 1 quinaire unité. Ceci est une difficulté prévisible pour les élèves.

• Cas 2 : la somme des unités de $m$ et $n$ est supérieure à 10

                     Il n’est plus possible, dans ce cas, d’ajouter $n$ à $m$ sans procéder à un échange de type 10 contre 1 (présence d’une retenue) pour effectuer le calcul sur le boulier.

                     Dans ce cas 2, nous distinguons également deux sous-cas comme le montre le tableau ci-dessous.

Cas 2 : la somme des unités de $m$ et $n$ est supérieure à 10
Sous-cas 2.1 : la somme des unaires unités des écritures canoniques de $m$ et $n$ est inférieure à 5	Sous-cas 2.2 : la somme des unaires unités des écritures canoniques de $m$ et $n$ est supérieure à 5
Exemple : 37+6 ou 36+7 37 s’écrit avec 3 unaires de la tige des dizaines, 1 quinaire unité et 2 unaires unités. On ajoute 6 qui s’écrit avec 1 quinaire unité et 1 unaire unité. Pour lire le résultat, on échange les 2 quinaires unités contre 1 unaire de la tige des dizaines. On lit le résultat : 4 unaires de la tige des dizaines et 3 unaires unités soit 43.	Exemple : 34+7 ou 37+4 34 s’écrit avec 3 unaires de la tige des dizaines et 4 unaires unités. On ajoute 7 qui s’écrit avec 1 quinaire unité et 2 unaires unités en ajoutant d’abord 1. On échange 5 unaires unités contre 1 quinaire unité. On « finit » d’ajouter 7 en ajoutant 6 avec 1 quinaire unité et une unaire unité. Pour lire le résultat, on échange les 2 quinaires unités contre 1 unaire de la tige des dizaines. On lit le résultat : 4 unaires de la tige des dizaines et 1 unaire unité soit 41.
Traduction de cette technique utilisée avec le boulier : 37+6=30+5+2+5+1         =30+10+3         =43 Technologies associées : décomposition canonique de 37 décomposition de 7 avec appui sur le 5 décomposition de 6 avec appui sur le 5 échange de 10 unités contre 1 dizaine décomposition canonique de 43	Traduction de cette technique utilisée avec le boulier : 34+7=30+4+1+5+1         =30+5+5+1         =30+10+1         =41 Technologies associées : décomposition canonique de 34 complément à 5 de 4 décomposition de 7 en 1+6 (1 étant le complément à 5 de 4) décomposition de 6 avec appui sur le 5 échange de 10 unités contre 1 dizaine décomposition canonique de 41

                     Dans le cas 2, il y a des échange de type 10 contre 1 lors des calculs et il peut y avoir également des échanges de type 5 contre 1 comme dans le sous-cas 2.2. Dans ce sous-cas, il est important de mémoriser la décomposition de $n$ utilisée (7=1+(5+1) ci-dessus) car l’ajout de $n$ va se faire en deux étapes, interrompues par un échange de 5 unaires unités contre 1 quinaire unité. Ceci est une difficulté prévisible pour les élèves.

                     Le travail que nous venons de présenter permet de choisir les couples d’entiers $(m,n)$ lors de chacune des séances et des entretiens. Ensuite, pour chaque couple $(m,n)$ choisi, nous poursuivons l’analyse praxéologique de la tâche calculer la somme $(m+n)$ avec $m$ et $n$ nombres entiers fixés tels que $10\lt m \lt 50$ et $0 \lt n \lt 10$ en identifiant l’ensemble des techniques de résolution possibles, les technologies associées ainsi que les registres (boulier, de tête, arbre à calcul) dans lesquels ces techniques sont réalisables. Nous donnons ci-dessous un exemple en nous centrant sur les techniques et les registres afin de montrer que l’utilisation d’une même technique peut-être plus ou moins pertinente selon le registre choisi. Pour une analyse plus détaillée, se reporter à Harel (2015).

Tâche calculer la somme (34+2) Cas 1, sous-cas 1.2 : nécessité d’un échange 5 contre 1
Techniques	Registres
Technique 1 : 32+4=30+2+3+1         =30+5+1         =36	Registre boulier : Pertinent                                                                   Registre arbre à calcul : Pertinent Registre « de tête » : Possible, moins pertinent que dans les registres précédents, notamment car la décomposition de 32 en 30+2 alourdit le travail de mémorisation.
Technique 2 : 32+4=30+2+4         =30+6         =36 Élément de technologie : utilisation du résultat mémorisé 6=2+4	Registre boulier : Pas possible Pour ajouter 4, lorsque 32 est inscrit sur le boulier, il n’est pas pertinent d’utiliser cette technique Registre arbre à calcul : Pertinent Registre « de tête » : Pertinent

Technique 3 : 32+4=32+5-1         =37-1         =36 Élément de technologie : utilisation des résultats mémorisés 4=5-1 et 7=2+5	Registre boulier : Pertinent Cette technique permet d’éviter l’échange de 5 unaires unités contre 1 quinaire unité en cours de calcul (cf. technique 1)                                                             Registre arbre à calcul : Peu pertinent Registre « de tête » : Pertinent
D’autres techniques sont possibles...

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                     Rappelons que lors de cette séquence, l’objectif est que les élèves développent des techniques de calcul raisonné pour additionner un nombre à un chiffre à un nombre à deux chiffres. Si, lors des premières séances, ces techniques sont instrumentées par le boulier, les élèves doivent ensuite changer de registre. A long terme, l’objectif est d’être capable de choisir une technique adaptée au registre choisi ou du moins être capable de changer de technique.

Nous allons maintenant donner de façon synthétique les résultats de l’analyse a posteriori de la séquence en montrant l’évolution des techniques des élèves, l’utilité de disposer du registre arbre à calcul pour la verbalisation des procédures des élèves et en donnant une liste de difficultés d’élèves à anticiper lors d’une utilisation du boulier chinois en classe.

3.1 Passer d’une technique de comptage de 1 en 1 à une technique de calcul

                     En début de séquence, certains élèves, pour ajouter $n$ à $m$, ajouter $n$ fois 1 à $m$ en comptant de 1 en 1. Par exemple, lors de l’entretien 1, Chloé propose aux élèves de calculer 34+7. Trois élèves sur les 6 ayant passé l’entretien (Camille, Vincent et Stéphanie), font 34+1+1+1+1+1+1+1, soit directement sur le boulier, en activant les unaires unités une à une, soit avec leurs doigts en codant ensuite les résultats obtenus avec les doigts sur le boulier.

                     Lors de l’entretien 2, après la séance 8, seule Stéphanie a conservé cette technique pour trouver le résultat de l’ensemble des calculs proposés. Vincent et Camille utilisent lors de cet entretien des techniques de calcul prenant appui sur les complément à 10 (37+9=37+3+6), les doubles (38+8=30+16) ou les décompositions (33+8=30+3+8).

                     Lors de l’entretien 3, en fin de séquence, Chloé propose à nouveau à ces trois élèves de calculer 34+7. Voici les techniques utilisées par Camille, Vincent et Stéphanie avec le boulier.

Comme nous pouvons le constater, ces élèves ont élaborés, au cours de la séquence, des techniques de calcul pour trouver la somme $m+n$. La technique utilisée par Vincent et Stéphanie lors de l’entretien 3 est très clairement instrumentée par la manière d’écrire les nombres sur le boulier. En effet, 7 est décomposé en prenant appui sur le 5 (7=5+2) et le complément à 7 de 5 est ajouté en prenant en compte un échange 5 contre 1 sur la tige des unités.

                     La technique utilisée par Camille est pertinente pour effectuer le calcul de tête. Ici, elle fonctionne sur le boulier car le nombre $m$ s’écrit sans quinaire unité dans son inscription économique. Elle permet d’éviter de faire un échange 5 contre 1 en cours de calcul. Notons également que cette technique aurait pu être plus rapide si l’ajout de 10 avait été fait en activant 1 unaire de la tige des dizaines plutôt que 2 quinaires de la tige des unités (il n’y aurait eu aucun échange dans ce cas là). Camille n’aurait pas pu utiliser aussi facilement cette technique pour effectuer par exemple 36+7. Nous pensons que Camille a pu construire cette technique grâce à la sa bonne maîtrise des compléments à 10, comme le montre les réponses qu’il donne à l’entretien 2.

3.2 L’arbre à calcul : un outil d’explication des techniques favorisant l’apprentissage de règles de calcul

                     De la séance 1 à la séance 5, les calculs donnés devaient être faits sur le boulier et expliqués en utilisant un arbre à calcul. Lors de ces séances, les élèves travaillent le lien entre leurs actions sur le boulier et les étapes du calcul à faire (figure 5 ci-dessous), ce qui les aide à progresser dans la conception d’arbres à calcul.

                     Ils travaillent également sur les décomposition des nombres inférieurs à 10 avec appui sur le 5.

                     À partir de la séance 6, le boulier devient un outil de vérification de résultats, les calculs devant se faire de tête et être expliqués avec un arbre à calcul ou une suite d’égalité. Nous constatons alors que les élèves on pris l’habitude de s’appuyer sur des calculs intermédiaires et qu’ils arrivent à les expliquer avec un arbre. La variété des techniques utilisées est importante. Les technologies associées à ces techniques montrent une maîtrise de plus en plus grande par les élèves de faits numériques mémorisés (comme les décompositions des entiers inférieurs à 10 en prenant appui sur le 5 ou les compléments à 10), comme le montre la figure 6 ci-dessous :

Appui sur des résultats mémorisés (5=2+3, 4+3=7 et 7+2=9)

Commutativité. (47+5=45+7) Décomposition avec appui sur le 5.

Décomposition canonique. Appui sur les résultats mémorisés (6+5=11). Utilisation de la numération orale.

Décomposition canonique. Décomposition avec appui sur le 5. Cette technique semble inspirée de l’utilisation du boulier

Figure 5. Exemples de procédures élèves obtenues en séance 7 « Ajouter 5 »

3.3 Des difficultés à anticiper

                     Lors de l’analyse de la mise en œuvre de la séquence, nous avons identifié cinq difficultés qui sont apparues chez les élèves :

• La confusion entre inscrire un nombre sur le boulier et ajouter un nombre  : par exemple, pour ajouter 3 à 38, certains élèves peuvent être mis en difficulté car lorsque 38 est inscrit sur le boulier, il y a déjà 3 unaires unités activées.
• L’équivalence entre 5 unaires et 1 quinaire : pour certains élèves de CE1, la notion d’échange et, à travers cela, la distinction entre valeur et quantité, n’est pas encore stabilisée.
• La confusion entre échanger et ajouter  : lors d’un échange 5 contre 1, (5 unaires unités contre 1 quinaire unité), certains élèves pensent avoir ajouter 5 et n’ont pas conscience d’avoir produit une écriture équivalente.
• La mémorisation des quantités intermédiaires à ajouter : nous avons déjà évoqué ce point lors de l’analyse praxéologique en partie 2. Cette mémorisation est d’autant plus délicate lorsque des échanges interviennent en cours d’ajout.
• Le manque de connaissances de faits numériques, notamment les décompositions des nombres inférieurs à 10 avec appui sur le 5 (décompositions pourtant travaillées dès la maternelle avec les mains) : ce manque de connaissance rend difficile la lecture du résultat obtenu car si l’on obtient par exemple 39 comme résultat, 39 sera écrit 30+5+4. Certains élèves ont besoin d’utiliser la bande numérique pour trouver 39 ou alors de surcompter à partir de 35 en prenant en compte une à une chacune des 4 unaires activées.

                     Les trois premières difficultés s’expliquent par le fait que le processus d’appropriation du principe de fonctionnement du boulier est un processus long. Une ou deux séances de découverte du boulier ne suffisent pas à aplanir ces difficultés. Elles doivent être prises en charge par le professeur qui doit en avoir conscience. L’utilisation d’un vocabulaire précis lié aux manipulations faites sur le boulier permet généralement de dépasser ces difficultés après plusieurs séances.

                     La quatrième difficulté (mémorisation des quantités intermédiaires à ajouter) doit être anticipée par le professeur. Il est possible de proposer aux élèves d’écrire la décomposition de n qu’ils prévoient de faire ou alors de noter sur un papier au fur et à mesure de l’activation des boules ce que cela représente.

                     Enfin, concernant la cinquième difficulté, seul un entraînement régulier permet d’améliorer les résultats des élèves. D’ailleurs, au fur et à mesure de la séquence, la lecture des nombres inscrits sur le boulier avec une inscription économique est de plus en plus fluide pour la plupart des élèves. Nous pouvons alors supposer que l’utilisation du boulier, comme outil de calcul ou comme outil de vérification a permis de renforcer les connaissances des élèves sur les décompositions des nombres inférieurs à 10 en prenant appui sur le 5.

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                     Nous venons, dans cet article, de présenter et d’analyser une séquence de calcul mental de CE1 utilisant le boulier chinois. Cette analyse nous a permis d’apporter certains éléments de réponse aux questions posées en introduction.

                     Nous avons montré qu’au cours de cette séquence, la plupart des élèves qui utilisaient une technique basée sur le comptage en calcul mental sont passés à des techniques prenant appui sur le calcul. Une seule élève, Stéphanie, continue à s’appuyer sur le comptage lorsque le calcul est donné dans le registre du calcul « de tête », comme le montre ses réponses à l’entretien 2. On constate cependant que dans le registre du boulier, Stéphanie arrive, en fin de séquence, à proposer des techniques de calcul s’appuyant sur une décomposition du nombre n à ajouter prenant appui sur le 5. Dans le registre du boulier chinois, Stéphanie a construit des connaissances sur les décompositions des nombres qu’elle n’arrive pas encore à transférer dans d’autres registres.

                     Pour les autres élèves, nous constatons qu’au cours de cette séquence, la variété de techniques utilisées augmente, parallèlement à une meilleure maîtrise des décompositions des nombres à un chiffre en prenant appui sur le 5. Certaines techniques utilisées dans le registre du calcul « de tête » semblent directement reposer sur les caractéristiques du boulier chinois comme le montre une des procédures dans la figure 6. Autre exemple, après avoir été en difficulté en début de séquence sur la valeur de la quinaire unité, Vincent est capable, en fin de séquence, d’utiliser la décomposition 5-1 pour ajouter 4 (soit activer une quinaire unité et désactiver une unaire unité).

                     Le boulier et les arbres à calcul sont pensés en articulation tout au long de la séquence. Sans arbre à calcul, lors des premières séances, il serait très difficile pour l’ensemble de la classe de suivre une procédure expliquée au tableau sur le boulier magnétique ou le boulier virtuel par un élève. L’arbre à calcul permet de garder trace des différentes actions faites sur le boulier et de faire le lien entre un calcul fait par manipulation sur un boulier et des égalités. En rendant visible les procédures, il facilite la compréhension de celles-ci par les élèves qui peuvent, ensuite, les utiliser dans de nouveaux calculs.

                     Nous avons identifié deux apports du boulier chinois pour aider les élèves en difficulté en calcul mental en CE1 (calcul mental de sommes) : favoriser l’apprentissage de faits numériques (essentiellement les décompositions avec appui sur le 5 ici) et la compréhension de la retenue.

                     Concernant la retenue, lorsque les nombres $m$ et $n$ choisis sont dans le cas 2, le calcul sur le boulier chinois fait apparaître une étape intermédiaire par rapport à la retenue lorsque deux quinaires unités sont activées (par exemple pour faire 37+6). On obtient alors une inscription non économique du résultat que l’on ne retrouve pas lors d’un calcul « de tête » ou alors posé en colonne. L’obligation d’utiliser une inscription économique pour pouvoir lire facilement le résultat sur le boulier met en évidence la retenue avec l’échange de 2 quinaires unités contre une unaire de la tige des dizaines.

                     Il serait intéressant de tester à nouveau cette séquence pour voir si des évolutions de procédures d’élèves observées apparaissent également et si cette séquence a un impact à plus long terme sur les procédures de calcul utilisées par les élèves.

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