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Sommaire > N°48 - janvier 2016 > Le Club des Expressions

Le Club des Expressions
Pour travailler la structure des expressions mathématiques
Moteur de recherche
Mis en ligne le 8 janvier 2016, par Christophe Gragnic

L’article qui suit me rappelle certains élèves qui, confrontés à l’ambiguïté de leur écrits répondaient avec superbe : « Je me comprends ! ». L’ennui, c’est que les microprocesseurs et les professeurs comprenaient leurs expressions autrement que ce qu’ils imaginaient... Et moi aussi.

L’article propose une démarche ludique pour mieux faire comprendre le sens d’une expression mathématique aux élèves, en établissant un lien entre l’écriture d’une expression mathématique (comme $2x+1$) et sa description dans le langage courant (somme du produit de 2 par $x$ avec 1).

G.Kuntz

Voir aussi un article connexe d’Alain Busser.

Et un autre article de Christophe Gragnic, sur MicroAlg.

L’adresse du Club des Expressions : http://expressions.club/

Historique

Tout est parti d’une expérience mêlant un Lisp (un langage de programmation [1]) et MathJax (un moteur de rendu d’expressions mathématiques dans le navigateur). Cette expérience a validé certaines technologies, qui ont finalement servi à bâtir MicroAlg.

Restée à dormir sur une page perdue sur Internet, sous-employée pendant deux ans, cette expérience a intéressé un nouveau collègue de maths [2] qui m’a motivé pour en faire quelque chose d’utilisable en classe. Ainsi naquit le Club des Expressions !

Principe

Une série d’expressions mathématiques est présentée à l’élève. En tapant du code ou en déplaçant des blocs (comme avec Scratch), l’élève va essayer de reconstituer chacune de ces expressions, l’une après l’autre. La reconstitution graphique d’expressions mathématiques est un prétexte pour donner du sens à ces expressions. Par exemple, pour reconstituer $2x+1$, il faut reconnaître une somme de deux termes, le premier terme étant un produit. Chaque expression réussie provoque l’ajout d’un enregistrement dans une grande feuille de calcul en ligne afin que le professeur puisse suivre le travail de ses élèves.

Le Club des Expressions comporte donc une sorte d’éditeur d’expressions, mais avec lequel les élèves doivent reconstituer une série d’expressions proposée par leur professeur, comme un exercice de traduction. Pour chaque expression :

  • sa structure doit être fidèlement retranscrite, en fournissant en quelque sorte l’arbre de calcul,
  • la reconstitution nécessite de comprendre cette structure algébrique, pour s’en faire une image mentale solide.

Intérêt

Le Club des Expressions semble être un outil intéressant tant du point de vue du diagnostic que de l’entraînement ou de l’approfondissement.

Diagnostic

Le Club permet par exemple de détecter rapidement les élèves qui ne savent pas que $2x+1$ est une somme, chose pourtant essentielle par exemple pour résoudre l’équation $2x+1 = 5$. Il permet de travailler cet aspect avant même de leur faire résoudre la moindre équation.

Approfondissement

Il permet aussi de faire prendre aux élèves un certain recul sur des expressions complexes, en les poussant à expliciter l’organisation des calculs et leurs différents niveaux de profondeur. Par exemple, l’expression suivante :

devra être codée (cette expression est particulièrement difficile !) :

(oppose (quotient (diff (produit. a (racine2 b)) (image_par f (inverse c))) (carre (somme x y z))))

Quelques fonctionnalités

Configuration des séries

Le professeur peut choisir :

  • si les élèves pourront utiliser les blocs ou non,
  • s’il veut que le score s’affiche à l’écran ou non (voir plus loin),
  • dans le cas où le score est utilisé, le score de départ et le nombre de points perdus en fonction du temps,
  • si le fond de l’écran va changer de couleur en fonction du score ou non (voir plus loin),
  • si la série est en mode interactif ou non (voir plus loin).

De plus, une même série d’expressions peut se voir configurer de plusieurs façons différentes, par exemple selon les modalités de travail (en classe ou à la maison, initiation ou perfectionnement…).

Score

Un système de score a été mis en place de façon à pouvoir mesurer la réussite des élèves. C’est un mécanisme assez simple, voire simpliste, en attendant quelque chose de plus scientifique (si vous avez des suggestions…).

L’élève part donc avec un score de départ. Ce score diminue avec le temps et est augmenté d’un certain nombre de points une fois qu’une expression a été correctement reconstituée (d’un nombre de points fonction de la difficulté de l’expression).

L’utilisation de ce système est facultative, certains élèves pouvant se sentir oppressés par la diminution inexorable de leur score au cours du temps. Plus précisément, c’est son affichage qui est facultatif car le score est tout de même enregistré dans la base de données pour que le professeur puisse en tirer des conclusions.

Fond de couleur

Si le professeur fait travailler une série en classe, il peut être intéressant d’utiliser le fond coloré. Plus le score diminue, plus le fond de l’écran se colore en rouge/rose. Cela permet au professeur de repérer d’un seul coup d’œil les élèves les plus en difficulté puis d’aller les aider.

Mode interactif ou non interactif

La reconstitution des expressions peut, dans un premier temps, être ludique en mode « interactif », mais aussi demander plus de travail d’abstraction en mode « non interactif », suivant la configuration de la série.

En mode interactif, l’expression correspondant à la tentative de l’élève est affichée en temps réel, ce qui lui permet d’avoir un retour instantané et de construire l’expression par petites touches, à tâtons.

Le mode non interactif ne fournit pas à l’élève le retour en temps réel. Dès lors, ce n’est plus possible de « bidouiller » jusqu’à ce que l’expression attendue s’affiche.

Équivalences d’expressions

Le système de vérification prend en compte l’ordre des opérandes. Par exemple pour $a+b$, il faut taper (somme a b) et non (somme b a).

Certains collègues (et certains élèves !) nous reprochent que mathématiquement, les écritures sont équivalentes, mais c’est la règle du Club : la reconstitution est purement graphique. De même, les expressions ne doivent être ni développées ni factorisées pour que le Club veuille bien les valider.

Les parenthèses

Le Club des Expressions ajoute les parenthèses nécessaires au respect des priorités définies par le code à mettre en forme. Par exemple :

  • (somme (produit 2 x) 1) donne $2x+1$,
  • mais (produit 2 (somme x 1)) donne $2(x+1)$.

Cette fonctionnalité est importante pour que le code du Club reste simple et assez proche du langage naturel. Mais la question des parenthèses facultatives nous a amené à beaucoup discuter. Considérons le code suivant : (somme a (somme b c)).

Certains pensent (comme moi) que le code ci-dessus devrait donner a+(b+c), c’est-à-dire respecter la structure, et d’autres a+b+c, c’est à dire ne pas mettre de parenthèses inutiles.

Nous ne savons pas encore ce qui serait le plus intéressant pédagogiquement, mais le comportement actuel est a+(b+c). Il suffirait de créer un nouvel item de configuration si jamais les professeurs voulaient pouvoir choisir entre différents comportements.

Remarque : Avec le codage par blocs, la somme et les produits n’acceptent par défaut que deux opérandes. Il faut cliquer sur l’étoile bleue de ces blocs pour faire apparaître d’autres emplacements, en glissant un petit bloc un terme sous les autres.

Le produit

Comme il existe en mathématiques plusieurs symboles pour exprimer un produit (la croix ×, le point . ou l’absence de symbole), il y a à l’heure actuelle autant de commandes que de tels symboles. C’est plutôt un héritage d’une limitation technique.

Il est prévu cependant de fusionner toutes ces commandes au profit d’une seule commande « produit » qui serait assez intelligente pour mettre × ou rien (on abandonne le point) entre les termes du produit selon la nature des opérandes (deux nombres doivent être séparés par ×, mais pas deux lettres).

Là encore, il suffirait de créer un nouvel item de configuration si jamais les professeurs voulaient choisir entre différents comportements : un produit intelligent ou plusieurs commandes pour les différents produits.

En classe ou à la maison

Le Club des Expressions peut être utilisé en classe et à la maison.

En classe, nous avons vu qu’un système pour détecter les élèves en difficulté a été mis en place : au fur et à mesure que le temps passe, l’écran devient de plus en plus rouge, et revient à la normale si une expression a été correctement reconstituée. Ceci afin de pouvoir repérer facilement les élèves les plus en difficulté.

À la maison, une fois que le système a été présenté en classe (voir quelques idées pour la présentation) les élèves sont autonomes et peuvent faire et refaire les séries à l’envi.

Dans les deux cas, les élèves se présentent en laissant leur classe et leur nom en début de série pour que la base de données attribue correctement les réussites.

L’avenir du Club

L’outil est encore jeune et nous cherchons à mesurer plus sérieusement son impact. Ainsi, nous pourrons le faire évoluer dans la bonne direction. Des observations sont et seront menées, suivies de retouches sur le système, en attendant qu’une étude plus vaste puisse être mise en place. Nous écouterons vos suggestions avec intérêt !

Sachez aussi que le Club va être entièrement réécrit avec l’aide d’un informaticien professionnel de renom. Il sera possible, sans doute à la rentrée prochaine, de pouvoir gérer vous-même vos séries, les partager, d’avoir un tableau de bord puissant pour suivre les élèves…

Utiliser le Club

Si vous voulez que vos élèves travaillent avec ce système, envoyez vos séries !


ps

Je remercie chaudement Gérard Kuntz et Benjamin Clerc pour leur relecture attentive, leurs questions et leurs suggestions.

notes

[1plus qu’un langage, Lisp est devenue une immense famille de langages, voir l’article Wikipedia

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