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Introduction de la dérivée en LP
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Mis en ligne le 22 décembre 2013, par Christian Meilland, Norbert Rey

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Voir en fin d’article la suggestion de Roland Dassonval.

Depuis la rénovation de la voie professionnelle de septembre 2009, l’enseignement des mathématiques comporte un certain nombre de particularités, entre autre :

- l’horaire total d’enseignement est triannualisé (181 h de mathématiques sur les 3 ans, ce qui correspond à une répartition de 2 années à 2 h hebdomadaire et 1 année à 2 h 30)
- pour les spécialités de baccalauréat ayant un enseignement en sciences physiques, il est demandé aux professeurs de faire le lien entre les deux disciplines à travers de leurs cours (en lycée professionnel, les enseignants en charge du cours de mathématiques sont « bivalents » : ils assurent les cours de mathématiques et de sciences physiques et chimiques)

- les programmes de baccalauréat professionnel demandent à ce que les cours de mathématiques prennent appui sur une thématique ; le programme propose 23 thématiques (la liste n’est pas exhaustive) réparties en 5 grands sujets :

  • développement durable ;
  • prévention, sante et sécurité ;
  • évolution des sciences et techniques ;
  • vie sociale et loisirs ;
  • vie économique et professionnelle.

- Dans la continuité de ce qui se fait pour le socle commun au collège, l’enseignement de mathématiques et de sciences physiques se fait par le biais d’un travail sur 5 compétences :

  • S’approprier
  • Analyser, raisonner
  • Réaliser
  • Valider
  • Communiquer

- L’enseignement des mathématiques doit obligatoirement passer par une utilisation des TIC (des compétences liées aux TIC sont évaluées).

Les activités présentées s’inscrivent dans le sujet du développement durable et utilisent les thématiques «  protéger la planète » et «  gérer les ressources naturelles  : leur objectif est de dessiner une parabole pour réaliser un four solaire.

Introduction

Les activités proposées permettent de revenir sur la fonction carré et la détermination d’équations de droites. Le retour sur ces notions vues antérieurement amènent à mettre en œuvre une progression en spirale conformément aux recommandations du préambule commun aux programmes de mathématiques et de sciences physiques et chimiques de baccalauréat professionnel.

Le tracé à l’équerre présenté dans l’activité 1 peut être illustré par la vidéo suivante :

construction d’une parabole.(http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=JO6tiAhkynU)

La contextualisation choisie (construction d’un four solaire) permet de relier un enseignement par entrée thématique à la construction d’une modélisation. On évite ainsi l’écueil du « faux concret ».

L’introduction du nombre dérivé en première constitue souvent une difficulté d’enseignement d’autant plus que la notion fonction dérivée n’est abordée qu’en classe de terminale.

Ces trois activités amenant la notion de coefficient directeur de la tangente en un point introductive à la notion de nombre dérivé puis à celle de fonction dérivée,

Analyse d’un four solaire

Document d’étude :

Gabriel doit animer un atelier scientifique dans un centre de vacances pour des enfants de 10 et 11 ans.

Il s’est fixé pour objectif de construire une mini parabole solaire (20cm ≤ foyer ≤ 30 cm).

Ses recherches lui ont permis d’établir la démarche suivante :
- Il doit réaliser un gabarit « 2D » dans du carton qui par rotation permettra d’obtenir le moule en sable
- Sur le moule en sable il appliquera de la fibre de verre et de la résine.
- Une fois la parabole réalisée il garnira l’intérieur de papier aluminium autocollant.
- Il finalisera son projet en fixant la parabole sur un support et en réalisant un système de maintien pour l’ustensile de cuisson.

La fonction f(x)=0.125x² permet de réaliser une parabole solaire intéressante.

Problème  : Comment faire réaliser le gabarit aux enfants qui ne connaissent pas la fonction f(x)=0.125x² ?

Des recherches sur internet permettent à Gabriel de retenir 2 méthodes

Méthode proposée

Méthode 1

Tracer une droite d en bas de la page et un point O pas trop loin de d (3 cm).

Tracer le segment [OA], sans appuyer. Tracer la perpendiculaire à (OA) passant par A.

Recommencer, en remplaçant A par des points situés sur d, espacés de 1cm.

Méthode 2

On accroche une ficelle en D sur l’équerre et au point O sur la feuille

La longueur de la ficelle égale la hauteur CD de l’équerre.

Si on fait glisser le côté EC de l’équerre sur la droite (AB), le point P se déplace sur une parabole.

Gabriel retient la méthode 1

Travail à réaliser à l’aide du logiciel Géogébra.

1. Ouvrir le document «  Gabarit de la parabole  »

geogebra - 5.6 ko

Le segment [AO] est tracé ainsi que la perpendiculaire à [AO] passant en A.

Réaliser la construction proposée par cette méthode. On placera un minimum de 10 points sur la droite d .

Une fois la construction réalisée ,appeler le professeur pour validation.

2. Analyse du tracé obtenu
- Quelle courbe est suggérée par le faisceau de droites ?
- Cocher la case «  parabole de référence d’équation f(x)=0,125x²  »
- Que peut on dire de la courbe obtenue au regard de la courbe de référence ?
- A quelle distance de la droite d doit etre positionné le point O pour que la courbe obtenue se superpose à la courbe de référence ?

D’une manière générale à quelle distance en cm de la droite ,l’animateur dira-t-il aux enfants de placer

le point O ( foyer de la parabole ) pour construire le gabarit ? Justifier votre réponse.

Appeler le professeur pour validation.

3. On peut lire la notice suivante :

La parabole solaire a la capacité de concentrer les rayons lumineux .

En effet d’après les lois de la réflexion de Descartes :

Les angles étant définis par rapport à la perpendiculaire au point d’incidence,

l’angle d’incidence î est égal à l’angle de réflexion î’

Ainsi tout rayon lumineux parallèle à « l’axe de la parabole », est donc réfléchi en un point appelé Foyer.

C’est en ce point que la température sera la plus élevée. Attention au risque de brûlure.

Ouvrir le document «  Positionnement du Foyer  »

geogebra - 7.9 ko

2 rayons de soleil sont modélisés (couleur orange)

Construire aux points d’incidence I et H les rayons réfléchis.

Vérifier en le mesurant que les angles d’incidence et de réflexion sont égaux.

Positionner le point de concours des rayons réfléchis.

Quelles remarques pouvez vous faire ?

Appelez le professeur et expliquez lui votre construction.

Fiche technique

« Construction d’un rayon réfléchi ».

Sélectionner l’outil symétrie axiale.

Sélectionner le rayon incident et l’axe de symétrie.

Le rayon réfléchi apparaît.
« Mesure d’un angle »

Sélectionner l’outil angle.

Sélectionner les deux droites ou 3 points (le point milieu est le sommet de l’angle).

Grille d’analyse.

Niveau : 1 nde Bac professionnel

Module : Approcher une courbe avec des droites

Thématique : Développement durable « Gérer les ressources naturelles »

Compétences
S’approprier Comprendre la problématique. Certains élèves s’arrêtent au début de l’énoncé et se contentent de tracer f(x)=0,125x² Comprendre que Gabriel retient la méthode 1
AnalyserRaisonner Lier la méthode 1 au fichier Géogébra préparéPlacer 5 points à droite et 5 points à gauche.Reconnaître la parabole.Lier le foyer au point 0Comprendre que la construction Géogébra est à l’échelle 1 :10Reconnaître les deux rayons incidents
Réaliser Compléter la construction sous Géogébra Calculer la distance réelle du foyer.Construction des rayons réfléchis
Valider Voir si la réalisation est conforme à l’énoncé Méthode 1 ; 1 dizaine de points distants de 1cm Vérification de l’angle de réflexion.
Communiquer Commentaires concernant la situation des 2 paraboles.Dire que le point O est à 2 cm du sommet sur le document Géogébra.Dire et justifier que le foyer doit être à 20cm sur le gabarit.Constater que les rayons réfléchis convergent au foyer.

Positionnement

Approfondissement de la notion de foyer.

Section industrielle :

Sciences Optique Réflexion des rayons du soleil (modélisés par des droites verticales )

Convergence des rayons réfléchis vers le Foyer.

Positionnement de la séquence proposée

L’activité présentée ci-dessous prend appui sur la thématique du développement durable en lien avec la protection de la planète et la gestion des ressources naturelles ; puisqu’elle consiste à réaliser une parabole solaire de la part des élèves.

Cette activité sert d’introduction au module suivant

Une ouverture est envisageable au programme de Sciences Physiques tronc commun du cycle Terminal

Au travers de la recherche du foyer d’une parabole solaire, en utilisant les lois de la réflexion de Descartes.

Tangente et sens de variation :

L’activité utilise comme support l’objet ci-contre

L’équation de cet objet géométrique permettra d’approfondir la notion de

tangente en un point d’une courbe et d’étudier le rôle de son coefficient directeur.

Activité à l’aide de Géogébra

1. Travail individuel.

a) Ouvrir le fichier Géogébra «  Four solaire  ».

geogebra - 7.5 ko

Cliquer sur la case «  Four solaire  » afin d’effacer le four.

b) Placer 4 points A ; B ; C ; D sur la courbe g. Noter leurs coordonnées.

A(….. ;….) B(….. ;….) C(….. ;….) D(….. ;….)

Tracer les tangentes à g passant par les points A ; B ; C ; D.(voir fiche technique)

c) A quelle fonction de référence correspondent les tangentes ainsi tracées ?

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
d) Compléter le tableau suivant :

Droite passant par Coefficient directeur de la tangente
A a1= ……………….
B a2= ……………….
C a3= ……………….
D a4= ……………….
Appelez le professeur pour faire vérifier vos valeurs

e) Analyse

Conjecturer une propriété entre la courbe et les coefficients directeurs des tangentes.

Propositions :

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. Travail collectif.

Mise en commun des propositions, création de groupes de travail

 
 
 
 
 
 
 
 

Fiche technique

Construire la tangente au point A :

- Saisir Tangente[A,g]

Ou

- Cliquer sur l’outil Tangente ,sur la courbe et sur le point A

Détermination du coefficient directeur d’une droite :

- Saisir Pente[nom de la droite]

Ou

- Cliquer sur l’outil Pente et sur la droite.

Ou

- Lire dans la fenêtre algèbre le coefficient a de l’équation de la droite sous la forme y=ax+b

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Grille d’analyse

Niveau : 1 ière Bac Professionnel.

Module : Approcher une courbe avec des droites

CompétencesCapacités
S’approprier La notion de Tangente à une courbe et la relation entre le coefficient directeur de la tangente et le sens de variation de la courbe.
AnalyserRaisonner Emettre des conjectures entre la courbe et les coefficients directeurs.
Réaliser Construire en un point une tangente à courbe représentative d’une fonction f Déterminer par lecture graphique le coefficient directeur de la tangente.
Valider Reconnaitre la tangente à la courbe en un point donné.Vérifier ou infirmer les conjectures.
Communiquer Rendre compte d’une démarche ;être capable de travailler en autonomie et en groupe.

L’activité proposée s’insère dans le programme au niveau de

Approche de la fonction dérivée

1er travail avec Geogebra

Ouvrir le document GEOGEBRA doc 3 a fonction_derivee

geogebra - 8.4 ko

- Cocher la case parabole puis régler les curseurs pour que la courbe corresponde à la parabole solaire.

Relever les valeurs des coefficients a= …………… b=…………… c=………………

La fonction correspondant est g( x ) = ………… x ² …………………..

- décocher la case « parabole solaire », puis cocher « tangentes »

Compléter le tableau suivant

Droite passant par le point Abscisse du point Coefficient directeur de la tangente au point
A a1= ……………….
B a2= ……………….
C a3= ……………….
D a4= ……………….
E a5= ……………….
F a6= ……………….

Dans la barre de saisie, taper : (x(A),Pente[d_A]) relever les coordonnées du point créé ( ; )

A quoi correspond l’abscisse de ce point …………………………………………………………………

A quoi correspond l’ordonnée de ce point ………………………………………………………………

Dans la barre de saisie, taper : (x(B),Pente[d_B]) → jusqu’à (x(F),Pente[d_F])
- Quelle remarque pouvez-vous faire concernant les points ainsi créés ?

…………………………………………………………………………………………………………………

Établir une relation liant les abscisses x et les ordonnées y des points créés y= ……… x ……….

Comment avez-vous déterminé cette relation ? ……………………………...………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

Pour la suite nous ne parlerons plus de points créés mais de « points dérivés »

Faire vérifier vos réponses

2nd travail avec Geogebra

Ouvrir le document GEOGEBRA doc 3 b fon ction_derivee

geogebra - 5.6 ko

Ce document reprend votre construction précédente.
- Dans la barre de saisie taper : g( x ) = x ² ajuster les axes pour voir tous les points

Vérifier qu’avec cette fonction les « points dérivés » sont alignés sur la droite d’équation y =2 x

………………………………………………………………………………………………………………
- Par cette droite quelle est l’image de 2 ? ……………………………………………………
- Tracer la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d’abscisse 2.

Quel est le coefficient directeur de cette tangente ? …………

Comparer les deux valeurs ci-dessus :

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
- Soit la fonction g( x ) =3 x ² -10 Vérifier que les « points dérivés » sont alignés sur une droite. Déterminer l’équation de cette droite …............ ……………………………………

Fonction g Equation de la droite passant par les points dérivés
0,125 x ²
x ²
3 x ²-10

Conjecturer une propriété entre les fonctions g et les équations ci-dessus.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Comment se répartissent les points dérivés de la fonction g( x ) =0,5 x 3 ?

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

Support technique

Toutes les fonctions écrites dans la barre de saisie

seront nommées g( x )

¤ Relever les coordonnées d’un point :

- directement dans la fenêtre graphique
- dans la fenêtre algèbre
¤ Déterminer le coefficient directeur de la droite dA

- taper dans la barre de saisie : pente[d_A]

- utiliser l’outil pente et sélectionner la droite dA

- Relever le coefficient de la droite dA dans la fenêtre algèbre

- Connaissant 2 points de la droite calculer le coefficient a à l’aide de la relation a= ( y 2 -y 1 ) / (x 2 -x 1 )
¤ Déterminer l’équation d’une droite

- Dans la fenêtre algèbre faire un clic droit sur les équations des droites puis choisir de les mettre sous la forme y=ax+b
Tracer la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point D

- Utiliser l’outil tangente
- dans la barre de saisie taper tangente[D, f ]

Grille d’analyse

Niveau : T le Bac Professionnel.

Module : Fonction dérivée

CompétencesCapacités
S’approprier Notion de tangente, notion de coefficient directeur de la tangente. Lien entre la notion de dérivée et le coefficient directeur
AnalyserRaisonner Emettre l’hypothèse d’un lien entre les « points dérivés » et les coefficients directeurs des tangentes
Réaliser Coefficient directeur de droiteEquation d’une droite.Faire la conjecture d’une fonction reliant l’abscisse du point à la courbe, au coefficient directeur de la tangente en ce point.
Valider Vérifier que des points appartiennent à une droiteVérifier les conjectures émises(En prenant un autre point dérivé défini par (x(M), pente (d_M)) avec M un point de la parabole d’équation y=0.125x²)
Communiquer Rendre compte d’une démarche ;être capable de travailler en autonomie et en groupe.

L’activité proposée s’insère dans le programme au niveau de Terminale


ps

Roland Dassonval réagit à cet article par la proposition qui suit :
Merci pour cet article.

Je l’ai utilisé pour ce programme en FLASH :
http://rdassonval.free.fr/flash/four.swf
L’approche est différente puisqu’il s’agit de mathématiques pour le collège et plus, avec l’interactivité permise par FLASH.

Vous y trouverez peut-être des morceaux utilisables dans votre étude, éventuellement adaptables...

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